专题01 勾股定理重难点题型专训（14大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题01 勾股定理重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 勾股定理的证明方法 题型二 以弦图为背景的计算题 题型三 勾股定理的基本计算 题型四 利用勾股定理求长度 题型五 利用勾股定理求面积 题型六 勾股定理与无理数 题型七 用勾股定理解三角形 题型八 勾股定理中的最值问题 题型九 勾股数问题 题型十 以直角三角形三边为边长的图形面积问题 题型十一 勾股定理与网格问题 题型十二 勾股定理与折叠问题 题型十三 利用勾股定理证明线段平方关系 题型十四 用勾股定理构造图形解决问题 知识点一：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【经典例题一 勾股定理的证明方法】 【例1】（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是（    ） A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】在①选项中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故①不能说明勾股定理； 在②选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故②可以证明勾股定理； 在③选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故③可以证明勾股定理； 在④选项中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故④可以证明勾股定理． ∴能证明勾股定理的是②③④． 故选：D． 1．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质的应用、勾股定理的证明、平行线的性质、完全平方公式、梯形和三角形的面积等知识，证明三角形全等以及发现图形中的边角关系是解答的关键．根据全等三角形的判定可判断①正确；再根据全等三角形的性质和平角定义可判断②正确；根据梯形的面积公式可判断③正确；根据可判断④正确，综合即可作出选择． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，，，， ∴四边形的面积是，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故④正确， 综上，正确的结论有4个， 故选：C． 2．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是证明了勾股定理和对勾股算术算法进行了推广．书中的证明方法是将4个三边长分别为，，的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线，用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图2，延长交_____①_____于点． 用两种不同的方法表示五边形的面积： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则_____②_____． 方法二：将五边形看成是由_____③_____，正方形，，拼成，则． 根据面积相等可以得到_____④_____，即．         　 则下列说法错误的是（    ） A．①代表 B．②代表 C．③代表正方形 D．④代表 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据题意用两种方法表示出S，然后根据两种表示方法表示的相等，即可得到结论． 【详解】解：如图所示，延长交于G， 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则； 方法二：将五边形看成是由正方形，正方形，，拼成，则 ， 根据面积相等可以得到，即， 故选：C． 3．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形的面积为25，正方形的面积为1，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】用含有的代数式分别表示小正方形及大正方形的边长，然后根据面积关系得出与的关系式，依次判断所给关系式即可． 【详解】解：由题意可得小正方形的边长＝1，大正方形的边长＝5， 斜边2＝大正方形的面积， 故①正确； ∵小正方形的边长为1， ， 故②正确； ∵小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积， ， ， 故③正确； ， 故④不正确． 综上可得①②③正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用等知识，根据所给图形，利用面积关系判断与的关系是解答本题的关键． 【经典例题二 以弦图为背景的计算题】 【例2】（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边．下列说法正确的有（　　） ①    ②    ③    ④ A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据勾股定理，可判断①正确，如图可判断②正确，根据：大正方形面积4个直角三角形面积小正方形面积，可判断④错误，由，可判断③正确， 本题考查了，勾股定理的证明方法，解题的关键是：从图中提取信息，列出等量关系式． 【详解】解：∵大正方形面积为49，小正方形面积为4， ∴大正方形边长为7，小正方形边长为2， 由勾股定理可得：，故①正确， ∵4个全等直角三角形， ∴，故②正确， ∵大正方形面积4个直角三角形面积小正方形面积， ∴，整理得：故④错误， ∵， ∴，故③正确， 综上所述，①②③正确， 故选：． 4．（24-25七年级上·山东东营·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中的较短直角边长为，较长直角边长为，，且中间小正方形的面积为5，则大正方形的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， 得， ∴大正方形的面积， 故答案为：9． 5．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”、由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为，，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了以赵爽弦图为背景的勾股定理的证明，理解正方形的面积，全等三角形面积相等是解题的关键． 根据题意，是4个全等的三角形，设每个的面积为，由此可得，根据，即可求解． 【详解】解：正方形，正方形，正方形的的面积分别为，，，是4个全等的三角形，设每个的面积为， ∴， ∴， 故答案为：8 ． 6．（24-25九年级上·贵州安顺·期末）第十四届国际数学教育大会于2021年在上海举办，其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法探究下列问题： (1)如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：； (2)如图3，在中，，是边上的高，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理、以弦图为背景的计算题、等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先用两种方法表示出图形的面积，然后整理即可； （2）由勾股定理可得，再运用等面积的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵外面大正方形的面积，里面小正方形的面积个直角三角形的面积， ∴，整理，得． （2）解：在中，，， 由勾股定理，得：， 是边上的高， ， ∴． 【经典例题三 勾股定理的基本计算】 【例3】（23-24八年级下·湖北十堰·期末）在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和4，则斜边上的中线长是（    ） A．2 B． C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边的中线，关键是掌握勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 由勾股定理求出直角三角形斜边长为，由直角三角形斜边上中线的性质即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得到：直角三角形斜边长， ∴直角三角形斜边上的中线长． 故选：B． 7．（24-25八年级上·上海·期末）如图，中，，，．求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，设，则，在和中，由勾股定理得出方程，解得，则，再由勾股定理求出的长，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， ， 即的面积为． 8．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，，且，求的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用和在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半的性质等知识点，由在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可求出的值，由,可得的长，再利用勾股定理即可求出的值． 【详解】解：, , , , , , ． 9．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，在中，于点D，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，掌握勾股定理是解答本题的关键． 由勾股定理可求出，由面积法可求解． 【详解】解：在中， ∴， ∵ ∵ ∴， ∴． 【经典例题四 利用勾股定理求长度】 【例4】（23-24八年级下·重庆大渡口·期末）在中，，，点是内一点，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，延长，过点C作于点E，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，，求出，根据勾股定理求出，． 【详解】解：延长，过点C作于点E，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故选：A． 10．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图，中，．    (1)作的角平分线交于点（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了作角平分线、以及角平分线的性质定理、勾股定理解，题的关键在于作出角平分线并熟练应用性质定理是解题的关键． （1）先以A为圆心，任意长长为半径画弧，交，于H、F；再分别以H、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，最后画射线交于D； （2）过点D作DE⊥AB，角平分线的性质定理得，然后利用勾股定理求出，然后利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求；    （2）    作于E，如图， ∵为角平分线， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E，F，，垂足为G． (1)求证：． (2)若厘米，厘米，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8厘米 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义可得，从而得出，，由角平分线的定义可得，即可得证； （2）结合对顶角相等可得，由等角对等边可得厘米，由角平分线的性质定理可得厘米，再由勾股定理可得厘米，即可得解． 【详解】（1）证明：由题意得：，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴厘米， ∵平分，，， ∴厘米， ∵， ∴， ∴， ∴厘米， ∴厘米． 12．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，点是边上一点． (1)在外求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，试求出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图-作角等于已知角、尺规作图-作线段等于已知线段、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出图形是解题关键． （1）首先作，然后在射线上取点，使得，即可获得答案； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，再证明，进而由勾股定理可得，然后证明为直角三角形，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如下图，点即为所求； （2）解：连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，，即， ∴． 【经典例题五 利用勾股定理求面积】 【例5】（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为（    ） A．4 B．5 C．10 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．理解以直角三角形两直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形面积是解决此题的关键．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积． 【详解】解：如图 根据勾股定理得到：正方形C与D的面积的和是正方形P的面积；正方形A与B的面积的和是正方形Q的面积；而正方形P，Q的面积的和是正方形M的面积． 正方形M的面积为， 正方形A，B，C，D的面积的和为25． 故选：D． 13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，． (1)求证：； (2)作交于点，若，的周长为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由线段的垂直平分线得到，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，进而根据等量代换可得，即可得出； （2）由等腰三角形得到，那么的周长，化为，即可得出，进而勾股定理求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴的周长， ∵， ∴． ∴ ∴的面积为 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，三等腰三角形的性质于判定，三角形的外角的性质，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键． 14．（24-25八年级上·江西抚州·期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)若三边长分别是2，和4，则此三角形______常态三角形（填“是"或“不是”）； (2)在中，，，若是常态三角形，则______． (3)如图，在中，，，点D在线段上，连接且，若是常态三角形，求的面积． 【答案】(1)是 (2) (3)的面积为或 【分析】本题是三角形的综合题，考查了勾股定理，三角形的面积，新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据常态三角形的定义判定即可； （2）根据常态三角形的定义以及勾股定理即可求解； （3）根据常态三角形的定义得出等式求出的长，再由勾股定理即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形． 故答案为：是； （2）∵是常态三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：当时， ∵， ∴， 在中，， 此时， 当时， ∵， ∴， 在Rt△ABC中，， 此时， 故的面积为或． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【建立模型】 （1）如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点F． 求证：，并直接写出的度数． 【应用模型】 （2）①如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，，求证：． ②如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接，若，，求的面积．    【答案】（1）证明见解析，；（2）①见解析；② 【分析】（1）根据都是等边三角形，得出，由，证明，易证，即可得出结论；再通过三角形外角的性质结合全等三角形的性质即可求出的度数； （2）①根据角平分线的定义得到，再结合，，证明，得到，再证明，推出，得到，即可得出结论；②先证明，推出，求出，利用勾股定理求出，设，则，在中，求出，再根据的面积为即可解答． 【详解】（1）证明：都是等边三角形， ∴，， ，即， ， ； ∵， ， ∵， ； （2）①证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵和都是等腰三角形，， ∴， ，即， ， ； ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点C恰好在延长线上， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， ∴的面积为． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，证明三角形全等时解题的关键． 【经典例题六 勾股定理与无理数】 【例6】（23-24八年级下·辽宁营口·期末）如图，数轴上点，表示的数分别是，，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴，先由勾股定理可求得的长，从而得到的长，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，，，，， ， ， ， 由勾股定理得：． ． 则点表示的数是， 故选：B． 16．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴； 利用勾股定理求出，可得的长，然后根据数轴可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴点D表示的数为， 故选：C． 17．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，为数轴原点，，两点分别对应，，作腰长为的等腰，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点对应的实数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，实数与数轴，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键． 先利用数轴的性质，得到，再根据等腰三角形的性质得到，，由勾股定理得到，最后利用画法得到，即可得到答案． 【详解】解：为数轴原点，A，B两点分别对应、3， ， 是腰长为4的等腰三角形， ，， ， 以O为圆心，长为半径画弧交数轴于点M， ， 点M对应的实数为． 故答案为：． 18．（24-25七年级上·浙江台州·期中）教材上有这样一个合作学习活动：如图，依次连结方格四条边的中点，，，，得到一个阴影正方形，设每一小方格的边长为，得到阴影正方形面积为： (1)发现图这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是_______，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法； (2)如图，以个单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于，两点，则点表示的数为_______； (3)如图，网格是由个边长为的小方格组成，画出面积是的正方形，使它的顶点在网格的格点上． 【答案】(1) (2) (3)图见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数等知识点，利用勾股定理表示出无理数是解题的关键． （）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长； （）由小正方形对角线长为可得，原点与之间的距离为，从而可得到点表示的数； （）根据大正方形的面积为，作边长为的正方形即可． 【详解】（1）解：∵阴影正方形的边长就是小方格的对角线长， ∴小方格对角线长等于， 故答案为：； （2）解：如图，小正方形的对角线长为， ∴原点与之间的距离为， ∴点表示的数为， 故答案为：； （3）解：∵大正方形的面积是， ∴小长方形的对角线长为， 作图如下： 阴影部分即为面积是的正方形． 【经典例题七 用勾股定理解三角形】 【例7】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分，平分，且交于，若，则等于（    ） A．