1.3.2 线段的垂直平分线（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

3.2 线段的垂直平分线 第一章 三角形的证明 北师大版八年级数学下册 学习&目标 1.掌握和证明三角形的三条边的垂直平分线的性质定理. 2.已知底边和底边上的高，能用尺规作等腰三角形. 情境&导入 作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？ P 三条边的垂直平分线交于一点P 3 探索&交流 三角形三边的垂直平分线 1— 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 已知：如图,在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线与边BC相交于点P. 求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA＝PB＝PC. P A B C 探索&交流 证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)． 同理PB=PC．∴PA=PC． ∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)． ∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P． 探索&交流 应用格式： ∵ 点 P 为 △ABC 三边垂直平分线的交点， ∴ PA = PB = PC． A B C P 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. ①锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部 探索&交流 ③钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部 ②直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例1.如图，在△ABC中，∠BAC＝52°，O为AB，AC的垂直平分线的交点，连接OB，OC，那么∠OCB＝______． 38° 探索&交流 议一议 (1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？ A1 D C B A a h ( ) D C B A a h A1 D C B A a h A1 可以画出无数个三角形 探索&交流 （2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？ 可以画出无数个三角形 探索&交流 （3）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？ 这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧． 所以满足这一条件的三角形是唯一确定的. 你能尝试着用尺规作出这个三角形吗? 探索&交流 用尺规作已知线段的垂直平分线的方法： 已知：线段AB(如图)． 求作：线段AB的垂直平分线． 作法：①分别以点A和点B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C和点D. ②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线(如图)． 探索&交流 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 应用格式： ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 例题&解析 例题欣赏 ☞ 试一试 例2.已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形. 已知：如图，线段 a，h. 求作：△ABC，使 AB = AC，且 BC = a，高 AD = h. a h 例题&解析 作法: （1）作线段BC=a(如图) （2）作线段BC的垂直平分线m，交BC于点D （3）在m上作线段DA，使DA=h （4）连接AB,AC△ABC为所求的等腰三角形 h a B C A D m 如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？说说你的作法，并与同伴交流. A B m P l (1)先以 P 为圆心，大于点 P 到直线 l 的垂直距离 R 为半径作圆，交直线 l 于A，B. (3)过两交点作直线 l'，此直线为l过 P 的垂线. (2)分别以 A、B 为圆心，大于 R 的长 为半径作圆，相交于 C、D 两点. 议一议 探索&交流 练习&巩固 1 三角形三边的垂直平分线的交点(　　) A．到三角形三边的距离相等 B．到三角形三个顶点的距离相等 C．到三角形三个顶点与三条边的距离相等 D．不能确定 B 练习&巩固 2.如图，等腰△ABC 中，AB = AC，∠A = 20°．线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连接 BE，则∠CBE 等于 ( ) A．80° 　　 B．70° C．60° D．50° C B A D E C 练习&巩固 3. 如图，在△ABC 中，BC = 2，∠BAC ＞ 90°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 E ，AC 的垂直平分线交 BC 于点 F ，请找出图中相等的线段，并求出△AEF 的周长. A B C E F ∴ AE + EF + AF = BE + EF + CF = BC = 2 解：AE = BE，AF = CF. （线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） 小结&反思 1.三角形三条边的垂直平分线交于同一点，这一点叫做三角形的外心． 2.几种三角形三条边的垂直平分线交点的位置情况： (1)锐角三角形三边垂直平分线交于三角形内部； (2)直角三角形三边垂直平分线交于三角形斜边中点； (3)钝角三角形三边垂直平分线交于三角形外部． $$