第十七章 勾股定理 重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第十七章 勾股定理 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：勾股定理本章全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（   ） A．4，5，6 B．2，3，4 C．5，3，4 D．1，2，3 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为（　　） A．3 B． C．5 D． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 6．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图1是一台手机支架，图是其侧面示意图，可分别绕点转动，当转动到，时，点在的延长线上，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的内壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（   ）    A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，点是边上的中点，点是边上的一个动点，连接，将沿翻折得到．当时，则长为（   ） A． B． C． D．3 9．（24-25八年级上·重庆·期末）在如图所示的三角形纸片中，点，分别在边，上，把沿着折叠，点落在线段上的点处；再把沿折叠，点与点重合．若，，则纸片的面积是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，等腰中，，，动点在边上，点关于、的对称点分别为点、，连接，分别交、于点、． 甲：我发现线段的最大值为2，最小值为； 乙：我连接，，发现的大小不变，始终是． 则下列判断正确的是（　　） A．甲对乙对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲错乙错 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（24-25九年级上·黑龙江·期中）直角三角形斜边长是10，一直角边的长是6，则此直角三角形的面积为 ． 12．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，点E在正方形的边上，若，则正方形的面积为 ． 13．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别记为、，则 ．（结果保留π） 14．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知、、为的三边，且，则的形状是 ． 15．（24-25九年级上·山西晋中·期末）母亲节前，小敏准备制作一个如图1所示的正方体礼品盒包装好礼物后送给妈妈．他在如图2所示正方形纸板上设计出正方体纸盒的平面展开图，再进行裁剪折叠即可完成．已知正方形纸板边长为10分米，则这个礼品盒的边长 分米． 16．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，今有一根长的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为 ． 17．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为 ． 18．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，点是的中点，，点是射线上的一个动点，则当为直角三角形时，的长为 ． 三、解答题（8小题，共66分） 19．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知一个直角三角形的两直角边的长是和，求这个直角三角形的斜边长． 20．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，（图中的、、、在同一平面上），测得，．求的长． 21．（24-25八年级上·吉林·期末）如图的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．其中点，均在格点上． 请在给定的网格中按要求作图． (1)在图中，以格点为顶点，画出一个为等腰三角形，且为锐角三角形； (2)在图中，以格点为顶点，画出一个为等腰三角形，且为直角三角形； (3)在图中，以格点为顶点，画出一个为等腰三角形，且为钝角三角形，请在边上找到一点，使的面积等于面积的． 22．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）下图是“梦起航”游乐场的部分平面图，摩天轮和淘气堡均在入口的正北方向，入口和出口在同一条直线上，，测得，，． (1)求摩天轮到淘气堡的距离； (2)现要在距离摩天轮45m的处修建游乐项目旋转木马，点，，在同一条直线上，此时恰好，求淘气堡到旋转木马的距离． 23．（24-25九年级上·江西新余·期末）如图①，在中，，，过点作直线的垂线交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长； (3)如本题图②，过点作的角平分线交于点，点关于直线的对称点为，试探究线段与之间的数量关系，并对结论给予证明． 24．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）已知中，，，，、是边上的两个动点，中点从点开始沿方向运动且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为秒．      (1)当秒时，点到的距离是________； (2)当时，________； (3)若将周长分为两部分，直接写出的值． 25．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，若、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离， 如图，过分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，， ， (1)平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式为： __________； (2)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为__________； (3)利用上面公式，在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，则的最小值和此时点的坐标； (4)应用两点间的距离公式，求代数式的最小值． 26．（24-25八年级上·江苏常州·期中）定义：若两个等腰三角形的顶角之和等于，则称这两个等腰三角形互为“友好三角形“，这两个顶角的顶点互为”友好点“．    (1)已知与互为“友好三角形”，点B和点E互为“友好点”． ① 若一个内角为，则 ° ② 若一个内角为，则_____ (2)如图1，直线．直线与之间的距离为2，直线与的距离4．