6 B．25 C．36 D．49 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、勾股定理、等角对等边，由角平分线的定义得出，，求出，由平行线的性质得出，，得到，，求出，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 19．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）（1）是等边三角形，E是边上的一点，以为边作等边，如图1．求证： ①； ②；    （2）是边长为2的等边三角形，E是边上的一个动点，以为边作等边，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，则的最小值为_______． 【答案】（1）①见详解；②见详解；（2） 【分析】（1）①先证明，进而即可得到结论；②根据全等三角形的性质和等边三角形的性质即可证明； （2）连接，过点作交的延长线于点，证明，可得，从而得，即点在射线上运动， 再根据直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）①∵和是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ； ②∵， ， （2）连接，过点作交的延长线于点，    由（1）可得， ， ， ， ，即点在射线上运动， 又点在处时，，点在处时，点与重合． ∴点运动的路径的长， ∵， ∴， ∴， 即则的最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，平行线的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 20．（23-24八年级上·河南·阶段练习）（1）如图1，都是等边三角形，点在边上，连接，则的度数为______． （2）如图2，都是等腰直角三角形，，点在边上，连接，请判断的度数及线之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，连接，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2），，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形全等的性质和判定，构建全等三角形是关键． （1）根据等边三角形性质利用证明，可得； （2）根据等腰直角三角形性质利用证明，可得；，进而可得，再利用勾股定理即可得到结论； （3）如图，延长至点，使，由，则，可得，进而可证，推出，再根据图形面积之间的关系可得结果． 【详解】解：（1）∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2），，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ，， ∴， ∴, ∴． （3）如图，延长至点，使 ∵， ∴ ∵ ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴。 21．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容． 把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点、、在同一条直线上，利用此图的面积表示式证明勾股定理． (1)请结合图①，写出完整的证明过程； (2)如图②，等腰直角三角形，，，是射线上一点，以为直角边在边的右侧作，使，．过点，作于点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）先证是等腰直角三角形，由面积和差关系可得，再用三角形边长表示，进而整理变形即可得结论； （2）由等腰直角三角形的性质可求，由可证，可得，，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴=， ∴． （2）解：如图②，过点作于， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【经典例题八 勾股定理中的最值问题】 【例8】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，由勾股定理求出，如图所示，在上截取，连接，证明得到，则可推出当共线且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：，，， ． 如图所示，在上截取，连接，     ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当共线且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴此时有， ， 即的最小值为． 故选：A． 22．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，点、、都在方格纸的格点上，方格纸中每个小正方形的边长均为，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，并保留画图痕迹． (1)画出与关于直线对称的； (2)的面积为________； (3)在直线上标出点，使最小，最小值________； (4)在直线上标出点，使点到、的距离相等． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)； (4)见解析 【分析】本题主要考查作图﹣轴对称变换，线段垂直平分线的判定及三线合一，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及轴对称﹣最短路线问题． （1）分别作出点、、关于直线的对称点，再顺次连接可得； （2）利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可； （3）连接交直线于点，再计算的值即可． （4）取格点，连接交直线于点，则为所求作的图形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：的面积； 故答案为：； （3）解：如图，点即为所求． ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴，根据两点之间线段最短，即可得到的最小值为． 此时．即的最小值为． 故答案为：； （4）解∶如图，点即为所求． 理由如下：连接，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴平分， ∴点到、的距离相等． 23．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．        (1)为方便村民出行，计划在公路l上新建一个公交站点 P，要求该站到村庄、的距离相等，在图1中用直尺和圆规作出点 P （不写作法． 保留作图痕迹）； (2)为了方便运输两村的垃圾，现计划在公路l上建一个垃圾中转站M，要求该垃圾中转站到村庄、的距离之和最小． ①在图2中作出点 ； ②该垃圾中转站建成后， ． 【答案】(1)图见解析； (2)①图见解析；②5 【分析】本题考查作图应用与设计作图，设计勾股定理及应用． （1）连接，作的垂直平分线交于，点即为所求； （2）①作关于直线的对称点，连接交直线于，此时，因，，共线，故最小，点即为所求； ②过作交延长线于，求出，，得，用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于，如图： 点即为所求； （2）解：①作关于直线的对称点，连接交直线于，此时，因，，共线，故最小，如图： 点即为所求； ②过作交延长线于，则四边形是矩形， ，，， ， ， 的最小值为， 24．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．    【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．    （1）用含的代数式表示的长为______． （2）①请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； ②根据①中的规律和结论，直接写出代数式的最小值为______． 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．    （3）求代数式的最小值． 【答案】（1）；（2）①当A、C、E三点共线时，的值最小，最小值为17；②15； 【分析】此题考查了勾股定理，构造直角三角形解决问题，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键： （1）由于和都是直角三角形，故可由勾股定理求得； （2）①若点C不在的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，，故当A、C、E三点共线时，的值最小； ②由①的结果利用勾股定理求得的值． （3）仿照例题构造直角三角形，利用勾股定理求解即可 【详解】解：（1）由勾股定理知， ∴ ， 故答案为：； （2）①当A、C、E三点共线时，的值最小，如下图，    ∴； ②根据①中规律可以构造出如图所示，       同理可得： 故答案为15； （3）由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．   ， ∴代数式的最小值是． 【点睛】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． 【经典例题九 勾股数问题】 【例9】（2023八年级上·全国·专题练习）如果正整数满足等式，那么正整数叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（　　）    A．67 B．34 C．98 D．73 【答案】C 【分析】依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值． 【详解】解：由题可得： ， ， ， ∴当时，， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键． 25．（24-25八年级上·广东梅州·期中）我们知道，若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则．若一组勾股数为，，（），则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查勾股数有关的规律探究．根据题意可得，求得的值，即可求解． 【详解】解：依题意，， 则， 解得，则， 所以． 故选：A． 26．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角都是直角三角形．