精品解析：江苏省南京市中华中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题

南京市中华中学2024-2025学年第一学期期末考试 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程求出斜率，再由斜率求出倾斜角即可. 【详解】由得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则且，解得. 故选：C. 2. 在等比数列中，且，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列性质，若，则，即可计算出的值. 【详解】由题意可知，根据等比数列性质，若，则； 所以，因为，所以. 故选：C. 3. 在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程为求解. 【详解】因为双曲线的方程为， 所以其渐近线方程为， 故选：． 4. 若函数 ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的运算法则求得，从而求得. 【详解】因为，所以， 则，所以， 故选：B． 5. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数与函数极值点的关系判断可得出合适的选项. 【详解】因为函数在处取得极小值， 在左侧附近，，此时，， 在右侧附近，即存在，使得当，使得， 此时，，C选项合乎题意. 故选：C. 6. 圆和圆的交点为，则有（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 公共弦的长为 C. 线段中垂线方程为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，联立两圆方程即可得公共弦所在直线方程； 对于B，由弦长公式计算即可； 对于C，由题意可知线段中垂线为直线，求出直线的方程即可判断； 对于D，求出坐标，计算出的值，即可判断. 【详解】解：对于A，联立两圆方程得，可得， 即公共弦所在直线方程为，故错误； 对于B，设到直线：的距离为， 则有， 则弦长公式得：，故错误； 对于C，由题意可知线段中垂线为直线， 又因为，， 所以直线的方程为，故错误； 对于D，由，解得或， 取， 所以 所以， 所以，故正确. 故选：D. 7. 已知是圆上的两个动点，且，若，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的四则运算可得，然后再利用向量数量积的运算律求解即可. 【详解】因为是圆上的两个动点，且， 所以到的距离，所以， 因为，， 设与的夹角为， 所以 ， 因为，所以，的最小值为， 所以的最小值为， 故选：D 8. 已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将数列递推式恒等变形，构造等比数列，求得数列通项，将题设中的数列的通项展开裂项，运用裂项相消法求和，求得和式的范围即得. 【详解】依题意，当时，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，，即， 所以， 所以， 因不等式恒成立，故的取值范围是. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：y=x-2与抛物线C交于A，B两点，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. 点F到直线l的距离为 C. ∠AOB D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据抛物线方程求得准线、焦点，结合点到直线距离公式、向量垂直、弦长等知识求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线为，A选项正确. 直线，即， 到的距离为，B选项正确. 由解得或， 不妨设， 则， 所以，C选项错误. ，D选项错误 故选：AB 10. 已知函数，则下列说法正确的有（        ） A. 2是函数的极小值点 B. 当时，函数取得最小值 C. 当时，函数存在2个零点 D. 若函数有1个零点，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由导数与极值的关系即可判断；对于B，根据最小值定义即可判断；画图观察与的图象的交点情况即可判断CD. 【详解】对A，由题意， 所以当或时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增， 所以2是函数的极大值点，故A错误； 对B，由A知，且当时，，且大于， 则当时，函数取得最小值，故B正确； 对于C，若，则令，即，设， 则，所以当或时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 则，，且当，，且大于0， 作出函数图象如图所示，则直线与函数有两个交点，则当时，函数存在2个零点，故C正确； 对于D，若函数有1个零点，即方程有一个根，则转化为直线与的图象只有一个交点， 由图可知，若函数有1个零点，则或，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：判断D选项关键是画出与的图象，从而即可顺利得解. 11. 函数的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则（ ） A. 数列为等差数列 B. C. 为函数的极大值点 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】求出函数在上的极值点的表达式，结合等差数列的定义可判断A选项；利用列举法求出，可判断B选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断C选项；利用正弦函数的对称性、等差数列的求和公式以及诱导公式可判断D选项. 【详解】对于函数，则， 令可得，解得或， 由题意可得，，，， 显然，则数列不是等差数列，A错B对； 当时，；当时，. 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，为函数的极大值点，C对； 由正弦函数的对称性可知，点、关于直线对称，则， 点、关于直线对称，则，， 以此类推可知，， 所以， ， 所以，，D错. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则______. 【答案】 【解析】 【详解】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以． 【考点】导数与切线斜率． 13. 设为等差数列的前项和，若公差，且，则当取最大值时，的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由可得，则得，再由，可得当取最大值时的值. 【详解】等差数列中， ∵，∴，解得， 则 ， 因为，所以当取最大值时，. 故答案：. 14. 已知椭圆的左焦点为，过作圆的一条切线交椭圆于、两点，若，则椭圆的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设出直线，与椭圆联立然后根据几何关系，结合根与系数关系即可求解. 【详解】当直线与轴重合时，直线与圆相交，不合乎题意， 设直线，与椭圆联立， 化简得， 设、，则由根与系数的关系得①， 又，所以，代入①得②， 又直线与圆相切，所以，即，代入②整理得， 得，因此椭圆的离心率. 