1.5.2 数量积的坐标表示及其计算课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

湘教版数学必修第二册 第1章 平面向量及其应用 1.5.2 数量积的坐标表示及其计算 首页外框字体为：方正呐喊体 另外使用：方正静蕾简体 1 复习回顾 平面向量基本定理 一组基 基下的坐标 一组基 基下的坐标 标准正交基 复习回顾 向量线性运算的坐标表示 共线向量坐标关系 （1）若 a ＝（ x 1， y 1）， b ＝（ x 2， y 2），则 a ＋ b ＝（ x 1＋ x 2， y 1＋ y 2），即两 个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和. （2）若 a ＝（ x 1， y 1）， b ＝（ x 2， y 2），则 a － b ＝（ x 1－ x 2， y 1－ y 2），即两 个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差. （3）若 a ＝（ x ， y ），λ∈R，则λ a ＝（λ x ，λ y ），即实数与向量的积的坐标等于 用这个实数乘原来向量的相应坐标. （4）设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）， C （ x 3， y 3），则 ＝（ x 2－ x 1， y 2－ y 1）， ＝（ x 3－ x 2， y 3－ y 2） a ， b 共线的充要条件是 x 1 y 2－ x 2 y 1＝0. 复习回顾 向量垂直的判断 向量的数量积 夹角公式 投影 投影向量 模长公式 新知探索 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 探究： 1、向量的数量积 ，∴ 又∵ ∴. 新知探索 2、向量的模 新知探索 3、向量的夹角 4、向量垂直的充要条件 归纳总结 向量的数量积核心知识 平行：a ∥ b ⇔ a ＝λ b （λ∈R， b ≠0）⇔ x 1 y 2－ x 2 y 1＝0 垂直：a ⊥ b ⇔ a · b ＝0⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0 练习巩固 1. 已知向量 a ＝（ x －5，3）， b ＝（2， x ），且 a ⊥ b ，则由 x 的值构成的集合是 （　C　） A. {2，3} B. {－1，6} C. {2} D. {6} 解析：∵ a ⊥ b ，∴2（ x －5）＋3 x ＝0，∴ x ＝2.故选C. 2. 设 a ＝（1，－2）， b ＝（3，1）， c ＝（－1，1），则（ a ＋ b ）·（ a － c ）＝ （　A　） A. 11 B. 5 C. －14 D. 10 解析： a ＋ b ＝（4，－1）， a － c ＝（2，－3），所以（ a ＋ b ）·（ a － c ）＝ 4×2＋（－1）×（－3）＝11.故选A. C A 练习巩固 3. 已知向量 m ＝（1，1），向量 n 与向量 m 的夹角为 ，且 m · n ＝－1，则｜ n ｜＝ （　B　） A. －1 B. 1 C. 2 D. －2 解析： cos ＝ ＝ ＝－ ，｜ n ｜＝1.故选B. B 4. 已知向量 ＝（4，0）， ＝（2，2），则 与 的夹角的大小为 ⁠. 解析： ＝ － ＝（2，2）－（4，0）＝（－2，2），所以 · ＝2× （－2）＋2×2＝0，所以 ⊥ ，即 与 的夹角为90°. 5. 已知向量 a ＝（1， k ）， b ＝（2，2），且 a ＋ b 与 a 共线，那么 a · b ＝ ⁠. 解析：依题意得 a ＋ b ＝（3， k ＋2），由 a ＋ b 与 a 共线，得3× k －1×（ k ＋2） ＝0，解得 k ＝1，所以 a · b ＝2＋2 k ＝4. 90°　 4　 专项研习 研习 1 数量积的坐标运算 [典例1]　已知 a ＝（2，－1）， b ＝（－1，1），则 a · b ＋ b 2＝（　D　） A. 3 B. 5 C. 1 D. －1 [解析]　 a · b ＋ b 2＝2×（－1）＋（－1）×1＋（－1）2＋12＝－2－1＋1＋1＝－1. D 进行数量积运算时，要正确使用公式 a · b ＝ x 1 x 2＋ y 1 y 2， 并能灵活运用以下几个关系： ｜ a ｜2＝ a · a ＝ a 2. （ a ＋ b ）·（ a － b ）＝｜ a ｜2－｜ b ｜2. （ a ＋ b ）2＝｜ a ｜2＋2 a · b ＋｜ b ｜2. 