第六章 计数原理全章综合测试卷-2024-2025学年高二数学春季讲义（人教A版2019选择性必修第二、三册）

第六章 计数原理全章综合测试卷 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知，且，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（23-24高二下·江苏扬州·期中）学校为丰富高中生的课外生活，开设了兴趣小组，有3名学生想要报名书法、绘画、篮球、羽毛球兴趣小组，每人限报1项、则不同的报名方式种数有（    ） A． B．36 C．24 D． 3．（5分）（23-24高二下·山东青岛·期末）若的展开式中常数项是10，则m＝（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 4．（5分）（24-25高二下·全国·课后作业）四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生乙不相邻，且女生A和女生B相邻，则不同排法的种数有（    ） A．288种 B．144种 C．96种 D．72种 5．（5分）（23-24高二下·湖北黄冈·期中）某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 6．（5分）（2024·安徽合肥·模拟预测）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往，，等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去，两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是（    ） A．72 B．84 C．100 D．120 7．（5分）（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）已知，则下列描述正确的是         （    ） A． B．除以5所得的余数是1 C． D． 8．（5分）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·安徽安庆·阶段练习）下列四个关系式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（    ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．二项式系数最大的项为第7项 C．所有项的系数和为 D．有理项共5项 11．（6分）（23-24高二下·广东江门·阶段练习）为促进学校发展，2023年中山市烟洲中学、珠海市斗门一中、江门市新会一中、顺德华侨中学四校组成“和美联盟”.烟洲中学决定派甲、乙、丙、丁四个老师去另外三所学校交流学习，每名老师只能去一个学校，则下列说法正确的是（    ） A．若三所学校都有人去，则共有36种不同的安排方法 B．若三所学校都有人去，且甲乙去同一个学校，则共有6种不同的安排方法 C．若甲不去斗门一中，乙不去新会一中，且每所学校均有人去，则共有12种不同的安排方法 D．若甲、乙、丙、丁四个老师交流学习完后，烟洲中学计划再追加派遣学习教师名额12个，且每所学校至少再追加分配3个名额，则名额追加分配的方式共有10种 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高二下·河北邢台·期中）要安排5名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少安排1名志愿者，其中学生甲不分配到村，则不同的安排方法种数为 . 13．（5分）（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有 种不同的方法．    14．（5分）（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，以下结论，正确结论的序号为 . ①展开式中奇数项的二项式系数和为256 ②展开式中第6项的系数最大 ③展开式中存在常数项 ④展开式中含项的系数为45 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）计算：（用数字作答） (1)； (2)； (3). 16．（15分）（23-24高二下·浙江·期中）在二项式的展开式中， (1)若第4项的系数与第6项的系数比为5∶6，求展开式中的有理项； (2)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数最大的项． 17．（15分）（23-24高二下·吉林·期末）从6名男生和5名女生中选出4人去参加某活动的志愿者. (1)若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？ (2)先选出4人，再将这4人分配到两个不同的活动场地（每个场地均要有人去，1人只能去一个场地），则有多少种安排方法？ (3)若男､女生各需要2人，4人选出后安排与2名组织者合影留念（站一排），2名女生要求相邻，则有多少种不同的合影方法？ 18．（17分）（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）已知，其中，，，…，，若第二项与第三项的二项式系数之比是； (1)求n的值； (2)求（可用指数形式作答）； (3)若，求该二项式的值被8除的余数. 19．