课时7.2 万有引力定律-【帮课堂】2024-2025学年高一物理同步学与练（人教版2019必修第二册）

第七章 万有引力与宇宙航行 课时7.2 万有引力定律 2020年课程标准 物理素养 2.2.4 通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用。 物理观念：了解开普勒定律的内容，理解行星运动的规律。掌握万有引力定律，理解太阳与行星之间的引力关系。认识到太阳在宇宙中的地位，以及地球在太阳系中的位置。 科学思维：能够运用开普勒定律分析行星运动的实际问题。学会运用万有引力定律计算天体间的引力大小。培养逻辑推理和空间想象能力，对行星运动进行合理预测。 科学探究：通过观察和分析行星运动的数据，探究开普勒定律的适用性。设计实验或模拟实验，验证万有引力定律。学会收集、处理和分析数据，提高科学探究能力。 科学态度与责任：培养对自然现象的好奇心和探索精神，对科学保持敬畏之心。认识到科学家在探索宇宙过程中的艰辛与付出，树立正确的价值观。关注我国航天事业的发展，增强民族自豪感和使命感。树立环保意识，关注地球及宇宙环境，积极参与保护行动。 知识点一、行星与太阳间的引力 1.推导基础 开普勒定律发现以后，科学家们开始思考行星绕太阳运动的原因。牛顿时代的科学家如胡克等人认为行星绕太阳运动是因为受到太阳对它的引力，牛顿在前人对惯性研究的基础上，利用他的运动定律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来。 2.模型简化 行星绕太阳的运动可以近似看作匀速圆周运动，受到一个指向圆心（太阳）的引力，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。 3.公式推导 把行星轨道当做圆来处理，设行星质量为m，速度为v，行星到太阳的距离为r，太阳的质量为M。则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力为。根据开普勒第三定律，，可推导出，进而得到，即太阳对行星的引力。根据牛顿第三定律，行星对太阳也有引力，且与太阳对行星的引力大小相等，方向相反，所以行星对太阳的引力，综合可得太阳与行星间的引力，即，其中G为比例常数。 特别提醒 太阳的质量远大于各行星的质量，因此一般只考虑太阳与行星间的引力，不计各行星间的引力。 知识点二、月-地检验 1.目的 验证月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力。 2.假设与推理 假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足。根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度，式中M地是地球质量，r是地球中心与月球中心的距离。 假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度，式中R是地球中心与苹果间的距离。由以上两式可得。由于月球与地球中心的距离约为地球半径的 60 倍，所以。 3.结论 地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力，遵从相同的规律。 知识点三、万有引力定律 1.内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间的距离r的二次方成反比。 2.公式 其中F为引力，G为万有引力常数，m1、m2为两物体质量，r为两物体质心或球心间的距离。 3.适用条件 （1）公式适用于计算两质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时也适用。 （2）求解质量分别均匀且有一定间距的球体间的相互作用，也可以用此公式，此时r为两球心间的距离。 （3）当物体不能看成质点，且不是质量分别均匀的球体时，可以把物体看成是由无数个质点构成，分别求出各质点与另一物体所有质点的万有引力，然后矢量合成，即得两物体间的万有引力。 4.特性 （1）普遍性：万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力。 （2）相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上。 （3）宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用。 （4）特殊性：两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关。 知识点四、引力常量 1.数值与单位 引力常量目前推荐标准值G=6.67259×10-11N·m2/kg2，通常取G=6.67×10-11N·m2/kg2。 2.测量历史 牛顿发现万有引力定律后的 100 多年里，无法准确测量出引力常量。直到英国物理学家卡文迪许在实验室里用扭秤实验巧妙地测出了引力常量。卡文迪许通过在 T 形架两端固定小球，附近放置大球，根据万有引力使 T 形架扭转，利用镜子反射光的光斑移动来放大扭转角度，从而测出引力大小，进而得出引力常量。 3.意义 引力常量的普适性成为万有引力定律正确的见证，使万有引力定律有了真正实用的价值，可据此测定地球表面物体重力加速度、测地球质量等。 知识点五、用万有引力定律解释相关现象 1.万有引力与重力 （1）区别 概念：万有引力是自然界中任何两个物体之间都存在的相互吸引力，遵循。重力是由于地球吸引而使物体受到的力，在地球上，重力是地球对物体万有引力的一个分力，在忽略地球自转时可近似认为二者相等。 方向：万有引力方向在两物体质心连线上，对于地球上物体，地球视为均匀球体时，物体受地球的万有引力指向地心。重力方向竖直向下，在赤道和两极与万有引力方向重合，其他位置有夹角。 大小：万有引力大小由计算。重力一般用G = mg计算，g与位置有关，随纬度升高而增大，随高度增加而减小。 （2）联系 本质：重力源于地球对物体的万有引力，是万有引力在地球表面附近的一种表现。 大小关系：不考虑地球自转时，在地球表面。考虑地球自转时，万有引力F分解为重力G和向心力F向，，重力略小于万有引力。 2.黄金代换 （1）内容：在不考虑地球自转的情况下，地球表面质量为m的物体所受重力G=mg等于地球对它的万有引力，即，化简可得，这就是黄金代公式。其中G为引力常量，M为地球质量，m为物体质量，R为地球半径，g为地球表面重力加速度。 （2）应用：黄金代换公式在很多天体问题中非常有用，它可以将一些难以直接测量的物理量（如地球质量M与容易测量的物理量（如地球半径R和重力加速度g）联系起来，方便进行计算和分析。例如在计算天体质量、卫星的环绕速度等问题时，经常会用到黄金代换公式进行代换和求解。 3.地球重力加速度g及其变化（忽略地球自转） （1）地球表面处的重力加速度 地球表面处物体受到的重力近似等于万有引力，即，所以地球表面处的重力加速度，其中R为地球半径，M为地球质量，G为引力常量。 （2）距离地球表面高度为h处的重力加速度 ，所以 （3）地球内部距地球表面为h＇的深度处的重力加速度 理论表面，一个均匀的球壳，对处在其中的物体的引力为零。 地球表面：，在深度为h＇的地球内部：，所以。 4.物体在赤道上完全失重的条件 （1）受力分析：在赤道上，物体随地球自转做匀速圆周运动，此时物体受到地球的万有引力，这个力提供物体做圆周运动的向心力和重力G＝mg，即F＝F向＋G。 （2）完全失重条件：当物体所受的万有引力恰好全部用来提供向心力时，物体对支持物的压力或对悬挂物的拉力为零，即处于完全失重状态。 此时， 所以完全失重的临界条件（地球半径R＝6400km） a0＝g＝9.8m/s2 上述结果是近地人造卫星的向心加速度、角速度、线速度和周期。 5.地球不因自转而瓦解的最小密度 （1）原理分析：地球自转时，赤道处的物体所受的万有引力一部分提供向心力，若地球自转角速度过大，赤道处的物体可能会因所需向心力过大而脱离地球，导致地球瓦解。为使地球不瓦解，赤道处物体所受万有引力应能提供足够的向心力。 （2）推导过程 设地球质量为M，半径为R，自转角速度为ω，地球密度为ρ。根据。 对于赤道上质量为m的物体，万有引力提供向心力，当二者相等时地球处于刚好不瓦解的临界状态，即。 将、代入可得：。 已知地球自转周期T = 24×3600s，G = 6.67×10-11N·m2/kg2，代入可得地球不因自转而瓦解的最小密度值。而地球的平均密度ρ0＝5507.85kg/m3，足以保证地球处于稳定状态。 问题一：万有引力定律的推导 【角度1】物理学史 【典例1】（2024·全国·模拟预测）物理学的发展离不开物理学家们的智慧和奋斗，他们对物理学的研究既展现了他们的聪明才智，又展现了他们超强的意志品质。