数量积的坐标运算 的常用方法: 专项研习 [练习1]　已知向量 a ＝（2，5）， b ＝（λ，4），若 a ∥ b ，则λ ＝ ⁠. 解析：由题意结合向量平行的充分必要条件可得2×4－λ×5＝0， 解方程可得λ＝ . 　 专项研习 研习 2 向量的模与夹角 [典例2]　若向量 a ＝（2 x －1，3－ x ）， b ＝（1－ x ，2 x －1），则｜ a － b ｜的最 小值为 ⁠. [思路点拨] 将坐标代入｜ a － b ｜的表达式，依据二次函数知识求解. ∵ a ＝（2 x －1，3－ x ）， b ＝（1－ x ，2 x －1）， ∴ a － b ＝（2 x －1，3－ x ）－（1－ x ，2 x －1） ＝（3 x －2，4－3 x ）， ∴｜ a － b ｜＝ ＝ ＝ ， ∴当 x ＝1时，｜ a － b ｜取最小值为 . 　 专项研习 [练习2]　已知向量 a ＝（1，1），2 a ＋ b ＝（4，2），则向量 a ， b 的夹角为（　B　） A. B. C. D. 解析：由于2 a ＋ b ＝（4，2）， 则 b ＝（4，2）－2 a ＝（2，0）， 则 a · b ＝2，｜ a ｜＝ ，｜ b ｜＝2. 设向量 a ， b 的夹角为θ， 则 cos θ＝ ＝ . 又θ∈[0，π]，所以θ＝ . B 易错精讲 [示例] 已知 a ＝（1，－2）， b ＝（1，λ），且 a 与 b 的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围 是（　　） A. （－∞，－2）∪（－2，） B. （，＋∞） C. （－2，）∪（，＋∞） D. （－∞，） [错解]　∵ a 与 b 的夹角θ为锐角， ∴ cos θ＞0，即 a · b ＝1－2λ＞0，得λ＜ ，故选D. 易错精讲 [错因分析]　以上错解是由于思考不全面，由不等价转化而造成的.如当 a 与 b 同向 时，即 a 与 b 的夹角θ＝0°时 cos θ＝1＞0，此时λ＝－2，显然是不合理的. [答案]　A [正解]　∵ a 与 b 的夹角θ为锐角， ∴ cos θ＞0且 cos θ≠1，即 a · b ＞0且 a 不与 b 同向，即 a · b ＝1－2λ＞0，且 a ≠ mb （ m ＞0）， 解得λ∈（－∞，－2）∪（－2， ），故选A. [题后总结]　依据两向量夹角θ的情况，求向量坐标中的参数时，需注意：当θ＝0° 时， cos θ＝1＞0，即 a · b ＞0；当θ＝180°时， cos θ＝－1＜0，即 a · b ＜0.这是解题 过程中容易忽略的情况. 练习巩固 1. 平面向量 a 与 b 的夹角为60°， a ＝（2，0），｜ b ｜＝1，则｜ a ＋2 b ｜＝（　B　） 解析：∵ a ＝（2，0），｜ b ｜＝1，＜ a ， b ＞＝60°， ∴｜ a ｜＝2， a · b ＝2×1× cos 60°＝1. ∴｜ a ＋2 b ｜＝ ＝2 . B 2. 已知向量 a ＝（3，4）， b ＝（2，－1），如果向量 a ＋ xb 与 b 垂直，则实数 x ＝ （　D　） A. B. C. 2 D. － 解析：由于向量 a ＋ xb 与 b 垂直，则（ a ＋ xb ）· b ＝0，所以 a · b ＋ xb 2＝0，代入 可得6－4＋5 x ＝0，解得 x ＝－ . D 练习巩固 3. 已知 a ＝（2，－1）， b ＝（3，－2），求（3 a － b ）·（ a －2 b ）的值. 解：解法一：因为 a · b ＝2×3＋（－1）×（－2）＝8， a 2＝22＋（－1）2＝5， b 2 ＝32＋（－2）2＝13， 所以（3 a － b ）·（ a －2 b ） ＝3 a 2－7 a · b ＋2 b 2 ＝3×5－7×8＋2×13＝－15. 解法二：∵ a ＝（2，－1）， b ＝（3，－2）， ∴3 a － b ＝（6，－3）－（3，－2）＝（3，－1）， a －2 b ＝（2，－1）－（6，－4）＝（－4，3）. ∴（3 a － b ）·（ a －2 b ）＝3×（－4）＋（－1）×3＝－15. 课堂小结 布置作业 练习册对应章节 $$