第四章 因式分解（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第四章 因式分解（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题 1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据因式分解的定义“将几个多项式的和的性质变成几个因式积的形式”，由此即可求解． 【解析】解：、，是因式分解，符合题意； 、，不是因式分解，不符合题意； 、，不是因式分解，不符合题意； 、，不是因式分解，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查因式分解概念的理解，掌握其概念是解题的关键． 2．利用因式分解计算等于（    ） A．1 B． C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据提公因式法计算即可得解，熟练掌握提公因式法是解此题的关键． 【解析】解：， 故选：C． 3．下列各式中能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x+1 【答案】C 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【解析】解：多项x2+x+1，x2+2x-1，x2-2x+1都不能用平方差公式进行因式分解， 能用平方差公式进行因式分解的是x2-1， 故选：C． 【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 4．下列各组中，没有公因式的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】将每一组因式分解，找公因式即可 【解析】A.，，有公因式，故不符合题意； B.，，没有公因式，符合题意； C.，，有公因式，故不符合题意； D. 与有公因式，故不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键 5．如果二次三项式可分解为， 那么的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，根据对应项系数相等列式是解题的关键． 利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出 a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解析】解：， ∵二次三项式可分解为， ∴， ∴，， 解得：， ∴ 故选： B． 6．把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（    ） A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5 【答案】A 【分析】适当变形后提公因式，可得答案． 【解析】解：原式， 另一个因式是， 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解，利用提公因式是解题关键． 7．已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，则M、N的大小关系是（    ） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 【答案】A 【分析】用M与N作差，然后进行判断即可． 【解析】解：M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1， ∵M-N=(3x2-x+3)-(2x2+3x-1) =3x2-x+3-2x2-3x+1 =x2-4x+4 =(x-2)2≥0， ∴M≥N． 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答题的关键． 8．在对多项式进行因式分解时我们经常用到“整体思想”，请同学们将进行因式分解结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解．把看成整体，将多项式展开，再运用完全平方公式进行分解因式即可． 【解析】解： ， 故选：A． 9．已知，直角三角形的两直角边为，斜边为，满足且，则此直角三角形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了平方差公式的应用、直角三角形的面积等知识，利用已知条件变形得到，，得到，，即可得到直角三角形的面积． 【解析】解：∵， ∴， ∴为直角三角形的两直角边， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴此直角三角形的面积为 故选：A 10．已知，则（　　） A． B． C．7 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用．根据题意可得，再由完全平方公式，可得，即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 故选B． 二、填空题 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解；将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【解析】解：直接提取公因式即可：， 故答案为：． 12．分解因式：9a2﹣4＝ ． 【答案】（3a﹣2）（3a+2） 【分析】直接利用平方差公式分解因式即可. 【解析】 故答案为：. 【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，分解因式常用方法有：提取公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）、十字交叉相乘法、配方法等. 13．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【解析】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 14．多项式各项的公因式是 ． 【答案】 【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式2y，即可求解． 【解析】解：∵多项式系数的最大公约数是2，相同字母的最低指数次幂y， ∴该多项式的公因式为2y， 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式的公因式，掌握多项式每项公因式的求法是解题的关键． 15．若x＋y＝6，xy＝4，则x2y＋xy2＝ ． 【答案】24 【分析】先对后面的式子进行因式分解，然后根据已知条件代值即可． 