1.3 向量的数乘-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

湘教版数学必修第二册 第1章 平面向量及其应用 1.3 向量的数乘 首页外框字体为：方正呐喊体 另外使用：方正静蕾简体 1 问题引入 问题：我们可用一把尺子去度量所有线段的长度，也就是把每条线段的长度写成这把尺子的非负实数倍. 如果把某个向量看作一把尺子，能用这把向量尺子去度量平面上的所有向量吗？如果不能，它可以度量平面内哪些向量呢？ 新知学习 向量的数乘 求向量的实数倍的运算称为向量的数乘. 思考：如何确定 的大小与方向？ 我们把向量的加法、减法、数乘运算统称向量的线性运算.（向量线性运算的结果仍是向量） 典例精析 练习巩固 下列运算中正确的个数是（　C　） ①（－3）·2 a ＝－6 a ；②2（ a ＋ b ）－（2 b － a ）＝3 a ；③（ a ＋2 b ）－（2 b ＋ a ）＝0. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析：根据向量数乘运算和加减运算法则知①②正确；③（ a ＋2 b ）－（2 b ＋ a ）＝ a ＋2 b －2 b － a ＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误.所以运算正确的 个数为2.故选C. C 新知学习 共线向量 两个向量平行 规定：零向量与所有的向量平行. 其中一个向量是另一个向量的实数倍 对于线段AB与CD,如果存在实数λ，使得CD=λAB,则AB与CD共线或平行. 典例精析 [典例] 已知 e 1， e 2是两个不共线的向量， a ＝2 e 1－ e 2， b ＝ ke 1＋ e 2，若 a 与 b 是共线向量，则实数 k 的值是 ⁠. 解析：∵ a 与 b 是共线向量，∴存在实数λ使 a ＝λ b 成立，∴2 e 1－ e 2＝λ（ ke 1＋ e 2） ＝λ ke 1＋λ e 2， ∴（2－λ k ） e 1＝（λ＋1） e 2，∵ e 1与 e 2不共线， ∴解得∴ k ＝－2. －2　 利用共线向量定理常解决的三种题型为：①证明三点共线；②利用共线求待定系数； ③判断向量是否共线.在理解应用时要注意以下几点： （1）定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使 b ＝λ a （ a ≠0），则 a 与 b 共线；反之，若 a （ a ≠0）与 b 共线，则必存在一个实数λ，使 b ＝λ a . （2）若 a ， b 不共线，且λ a ＝μ b ，则必有λ＝μ＝0. 练习巩固 已知 ， 是不共线的两个向量，设 ＝λ ＋μ ，且λ＋μ＝1，λ，μ∈R. 求证： M ， A ， B 三点共线. 证明：∵λ＋μ＝1，∴μ＝1－λ， ∴ ＝λ ＋（1－λ） ＝λ ＋ －λ . ∴ － ＝λ（ － ），即 ＝λ （λ∈R）. ∴ 与 共线. 又∵ 与 有公共点 B ，∴ B ， A ， M 三点共线. 新知学习 向量的夹角 如图，设 a ， b 是两个非零向量，任选一点 O ，作 ＝ a ， ＝ b ，则射线 OA ， OB 所夹的最小非负角∠ AOB ＝θ称为向量 a ， b 的夹角，记作＜ a ， b ＞，取值范围规定为[0，π].在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并有＜ a ， b ＞＝＜ b ， a ＞. 新知学习 ①当θ＝0时， a ， b 方向相同；当θ＝π时， a ， b 方向相反，这两种情形下 a ， b 所 在直线重合，即 a ， b 共线. ②当0＜θ＜π时， a ， b 所在直线相交于点 O ，即 a ， b 不共线，特别地，当θ＝ 时， a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b . ③设 a 为任一向量，则规定0∥ a ，0⊥ a . ④向量夹角保证共起点. 典例精析 [典例3]　如图，已知△ ABC 是等边三角形. （1）求向量 与向量 的夹角； [解]　（1）∵△ ABC 为等边三角形，∴∠ ABC ＝60°， 如图，延长 AB 至点 D ，使 AB ＝ BD ， ∴∠ DBC 为向量 与 的夹角. ∵∠ DBC ＝120°， ∴向量 与 的夹角为120°. 