1.5.1数量积的定义及计算（教学课件）数学湘教版必修第二册

湘教版选择性必修第二册 1.5 向量的数量积 1.5.1数量积的定义及计算 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 第1章平面向量及其应用 湘教版 必修第二册 学习目标 目标 1 重点 2 数量积的定义及其几何意义。 数量积的运算律及其应用。 难点 3 数量积的分配律的证明。 利用数量积解决实际问题，如求向量的夹角和投影。 1.理解数量积的物理背景，掌握数量积的定义、公式及其几何意义。 2.熟练运用数量积的运算律进行计算。 3.能够利用数量积解决向量的夹角、投影等问题。 新课导入 向量最重要的特征是方向和大小。 方向由角度描述，大小由长度描述，那么向量的长度和角度怎样计算呢？ 一、数量积的物理背景 新课讲授 新课讲授 问题1：同学们，我们在初中学习过物理中的功的概念。 如果一个物体在力的作用下发生了位移，那么这个力对物体做了功。 那么，大家思考一下，功的大小与哪些因素有关呢？ 一、数量积的物理背景 新课讲授 新课讲授 问题2：如果拉力的方向与位移方向不一致，如何计算拉力所做的功呢？ 一、数量积的物理背景 新课讲授 新课讲授 一、数量积的物理背景 新课讲授 新课讲授 二、数量积定义 新课讲授 典例分析 二、数量积定义 新课讲授 典例分析 问题3：当两个向量的夹角为0°或180°时，数量积的符号是什么？ 二、数量积定义 新课讲授 典例分析 二、数量积定义 新课讲授 典例分析 三、投影 新课讲授 典例分析 问题4：如何利用数量积求一个向量在另一个向量方向上的投影？ 三、投影 新课讲授 典例分析 三、投影 新课讲授 典例分析 四、数量积的运算律 新课讲授 典例分析 问题5：如何证明数量积的分配律？ 四、数量积的运算律 新课讲授 典例分析 四、数量积的运算律 新课讲授 典例分析 问题6：在例3中，如果四边形不是菱形，结论是否仍然成立？ 学后总结 知识点一　向量的夹角 非零 ∠AOB 0≤θ≤π 〈a，b〉 同向 反向 垂直 a⊥b 学后总结 知识点二　向量数量积的概念 [注意]　向量的数量积是两个向量之间的一种运算，其结果不再是向量，而是数量，它的符号由夹角确定，当夹角为锐角或0时，符号为正；当夹角为钝角或π时，符号为负；当夹角为直角时，其值为零． 已知条件 两个非零向量a与b，它们的夹角为θ 定义 ________________叫做向量a与b的数量积(或内积) 记法 记作_____，即a·b＝___________ 规定 零向量与任一向量的数量积为_____ 数量|a||b|cosθ a·b |a||b|cosθ 0 19 学后总结 投影 投影向量 |a|cosθ e 20 学后总结 知识点四　向量数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)__________ (交换律)． (2)(λa)·b＝_______＝_______ (结合律)． (3) _____________________ (分配律)． [拓展]　(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2. (3)(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d. a·b＝b·a λ(a·b) a·(λb) (a＋b)·c＝a·c＋b·c 21 学以致用 22 学以致用 2.已知a，b是两个非零向量，且|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角． 23 学以致用 3.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e. (1)求a·b； (2)求a在b上的投影向量． 24 学以致用 4．已知|a|＝8，|b|＝2，〈a，b〉＝120°，则向量a在b上的投影向量为________． －2b 25 学以致用 5．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝－4，则向量a与b的夹角为(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 26 课堂小结 课堂小结 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 感谢聆听 如图1.5-1，一辆小车在拉力 的作用下产生了位移 。 若拉力的大小为 N， 其方向与小车位移方向的夹角为 ， 位移 的大小为 m。 如何计算拉力 所做的功 ？ 由于拉力 与小车位移 都是向量，则可用从同一点出发的两条有向线段表示。 两条有向线段的夹角 就是这两个向量 与 的夹角。 有向线段的长度分别等于这两个向量的大小 ， 。 若拉力 与位移 方向相同，则功等于力的大小和位移大小的乘积， 即 。 一般情形下，功 不等于力的大小和位移大小的乘积， 但仍是力 与位移 这两个向量的某种类型的乘积，记作为 。 由力学知识知道， 可分解为水平和垂直两个方向的分力 ， 之和，即 。 合力 所做的功 等于各分力所做的功之和： 。 这说明这种乘积 满足对向量加法的分配律。 由力学知识还知道，与位移 垂直的力 做的功 。 因此 。 也就是说，合力 做的功 等于水平分力 做的功。 当 时， 与 方向相同， 。 由图1.5-1知 ，因而 。 当 时， 与 方向相反， ， 其中 ， 因而 。 当 时， ， ，因而 仍成立。 综上所述，在所有情形下都有 。 运用力 和位移 来计算功 的公式 ， 可以推广到任意两个向量。 设 ， 是任意两个向量， 是它们的夹角， 定义 为 与 的数量积。 因此，向量的数量积运算，与向量线性运算的结果是一个向量， 而两个向量的数量积是一个实数，这个实数可以是正数、负数或零。 非零向量 与 的数量积是正数还是负数完全由 决定。 由平面向量夹角的定义可知， 的取值范围为 。 由数量积的定义可知： （1）当 ， 中至少有一个为 时，即 或 或 。 。 当 ， 时，由于零向量与任意向量垂直， 因而仍有 对所有情形均成立。 例1已知向量 ， ， 为单位向量，求数量积 。 解：当 ， 同向，即 时， 。 当 ， 异向，即 时， 。 当 或 时， 。 因此，在所有情况下都有 。 上例说明，对于共线的两个向量，将其写成同一个单位向量的实数倍后， 这两个向量的数量积等于它们对应的实数的乘积。 例2：已知 ， ， 。求 与 的夹角。 解：由数量积的定义可知， ， 所以 。 又 。 因此 与 的夹角为 。 如图1.5-3，作向量 ， ，两个向量的夹角为 ， 过点 作 于点 ，则 ， 其中 与 共线。 我们把 称为 在 方向上的投影向量，投影向量的长度 称为投影长。 设 是 方向上的单位向量，即 ， 。 当 ，即 与 同向时， 。 当 ，即 与 反向时， 。 当 ，即 时， 。 在所有情况下都有 。 