精品解析：河北省衡水市安平中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试卷

河北安平中学高二年级假期作业考试数学试卷 一、单项选择题（本题共6小题，每小题8分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则 A. B. C. D. 2. 抛物线准线方程为（ ） A B. C. D. 3. 在等差数列中，，则值为（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 4. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设正项等差数列满足，其前n项和为，若数列为等差数列，则的最小值是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 6. 已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（本题共2小题，每小题9分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 7. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. C. 若，则 D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 8. 已知正方体的棱长为2，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当，时，的最小值为 B. 当，时，过点，，的截面面积为 C. 当，且时，点的轨迹的长度为 D. 当，时，三棱锥的体积为 三. 填空题（本题共3小题，每小题8分，共24分）． 9. 已知的三个顶点是，，，则边上的高所在直线的方程为________. 10. 若在空间直角坐标系中，点，平面OMQ的一个法向量，则直线OP与平面OMQ所成角的大小为________． 11. 若数列满足，，则__________． 四. 解答题（本题共3小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 12. 已知数列的前n项和为，，． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列前n项和． 13. 设函数 （1）当时，求曲线在处的切线方程. （2）讨论函数在区间上零点的个数. 14. 已知双曲线过点，右焦点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线过双曲线右焦点，与双曲线交于两点，满足，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北安平中学高二年级假期作业考试数学试卷 一、单项选择题（本题共6小题，每小题8分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据点关于平面对称点，求得的坐标，利用向量的数量积的坐标运算，即求解. 【详解】由题意，空间直角坐标系中，点关于平面的对称点， 所以,则，故选D. 【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记空间向量数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将题中抛物线的方程转化为标准方程，从而得解. 【详解】由，可得， 所以准线方程为， 故选：C 3. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】由等差中项的性质计算即可； 【详解】因为在等差数列中，， 所以， 所以， 故选：B 4. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题得，等价于函数在上有两个不相等的零点，解不等式组即得解. 【详解】由题得， 因为有两个极值点， 所以函数在上有两个不相等的零点， 所以， 解得． 故选：B 5. 设正项等差数列满足，其前n项和为，若数列为等差数列，则的最小值是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】设公差为d，根据等差数列前n项和写出前3项，结合等差中项的性质列方程求公差d，进而得到关于n的表达式，利用基本不等式求其最小值. 【详解】因为等差数列满足，． 设公差为d，则，其前n项和为， 所以，，，． 因为数列也为等差数列，所以， 所以，解得，故，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：D 6. 已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用椭圆的定义及勾股定理用表示出，在△中求出，再在△中，通过余弦定理得到与的关系，即可求出离心率. 【详解】由题意得，，令，则 ∵，∴， 即，∴，, 在△中，， 在△中，， ∴， ∴. 故选：A. 二．多选题（本题共2小题，每小题9分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 7. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. C. 若，则 D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确. 【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4， 所以，，故A正确. 对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以， 当直线的斜率存在时，设， 得：，所以 故B正确. 对选项C，，故C错误. 对选项D，如图所示： 过分别向准线作垂线，垂足为， 因为， 所以， 即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：ABD 8. 已知正方体的棱长为2，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当，时，的最小值为 B. 当，时，过点，，的截面面积为 C. 当，且时，点的轨迹的长度为 D. 当，时，三棱锥的体积为 【答案】BD 【解析】 【分析】首先分别分析个各选项中M点所处的位置，即可依次结合图形、求点面距离的向量法、锥体体积公式判断各个选项正误. 【详解】以为坐标系原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 故， 对于选项A，由题， 故点坐标为，故在线段上， 沿将平面翻折使得平面与平面处于同一平面内（如图所示）， 连接，易得，所以，故A错误； 对于选项B，由题， 故点坐标为，故为的中点，取的中点，如图所示， 则，又，所以， 所以平面即为过点，，的截面， 易知此截面为等腰梯形，如图所示，其高为， 故其面积，故B正确； 对于选项C，由空间向量基本定理可知，在平面内， 由上得， 设平面的法向量为，则， 取，则， 则点到平面的距离为， 又，所以在平面以为半径的圆上， 由等面积法可知正的内切圆半径为， 所以的轨迹为三段圆弧，其长度一定小于圆的周长，故C错误； 对于选项D，由题， 故点坐标为，故在上， 故，故D正确. 故选：BD. 三. 填空题（本题共3小题，每小题8分，共24分）． 9. 已知的三个顶点是，，，则边上的高所在直线的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据与直线垂直可求得斜率，又过点，根据直线的点斜式方程即可求解. 【详解】因为，，所以, 则边上的高所在直线的斜率为， 又该直线过点， 所以所求直线方程为， 即， 故答案为：. 10. 若在空间直角坐标系中，点，平面OMQ的一个法向量，则直线OP与平面OMQ所成角的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】应用向量法求线面角的大小即可. 【详解】由题设，且平面OMQ的一个法向量， 令直线OP与平面OMQ所成角为， 则，所以. 故答案为： 11. 若数列满足，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据与的关系，结合累乘法求解即可. 【详解】因为①， 所以②， ②①得，， 所以有， 所以． 故答案：. 四. 解答题（本题共3小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 12. 已知数列的前n项和为，，． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析，； （2）. 【解析】 【分析】（1）将递推公式左右两边同时除以，整理化简后即可由等比数列定义证明是等差数列，再结合其首项和公差，即可求得； （2）根据（1）中所求，根据错位相减法即可求得结果. 【小问1详解】 由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列，则， 所以. 【小问2详解】 由， 则， 所以， 所以. 13. 设函数 （1）当时，求曲线在处的切线方程. （2）讨论函数在区间上零点的个数. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先求得导函数，是切线的斜率，利用点斜式方程求切线方程即可； （2）先对参数分类讨论研究函数的单调性，结合函数的最值和区间的边界值，利用零点存在性定理判断零点个数即可. 【小问1详解】 因为，所以， 则， 所以，切线方程为 即 【小问2详解】 由（1）知，. ①当时，在区间上大于零，在区间上单调递增，且，所以在区间上有一个零点. ②当时，在区间上小于零，在区间上单调递减，且，所以在区间上有一个零点. ③当时，在区间上小于零，在区间上大于零， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 而. 当，即时，在区间上有两个零点. 当，即时，在区间上有一个零点. 综上可知，当或时，在上有一个零点， 当时，在区间上有两个零点. 14. 已知双曲线过点，右焦点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线过双曲线的右焦点，与双曲线交于两点，满足，求直线的方程． 【答案】（1） （2），或 【解析】 【分析】（1）借助点到直线的距离公式计算可得，再代入点计算即可得，即可得； （2）分直线斜率不存在、斜率存在进行讨论，当斜率存在时，设出直线方程，借助韦达定理与弦长公式计算即可得. 【小问1详解】 由点到直线的距离公式可知： 右焦点到渐近线的距离为， 又双曲线C过点，所以，解得， 所以双曲线C的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知：右焦点坐标为， 当直线的斜率不存在时，，，满足题意； 当直线的斜率存在时， 设，联立 消去y得， 所以， 设，则， 所以 ． 则，解得，即，满足； 所以直线的方程为 ，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $