6.2.3向量的数乘运算 学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6．2.3　向量的数乘运算 学案 学习目标 1．了解向量数乘的概念．　 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算．　 3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法． 情境导入 一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？ 新知探究 知识点一　向量的数乘运算 问题引导 　1.如图所示，已知非零向量a作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)．它们的长度和方向分别是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？ 提示：＝＋＋＝a＋a＋a＝3a. ＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a. 显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍；－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍． 知识点总结 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa(a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0. 当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 典例探究 例1　(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各说法中，正确的是(　　) A．当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反 B．当λ＝0时，λa与a是共线向量 C．|λa|＝λ|a| D．当λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同 解析：ABD　对于A，根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确；对于B，当λ＝0时，λa＝0，0与a是共线向量，故B正确；对于D，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa都与a同向，或者都与a反向，所以λa与μa是同向的，故D正确；对于C，|λa|＝|λ||a|，C错误． 变式训练 1．(多选)已知a，b是两个非零向量，则下列说法中正确的是(　　) A．－2a与a是共线向量，且－2a的模是a的模的两倍 B．3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的 C．－2a与2a是一对相反向量 D．a－b与－(b－a)是一对相反向量 解析：ABC　A中，∵－2<0， ∴－2a与a方向相反，两向量共线， 且|－2a|＝2|a|，∴A正确； B中，∵3>0， ∴3a与a方向相同，且|3a|＝3|a|； ∵5>0，∴5a与a方向相同 ，且|5a|＝5|a|， ∴3a与5a方向相同，且3a的模是5a的模的， ∴B正确； C中，按照相反向量的定义可以判断正确； D中，∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b， ∴a－b与－(b－a)为相等向量． ∴D不正确． 知识点二　向量的线性运算 问题引导 　2.实数的乘法满足哪些运算律？ 提示：ab＝ba(交换律)，(ab)c＝a(bc)(结合律)，a(b＋c)＝ab＋ac(分配律)． 知识点总结 1．数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，则有： (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)， λ(a－b)＝λa－λb. 2．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 典例探究 例2　(1)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________． 解析：由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0， 所以x＋3a－4b＝0， 所以x＝4b－3a. 答案：4b－3a (2)(链接教材P14例5)化简下列各式： ①2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； ②[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]． 解：①原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. ②原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b. 变式训练 2．(1)计算： ①(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)； ②(m＋n)(a－b)－(m－n)(a＋b)． 解：①(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b) ＝a－b－a－b＋a＋b ＝(－＋)a＋(－－＋)b ＝0a＋0b＝0. ②原式＝m(a－b)＋n(a－b)－m(a＋b)＋n(a＋b) ＝(m＋n－m＋n)a＋(－m－n－m＋n)b ＝2na－2mb. (2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n. 解：把已知中的两个等式看成关于m，n的方程，联立得方程组 解得 知识点三　向量共线定理 问题引导 　3.如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa(a≠0)? 提示：共线；存在． 4．若A，B，C三点共线，O为直线外一点，且＝x＋y，那么x与y有什么关系？ 提示：x＋y＝1，证明如下： ∵A，B，C三点共线， ∴存在实数λ，使得＝λ， 即－＝λ(－)， ∴＝(1＋λ)－λ， 又＝x＋y， 则x＝1＋λ，y＝－λ， ∴x＋y＝1. 5．若＝x＋y，且x＋y＝1，那么A，B，C三点共线吗？ 提示：共线．证明如下： 由＝x＋y，且x＋y＝1，可得 ＝x＋(1－x) ＝x＋－x 即－＝x(－) 所以＝x， 由向量共线定理，得与共线， 故A，B，C三点共线． 知识点总结 1．向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． 2．向量共线定理的推论 在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(O为平面内直线AB外任意一点)，其中x＋y＝1. 典例探究 例3　设两个非零向量a与b不共线． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)． 求证：A，B，D三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值． 解：(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， 所以＝＋＋＝6a＋6b＝6(a＋b)＝6， 所以与共线． 又与有公共点A，所以A，B，D三点共线． (2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0. ∵a与b不共线，∴ 解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4. 变式训练 3．设向量a，b不平行，向量a＋λb与－a＋b平行，则实数λ＝________． 解析：∵a，b不平行，∴－a＋b≠0. ∵a＋λb与－a＋b平行，∴存在实数μ，使a＋λb＝μ·(－a＋b)，即(1＋μ)a＝(μ－λ)b.∵a，b不平行，∴1＋μ＝μ－λ＝0，∴λ＝－4. 答案：－4 思维提升 　用已知向量表示其他向量 例4　如图所示，已知ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，分别用e1，e2表示，. 