（17分）（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花． (1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 计数原理全章综合测试卷 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知，且，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据排列数的运算性质即可判断AC，根据组合数的运算性质即可判断BD. 【解答过程】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，， 所以，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C. 2．（5分）（23-24高二下·江苏扬州·期中）学校为丰富高中生的课外生活，开设了兴趣小组，有3名学生想要报名书法、绘画、篮球、羽毛球兴趣小组，每人限报1项、则不同的报名方式种数有（    ） A． B．36 C．24 D． 【解题思路】根据题意，分析可得每名学生都有4种选法，结合分步计数原理，即可求解. 【解答过程】根据题意，每名学生都可以在书法、绘画、篮球和羽毛球兴趣小组中任选1个， 都有4种选法，由分步计数原理得，共有种不同的选法. 故选：D. 3．（5分）（23-24高二下·山东青岛·期末）若的展开式中常数项是10，则m＝（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【解题思路】由，利用的展开式的通项公式，分别求得和的常数项求解. 【解答过程】解：， 的展开式的通项公式为， 令，解得，则的展开式的常数项为； 令，解得，则的展开式的常数项为， 因为的展开式中常数项是10， 所以，解得， 故选：D. 4．（5分）（24-25高二下·全国·课后作业）四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生乙不相邻，且女生A和女生B相邻，则不同排法的种数有（    ） A．288种 B．144种 C．96种 D．72种 【解题思路】利用插空法和捆绑法求解即可. 【解答过程】第一步：先对2名女生进行排队，有种排法； 第二步：将除甲和乙之外的人进行排队，有种排法； 第三步：甲、乙采用插空的方式，有种排法．所以共有种． 故选：B. 5．（5分）（23-24高二下·湖北黄冈·期中）某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【解题思路】先对A，B，C三个区域染色，再讨论B，E是否同色 【解答过程】当B，E同色时，共有种不同的染色方案， 当B，E不同色时，共有种不同的染色方案， 所以共有72种不同的染色方案. 故选：D. 6．（5分）（2024·安徽合肥·模拟预测）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往，，等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去，两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是（    ） A．72 B．84 C．100 D．120 【解题思路】若甲去点则剩余4人，可只去、两个点，也可分为3组去，，3个点，按照分组分配的方法计算可得，同理求出甲去点的安排方法，再由分类加法计数原理计算可得. 【解答过程】若甲去点，则剩余4人，可只去、两个点，也可分为3组去，，3个点. 当剩余4人只去、两个点时，人员分配为或， 此时的分配方法有； 当剩余4人分为3组去，，3个点时， 先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有， 综上可得，甲去点，不同的安排方法数是. 同理，甲去点，不同的安排方法数也是， 所以，不同的安排方法数是. 故选：C. 7．（5分）（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）已知，则下列描述正确的是         （    ） A． B．除以5所得的余数是1 C． D． 【解题思路】结合赋值法，求导数法，二项式展开式的通项公式可得答案. 【解答过程】对于A：令得：；令，得． ，因此A错误； 对于B： ，因此B正确 对于C：因为二项展开式的通项公式为， 由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数， 所以， 由，令，得到， 令，得到， 所以，因此C错误 对于D：对原表达式的两边同时对求导， 得到， 令，得到，令，得 所以， 所以选项D错误． 故选：B. 8．（5分）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【解题思路】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错. 