练习巩固 若 E 为 BC 的中点，求向量 与 的夹角. [思路点拨]　平移向量，使它们的起点相同，再根据向量夹角的定义及几何图 形的性质进行求解. [解]　（2）∵ E 为 BC 的中点，∴ AE ⊥ BC ， ∴ 与 的夹角为90°. 练习巩固 1. 将 [2（2 a ＋8 b ）－4（4 a －2 b ）]化简成最简式为（　B　） A. 2a－b B. 2b－a C. a－b D. b－a 解析：原式＝ （4 a ＋16 b －16 a ＋8 b ） ＝ [（4－16） a ＋（16＋8） b ] ＝ （－12 a ＋24 b ）＝2 b － a . B 练习巩固 2. 已知向量 a ＝ e 1＋λ e 2， b ＝2 e 1，λ∈R，且λ≠0，若 a ∥ b ，则（　D　） A. λ＝0 B. e2＝0 C. e1∥e2 D. e1∥e2或e1＝0 解析：当 e 1＝0时，显然有 a ∥ b ； 当 e 1≠0时， b ＝2 e 1≠0.又 a ∥ b ， ∴存在实数μ，使 a ＝μ b ，即 e 1＋λ e 2＝2μ e 1， ∴λ e 2＝（2μ－1） e 1. 又λ≠0，∴ e 1∥ e 2. D 练习巩固--易错题 [示例1]　给出下列四个命题： ①若｜ a ｜＝0，则 a ＝0； ②若｜ a ｜＝｜ b ｜，则 a ＝ b 或 a ＝－ b ； ③若 a ∥ b ，则｜ a ｜＝｜ b ｜； ④ a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c . 其中，正确的命题有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ①忽略了0与0的区别， a ＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定； ③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，不一定得到它们的模相等；④当 b ＝0时， a ， c 可以为任意向量，故 a 不一定平行于 c . A 练习巩固 [示例2]　下列命题正确的是（　　） A. 向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa B. 在△ABC中，＋＋＝0 C. 不等式｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜中两个等号不可能同时成立 D. 向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线 [错因分析]　A：忽视了 a ≠0这一条件；B：忽视了0与0的区别， ＋ ＋ ＝0；C：忽视了零向量的特殊性，当 a ＝0或 b ＝0时，两个等号同时成立. [正解]　∵向量 a 与 b 不共线， ∴ a ， b ， a ＋ b 与 a － b 均不为零向量. 若 a ＋ b 与 a － b 平行，则存在实数λ， 使 a ＋ b ＝λ（ a － b ）， 即（λ－1） a ＝（1＋λ） b ， ∴λ无解，故假设不成立， 即 a ＋ b 与 a － b 不平行，故选D. D 练习巩固 1. （多选）已知实数 m ， n 和向量 a ， b ，下列结论中正确的是（　ABD　） A. m（a－b）＝ma－mb B. （m－n）a＝ma－na C. 若ma＝mb，则a＝b D. 若ma＝na（a≠0），则m＝n 解析：易知A和B正确；C中，当 m ＝0时， ma ＝ mb ＝0，但 a 与 b 不一定相等，故 C不正确；D中，由 ma ＝ na ，得（ m － n ） a ＝0，因为 a ≠0，所以 m ＝ n ，故D 正确. ABD 练习巩固 2. 在△ ABC 中， ＝ ＋ ，则 ＝（　B　） A. B. C. D. 2 解析：因为 ＝ ＋ ，所以 － ＝ － ，即 ＝ ，所以 ＝2 ，所以 ＝ ＝ ，故选B. B 课堂小结 布置作业 练习册对应章节 $$