下列有关物理史实的叙述正确的是（　　） A．伽利略采用“冲淡”重力的方法，使得位移的测量更加容易 B．牛顿进行了“月-地检验”，验证了引力常量数值的正确性 C．卡文迪什通过扭秤实验测定了引力常量的数值，证明了万有引力定律的正确性 D．开普勒用20年的时间研究伽利略的行星观测记录，发现了开普勒行星运动定律 解法通则 要解决这类题型，需理解和熟记本节涉及的物理学家及他们的观点。 （1）伽利略 “冲淡” 重力实验 伽利略让铜球在阻力很小的斜面上滚下，“冲淡” 重力的作用，以便更容易测量时间和研究物体运动规律，通过实验和合理外推，得出自由落体运动的规律等。 （2）牛顿 “月 - 地检验” 牛顿假设地球对月球的引力与地球对地面上物体的引力是同一种力，都遵循平方反比规律。他通过计算月球绕地球运动的向心加速度和地面上物体的重力加速度，比较它们是否符合平方反比关系，从而验证了万有引力定律的正确性。 （3）卡文迪许扭秤实验 卡文迪许利用扭秤装置，通过微小的扭转形变放大原理，精确地测量出了引力常量的数值，使得万有引力定律能够进行更精确的定量计算。 （4）开普勒研究行星运动定律 开普勒通过对第谷等前人大量的天文观测数据的研究，总结出了行星运动的三大定律，为牛顿发现万有引力定律奠定了基础。 【变式1-1】（22-23高一下·湖南·期中）下列关于物理学史的说法，正确的是（　　） A．卡文迪什的理想斜面实验说明力不是维持物体运动的原因 B．开普勒研究了前人的观测数据，提出了行星运动定律 C．胡克发现：在任何情况下，弹簧的弹力与物体的形变量成正比 D．牛顿总结前人的研究，提出了万有引力定律，并用实验测定了万有引力常量 【变式1-2】（2024·浙江·一模）下列关于物理研究方法的叙述中，正确的是（　　） A．把物体当成质点来处理，主要采用了“微元法” B．建立“重心”概念时，主要采用了“极限法” C．卡文迪什利用扭秤实验测出了引力常量的数值，主要采用了“放大法” D．利用图像推导匀变速直线运动位移与时间公式时，主要采用了“控制变量法” 【角度2】行星与太阳间的引力 【典例2】(2023北京朝阳六校联考)牛顿利用他发现的运动规律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来，并深入思考了月球受到的引力与地面物体受到的引力的关系。设太阳质量为m1，地球质量为m2，月球质量为m3，地球与太阳间距离为R，月球与地球间距离为r。若地球绕太阳的运动及月球绕地球的运动可以看成匀速圆周运动。关于得出万有引力定律的推理，下列说法正确的是 (　　) A.根据地球绕太阳的运动规律及开普勒第三定律得出，太阳对地球的吸引力 B.根据牛顿第三定律及对称性，地球对太阳的吸引力与太阳对地球的吸引力的比例系数相同 C.类比地球绕太阳的运动规律及开普勒第三定律得出，地球对月球的吸引力 D.若地球对苹果的吸引力与地球对月球的力是同一种力，则苹果自由落体的加速度与月球绕地球做圆周运动的向心加速度之比为 【变式2-1】下列关于行星对太阳的引力的说法中正确的是：（ ） A．行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一种性质的力 B．行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星的质量无关 C．太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力 D．行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星距太阳的距离成反比 【变式2-2】（多选）根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动知识知：太阳对行星的引力，行星对太阳的引力，其中M、m、r分别为太阳、行星质量和太阳与行星间的距离。下列说法正确的是 （ ） A．由和知 B．F和F大小相等，是作用力与反作用力 C．F和F大小相等，是同一个力 D．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力 【角度3】月-地检验 【典例3】（23-24高三上·河北邯郸·阶段练习）地球绕太阳运动，月球绕地球运动，它们之间的作用力是同一性质的力，这种力与地球对树上苹果的力也是同一性质的力吗？牛顿认为苹果受到地球的吸引才下落，这种吸引力与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质，且都满足。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，苹果自由落体的加速度为，根据牛顿的想法，月球绕地球公转的向心加速度为，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·北京海淀·期末）请阅读文字。牛顿根据行星运动规律得出“天体间引力遵循平方反比规律”后，进一步设想“使苹果落向地面的力”与天体间的引力是同一性质的力。为此，他进行了著名的“月—地检验”加以证实。设地球质量为、月球质量为、苹果质量为，地球中心与月球中心的距离为r，地球中心与苹果的距离为R，引力常量为G、地表重力加速度为g。 （1）月球绕地球做匀速圆周运动的过程中，下列物理量保持不变的是（　　） A．周期 B．线速度 C．向心力 D．向心加速度 （2）假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一性质的力，则地球与月球间的作用力F的表达式为（　　） A． B． C． D． （3）假设地球与树上苹果的作用力和地球与月球间的作用力也是同一性质的力，则月球绕地球做圆周运动的向心加速度和苹果的自由落体加速度之间的大小关系应该满足（　　） A． B． C． D． 问题二：万有引力定律的理解 【角度1】万有引力定律的理解 【典例4】（2023·浙江宁波·模拟预测）太阳系中，地球和月球一起绕着太阳做匀速圆周运动，同时，月球也绕着地球做匀速圆周运动，太阳对月球的引力大于地球对月球的引力。在地球周围，还有宇航员在空间站中，空间站也绕着地球做匀速圆周运动。根据上述信息，下列说法正确的是（　　） A．以地球为参考系，月球绕地球做圆周运动的加速度大小随时间变化 B．月球绕太阳转动的向心加速度大于绕地球公转的向心加速度 C．当月球处在太阳与地球的连线上时候，月球的加速度方向指向地球 D．宇航员在空间站中，不受到地球的引力 【变式4-1】关于万有引力公式的理解，以下说法中正确的是（　　） A．牛顿首先得到了万有引力定律，并且用实验测定了引力常量G的数值 B．由公式可知，两物体紧靠在一起时万有引力无穷大 C．可看作质点的两物体间的引力可用公式计算 D．两个质点质量不变，距离变为原来的2倍，则它们之间的万有引力将变为原来的 【变式4-2】（23-24高一下·安徽·期末）对于万有引力定律的表达式，下列说法正确的是（　　） A．引力常量G的单位为 B．当物体间的距离趋近于0时，物体间的万有引力无穷大 C．若，则两物体之间所受万有引力比的大 D．该表达式只能用来计算质点与质点间的万有引力大小 【角度2】引力常量 【典例5】（24-25高一上·山西·期末）人类对天体运动的认识，经历了漫长的发展过程，直到1687年牛顿在其出版的《自然哲学的数学原理》中正式提出万有引力定律，才成功解释了天体运动的规律，其公式为，其中为两个物体的质量，r为两个物体间的距离，G为引力常量．关于G的单位，用国际单位制中的基本单位表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（2023·上海松江·二模）如图，卡文迪什扭秤实验中使用了带有平面镜M的光学系统，它的作用是（　　） A．等效替代 B．放大 C．增大亮度 D．监测装置是否平衡 【角度3】万有引力与重力 【典例6】（23-24高一下·广东广州·期中）关于重力和万有引力的关系，下列说法正确的是（　　） A．物体在南极受到的万有引力大于重力 B．物体在赤道受到的万有引力大于重力 C．离地越高，物体的重力加速度越大 D．万有引力是重力的一个分力，因此重力大于万有引力 【变式6-1】（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示，P、Q为质量均为m的两个质点，分别置于地球表面上的不同纬度上，如果把地球看成一个均匀球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则说法正确的是（　　） A．P、Q所受重力大小相等 B．P、Q受地球引力大小相等 C．P、Q的向心力大小相等 D．