若的边分别是，则最大的正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据正方形面积公式先求出、的值，再根据正方形的性质得到的值，最后利用勾股定理得，即得到正方形的面积，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵的边分别是，所有的三角都是直角三角形， ∴，， ∵所有的四边形都是正方形 ， ∴，， ∴利用勾股定理得，， ∴最大的正方形的面积为， 故答案为：． 27．（2025八年级下·全国·专题练习）我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．据我国西汉时期算书《周髀算经》记载，约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦）．在西方，也有“勾三股四弦五”的定理，《周髀算经》比西方早了五百多年，这一定理在西方称为“毕达哥拉斯定理”． 勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数，如：，4，、，12，． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题： a b e 3 4 5 5 12 13 7 m 25 t x y （1） ； （2）若为奇数，则　　，　　（用含的代数式表示）； 【知识迁移】 （3）、、是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （4）在中，当，时，斜边的值为 ； 【知识应用】 （5）如图所示，有一张直角三角形的纸片，直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上与重合，则 ． 【答案】（1）24；（2），；（3）是，理由见解析；（4）；（5）3 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由，进而可以计算得解； （2）依据题意，由上面的数据找出规律即可判断得解； （3）依据题意，由即可判断得解； （4）依据题意，由勾股数3，4，5进行判断可以得解； （5）依据题意，利用勾股数可得斜边，再由折叠，借助面积法可以得解． 【详解】解：（1）由题意得，， ． 故答案为：24． （2）由题意，由上面的数据找出规律可得， ，． 故答案为：，． （3）由题意，、、是正整数）是一组勾股数．利用如下： ， 又， ． （4）依据题意，由勾股数3，4，5可以发现， ，， ． 故答案为：． （5）由题意，利用勾股数可得斜边，再由折叠，且，， ， 即． ． ． 故答案为：3． 【经典例题十 以直角三角形三边为边长的图形面积问题】 【例10】（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理；根据勾股定理可得，再由正方形、三角形面积公式可得，，，， ，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点A作AK⊥HI于点K，交BC于点J， 中，， ， 四边形、四边形、四边形均为正方形， ， 正方形与同底等高， ， ， 正方形与同底等高， ， ， ， ， 故选：A． 28．（24-25八年级上·河南·期末）如图，在中，，正方形，的面积分别为和，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．由正方形的面积公式可知，，在中，由勾股定理得，即可得出的长． 【详解】解：∵在中， 由勾股定理得：，，， ， ． 故选：A． 29．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在直线上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别是，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用可证，得到，进而可得，即得，同理可得，，据此即可求解，由全等三角形得到是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即， 同理可得， ∴， 又同理可得， ∴， 故答案为：． 30．（24-25八年级上·广西河池·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法1：_______； 方法2：______． 根据以上信息，可以得到的等式是_______． (2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系． (3)在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积． 【答案】(1)；； (2)；； (3)25 【分析】本题考查了完全平方公式和勾股定理的几何背景，学会用两种方法表示同一个图形的面积是解题的关键． （1）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （2）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （3）把，代入到（2）中的关系式中计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， 故答案为：；；． （2）解：∵从整体看，小正方形的边长为c， ∴． 从组成看，小正方形面积由大正方形面积减去四个直角三角形面积， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴小正方形的面积为25． 【经典例题十一 勾股定理与网格问题】 【例11】（2024·江西九江·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，有格点A，B，则线段AB 的长度在数轴上对应的点位于数轴上的（    ） A．①段 B．②段 C．③段 D．④段 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算．利用勾股定理求解的长度，再利用无理数的估算即可判断． 【详解】解：， ∵， ∴， 故线段的长度在数轴上对应的点应落在标注的④段， 故选：D． 31．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）下列各正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，分别按下列要求画图（提醒：在答题卡上用黑笔画粗）．        (1)在图1中，已有两个小正方形被涂黑，请将图中其余小正方形再涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形； (2)在图2中，以格点为顶点画一个直角，使的三边长都是无理数； (3)在图3中画出，使为等腰三角形，其中D为格点（只需在图画出一个），这样的等腰三角形共可以画________个． 【答案】(1)见解析（涂法不唯一） (2)见解析 (3)图见解析，2 【分析】此题主要考查了作图与应用作图．本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决． （1）根据轴对称图形定义画出即可； （2）利用勾股定理，找长为、、的线段，画三角形即可． （3）利用勾股定理作一个等腰三角形即可得． 【详解】（1）解：如下图： （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求，这样的等腰三角形共可以画2个． 故答案为：2． 32．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形， (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、2、 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形， （2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形， 本题考查了利用勾股定理求直角三角形的边长，熟练掌握定理即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示：正方形即为所求； （2）解：如图2所示：三角形即为所求． 33．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，图1为的方格，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1． (1)图1中正方形的面积为______，边长为______． (2)①依照图1中的作法，在下面图2的方格中作一个正方形，同时满足下列两个要求： Ⅰ所作的正方形的顶点，必须在方格的格点上； Ⅱ所作的正方形的边长为． ②请在图2中的数轴上标出表示实数的点A，保留作图痕迹． 【答案】(1)10， (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查的是实数与数轴、算术平方根的概念，掌握三角形的面积公式是解题的关键． （1）利用勾股定理可求得正方形的边长，面积等于边长的平方； （2）①为直角边长为2，1的直角三角形的斜边，据此作正方形即可． ②以原点为圆心，以为半径画弧，与数轴的交点即为点A． 【详解】（1）解：正方形的边长为：，面积为：， 故答案为：10，； （2）①如图所示的正方形即为所作；    ②如图所示，点A即为所求作的点． 【经典例题十二 勾股定理与折叠问题】 【例12】（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接．则线段的长等于（　　） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】如图连接交于，作于．首先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出、，在中，利用勾股定理即可解决问题．本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型． 【详解】解：如图连接交于，作于． 在中，，， ， ， ， ， ， ， 点在的垂直平分线上． ， 点在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， 是直角三角形， 垂直平分线段， ， ， ， 在中，， 故选：A． 34．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，D是边上一动点，连接．将沿着直线翻折．使点B落到点处，得到 (1)如图1，当点在线段的延长线上时，连接，求的长． (2)如图2，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形内角和定理，以及平行线的性质． （1）由由勾股定理求出，由折叠得，求出，然后再用勾股定理求解即可； （2）由平行线的性质得，由周角的定义求出，得出，再由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）解：在中，，，， 由折叠可知，， ， （2）解：，， ， ． 由折叠的性质得． ， ， ， ． 35．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能为我们解决问题提供思路和方法． 【动手操作】如图为一张三角形纸片，，现将纸片按如图1折叠，翻折后点的对应点为，折痕为（点、分别在边、上且、不与端点重合）． (1)当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且，用无刻度的直尺和圆规在图2中作出此时的折痕．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则为所求作； （2）连接；设，则，在中由勾股定理建立方程求出的值，再在中由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：作图如下：作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则关于对称，且是等腰三角形，，则为所求作折痕； （2）解：如图，连接； 设， ∵是等腰三角形， ∴； 由折叠知，， ∴； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： 36．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，把长方形纸片沿折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置． (1)若，则______，______； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，，求的面积． 【答案】(1)， (2)是等腰三角形，见解析 (3) 【分析】此题考查了勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定等知识． （1）根据平行线的性质和折叠的性质即可求出答案； （2）由折叠可知，由得到，则，即可得到结论； （3）设的长为x，则，，由勾股定理得，解得，，则，利用三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由折叠可知，， ∴； 故答案为：， （2）是等腰三角形， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）设的长为x，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴ 解得，， ∴ ∴． 【经典例题十三 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例13】（23-24八年级上·四川内江·期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ）    ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理． 由和都是等腰直角三角形，可证，进而根据“”可证，故结论①正确；由可得，进而可证结论②正确；由和都是等腰直角三角形可得，从而证得，进而得到，，因此，故结论③正确；在中，，在中，，因此，等量代换即可得到，故结论④正确． 【详解】∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； ∵在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴，故结论④正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：D 37．（2023·广东东莞·一模）如图，在四边形中，，与相交于H，且．①；②；③；④．其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①无法证明；②条件不足，无法证明；③依据，运用勾股定理即可得到；④依据，且，运用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到． 【详解】解：在四边形中，与不一定相等， 故①；②都不一定成立， ∵， ∴中，； 中，； 中，； 中，； ∴，故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰三角形，， 是等腰三角形，， ∴ ，故④正确． 综上所述，真命题的个数是2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了命题与定理，解决问题的关键是掌握勾股定理以及等腰三角形的性质． 38．（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 39．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 【经典例题十四 用勾股定理构造图形解决问题】 【例14】（23-24八年级上·山东青岛·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设绳索的长是x，则，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】设绳索的长是，则， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即绳索的长是， 故选：B． 40．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点B作，观察图形可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点B作，如图， 观察图形可知：，， 在中，， ∴门口A到藏宝点B的直线距离是， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是结合图形，读懂题意，根据题意找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度． 41．（2022·广东深圳·一模）如图， 是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为，面积是25的正方形的四个顶点分别在这四条直线上，那么的值是 ． 【答案】 【分析】过点作构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到关于正方形面积的方程，然后解方程求解即可． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 在正方形中， 又 ∵正方形的面积为25， 或（舍去） 故答案为： 【点睛】本题主要考查全等三角形及勾股定理和正方形面积的关系，通过辅助线构造全等三角形并利用勾股定理列方程是解决本题的关键． 42．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点，，，之间的位置关系有以下三种情形； ①如果轴，则， ②如果轴，则， ③如果与轴、轴均不平行，如图，过点作与轴的平行线与过点作与轴的平行线相交于点，则点坐标为，，由①得；由②得；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式． 小试牛刀：（1）若点坐标为，点坐标为则　5　； （2）若点坐标为，点坐标为则　　； （3）若点坐标为，点坐标为则　　； 【学以致用】若点坐标为，点坐标为，点P是x轴上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值为 ； 【挑战自我】已知， 根据数形结合，直接写出的最小值　　；的最大值　　；    【答案】【小试牛刀】（1）5 ；（2）6；（3）5 ；【学以致用】 ；【挑战自我】    ； 【分析】本题考查学生的阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题考查学生综合能力，属于中等题型． 小试牛刀：（1）利用两点间的距离公式进行解答； （2）利用两点间的距离公式进行解答； （3）利用两点间的距离公式进行解答； 学以致用：利用轴对称的性质求得点的坐标以及的最小值； 挑战自我：利用、所表示的几何意义解答． 【详解】解：小试牛刀：（1）． 故答案为：5； （2）． 故答案为：6； （3）． 故答案为：5； 学以致用：如图， 点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标是， 此时． 故答案为：． 挑战自我：， 当取最小值时，表示点与点的距离与点与点的距离之和（或表示点与点的距离与点与点的距离之和）， 此时．， 当取最大值时，表示点与点的距离与点与点的距离之差（或表示点与点的距离与点与点的距离之差）， 此时． 故答案为：；． 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在长方形中，点是的中点，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，根据长方形的性质可得，，再结合E是的中点，即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，从而得到结果． 【详解】∵长方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ， ． 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，于点D，若，，则的周长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 根据勾股定理，求得，进而求得的长度，进而求解即可； 【详解】解：，，， ， ，， ， ， 的周长为； 故选：A 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，等腰中，垂直平分，交于点．若点为上一动点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据题意，结合“将军饮马”问题的求解方法步骤，利用对称性求解即可得到答案．本题考查动点最值问题-将军饮马问题，涉及中垂线性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握将军饮马问题求动点最值的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 垂直平分，交于点， ， ， 根据点到直线的距离最短是垂线段长，可知当三点共线，时，有最小值， 等腰中，，，点为的中点， 由等腰三角形“三线合一”可知，，，则， 当三点共线，时，有最小值，为， 故选：． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，直角中，，点是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，下列关于，，之间的大小关系，正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查角平分线的性质和勾股定理，关键是根据角平分线的性质得出和和的高相等解答．根据角平分线的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：点是三条角平分线的交点， 和和的高相等，高设为h， 的面积记为，的面积记为，的面积记为， ，， ， ， ， 故选：B． 5．（23-24八年级上·广东深圳·期末）在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　）． A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质，过点作，可得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可． 【详解】解：过点作， ∵长方形， ∴， ∵平分， ∴， 由翻折可得， 由勾股定理，得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故选：B． 6．（24-25八年级下·广东江门·开学考试）在中，已知其中两边分别为6和8，则第三边为 ． 【答案】10或 【分析】本题考查了勾股定理．本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：设第三边为x，则 （1）若8是直角边，则第三边x是斜边， 由勾股定理得，，解得：； （2）若8是斜边，则第三边x为直角边， 由勾股定理得，，解得． 所以第三边长为10或． 故答案为：10或． 7．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，平分交于点，交于点，已知，则长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识；先由勾股定理求出，再由平分和平行线的性质证，得到即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得：， 平分， ， ∵ ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别记为、，则 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】根据题意，得，，根据勾股定理，得，代入解答即可． 本题考查了圆的面积，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键． 设大正方形的边长为c，根据大正方形的面积为13，则再利用勾股定理得，然后根据，的，最后根据，进而求出答案． 【详解】解：∵图中四个直角三角形全等，直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，设大正方形的边长为c， ∴， ∵大正方形的面积为13， ∴， ∵ ∴， ∴，即， 由图可知小正方形的边长为：， ∴小正方形的面积为：． ∴， 小正方形的面积为5． 故答案为：5． 10．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，，点、分别在边、上，且，，点、分别在边、上，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，先根据轴对称的性质可得，，，从而可得，，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质得：，，， ∴，， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值是， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位． (1)在图①中画出一个以为一边，面积为12的三角形； (2)在图②中画出一个以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要几何图形的变换，理解题意，根据图形的面积公式及等腰三角形的定义即可求解，解题的关键就是对图形性质的理解． （1）根据三角形的面积为，由，可先构造高为4的三角形，即可； （2）直接取格点，使或即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；（答案不唯一） （2）解：如图，即为所求作的三角形．（答案不唯一） 12．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质： （1）由线段中点的定义得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质得到，则可得到，设，则，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 13．（24-25九年级上·广东茂名·期末）实践与操作：如图，在中， (1)用尺规作的垂直平分线，交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，时，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质． （1）根据垂直平分线的作图步骤作出图形即可； （2）设，则，，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，点P为所作； （2）解：设， ∵的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，， ， 解得， ． 14．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动． (1) ， （用含t的代数式表示）； (2)P，Q两点从出发点出发几秒时，四边形的面积是？ (3)P，Q两点从出发点出发几秒时，点P与点Q的距离是？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查动点问题，涉及解一元一次方程和勾股定理，代数式的表示， （1）设P、Q两点从出发开始到t秒满足条件，结合图形，表示出，即可； （2）根据梯形的面积公式求解即可； （3）设P，Q两点从出发经过t秒时满足条件，作，垂足为E，则，有，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到t秒时，由图可知：； （2）根据梯形的面积公式得： ， 解得：， 即 P、Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积是； （3）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P与点Q的距离是，作，垂足为E，则， ， ， 由勾股定理得： 解得：， 答：从出发到秒或秒时，点P与点Q的距离是． 15．（24-25八年级上·河南周口·期末）课本再现： 前面已经证明了：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；反过来，其逆命题：“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”成立吗？ 事实上，可以证明这个“线段垂直平分线”判定定理． (1)定理证明 现已经写出了已知，求证，请你完成这一定理的证明过程： 已知：如图，线段，，求证：点在线段的垂直平分线上．证明：    (2)解决问题 ①已知：如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证：    （Ⅰ）； （Ⅱ）是的垂直平分线． ②已知中，如图，，，的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为，，若，，请直接写出的长 ．    【答案】(1)见解析 (2)①（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；②15 【分析】（1）连接点与的中点，利用可证，根据全等三角形对应角相等可证，所以可证是的垂直平分线； （2）（Ⅰ）首先利用可证，根据全等三角形对应边相等可证；（Ⅱ）因为，，可证是线段的垂直平分线，所以可证点在线段的垂直平分线； 根据线段垂直平分线的性质可得、，根据等边对等角可得、 ，又因为，所以可得，所以可得，根据勾股定理可以求出的长度． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接点与的中点，    在和中， ， ， ， 是的垂直平分线； （2）解：（Ⅰ）证明：如下图所示， 点是平分线上的一点，，， ，， ， 在和中， ， ， ； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，， ∴，， 是的垂直平分线； 如下图所示，连接，，   ，分别是，的垂直平分线， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明角和边之间的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 勾股定理的证明方法 题型二 以弦图为背景的计算题 题型三 勾股定理的基本计算 题型四 利用勾股定理求长度 题型五 利用勾股定理求面积 题型六 勾股定理与无理数 题型七 用勾股定理解三角形 题型八 勾股定理中的最值问题 题型九 勾股数问题 题型十 以直角三角形三边为边长的图形面积问题 题型十一 勾股定理与网格问题 题型十二 勾股定理与折叠问题 题型十三 利用勾股定理证明线段平方关系 题型十四 用勾股定理构造图形解决问题 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【经典例题一 勾股定理的证明方法】 【例1】（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是（    ） A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 1．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是证明了勾股定理和对勾股算术算法进行了推广．书中的证明方法是将4个三边长分别为，，的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线，用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图2，延长交_____①_____于点． 用两种不同的方法表示五边形的面积： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则_____②_____． 方法二：将五边形看成是由_____③_____，正方形，，拼成，则． 根据面积相等可以得到_____④_____，即．         　 则下列说法错误的是（    ） A．①代表 B．②代表 C．③代表正方形 D．④代表 3．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形的面积为25，正方形的面积为1，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 【经典例题二 以弦图为背景的计算题】 【例2】（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边．