精品解析：贵州省遵义市2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

2024年秋季高二年级期末考试试卷 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一、二、三、四册，选择性必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. 已知直线经过点，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率公式即可求解； 【详解】由， 可得：， 故选：C 3. 已知，则的虚部是（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】首先得到，即可判断. 【详解】因为，所以， 所以的虚部是. 故选：A 4. 已知向量，若，则正数（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法和向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】由题意得， 因为，所以，即， 解得或（舍去）， 故选：C 5. 已知角满足，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：D 6. 已知点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. 25 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为点在直线， 所以，即， 所以 ，当且仅当，即时取等号. 故选：C 7. 已知抛物线的焦点为，点，P是抛物线C上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 12 C. 10 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出抛物线的准线方程，过点作垂直于准线，交准线于点，根据抛物线的定义得到，从而求出的最小值. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点作垂直于准线，交准线于点，则， 所以，当且仅当、、三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 8. 已知定义在R上的函数满足，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得4为函数的一个周期，利用赋值法可求得，，，可求值. 【详解】由，可得，所以， 所以4为函数的一个周期， 又因为，令，得， 令，可得， 令，可得， 所以， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的周长为7 D. 若，则的离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据各选项参数的值得到相应的方程，结合椭圆、双曲线的性质一一计算可得. 【详解】对于A：当，则曲线，表示焦点在轴上的椭圆，则，故A正确； 对于B：当，则曲线，表示焦点在轴上的双曲线，则，故B正确； 对于C：当，则曲线，表示焦点在轴上的椭圆，则， 又，所以的周长，故C错误； 对于D：当，则曲线，表示焦点在轴上的双曲线， 则，，所以的离心率，故D正确. 故选：ABD 10. 如图，在边长为6的等边中，，点在以为直径的半圆上（不含点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量数量积的计算公式判断AB，利用向量的四则运算判断C，利用投影向量的概念判断D. 【详解】，A正确; 因为点在以为直径的半圆上，所以，所以，B正确； ，C错误； 过点作交于点，过点作交于点，易得为的中点， 因为，所以，则，由图可知在上的投影向量为，即为，D正确． 故选：ABD 11. 在长方体中，，，E为的中点，动点P在长方体内（含表面），且满足，记动点P的轨迹为Ω，则（ ） A. Ω的面积为 B. 平面与Ω所在平面平行 C. 当时，存在点P，使得 D. 当时，三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，连接，四边形为动点P的轨迹Ω，求得面积判断A；连接，可证明平面平面，从而可判断B；以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，转化为是否有解问题处理，求解可判断C；确定的位置，进而可判断D. 【详解】因为，所以在确定的平面内，又， 取的中点，连接，则四边形为动点P的轨迹Ω， 因为长方体中，，， 所以，，进而可求得等腰梯形的高， 所以梯形的面积为，故A正确； 连接，因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，又，平面， 所以平面平面，又平面平面， 所以平面与Ω所在平面不平行，故B错误； 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 当，则， 所以， 假设，则，即，解得， 所以当时，存在点P，使得，故C正确； 当时，点在上，则时点到平面的距离为定值，又三角形的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，将是否存在点P，使得，转化为方程是否有解问题，转化思想是数学的一种常见思想方法. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数是偶函数，则m=___________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据偶函数的概念求解即可. 【详解】函数的定义域为 所以，若函数是偶函数 则，则，解得。 故答案为：. 13. 《九章算术·商功》中将正四面形棱台（即正四棱台）建筑物称为方亭．现有一方亭，已知，且该方亭的高为6，体积为26，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式计算可得. 【详解】依题意可得， 即， 即，解得或（舍去）. 故答案为： 14. 已知函数．若方程在区间内无解，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式将函数化简，求出函数的零点，即可得到，从而求出的取值范围. 【详解】因为，， 令，解得， 所以的零点分别为，，，，，， 因为方程在区间内无解，所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是由三角恒等变换公式化简函数解析式，再结合正弦函数的性质计算. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求角A的大小； （2）已知，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角的正弦公式可求得，可求角A的大小； （2）利用余弦定理可得，可求，进而可求的面积． 【小问1详解】 由，可得，又，所以， 所以，所以； 【小问2详解】 由（1）知，由余弦定理可得，又，， 所以，解得或（舍去）， 所以. 16. 为了了解高二年级学生的数学学习情况，某学校对高二年级学生的日均数学自主学习时间进行了调查，随机抽取200名学生的日均数学自主学习时间（单位：分钟）作为样本，经统计发现这200名学生的日均数学自主学习时间均在内，绘制的频率分布表如下表所示： 日均数学自主学习时间 频率 0.05 0.10 0.25 0.35 0.15 0.10 （1）试估计这200名学生的日均数学自主学习时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）试估计这200名学生的日均数学自主学习时间的第30百分位数； （3）现采用分层随机抽样从日均数学自主学习时间在与内的学生中抽取5名学生进行个案分析，再从这被抽取的5名学生中随机抽取3名学生提供个性化指导方案，求被抽取的3名学生中至少有2名学生的日均数学自主学习时间在内的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据每组的频率与组中值之积，再求和，即可得解； （2）根据百分位数的定义计算可得； （3）分别求出、中抽取的人数，再利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 依题意可得日均数学自主学习时间的平均数为： ； 【小问2详解】 因为，， 所以第百分位数位于，设为，则，解得， 所以第百分位数为； 【小问3详解】 依题意中抽取名学生，分别记作、、， 中抽取名学生，分别记作、， 从这5名学生中，随机抽取3名学生，则可能结果有：，，，，，，，，，共个； 其中至少有2名学生的日均数学自主学习时间在有，，，，，，共个， 所以至少有2名学生的日均数学自主学习时间在的概率； 17. 