运动过程中质点P线速度不变 问题三：万有引力的计算 【角度1】公式法 【典例7】（2024·广西·高考真题）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在（　　） A．a处最大 B．b处最大 C．c处最大 D．a、c处相等，b处最小 万有引力定律公式适用于质点、质量分布均匀的球体或球壳间万有引力的计算，当两物体为质量分布均匀的球体或球壳时，可以认为质量集中于球心，r为两球心间的距离，引力的方向沿两球心的连线。 【变式7-1】从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受陆平台的作用力大小之比为（　　） A．9∶1 B．9∶2 C．36∶1 D．72∶1 【变式7-2】（2024·四川绵阳·一模）1994年发生了苏梅克-列维9号彗星与木星相撞事件，由于强大的引力潮汐效应，相撞前彗星被撕裂为二十几块。如图所示的简化模型能解释引力潮汐效应。质量分布均匀的球状行星半径为R、密度为ρ，两质量均为m的球体可视为质点，固定在长为L的轻质细杆两端。两球体在行星引力作用下自由下落，杆一直沿竖直方向，某时刻下端球体与行星表面间距离为h，忽略两球间的万有引力。关于杆上张力F随上述中的一个物理量变化的情况，下列说法正确的是（　　） A．L越大，F越小 B．ρ越大，F越小 C．m越大，F越小 D．h越大，F越小 【角度2】推论法 【典例8】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）有人设想建设贯通地球弦线的光滑列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，O'为隧道的中点，O'与地心O的距离为，如图所示。假设地球是质量均匀分布的球体，地球的半径为R，表面的重力加速度为g，忽略地球的自转。已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零，P点到O'的距离为x，求： (1)列车在P点受到引力的大小与列车在地面受到重力大小mg的比值； (2)列车在P点沿隧道AB方向的加速度大小； (3)列车在运动中的最大速度的大小。 推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即。 推论2：如图所示，在匀质球体内部距离球心r处的质量为m的质点受到的万有引力，等于球体内半径为r、质量为M´的同心球体对它的万有引力，即。 【变式8-1】（24-25高三上·安徽·阶段练习）如图，在一半径为R，质量分布均匀的大球内部挖去一个半径为的小球（两球相切于P点），，分别为大球、小球的球心。另外有一个可视为质点、质量为m的物体N。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零，大球的密度为，引力常量为G。 (1)若将物体N置于处，求大球剩余部分对物体N的万有引力大小； (2)若仅考虑大球剩余部分对物体N的万有引力的作用，将物体N从P处由静止释放，求物体N到达处的时间。 【变式8-2】（22-23高三上·山东·阶段练习）（多选）如图所示，有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的Р点有一质量为m的质点，从M中挖去一个半径为的球体，设大球剩余部分对m的万有引力为F1。若把质点m移放在空腔中心点，设大球的剩余部分对该质点的万有引力为F2。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0，万有引力常量为G，O、、P三点共线。下列说法正确的是（　　） A．F1的大小为 B．F2的大小为 C．若把质点m移放在O点右侧，距O点处，大球的剩余部分对该质点的万有引力与F2相同 D．若把质点m移放在O点右侧，距O点处，大球的剩余部分对该质点的万有引力与F2不同 【角度3】填补法 【典例9】（2024·湖北·模拟预测）半径为R、质量分布均匀且为M的两个相同的球固定在水平面上，两个球球心之间的距离为4R，它们间的万有引力大小为 F。现在两球心的连线外侧各挖掉一个直径为 R 的小球，剩余部分放在相同位置，如图所示。