解：因为∥，||＝2||， 所以＝2，＝. 则＝＋＝e2＋e1. 因为M，N分别为DC，AB的中点， 所以||＝2||，||＝2||， 则＝＋＋ ＝－－＋ ＝－e1－e2＋e1＝e1－e2. 变式训练 4.(1)如图所示，在□ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a－b　　　 B．a＋b C．a＋b D．a－b 解析：D　因为E是BC的中点，所以＝＝－＝－b，所以＝＋＝＋＝a－b. (2)如图所示，在△ABC中，BD＝2DC．若＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a－b C．a＋b D．a－b 解析：C　由题意可得，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.故选C． 课堂小结 1. 知识网络 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．易错提醒 利用共线向量定理时，要注意其中的条件是a≠0，应用其解决共线问题要注意向量共线与三点共线的区别． 课堂练习 1．(2024·柯坪县校级期末)化简：3(a＋b)＋b－4(a－b)＝(　　) A．2b－a　　　　 B．－a C．6a－b D．8b－a 解析：D　原式＝3a＋3b＋b－4a＋4b＝8b－a.故选D． 2.(多选)(2024·矿区校级月考)如图所示，C，D是线段AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是(　　) A．＝3 B．＝－2 C．＋＝0 D．＝ 解析：ABC　由题意得AB＝3AC，则＝3，A正确；DA＝2DC，则＝2＝－2，B正确；＋＝0，C正确；＝，D错误．故选ABC． 3．(2024·雨花区校级月考)设M是□ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则＋＋＋＝(　　) A． B．2 C．3 D．4 解析：D　如图，＋＝2，＋＝2，∴＋＋＋＝4.故选D． 4．(2024·南海区月考)已知a，b是两个不共线的向量，向量6b－ta，a－3b共线，则实数t的值为________． 解析：因为向量6b－ta，a－3b共线，由向量共线定理可知： 存在实数λ，使得6b－ta＝λ(a－3b)⇒(λ＋t)a＝(6＋3λ)b， 因为a，b是两个不共线的向量，所以λ＋t＝0且6＋3λ＝0， 所以λ＝－2，t＝2. 故答案为2. 答案：2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6．2.3　向量的数乘运算 学案 学习目标 1．了解向量数乘的概念．　 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算．　 3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法． 情境导入 一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？ 新知探究 知识点一　向量的数乘运算 问题引导 　1.如图所示，已知非零向量a作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)．它们的长度和方向分别是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？ 知识点总结 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa(a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0. 当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 典例探究 例1　(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各说法中，正确的是(　　) A．当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反 B．当λ＝0时，λa与a是共线向量 C．|λa|＝λ|a| D．当λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同 变式训练 1．(多选)已知a，b是两个非零向量，则下列说法中正确的是(　　) A．－2a与a是共线向量，且－2a的模是a的模的两倍 B．3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的 C．－2a与2a是一对相反向量 D．a－b与－(b－a)是一对相反向量 知识点二　向量的线性运算 问题引导 　2.实数的乘法满足哪些运算律？ 提示：ab＝ba(交换律)，(ab)c＝a(bc)(结合律)，a(b＋c)＝ab＋ac(分配律)． 知识点总结 1．数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，则有： (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)， λ(a－b)＝λa－λb. 2．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 典例探究 例2　(1)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________． 变式训练 2．(1)计算： ①(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)； ②(m＋n)(a－b)－(m－n)(a＋b)． 知识点三　向量共线定理 问题引导 　3.如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa(a≠0)? 4．若A，B，C三点共线，O为直线外一点，且＝x＋y，那么x与y有什么关系？ 知识点总结 1．向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． 2．向量共线定理的推论 在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(O为平面内直线AB外任意一点)，其中x＋y＝1. 典例探究 例3　设两个非零向量a与b不共线． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)． 求证：A，B，D三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值． 变式训练 3．设向量a，b不平行，向量a＋λb与－a＋b平行，则实数λ＝________． 思维提升 　用已知向量表示其他向量 例4　如图所示，已知ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，分别用e1，e2表示，. 变式训练 4.(1)如图所示，在□ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a－b　　　 B．a＋b C．a＋b D．a－b (2)如图所示，在△ABC中，BD＝2DC．若＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a－b C．a＋b D．a－b 课堂小结 1. 知识网络 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．易错提醒 利用共线向量定理时，要注意其中的条件是a≠0，应用其解决共线问题要注意向量共线与三点共线的区别． 课堂练习 1．(2024·柯坪县校级期末)化简：3(a＋b)＋b－4(a－b)＝(　　) A．2b－a　　　　 B．－a C．6a－b D．8b－a 2.(多选)(2024·矿区校级月考)如图所示，C，D是线段AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是(　　) A．＝3 B．＝－2 C．＋＝0 D．＝ 3．(2024·雨花区校级月考)设M是□ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则＋＋＋＝(　　) A． B．2 C．3 D．4 4．(2024·南海区月考)已知a，b是两个不共线的向量，向量6b－ta，a－3b共线，则实数t的值为________． 学科网（北京）股份有限公司 $$