已知圆C的圆心在直线上，且经过点和点． （1）求圆C的标准方程； （2）一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆C相切，求反射后的光线所在直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标，由圆的半径建立方程，解出圆心坐标即圆的半径，写出圆C的标准方程； （2）求出点关于的对称点坐标，设对称后的直线方程，因为直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程，解得斜率，从而得到直线方程. 【小问1详解】 设圆心为， 则， 即，解得， ∴， ∴圆C的标准方程：. 【小问2详解】 如图：是点关于的对称点. 显然，当反射后的直线斜率不存在时，反射后的直线与圆不相切， 所以反射后的直线的斜率一定存在， ∴设，即， ∵反射后的直线与圆相切，∴圆心到直线的距离， ∴，整理得， ∴，即，， ∴反射后的光线所在直线的方程：或. 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，. （1）证明：平面平面. （2）若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离. 【答案】（1）因为平面平面，， 所以平面.因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由平面平面得平面即可得证； (2)建立空间直角坐标系，由平面与平面的夹角为得点的坐标，利用向量法求点到平面的距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接.因为，所以. 因为平面平面，所以平面. 以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 设，平面的法向量为， 因为，， 所以，令，得. 平面的一个法向量为. 因为平面与平面的夹角为，所以，所以. 设平面的法向量为， 因为，， 所以 令，得. 因为，所以点到平面的距离. 19. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点，总存在一点满足关系式（，），则称为平面直角坐标系中的伸缩变换． （1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得圆变换为椭圆． （2）在同一直角坐标系中，椭圆经平面直角坐标系中的伸缩变换得到曲线C． ①求曲线C的方程； ②已知，，过点B的直线交C于E，F两点，直线AE，AF与y轴的交点分别为P，Q，证明：线段PQ的中点为定点． 【答案】（1）所求的伸缩变换为 （2）① ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，，，结合条件列方程求，可得结论； （2）①由已知可得，代入椭圆，可得曲线的方程； ②先确定斜率存在，设EF的方程为，，，利用设而不求法求，再求及其中点坐标，化简证明结论. 【小问1详解】 将伸缩变换（，）代入， 得到， 将上式与比较，得，解得，， 所以所求的伸缩变换为； 【小问2详解】 解：由，可得， 代入，可得，则， 所以曲线C的方程为． ②证明：由题意可知，直线的斜率存在， 设的方程为，，． 联立方程，消去得， 则， 解得， 可得，． 因为，所以直线的方程为， 令，解得，即， 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点． 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季高二年级期末考试试卷 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一、二、三、四册，选择性必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线经过点，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的虚部是（ ） A. 3 B. C. D. 2 4. 已知向量，若，则正数（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知角满足，则=（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. 25 D. 7. 已知抛物线的焦点为，点，P是抛物线C上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 12 C. 10 D. 16 8. 已知定义在R上的函数满足，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的周长为7 D. 若，则的离心率为 10. 如图，在边长为6的等边中，，点在以为直径的半圆上（不含点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 在长方体中，，，E为的中点，动点P在长方体内（含表面），且满足，记动点P的轨迹为Ω，则（ ） A. Ω的面积为 B. 平面与Ω所在平面平行 C. 当时，存在点P，使得 D. 当时，三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数是偶函数，则m=___________ 13. 《九章算术·商功》中将正四面形棱台（即正四棱台）建筑物称为方亭．现有一方亭，已知，且该方亭的高为6，体积为26，则________． 14. 已知函数．若方程在区间内无解，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求角A的大小； （2）已知，，求的面积． 16. 为了了解高二年级学生的数学学习情况，某学校对高二年级学生的日均数学自主学习时间进行了调查，随机抽取200名学生的日均数学自主学习时间（单位：分钟）作为样本，经统计发现这200名学生的日均数学自主学习时间均在内，绘制的频率分布表如下表所示： 日均数学自主学习时间 频率 0.05 0.10 0.25 0.35 0.15 0.10 （1）试估计这200名学生的日均数学自主学习时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）试估计这200名学生的日均数学自主学习时间的第30百分位数； （3）现采用分层随机抽样从日均数学自主学习时间在与内的学生中抽取5名学生进行个案分析，再从这被抽取的5名学生中随机抽取3名学生提供个性化指导方案，求被抽取的3名学生中至少有2名学生的日均数学自主学习时间在内的概率． 17. 已知圆C的圆心在直线上，且经过点和点． （1）求圆C的标准方程； （2）一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆C相切，求反射后的光线所在直线的方程． 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，. （1）证明：平面平面. （2）若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离. 19. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点，总存在一点满足关系式（，），则称为平面直角坐标系中的伸缩变换． （1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得圆变换为椭圆． （2）在同一直角坐标系中，椭圆经平面直角坐标系中的伸缩变换得到曲线C． ①求曲线C的方程； ②已知，，过点B的直线交C于E，F两点，直线AE，AF与y轴的交点分别为P，Q，证明：线段PQ的中点为定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $