精品解析：江苏省镇江中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题

2024~2025学年度第一学期期末考试 高二数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A B. C. D. 2. 已知两直线与平行，则 A. B. C. 或 D. 3. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. -3 4. 已知等差数列满足，则数列的前5项和为（ ） A. 15 B. 16 C. 20 D. 30 5. 设椭圆的左､右焦点分别为，，上顶点为B.若，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（ ）． A. B. C. 4 D. 2 7. 已知双曲线，过的右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知数列满足.记数列的前n项和为.若对任意的，都有，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知曲线的方程为．（ ） A. 当时，曲线是半径为2的圆 B. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C. 存在实数，使得曲线为离心率为的双曲线 D. “”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件 11. 设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（ ） A. 时，取最大值 B. C. 若， D. 若时， 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分，请将答案填写在答题卡相应的位置上. 12. 函数在处的切线方程为__________. 13. 若点坐标为，F为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，为使最小，点的坐标应为__________． 14. 在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在正项等比数列中，，． （1）求的通项公式； （2）若，证明是等差数列，并求的前项和． 16 已知圆. （1）若直线与圆相交于两点，弦的中点为，求直线的方程； （2）若斜率为1的直线被圆截得的弦为，以为直径的圆经过圆的圆心，求直线的方程. 17. 已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点. （1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程； （2）求的面积. 18. 已知数列满足：，且对于任意正整数n，均有． （1）证明：等差数列； （2）若，求数列的前n项和． 19. 已知椭圆四个顶点的四边形为菱形，它的边长为，面积为，过椭圆左焦点与椭圆相交于M，N两点（M，N两点不在轴上），直线的方程为：，过点作垂直于直线并交于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标； （3）点为坐标原点，求面积最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期期末考试 高二数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域. 1. 抛物线准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意将抛物线化为标准式，即可求出抛物线的准线； 【详解】因为抛物线方程为，即，所以， 即，所以抛物线的准线为 故选：C 2. 已知两直线与平行，则 A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵直线与平行 ∴，且 ∴ 故选D 点睛：（1）当直线的方程存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意的系数不能同时为零的这一隐含条件； （2）在判断两条直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 3. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的定义可得； 【详解】. 故选：C. 4. 已知等差数列满足，则数列的前5项和为（ ） A. 15 B. 16 C. 20 D. 30 【答案】A 【解析】 分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出，再利用前n项和公式计算作答. 【详解】等差数列中，，解得，而， 所以数列的前5项和. 故选：A 5. 设椭圆的左､右焦点分别为，，上顶点为B.若，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和椭圆的几何性质，得到，进而求得的值，即可求解. 【详解】由椭圆的几何性质，因为，可得， 所以，，则，所以椭圆的方程为. 故选：A. 6. 已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（ ）． A. B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】判断两圆相交，求出两圆的公共弦方程，根据圆的弦长的几何求法，即可求得答案. 【详解】由题意知圆，即圆， 圆心为，半径， 圆，即圆， 圆心为，半径， 则，即两圆相交， 将圆和圆的方程相减， 可得直线的方程为， 则到直线的距离为， 故弦的长为， 故选：A 7. 已知双曲线，过的右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出焦点到渐近线的距离为，由勾股定理求出的边长，再由面积得到的关系，从而求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为： 过的右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，则 所以在中，，所以 则，即 所以，即，所以，故 故选：C 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，属于基础题. 8. 已知数列满足.记数列的前n项和为.若对任意的，都有，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递推关系式结合等比数列通项公式可得，再由裂项相消求和可得，利用数列的函数特性可得. 【详解】由可得, 即数列是以为首项，公比的等比数列， 可得，即； 所以， 因此 ，且当x趋近于+∞时，趋近于， 所以实数k的取值范围为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本函数的导数公式和运算法则逐项求解即可； 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知曲线的方程为．（ ） A. 当时，曲线是半径为2圆 B. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C. 