则剩余部分之间的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． (1)计算一些不完整球形物体(含球穴)间的万有引力时,常采用“填补法” (2)对非对称的物体,通过填补后构成对称物体,然后利用对称物体所满足的物理规律进行求解的方法称为“填补法”。 (3)具体求解步骤 ①把从均匀球体上挖去的部分补上; ②计算完整球体所受的万有引力; ③计算补上部分所受的万有引力; ④)两者之差即球体剩余部分所受的万有引力。 【变式9-1】（22-23高一下·云南曲靖·阶段练习）如图所示，有一质量为，半径为，密度均匀的球体，在距离球心为的地方有一质量为的质点，现从中挖去一半径为的球体，试求： （1）剩余部分对质点的引力大小； （2）若在挖空部分填满另外一种密度为原来2倍的物质，求填充后的实心体对质点的引力大小。 【变式9-2】（2023·重庆·模拟预测）如图所示，从一质量为M、半径为2R的均匀球体的球心O处挖出一半径为R的小球，将其移至两球面相距R处，已知引力常量为G，则大球剩余部分和小球间的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 问题四：万有引力与天体运动 【角度1】时间 【典例10】（2024·浙江·模拟预测）一部科幻小说中在地球飞向某一新的恒星的过程中，科学家分别测出距该恒星表面高为h、的引力加速度大小为a和4a。若最后地球以距离该恒星表面高H处近似做圆周运动，求地球新的一“年”为（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】（2024·吉林长春·一模）（多选）卫星P、Q绕某行星运动的轨道均为椭圆，只考虑P、Q受到该行星的引力，引力大小随时间的变化如图所示，已知下列说法正确的是（　　） A．P、Q绕行星公转的周期之比为 B．P、Q到行星中心距离的最小值之比为 C．P、Q的质量之比为 D．Q的轨道长轴与短轴之比为 【角度2】引力 【典例11】（2024·湖北黄石·三模）（多选）位于贵州的500米口径球面射电望远镜，其反射面相当于30个足球场的大小，灵敏度达到世界第二大望远镜的2.5倍以上，大幅拓展了人类的视野。射电望远镜观测到某行星的卫星、绕以其为焦点的椭圆轨道运行，星的运行周期约为星的倍，星轨迹远点到行星的距离是轨迹近点的2倍，星轨迹远点到行星的距离是轨迹近点的3倍。假设、只受到行星的引力，则下列叙述正确的是（　　） A．星受到行星的引力最大值与最小值之比为 B．星受到行星的引力始终小于星 C．星受到行星的引力最大值与星受到行星的引力最小值之比为 D．星轨迹近点到行星的距离小于星轨迹远点到行星的距离 【变式11-1】（23-24高一下·全国·课后作业）（多选）如图所示，三颗质量均为的卫星等间隔分布在半径为的圆轨道上，设地球质量为、半径为。已知引力常量为，下列说法正确的是（　　） A．地球对一颗卫星的引力大小为 B．一颗卫星对地球的引力大小为 C．两颗卫星之间的引力大小为 D．三颗卫星对地球引力的合力大小为 【变式11-2】（23-24高一下·山西·期末）月球对地球施加的引力是造成潮汐的主要原因。如图所示，当月球在某个位置时，它对地球上最近的那部分海洋有较强的引力作用，导致海水向月球方向隆起，形成高潮。已知地球质量为M，地球半径为R，地球自转周期为T，月球质量为m，月球到地球的距离为r，引力常量为G，取地月连线上靠近月球一侧的地球表面上质量为的小水球作为研究对象，求： （1）小水球绕地心做圆周运动的向心力大小； （2）月球对小水球的引力大小与地球对小水球的引力大小之比。 【角度3】综合 【典例12】（2024·四川泸州·二模）（多选）2023年7月10日，经国际天文学联合会小行星命名委员会批准，中国科学院紫金山天文台发现的国际编号为381323号的小行星被命名为“樊锦诗星”。如图所示，地球绕日运行近视为圆轨道，“樊锦诗星”绕日运行为椭圆轨道，其轨道半长轴为3.18天文单位（日地距离为1天文单位），远日点到太阳中心距离为4.86天文单位。下列说法正确的是（　　） A．“樊锦诗星”绕太阳转动一圈，需要3.18年 B．“樊锦诗星”在近日点离太阳中心的距离为1.5天文单位 C．“樊锦诗星”在远日点的加速度与地球的加速度大小之比为 D．“樊锦诗星”、地球分别跟太阳中心的连线，在相等时间内扫过的面积相等 【变式12-1】（2024·河北邯郸·一模）（多选）如图为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上的示意图，其中冬至时地球离太阳最近。