故答案为：． 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，动点满足 （1）求动点的轨迹的方程 （2）若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，根据动点满足，用两点间距离公式化简求解. （2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径可得答案. 【小问1详解】 设，则由， 即， 化简得， 所以P点的轨迹方程为． 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，方程为， 圆心到直线l的距离为2，又因为圆的半径为2，所以相切； 当直线l的斜率存在时，设， 即， 由到l的距离，解得， 所以直线方程为，即， 综上，l的方程为或. 16. 已知数列的前n项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前n项和为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到是以1为首项，2为公比的等比数列，得到数列的通项公式； （2），结合等差数列和等比数列求和公式进行分组求和. 【小问1详解】 ①， 当时，，解得， 当时，②， 式子①-②得，故， 因为，所以，所以， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 ， . 17. 设函数，. （1）当（为自然对数的底数）时，求的极小值； （2）若对任意，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用极小值点的定义求解即可； （2）原不等式可转化为对任意，恒成立，令，则在上单调递减，利用导数求的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，，， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为. 【小问2详解】 因为对任意，恒成立， 即对任意，恒成立， 所以在上单调递减， 令，则， 所以在上恒成立， 又因为的对称轴为， 所以恒成立只需，解得， 所以的取值范围为. 18. 已知椭圆：()的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于、两点，若点关于轴的对称点为，证明：直线与轴相交于定点. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，求得，即可求得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，、，则，联立，根据，求得的范围，利用韦达定理求得，，求得直线的方程，令，即可得出结论. 【详解】解：（1）由题意可知，，，则解得， ∴椭圆的标准方程为； （2）由题意可知直线一定存在斜率，设斜率为，设直线的方程为， 联立消去并化简得：， ∵，∴， 设、，则，，， ∴直线的斜率， 则直线的方程为， 当直线与轴相交时， 则 ， ∴直线与轴相交于定点. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明: （其中e为自然对数的底数）. 【答案】（1）当时， 的递增区间为； 当时，的递增区间为，，递减区间为； 当时，的递增区间为，，递减区间为； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的取值范围，求出函数的单调区间即可. （2）问题转化为，令 ，根据函数的单调性证明即可. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为, 当时，恒成立，故的递增区间为； 当时，在区间，时，时， 所以的递增区间为，，递减区间为； 当时，在区间，时，时， 所以的递增区间为，，递减区间为； 综上所述，当时， 递增区间为； 当时，的递增区间为，，递减区间为； 当时，的递增区间为，，递减区间为； （2）当时，由,只需证明. 令 ，. 设，则. 当时，，单调递减; 当时，，单调递增, ∴当时，取得唯一的极小值，也是最小值. 的最小值是 成立. 故成立. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，导函数在证明不等式中的应用，考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南京市中华中学2024-2025学年第一学期期末考试 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，且，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 3. 在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C D. 4. 若函数 ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 圆和圆的交点为，则有（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 公共弦的长为 C. 线段中垂线方程为 D. 7. 已知是圆上的两个动点，且，若，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：y=x-2与抛物线C交于A，B两点，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. 点F到直线l的距离为 C. ∠AOB D. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（        ） A. 2是函数的极小值点 B. 当时，函数取得最小值 C. 当时，函数存在2个零点 D. 若函数有1个零点，则或 11. 函数所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则（ ） A. 数列等差数列 B. C. 为函数的极大值点 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则______. 13. 设为等差数列的前项和，若公差，且，则当取最大值时，的值为______. 14. 已知椭圆的左焦点为，过作圆的一条切线交椭圆于、两点，若，则椭圆的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，动点满足 （1）求动点的轨迹的方程 （2）若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程 16. 已知数列的前n项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前n项和为． 17. 设函数，. （1）当（为自然对数的底数）时，求的极小值； （2）若对任意，恒成立，求的取值范围. 18. 已知椭圆：()离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于、两点，若点关于轴的对称点为，证明：直线与轴相交于定点. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明: （其中e为自然对数的底数）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$