【解答过程】由图知，第行的第个数为，则， 对于A，由，得 ，故A错误； 对于B，第2023行有2024项，从左往右第1013个数与第1014个数分别为，所以，故B错误； 对于C，第行的第个数为，则， ，故C错误； 对于D，第20行中，第8个数与第9个数的比为，故D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·安徽安庆·阶段练习）下列四个关系式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据组合数的运算公式判断A，根据排列数公式判断BC，根据组合数性质及运算公式判断D. 【解答过程】因为，所以A正确； 若，则，所以B错误； 若，则，所以C正确； 因为， 所以， 所以， 所以D正确. 故选：ACD. 10．（6分）（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（    ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．二项式系数最大的项为第7项 C．所有项的系数和为 D．有理项共5项 【解题思路】A选项，根据展开式共有13项，故，得到所有奇数项的二项式系数和为；B选项，利用二项式系数的单调性和对称性得到B正确；C选项，赋值得到所有项的系数和；D选项，求出展开式通项公式，从而得到有理项个数. 【解答过程】A选项，的展开式共有13项，故， 所有奇数项的二项式系数和为，A错误； B选项，二项式系数最大的项为中间项，即第7项，B正确； C选项，中，令得， 故所有项的系数和为，C错误； D选项，展开式通项公式为，，， 当时，为整数，故有理项共5项，D正确. 故选：BD. 11．（6分）（23-24高二下·广东江门·阶段练习）为促进学校发展，2023年中山市烟洲中学、珠海市斗门一中、江门市新会一中、顺德华侨中学四校组成“和美联盟”.烟洲中学决定派甲、乙、丙、丁四个老师去另外三所学校交流学习，每名老师只能去一个学校，则下列说法正确的是（    ） A．若三所学校都有人去，则共有36种不同的安排方法 B．若三所学校都有人去，且甲乙去同一个学校，则共有6种不同的安排方法 C．若甲不去斗门一中，乙不去新会一中，且每所学校均有人去，则共有12种不同的安排方法 D．若甲、乙、丙、丁四个老师交流学习完后，烟洲中学计划再追加派遣学习教师名额12个，且每所学校至少再追加分配3个名额，则名额追加分配的方式共有10种 【解题思路】对于A，先分组再分配可得；对于B，先排甲乙，再排丙丁，由分步乘法计数原理可得；对于C，分甲乙同组和甲乙不同组两种情况，当甲乙不同组时，先分组再分配即可；对于D，先每个学校分2个名额，然后使用隔板法将6个名额分成3份即可. 【解答过程】对于A，将4个老师分成3组共有种，再将3组分配到3所学校有种， 所以，共有种不同的安排方法，故A正确； 对于B，先排甲乙有种，再排丙丁有种， 所以，共有不同的安排方法，故B正确； 对于C，当甲乙同组时有种排法； 当甲乙不同组时，将4个老师分成3组共有种， 若甲去新会一中，则有种，若甲不去新会一中，则有1种， 所以甲乙不同组时，共有种. 综上，甲不去斗门一中，乙不去新会一中，且每所学校均有人去，共有种安排，C错误； 对于D，若又计划向这三所学校追加12个交换教师名额，且每校至少3个， 先每个学校分2个名额，然后使用隔板法将6个名额分成3份，且隔板不相邻，不在两端， 则共有种不同的安排方法，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高二下·河北邢台·期中）要安排5名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少安排1名志愿者，其中学生甲不分配到村，则不同的安排方法种数为 100 . 【解题思路】结合分类讨论，应用分步计数及分组分配计算. 【解答过程】当村安排1人时，不同的安排方法种数为； 当村安排2人时，不同的安排方法种数为； 当村安排3人时，不同的安排方法种数为. 综上，共有56+36+8=100种不同的安排方法. 故答案为：100. 13．（5分）（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有 420 种不同的方法．    【解题思路】利用分类计数原理求解，按2与4两区域种植果树是否相同进行分类即可. 【解答过程】分两类情况： 第一类：2与4种同一种果树， 第一步种1区域，有5种方法； 第二步种2与4区域，有4种方法； 第三步种3区域，有3种方法； 最后一步种5区域，有3种方法， 由分步计数原理共有种方法； 第二类：2与4种不同果树， 第一步在1234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上， 是排列问题，共有种方法； 第二步种5号区域，有2种方法， 由分步计数原理共有种方法. 再由分类计数原理，共有种不同的方法. 故答案为：420. 14．（5分）（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，以下结论，正确结论的序号为 ②③④ . ①展开式中奇数项的二项式系数和为256 ②展开式中第6项的系数最大 ③展开式中存在常数项 ④展开式中含项的系数为45 【解题思路】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知，由展开式的各项系数之和为1024可得，则二项式为，易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同，利用二项式系数的对称性判断①②；根据通项判断③④即可. 