A，B为直线上两点，O为直线上一点，C，D为直线上两点，与互为“友好三角形”， 0为与的友好点．，，求的值． (3)在（2）的条件下，与大小保持不变，将绕着点O顺时针旋转一定角度到如图（2）位置，则旋转过程中，判断的值是否变化？并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：勾股定理本章全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（   ） A．4，5，6 B．2，3，4 C．5，3，4 D．1，2，3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，构成三角形的条件；掌握勾股定理的逆定理是关键；按照勾股定理的逆定理及构成三角形条件，逐项判断即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、，能构成直角三角形，故符合题意； D、，这三条线段不能构成三角形，故不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用数形结合的思想是解题关键．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数． 【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为， ∴点A处所表示的数为． 故选：B． 3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为（　　） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，直接根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为， 故选：D． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理，利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 5．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解决本题的关键．证出，设，则，在直角中利用勾股定理即可列方程求得的值，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】∵四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则， 则． 故选B． 6．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图1是一台手机支架，图是其侧面示意图，可分别绕点转动，当转动到，时，点在的延长线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，过点作于，可得，即得，得到，又可得，得到，最后根据线段的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的内壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短距离，将杯子侧面展开，连接，则的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，利用勾股定理求出即可求解，找出蚂蚁到达蜂蜜的最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，连接，则的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， 由题意得，，，， ∴， ∴蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为， 故选：．    8．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，点是边上的中点，点是边上的一个动点，连接，将沿翻折得到．当时，则长为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 9．（24-25八年级上·重庆·期末）在如图所示的三角形纸片中，点，分别在边，上，把沿着折叠，点落在线段上的点处；再把沿折叠，点与点重合．若，，则纸片的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换、三角形的面积， 根据沿着折叠，点落在线段上的点处，可得，，，根据沿折叠，点与点重合，可得，，，在和中，根据勾股定理求得，即可得解．解决本题的关键是掌握翻折变换的性质． 【详解】解：∵沿着折叠，点落在线段上的点处，，， ∴，，， ∵沿折叠，点与点重合， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在和，， ∴， 解得：， ∴， ， ∴， ∴纸片的面积是． 故选：B． 10．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，等腰中，，，动点在边上，点关于、的对称点分别为点、，连接，分别交、于点、． 甲：我发现线段的最大值为2，最小值为； 乙：我连接，，发现的大小不变，始终是． 则下列判断正确的是（　　） A．甲对乙对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲错乙错 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质可知，，，易证明，，得是等腰直角三角形，结合勾股定理得，当最小时，即；当最大时，即点与点重合；同理证明，，得，，即可作答． 【详解】解：连接，，，，，如图： 因为动点在边上，点关于、的对称点分别为点、， 所以，，， 则，， 所以，， 因为等腰中，，， 所以， 即， 因为， 所以是等腰直角三角形， 则， 当最小时，即，此时， 所以的最小值为； 当最大时，即点与点重合，，此时， 所以； 故甲对； 因为，动点在边上，点关于、的对称点分别为点、， 所以，，，，， 则，， 所以，， 因为， 则， 故乙对， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的性质等知识，解题的关键证明是等腰直角三角形． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（24-25九年级上·黑龙江·期中）直角三角形斜边长是10，一直角边的长是6，则此直角三角形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理得出另一条直角边，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵直角三角形斜边长是10，一直角边的长是6， ∴另一条直角边为：， 则此直角三角形的面积为：， 故答案为：24． 12．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，点E在正方形的边上，若，则正方形的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理求出即可得到结果． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， 正方形的面积， 故答案为：5． 13．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别记为、，则 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】根据题意，得，，根据勾股定理，得，代入解答即可． 本题考查了圆的面积，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知、、为的三边，且，则的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查了非负数的性质、勾股定理逆定理、等腰三角形的定义等知识点，利用非负数的性质得出a、b、c之间的关系是解题的关键． 由非负数的性质得出，进而得出的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的形状为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 15．（24-25九年级上·山西晋中·期末）母亲节前，小敏准备制作一个如图1所示的正方体礼品盒包装好礼物后送给妈妈．他在如图2所示正方形纸板上设计出正方体纸盒的平面展开图，再进行裁剪折叠即可完成．已知正方形纸板边长为10分米，则这个礼品盒的边长 分米． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，准确识图，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．依题意得EF为这个礼品盒的边长，设分米，则分米，分米，进而得分米，分米，同时分米，由此得，由此解出，进而可得 【详解】解：如图所示： 设分米， 依题意得：和均为等腰三角形，正方形的边长为分米， 分米，分米， 在中，由勾股定理得：（分米）， 在中，由勾股定理得：（分米）， 又（分米）， ， 解得：， （分米）， 即这个礼品盒的边长为分米． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，今有一根长的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答． 【详解】解：如图所示：是直角三角形， ∵底面半径为半径为，高为， ， 由勾股定理得：， ∴吸管露在杯口外的长度最少为：， 答：吸管露在杯口外的长度最少2厘米， 故答案为：2． ． 17．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等腰三角形是解题的关键．延长到，使得，连接，过点作交于点，则得出，再证明，求出、的长，最后由勾股定理求出的长与的长即可． 【详解】解：延长到，使得，连接，如图所示： ， ， ，， ， 如上图，过点作，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 18．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，点是的中点，，点是射线上的一个动点，则当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】分四种情况：①当点在的下方，且时，②当点在下方，且时，③当点在上方，且时，当点在上方，且时，根据等边三角形的判定与性质、勾股定理求解即可得． 【详解】解：①如图，当点在的下方，且时， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②如图，当点在下方，且时， ， ， ， ， ； ③如图，当点在上方，且时， ， ， ， ； 如图，当点在上方，且时， ∵为的中点，， ∴， ∵， 是等边三角形， ； 综上，的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、等边三角形的判定与性质，正确分四种情况讨论是解题关键． 三、解答题（8小题，共66分） 19．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知一个直角三角形的两直角边的长是和，求这个直角三角形的斜边长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，理解在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方是解答关键． 利用勾股定理来计算求解． 【详解】解：由勾股定理得 斜边的长为：． 20．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，（图中的、、、在同一平面上），测得，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，结合勾股定理建立方程是正确解决本题的关键． 设的长为，由建立方程即可求解． 【详解】解∶设的长为，则， ， ， ，， 中，，即， 解得， 答∶ 的长为． 21．（24-25八年级上·吉林·期末）如图的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．其中点，均在格点上． 请在给定的网格中按要求作图． (1)在图中，以格点为顶点，画出一个为等腰三角形，且为锐角三角形； (2)在图中，以格点为顶点，画出一个为等腰三角形，且为直角三角形； (3)在图中，以格点为顶点，画出一个为等腰三角形，且为钝角三角形，请在边上找到一点，使的面积等于面积的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理与网格的计算，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，三角形的分类，勾股定理的应用，进行解答，即可． （1）根据等腰三角形的定义，勾股定理的应用，作图，即可； （2）根据等腰三角形的定义，勾股定理的应用，作图，即可； （3）根据等腰三角形的定义，勾股定理的应用，三角形的面积，作图，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ 为等腰三角形且为锐角三角形； ∵，， ∴ 为等腰三角形且为锐角三角形； ∴即为所求（答案不唯一）． （2）解：∵，，， ∴， ∴为等腰三角形，且为直角三角形； ∵，，， ∴， ∴为等腰三角形，且为直角三角形； ∴即为所求（答案不唯一）． （3）解：∵，， ∴为等腰三角形，且为钝角三角形， ∵，， ∴的面积等于面积的； ∴点即为所求． 22．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）下图是“梦起航”游乐场的部分平面图，摩天轮和淘气堡均在入口的正北方向，入口和出口在同一条直线上，，测得，，． (1)求摩天轮到淘气堡的距离； (2)现要在距离摩天轮45m的处修建游乐项目旋转木马，点，，在同一条直线上，此时恰好，求淘气堡到旋转木马的距离． 【答案】(1)75m (2)60m 【分析】本题考查了勾股定理解三角形的应用． （1）根据已知角度和边长，利用三角函数求出长度，进而得出摩天轮到淘气堡的距离； （2）先根据已知条件求出其他线段长度，再利用勾股定理求出淘气堡到旋转木马的距离． 【详解】（1）， ． ，， ． ，点，均在点的正北方向，即点，，在同一条直线上， ． 答：摩天轮到淘气堡的距离为 （2）； ， ，， ， 答：淘气堡到旋转木马的距离为60m． 23．（24-25九年级上·江西新余·期末）如图①，在中，，，过点作直线的垂线交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长； (3)如本题图②，过点作的角平分线交于点，点关于直线的对称点为，试探究线段与之间的数量关系，并对结论给予证明． 【答案】(1)； (2)； (3)，证明见解析 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出，再由，即可得出答案； （2）作于，由含角的直角三角形的性质得，再由等腰直角三角形的性质得，从而求出的长； （3）作于，设，则，，，则，由点关于直线的对称点为，得，可表示出的长，从而得出结论． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ； （2）解：作于， ， ， ， ， ； （3）解：． 理由如下：作于， ，， ， 设，则，，， ， ， 点关于直线的对称点为， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，用的代数式表示各线段长，从而发现线段之间的数量关系是解题的关键． 24．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）已知中，，，，、是边上的两个动点，中点从点开始沿方向运动且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为秒．      (1)当秒时，点到的距离是________； (2)当时，________； (3)若将周长分为两部分，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了勾股定理，三角形与动点问题，实际问题与一元一次方程，解题中运用分类思想，正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键． （1）根据勾股定理求得的长度，进而求得，连接，过点作于点，再由三角形的面积公式建立等式求解，即可解题； （2）由题知，，由勾股定理求出，根据建立等式求解，即可解题； （3）根据将周长分为两部分，分两种情况①在上运动，②在上运动，讨论求解，即可解题； 【详解】（1）解：，，， ， 由题知，当秒时，， 连接，过点作于点， 即， 解得， 点到的距离是， 故答案为： （2）解：由题知，，， ， 当时， 可得 整理得， 解得， 故答案为： （3）解：将周长分为两部分， ，， ①在上运动， 由题知，，，，，， ， 解得； ②在上运动， ， ， 解得 综上所述，的值为或； 25．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，若、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离， 如图，过分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，， ， (1)平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式为： __________； (2)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为__________； (3)利用上面公式，在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，则的最小值和此时点的坐标； (4)应用两点间的距离公式，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)最小值是， (4) 【分析】（）根据题意即可求解； （）利用两点间距离公式计算即可； （）作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，可知此时的值最小，利用两点间距离公式可求出的最小值，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而可求出点的坐标； （）由原式，可得原式表示点到点和的距离之和，由两点之间线段最短，可知当点在以点和为端点的线段时，代数式的值最小，进而利用两点间距离公式即可求解 本题考查了两点间距离公式，轴对称的性质，两点之间线段最短，掌握两点间距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）解：作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小， ∵， ∴的最小值为， 设直线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴； （4）解：∵原式， ∴原式表示点到点和的距离之和， 由两点之间线段最短，可知当点在以点和为端点的线段时，代数式的值最小， ∴最小值． 26．（24-25八年级上·江苏常州·期中）定义：若两个等腰三角形的顶角之和等于，则称这两个等腰三角形互为“友好三角形“，这两个顶角的顶点互为”友好点“．    (1)已知与互为“友好三角形”，点B和点E互为“友好点”． ① 若一个内角为，则 ° ② 若一个内角为，则_____ (2)如图1，直线．直线与之间的距离为2，直线与的距离4．A，B为直线上两点，O为直线上一点，C，D为直线上两点，与互为“友好三角形”， 0为与的友好点．，，求的值． (3)在（2）的条件下，与大小保持不变，将绕着点O顺时针旋转一定角度到如图（2）位置，则旋转过程中，判断的值是否变化？并说明理由． 【答案】(1)① 80  ② 或 (2)80 (3)不变，见解析 【分析】（1）① 根据是等腰三角形，且一个内角为，得到顶角为，根据定义，得． ② 根据题意，得是等腰三角形，且一个内角为，当得；当时，，此时． （2）过点O作于点E，于点F，确定，，，，重合为一条直线，证明，，结合，计算即可． （3）延长到点N，使得，连接，证明，即可． 【详解】（1）① 解：∵是等腰三角形，且一个内角为， ∴顶角为， 根据定义，得． 故答案为：80． ② 解：根据题意，得是等腰三角形，且一个内角为， 当，根据定义，得； 当时，，此时． 故答案为：或． （2）解：过点O作于点E，于点F， ∵直线．直线与之间的距离为2，直线与的距离4， ∴，，， ∵经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴，重合为一条直线， ∵与互为“友好三角形”， 为与的友好点． ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴．    （3）解：不变，理由如下： 延长到点N，使得，连接， ∵与互为“友好三角形”， 为与的友好点． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故， ∴， ∴． ．   【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握全等和勾股定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$