下列说法正确的有（　　） ①    ②    ③    ④ A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 4．（24-25七年级上·山东东营·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中的较短直角边长为，较长直角边长为，，且中间小正方形的面积为5，则大正方形的面积为 ． 5．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”、由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为，，，若，则的值为 ． 6．（24-25九年级上·贵州安顺·期末）第十四届国际数学教育大会于2021年在上海举办，其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法探究下列问题： (1)如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：； (2)如图3，在中，，是边上的高，，求的长度． 【经典例题三 勾股定理的基本计算】 【例3】（23-24八年级下·湖北十堰·期末）在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和4，则斜边上的中线长是（    ） A．2 B． C．2.5 D．3 7．（24-25八年级上·上海·期末）如图，中，，，．求的面积． 8．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，，且，求的长度． 9．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，在中，于点D，求的长． 【经典例题四 利用勾股定理求长度】 【例4】（23-24八年级下·重庆大渡口·期末）在中，，，点是内一点，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图，中，．    (1)作的角平分线交于点（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 11．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E，F，，垂足为G． (1)求证：． (2)若厘米，厘米，求的长． 12．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，点是边上一点． (1)在外求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，试求出的长． 【经典例题五 利用勾股定理求面积】 【例5】（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为（    ） A．4 B．5 C．10 D．25 13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，． (1)求证：； (2)作交于点，若，的周长为，求的面积． 14．（24-25八年级上·江西抚州·期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)若三边长分别是2，和4，则此三角形______常态三角形（填“是"或“不是”）； (2)在中，，，若是常态三角形，则______． (3)如图，在中，，，点D在线段上，连接且，若是常态三角形，求的面积． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【建立模型】 （1）如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点F． 求证：，并直接写出的度数． 【应用模型】 （2）①如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，，求证：． ②如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接，若，，求的面积．    【经典例题六 勾股定理与无理数】 【例6】（23-24八年级下·辽宁营口·期末）如图，数轴上点，表示的数分别是，，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是(    ) A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，为数轴原点，，两点分别对应，，作腰长为的等腰，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点对应的实数为 ． 18．（24-25七年级上·浙江台州·期中）教材上有这样一个合作学习活动：如图，依次连结方格四条边的中点，，，，得到一个阴影正方形，设每一小方格的边长为，得到阴影正方形面积为： (1)发现图这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是_______，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法； (2)如图，以个单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于，两点，则点表示的数为_______； (3)如图，网格是由个边长为的小方格组成，画出面积是的正方形，使它的顶点在网格的格点上． 【经典例题七 用勾股定理解三角形】 【例7】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分，平分，且交于，若，则等于（    ） A．6 B．25 C．36 D．49 19．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）（1）是等边三角形，E是边上的一点，以为边作等边，如图1．求证： ①； ②；    （2）是边长为2的等边三角形，E是边上的一个动点，以为边作等边，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，则的最小值为_______． 20．（23-24八年级上·河南·阶段练习）（1）如图1，都是等边三角形，点在边上，连接，则的度数为______． （2）如图2，都是等腰直角三角形，，点在边上，连接，请判断的度数及线之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，连接，求四边形的面积． 21．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容． 把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点、、在同一条直线上，利用此图的面积表示式证明勾股定理． (1)请结合图①，写出完整的证明过程； (2)如图②，等腰直角三角形，，，是射线上一点，以为直角边在边的右侧作，使，．过点，作于点，，求的长． 【经典例题八 勾股定理中的最值问题】 【例8】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 22．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，点、、都在方格纸的格点上，方格纸中每个小正方形的边长均为，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，并保留画图痕迹． (1)画出与关于直线对称的； (2)的面积为________； (3)在直线上标出点，使最小，最小值________； (4)在直线上标出点，使点到、的距离相等． 23．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．        (1)为方便村民出行，计划在公路l上新建一个公交站点 P，要求该站到村庄、的距离相等，在图1中用直尺和圆规作出点 P （不写作法． 保留作图痕迹）； (2)为了方便运输两村的垃圾，现计划在公路l上建一个垃圾中转站M，要求该垃圾中转站到村庄、的距离之和最小． ①在图2中作出点 ； ②该垃圾中转站建成后， ． 24．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．    【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．    （1）用含的代数式表示的长为______． （2）①请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； ②根据①中的规律和结论，直接写出代数式的最小值为______． 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．    （3）求代数式的最小值． 【经典例题九 勾股数问题】 【例9】（2023八年级上·全国·专题练习）如果正整数满足等式，那么正整数叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（　　）    A．67 B．34 C．98 D．73 25．（24-25八年级上·广东梅州·期中）我们知道，若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则．若一组勾股数为，，（），则的值为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角都是直角三角形．若的边分别是，则最大的正方形的面积为 ． 27．（2025八年级下·全国·专题练习）我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．据我国西汉时期算书《周髀算经》记载，约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦）．在西方，也有“勾三股四弦五”的定理，《周髀算经》比西方早了五百多年，这一定理在西方称为“毕达哥拉斯定理”． 勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数，如：，4，、，12，． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题： a b e 3 4 5 5 12 13 7 m 25 t x y （1） ； （2）若为奇数，则　　，　　（用含的代数式表示）； 【知识迁移】 （3）、、是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （4）在中，当，时，斜边的值为 ； 【知识应用】 （5）如图所示，有一张直角三角形的纸片，直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上与重合，则 ． 