【解答过程】对①，由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知， 又展开式的各项系数之和为1024，即当时，，又，所以， 所以二项式为， 则二项式系数和为，则奇数项的二项式系数和为，故①错误； 对②，由可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大， 即第6项的二项式系数最大，因为与的系数均为1， 则该二项式展开式的二项式系数与系数相同，所以第6项的系数最大，故②正确； 对③，若展开式中存在常数项，由通项可得，解得，故③正确； 对④，由通项可得，解得，所以系数为，故④正确. 故答案为：②③④. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）计算：（用数字作答） (1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）（2）（3）根据排列数、组合数公式结合阶乘的定义运算求解即可. 【解答过程】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得：. 16．（15分）（23-24高二下·浙江·期中）在二项式的展开式中， (1)若第4项的系数与第6项的系数比为5∶6，求展开式中的有理项； (2)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数最大的项． 【解题思路】（1）根据已知条件及二项展开式的通项公式，结合有理项的特点即可求解； （2）利用二项式系数的性质及系数的最大项的求法即可求解. 【解答过程】（1）由题意得, ∴，即,解得或（舍）. ∴，，1，2，…6， 所以，3，6时为有理项 即展开式中的有理项为：，，. （2）因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以， 设第项的展开式系数最大，则 ,解得。 所以展开式中系数最大项为：，. 17．（15分）（23-24高二下·吉林·期末）从6名男生和5名女生中选出4人去参加某活动的志愿者. (1)若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？ (2)先选出4人，再将这4人分配到两个不同的活动场地（每个场地均要有人去，1人只能去一个场地），则有多少种安排方法？ (3)若男､女生各需要2人，4人选出后安排与2名组织者合影留念（站一排），2名女生要求相邻，则有多少种不同的合影方法？ 【解题思路】（1）找对立面，先将总数求出来，后将全男全女减掉就可以了. （2）先选再分组最后分配. （3）捆绑和插空法使用即可解题. 【解答过程】（1）从这11人中任选4人的选法有种， 其中只有男生的选法有种，只有女生的选法有种， 故4人中必须既有男生又有女生的选法有种. （2）从这11人中任选4人的选法有种， 若人数按1，3分配，则安排方法有种， 若人数按2，2分配，则安排方法有种， 所以共有种安排方法. （3）因为男､女生各需要2人，所以选出4人的方法有种. 先排2名男生与2名组织者，有种排法， 再将2名女生“捆绑”在一起，放入5个空档中，有种方法， 所以共有种不同的合影方法. 18．（17分）（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）已知，其中，，，…，，若第二项与第三项的二项式系数之比是； (1)求n的值； (2)求（可用指数形式作答）； (3)若，求该二项式的值被8除的余数. 【解题思路】（1）由已知可得，求解即可； （2）令，，可求的值； （3），利用二项式的展开式可求二项式的值被8除的余数. 【解答过程】（1）第二项与第三项的二项式系数之比是，所以， 即，解得：或（舍）； （2）令，得， 令，得，得 （3）当， 因为8是8的倍数，所以能被8整除， 所以被8除的余数为1. 19．（17分）（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花． (1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？ 【解题思路】（1）由全排列公式求出答案； （2）先选出两个区域种植同一种颜色的花，再考虑其他三种颜色的花，利用分步乘法计数原理得到答案； （3）对区域种植的花的颜色分类讨论，求出各种情况的种植方案数，相加后得到答案. 【解答过程】（1）由全排列可得，共有种不同的种植方案． （2）第一步，先将5个区域选出2个区域种植一种相同颜色的花，共有种方案； 第二步，再将剩余的3种颜色的花种植到剩下的3个区域，共有种方案． 所以共有种不同的种植方案． （3）要把4种不同颜色的花分别种植到这5个区域中，则必然有2个区域种植相同颜色的花． 第一类，区域种植红色的花，4个区域中有2个区域种植其他相同颜色的花， 则相同颜色的花必然种植在或区域，共有种方案． 第二类，区域种植黄色的花，同理可得，共有种方案． 第三类，区域种植蓝色的花，若有2个区域种植白色的花， 则没有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，所以不可能有2个区域种植白色的花， 故2个区域种植的相同颜色的花是红色或黄色的花，共有种方案． 第四类，区域种植白色的花，同理可得，共有种方案． 综上，共有种不同的种植方案． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$