刻画了投影向量的大小和方向，称为 在 方向上的投影。 。 由于 与 共线，于是 。 设 ， ， 是任意向量， 是任意实数，则如下运算律成立： (1)交换律： ； (2)与数乘的结合律： ； (3)分配律： 。 由数量积的定义可以直接证明运算律(1)(2)。 下面我们证明运算律(3)。 如果 ， ， 中存在零向量，易知等式成立。 设 ， ， 都为非零向量， 如图1.5-4，以 为起点， 作 ， ， ， 向量 ， 的终点 ， 在OA或其延长线上的投影分别为点B'，C'， 记 ， 与 的夹角分别为 ， ， 与 的夹角为 。 由于点 ， ，B'，C'在同一直线上，且 ， 因此 在 方向上的投影等于 ， 在 方向上的投影之和，即 。 ， 即 。 例3求证：菱形的两条对角线互相垂直。 已知：如图1.5-5，四边形ABCD是菱形。求证： 。 证明：记 ， ，则对角线 ， 。 因为 EMBED Equation.DSMT4 。 所以 。 思考： 成立吗？如果 ，得到什么等式？ 条件 两个______向量a，b 产生过程 O是平面上的任意一点，作eq \o(OA,\s\up14(→))＝a，eq \o(OB,\s\up14(→))＝b，则________＝θ叫做向量a与b的夹角 范围 ____________ 记法 ________ 特殊情况 θ＝0 a与b______ θ＝π a与b______ θ＝eq \f(π,2) a与b______，记作______ 知识点三　投影向量 (1)如图1，设a，b是两个非零向量，eq \o(AB,\s\up14(→))＝a，eq \o(CD,\s\up14(→))＝b，我们考虑如下的变换：过eq \o(AB,\s\up14(→))的起点A和终点B，分别作eq \o(CD,\s\up14(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \o(A1B1,\s\up14(→))，我们称上述变换为向量a向向量b______，eq \o(A1B1,\s\up14(→))叫做向量a在向量b上的__________． (2)如图2，我们可以在平面内任取一点O，作eq \o(OM,\s\up14(→))＝a，eq \o(ON,\s\up14(→))＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则_______就是向量a在向量b上的投影向量． (3)设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq \o(OM1,\s\up14(→))与e，a，θ之间的关系为eq \o(OM1,\s\up14(→))＝_________． eq \o(OM1,\s\up14(→)) 1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝eq \f(1,2)AB，则eq \o(AB,\s\up14(→))与eq \o(BC,\s\up14(→))的夹角是(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：如图，作向量eq \o(AD,\s\up14(→))＝eq \o(BC,\s\up14(→))，则∠BAD是eq \o(AB,\s\up14(→))与eq \o(BC,\s\up14(→))的夹角．在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝eq \f(1,2)AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即eq \o(AB,\s\up14(→))与eq \o(BC,\s\up14(→))的夹角是120°. 解　因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉， 所以|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b|·|cos〈a，b〉|＝6. 又|a|＝3，|b|＝4， 所以|cos〈a，b〉|＝eq \f(6,|a||b|)＝eq \f(6,3×4)＝eq \f(1,2)， 所以cos〈a，b〉＝±eq \f(1,2).因为〈a，b〉∈[0，π]， 所以a与b的夹角为eq \f(π,3)或eq \f(2π,3). 解　(1)a·b＝|a||b|cosθ＝5×4×cos120°＝－10. (2)a在b上的投影向量为|a|cosθe＝5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))e＝－eq \f(5,2)e. 解析：如图所示，任取一点O，作eq \o(OA,\s\up14(→))＝a，eq \o(OB,\s\up14(→))＝b，则∠AOB＝120°，过A作AA′⊥OB，垂足为A′，∴a在b上的投影向量为eq \o(OA′,\s\up14(→))，又∠AOA′＝60°，OA＝8，∴OA′＝OAcos60°＝8×eq \f(1,2)＝4，又|b|＝2，∴eq \o(OA′,\s\up14(→))＝－2b. 解析：设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－4,2×4)＝－eq \f(1,2)，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.故选D. 向量数量积的概念 1.已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.关于数量积的结果 (1)非零向量数量积的运算结果是一个数量， 当0°≤θ<90°时，a·b>0； 当90°<θ≤180°时，a·b<0； 当θ＝90°时，a·b＝0. (2)特别地，如若a或b等于零，则a·b＝0. （二）向量的投影 关于投影向量 (1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定． (2)向量a在b方向上的投影向量eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|). (3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θeq \f(a,|a|). （三）向量数量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|a||b|，a与b同向，,－|a||b|，a与b反向.))特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a). (4)|a·b|≤|a|·|b|. (5)cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|). $$