【解析】 x＋y＝6，xy＝4， x2y＋xy2 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查提取公因式进行因式分解，属于基础题，比较容易，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 16．已知2x+4﹣2•2x＝112，则x的值为 ． 【答案】3 【分析】根据题意直接利用同底数幂的乘法运算法则以及提取公因式法分解因式，进而得出答案． 【解析】解：∵2x+4﹣2•2x＝112， ∴2x+1×（23﹣1）＝112， 故2x+1＝16＝24， 解得：x＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法运算以及提取公因式法分解因式，熟练并正确掌握相关运算法则是解题的关键． 17．计算： . 【答案】 【分析】原式利用平方差公式分解，约分即可得到结果． 【解析】解：原式 = =， 故答案为 【点睛】此题考查了平方差公式，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 18．已知，那么多项式的值为 . 【答案】// 【分析】先根据式子的特点展开，然后求出的值，再代入即可求解． 【解析】解：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了乘法公式与因式分解的运算和求值的应用，熟练掌握整式的因式分解和整体代入的思想是解题的关键． 三、解答题 19．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式即可； （2）直接提取公因式3a，进而利用完全平方公式分解因式即可； （3）直接提取公因式2，进而利用平方差公式、完全平方公式分解因式即可． 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键． 【解析】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 20．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先去括号，再利用完全平方公式进行分解即可； （2）直接利用完全平方公式进行分解即可； （3）先利用平方差公式进行分解，再利用完全平方公式进行二次分解即可； （4）先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【解析】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题考查公式法分解因式，积的乘方．掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解题的关键． 21．因式分解： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可； （2）根据平方差公式与完全平方公式因式分解即可； （3）根据平方差公式与提公因式法因式分解即可； （4）根据提公因式法与平方差公式因式分解即可． 【解析】（1） = = （2） = = = （3） = = = （4） = = = = 【点睛】本题考查了提公因式法、平方差公式和完全平方公式，解决此题的关键是熟练掌握因式分解的基本方法． 22．已知，，是的三边长，且，试判断的形状． 【答案】的形状是等边三角形． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等边三角形的定义，解题关键是利用因式分解给条件式变形． 先利用完全平方公式把等式左边分解因式从而得到，由此即可证明，则是等边三角形． 【解析】解：， ， ， ， ， ， 的形状是等边三角形． 23．两位同学将一个二次三项式：(其中，，为常数，且)分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式. 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握运算法则．由于含字母的二次三项式的一般形式为(其中、、均为常数，且)，所以可设原多项式为； 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将运用多项式的乘法法则展开，进而求出与的值； 同理将运用多项式的乘法法则展开，还可求出的值，从而确定原多项式，再将原多项式分解因式即可． 【解析】解：∵     ∴ ， ∵ ∴ ∴ ． 24．已知满足 （1）利用因式分解求的值；（2）求的值 【答案】（1）2 （2）34，±8 【分析】（1）提取公因式进行因式分解即可求解； （2）根据（1）知的值，即可推出，即可求出，即可求解的值. 【解析】解：（1） ∴       ∴ ∵ ∴； （2）根据（1）知=2 ∴ ∴， ∵ ， ∴ ∴ 故答案为（1）2 （2）34，±8. 【点睛】本题主要考查了因式分解与完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式并学会对公式进行适当变形是解答本题的关键. 25．阅读下列解答过程： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为 则，， ∴，∴ ∴另一个因式为，m的值为-21． 请依照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 【答案】另一个因式为x＋7，k的值为﹣14． 【分析】利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，利用多项式相等，对应项或对应项的系数相等进而得出方程组，可得答案． 【解析】解：设另一个因式为（x+m），由题意，得： x2+5x+k＝（x﹣2）（x+m）， 则x2+5x+k＝x2+（m﹣2）x﹣2m， ∴， 解得， ∴另一个因式为x＋7，k的值为﹣14． 【点睛】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，正确假设出另一个因式是解题的关键． 26．阅读并解答：对于多项式，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为，由此可断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式的值为，则多项式一定含有因式），于是我们可以把多项式写成：，分别求出，后代入，就可以把多项式因式分解． (1)求式子中，的值； (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得出有关m，n的方程求出即可； （2）由把代入，得其值为0，则多项式可分解为的形式，进而将多项式分解得出答案． 【解析】（1）解：∵ ， ∴， ∴， 解得； （2）解：当 时，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了因式分解的运用，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 27．如图1，有A，B，C三种不同型号的卡片若干，其中 A型是边长为 a的正方形，B型是长为 b，宽为 a 的长方形，C型是边长为 b的正方形． (1)若选取相应型号和数量的卡片拼出（或镶嵌）了一个符合某乘法公式的图形（如图2），则这个乘法公式是 ； (2)请你选取相应型号和数量的卡片，拼出（或镶嵌）一个符合等式的长方形； (3)现有 A 型卡片1张，B型卡片4张，C型卡片5张，从这10张卡片中拿掉一个卡片，余下的卡片全用上，能拼出（或镶嵌）一个长方形（或正方形）的有多少种拼法？ 请你通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)需要1张A型卡片，3张B型卡片，2张C型卡片 (3)共有两种拼法：①用4张B型卡片，5张C型卡片拼成长为，宽为b的长方形；②用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡拼成边长为的正方形 【分析】（1）由图2可得正方形的边长为，从而可得乘法公式为； （2）因为，所以需要1张A型卡片，3张B型卡片，2张C型卡片，拼成长为，宽为的长方形，作图即可解答； （3）分类三种情况讨论：拿走1张A型卡片，或1张B型卡片，或1张C型卡片，求出剩下的卡片的面积之和，然后在实数范围内因式分解，即可得到拼成的长方形． 【解析】（1）解：图（2）是边长为的正方形，面积为， 由其拼接图形可知：用了1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片，面积也可表示为， ∴可得乘法公式为：． 故答案为： （2）解：∵， ∴需要1张A型卡片，3张B型卡片，2张C型卡片，拼成长为，宽为的长方形，如图所示． （3）解：拿掉一个卡片，有三种情况： ①若拿掉1张A型卡片，则剩下卡片的面积之和为， ∵， ∴用4张B型卡片，5张C型卡片拼成长为，宽为b的长方形； ②若拿掉1张B型卡片，则剩下卡片的面积之和为， ∵在实数范围内无法因数分解， ∴用1张A型卡片，3张B型卡片，5张C型卡片无法拼出长方形； ③若拿掉1张C型卡片，则剩下卡片的面积之和为， ∵， ∴用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡拼成边长为的正方形． 综上所述，共有两种拼法： ①用4张B型卡片，5张C型卡片拼成长为，宽为b的长方形； ②用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡拼成边长为的正方形． 学科网（北京）股份有限公司17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 因式分解（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．利用因式分解计算等于（    ） A．1 B． C．2024 D．2025 3．下列各式中能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x+1 4．下列各组中，没有公因式的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．如果二次三项式可分解为， 那么的值为（   ） A． B． C．1 D．2 6．把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（    ） A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5 7．已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，则M、N的大小关系是（    ） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 8．在对多项式进行因式分解时我们经常用到“整体思想”，请同学们将进行因式分解结果是（      ） A． B． C． D． 9．已知，直角三角形的两直角边为，斜边为，满足且，则此直角三角形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 10．已知，则（　　） A． B． C．7 D．11 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．分解因式： ． 12．分解因式：9a2﹣4＝ ． 13．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 14．多项式各项的公因式是 ． 15．若x＋y＝6，xy＝4，则x2y＋xy2＝ ． 16．已知2x+4﹣2•2x＝112，则x的值为 ． 17．计算： . 18．已知，那么多项式的值为 . 三、解答题（本大题共9小题，共66分） 19．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 20．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．因式分解： (1)； (2)． (3)； (4)． 22．已知，，是的三边长，且，试判断的形状． 23．两位同学将一个二次三项式：(其中，，为常数，且)分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式. 24．已知满足 （1）利用因式分解求的值；（2）求的值 25．阅读下列解答过程： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为 则，， ∴，∴ ∴另一个因式为，m的值为-21． 请依照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 26．阅读并解答：对于多项式，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为，由此可断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式的值为，则多项式一定含有因式），于是我们可以把多项式写成：，分别求出，后代入，就可以把多项式因式分解． (1)求式子中，的值； (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式． 27．如图1，有A，B，C三种不同型号的卡片若干，其中 A型是边长为 a的正方形，B型是长为 b，宽为 a 的长方形，C型是边长为 b的正方形． (1)若选取相应型号和数量的卡片拼出（或镶嵌）了一个符合某乘法公式的图形（如图2），则这个乘法公式是 ； (2)请你选取相应型号和数量的卡片，拼出（或镶嵌）一个符合等式的长方形； (3)现有 A 型卡片1张，B型卡片4张，C型卡片5张，从这10张卡片中拿掉一个卡片，余下的卡片全用上，能拼出（或镶嵌）一个长方形（或正方形）的有多少种拼法？ 请你通过计算说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$