存在实数，使得曲线为离心率为的双曲线 D. “”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】 A.由得到曲线方程判断；B.由得到曲线方程判断；C.根据曲线为离心率为的双曲线，则由判断；D. 利用充分和必要条件的定义判断. 【详解】A.当时，曲线方程为，所以是半径为2的圆，故正确； B.当时，曲线方程为，所以是双曲线，且其渐近线方程为，故正确； C.若曲线为离心率为的双曲线，则，方程无解，故错误； D. 当时，，曲线为焦点在y轴上的椭圆，故不充分，当曲线为焦点在轴上的椭圆时，则，解得，故必要，故正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查曲线与方程，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 11. 设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（ ） A. 时，取最大值 B. C. 若， D. 若时， 【答案】BC 【解析】 【分析】首先根据得到，再依次判断选项即可得到答案. 详解】等差数列中， ∵，∴，解得， 对选项A，因为， 所以， 因为无法确定的正负性，所以无法确定是否有最大值，故A错误， 对选项B，，故B正确， 对选项C，因为，所以，故C正确， 对选项D，，， ∵，∴、，，故D错误， 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分，请将答案填写在答题卡相应的位置上. 12. 函数在处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数可求得切线斜率，结合直线过点可得切线方程. 【详解】，所以切线的斜率为， 所以函数在处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 若点的坐标为，F为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，为使最小，点的坐标应为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点位置和抛物线方程可得焦点和准线，利用抛物线定义可知，当三点纵坐标相同时取最小值，即可求得. 【详解】由以及抛物线可知，点抛物线内部，如下图所示： 抛物线的焦点坐标，准线方程为； 作垂直于准线，垂足为， 由抛物线定义可得，则， 当且仅当三点共线时，取最小值， 此时三点纵坐标相同，所以点的纵坐标为， 代入抛物线方程可得. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】设的中点为，由已知，因此可设，求出点的轨迹方程知点轨迹是圆，从而易得的取值范围． 【详解】设的中点为，因为， 所以，化简得， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以的取值范围是， 从而的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点的轨迹的求法以及点与圆的位置关系中的最值问题，对于圆中的弦长问题，注意通过弦心距进行转化，本题属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在正项等比数列中，，． （1）求的通项公式； （2）若，证明是等差数列，并求的前项和． 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）设的公比为（），然后根据题意列方程可求出，从而可求出； （2）由（1）可得，从而可证得是以2为首项，1为公差的等差数列，进而可求出. 【小问1详解】 设的公比为（），由，得， 解得或（舍去）， 因为，所以． 【小问2详解】 由（1）可知，，则． 因为，所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 故． 16. 已知圆. （1）若直线与圆相交于两点，弦的中点为，求直线的方程； （2）若斜率为1的直线被圆截得的弦为，以为直径的圆经过圆的圆心，求直线的方程. 【答案】（1）（或 （2）或 【解析】 【分析】(1)由条件可得，由此可求直线的斜率，由点斜式求直线的方程；(2)由条件可求到直线的距离，利用待定系数法求直线的方程. 【小问1详解】 圆，得圆心，半径， 直线的斜率：， 设直线的斜率为，有，解得. 所求直线的方程为：.（或 【小问2详解】 直线m被圆C截得的弦EF为直径的圆经过圆心C， ∴ 圆心C到直线的距离为. 设直线方䄇为，则 解得或 直线的方程为：或 17. 已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点. （1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程； （2）求的面积. 【答案】（1）； （2）36 【解析】 【分析】（1）由离心率的定义，点在双曲线上，双曲线的性质列方程组解得双曲线方程，再求出渐近线方程即可； （2）由点斜式得到直线方程，再联立曲线方程得到韦达定理，然后结合三角形的面积公式和弦长公式求出即可； 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为，渐近线方程为. 【小问2详解】 由（1）可得，所以直线的方程为，设， 联立，消去可得， 则，， ， 所以， 所以的面积为36. 18. 已知数列满足：，且对于任意正整数n，均有． （1）证明：为等差数列； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）将式子化简两边同时除以，可得可得出证明； （2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可求得. 【小问1详解】 证明：根据题意由可得， 所以可得，即为定值； 因此是首项为，公差为的等差数列； 【小问2详解】 由（1）可得，即； 所以， 可得， 所以， 两式相减可得： ， 所以可得， 可得数列的前n项和. 19. 已知椭圆四个顶点的四边形为菱形，它的边长为，面积为，过椭圆左焦点与椭圆相交于M，N两点（M，N两点不在轴上），直线的方程为：，过点作垂直于直线并交于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标； （3）点为坐标原点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）根据题意设直线及交点坐标，联立方程结合韦达定理，表示出直线方程，再另求出即可； （3）进而可得面积为，换元，构建新函数，利用导数判断单调性求最大值. 【小问1详解】 由题意可得：，解得， 椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）可得：，即， 由题意可设直线，则， 联立方程，消去x可得：， ∴，则， ∴直线的斜率，则直线的方程为． 令，则可得， 即直线过定点． 【小问3详解】 ∴面积为， 令，则， 令， 令，由对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以，所以，即， ∴面积的最大值为． 【点睛】思路点睛： ①利用韦达定理得出两者之间的关系，并利用该关系证明直线过定点； ②求面积最大值时，因为使用基本不等式时等号成立条件不满足，所以利用导数求其最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$