【经典例题十 以直角三角形三边为边长的图形面积问题】 【例10】（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为(    ) A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·河南·期末）如图，在中，，正方形，的面积分别为和，则的长度为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在直线上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别是，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则 ． 30．（24-25八年级上·广西河池·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法1：_______； 方法2：______． 根据以上信息，可以得到的等式是_______． (2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系． (3)在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积． 【经典例题十一 勾股定理与网格问题】 【例11】（2024·江西九江·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，有格点A，B，则线段AB 的长度在数轴上对应的点位于数轴上的（    ） A．①段 B．②段 C．③段 D．④段 31．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）下列各正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，分别按下列要求画图（提醒：在答题卡上用黑笔画粗）．        (1)在图1中，已有两个小正方形被涂黑，请将图中其余小正方形再涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形； (2)在图2中，以格点为顶点画一个直角，使的三边长都是无理数； (3)在图3中画出，使为等腰三角形，其中D为格点（只需在图画出一个），这样的等腰三角形共可以画________个． 32．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形， (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、2、 33．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，图1为的方格，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1． (1)图1中正方形的面积为______，边长为______． (2)①依照图1中的作法，在下面图2的方格中作一个正方形，同时满足下列两个要求： Ⅰ所作的正方形的顶点，必须在方格的格点上； Ⅱ所作的正方形的边长为． ②请在图2中的数轴上标出表示实数的点A，保留作图痕迹． 【经典例题十二 勾股定理与折叠问题】 【例12】（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接．则线段的长等于（　　） A． B． C． D．4 34．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，D是边上一动点，连接．将沿着直线翻折．使点B落到点处，得到 (1)如图1，当点在线段的延长线上时，连接，求的长． (2)如图2，当时，求的度数． 35．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能为我们解决问题提供思路和方法． 【动手操作】如图为一张三角形纸片，，现将纸片按如图1折叠，翻折后点的对应点为，折痕为（点、分别在边、上且、不与端点重合）． (1)当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且，用无刻度的直尺和圆规在图2中作出此时的折痕．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 36．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，把长方形纸片沿折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置． (1)若，则______，______； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，，求的面积． 【经典例题十三 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例13】（23-24八年级上·四川内江·期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ）    ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．（2023·广东东莞·一模）如图，在四边形中，，与相交于H，且．①；②；③；④．其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 38．（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    39．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【经典例题十四 用勾股定理构造图形解决问题】 【例14】（23-24八年级上·山东青岛·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C．6 D． 40．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（    ） A． B． C． D． 41．（2022·广东深圳·一模）如图， 是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为，面积是25的正方形的四个顶点分别在这四条直线上，那么的值是 ． 42．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点，，，之间的位置关系有以下三种情形； ①如果轴，则， ②如果轴，则， ③如果与轴、轴均不平行，如图，过点作与轴的平行线与过点作与轴的平行线相交于点，则点坐标为，，由①得；由②得；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式． 小试牛刀：（1）若点坐标为，点坐标为则　5　； （2）若点坐标为，点坐标为则　　； （3）若点坐标为，点坐标为则　　； 【学以致用】若点坐标为，点坐标为，点P是x轴上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值为 ； 【挑战自我】已知， 根据数形结合，直接写出的最小值　　；的最大值　　；    1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在长方形中，点是的中点，，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，于点D，若，，则的周长为（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，等腰中，垂直平分，交于点．若点为上一动点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．13 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，直角中，，点是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，下列关于，，之间的大小关系，正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 5．（23-24八年级上·广东深圳·期末）在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　）． A． B． C．4 D． 6．（24-25八年级下·广东江门·开学考试）在中，已知其中两边分别为6和8，则第三边为 ． 7．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，平分交于点，交于点，已知，则长为 ． 8．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别记为、，则 ．（结果保留π） 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ． 10．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，，点、分别在边、上，且，，点、分别在边、上，则的最小值是 ． 11．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位． (1)在图①中画出一个以为一边，面积为12的三角形； (2)在图②中画出一个以为腰的等腰三角形． 12．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 13．（24-25九年级上·广东茂名·期末）实践与操作：如图，在中， (1)用尺规作的垂直平分线，交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，时，试求的长． 14．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动． (1) ， （用含t的代数式表示）； (2)P，Q两点从出发点出发几秒时，四边形的面积是？ (3)P，Q两点从出发点出发几秒时，点P与点Q的距离是？ 15．（24-25八年级上·河南周口·期末）课本再现： 前面已经证明了：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；反过来，其逆命题：“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”成立吗？ 事实上，可以证明这个“线段垂直平分线”判定定理． (1)定理证明 现已经写出了已知，求证，请你完成这一定理的证明过程： 已知：如图，线段，，求证：点在线段的垂直平分线上．证明：    (2)解决问题 ①已知：如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证：    （Ⅰ）； （Ⅱ）是的垂直平分线． ②已知中，如图，，，的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为，，若，，请直接写出的长 ．    学科网（北京）股份有限公司 $$