仅考虑太阳对地球的引力，关于地球绕太阳公转过程，下列说法正确的是（　　） A．在冬至位置地球所受万有引力最大 B．在立春位置，根据万有引力定律可得 C．地球自转周期的平方与轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数 D．经过近日点、远日点两位置的瞬时速度大小之比约为1.03 【变式12-2】（2024·浙江嘉兴·一模）哈雷彗星是第一颗被人类记录的周期彗星，每年环绕太阳一周，古代中国称其为“扫帚星”。如图所示，地球绕太阳做匀速圆周运动，轨道半径为r，哈雷彗星的轨道是椭圆，近日点与太阳中心距离为，远日点与太阳中心距离为，则（　　） A．哈雷彗星在远日点的速度最大 B．彗星在近日点受到的太阳引力小于彗星对太阳的引力 C．哈雷彗星在近日点与远日点的加速度之比 D．和之间满足关系式 【基础强化】 1．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）下列说法符合史实的是（　　） A．牛顿发现了行星的运动规律 B．开普勒发现了万有引力定律 C．卡文迪什测出了引力常量G， 被称为“称量地球重量的人” D．伽利略用“月—地检验”证实了万有引力定律的正确性 2．（2024·内蒙古赤峰·一模）物理学是集科学知识、科学方法和科学思维为一体的学科。下列有关科学思维方法的叙述正确的是（   ） A．图甲所示，通过平面镜观察桌面的微小形变——放大法 B．图乙所示，探究两个互成角度共点力的合成实验——理想模型法 C．图丙所示，卡文迪许利用扭秤实验测量引力常量——控制变量法 D．图丁所示，伽利略利用理想斜面实验对力和运动关系的研究——极限法 3．（2025·陕西宝鸡·一模）中国的二十四节气是中华民族优秀的文化传统与祖先广博智慧的世代传承， 被国际气象界誉为中国“第五大发明”。如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置， 分别对应我国的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为r1、r2，下列说法正确的是（　　） A．冬至时地球的运行速度最小 B．地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为 C．地球从秋分到冬至的运行时间为公转周期的 D．地球在冬至和夏至时， 所受太阳的万有引力之比为 4．（2024·贵州贵阳·模拟预测）质量相同的a、b两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动。a卫星是地球同步卫星，b卫星绕地球的周期约为3小时。则b卫星受地球的引力大小约是a卫星受地球引力大小的几倍（　　） A．1 B．8 C．16 D．27 5．（2024·广西·模拟预测）鹊桥二号中继卫星于2024年3月20日成功发射，为后续我国载人登月提供可靠保障。在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为，地球绕太阳运动的周期为，太阳半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的质量之比约为（  ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江西·开学考试）2023年8月10日，我国首颗以人工智能载荷为核心、具备智能操作系统的智能应急卫星“地卫智能应急一号”在酒泉卫星发射中心成功发射并进入预定轨道，它标志着许多智能应用能够直接在卫星上实现。在火箭搭载该卫星加速升空的过程中，某时刻卫星上压力传感器显示卫星对支撑平台的压力示数为，高度传感器显示此时卫星离地面的高度为h。已知卫星质量为m，地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，忽略地球的自转影响，则此时火箭加速度的大小为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·浙江·模拟预测）有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为的地方有一质量为m的质点。现从球体中挖去半径为的小球体，如图所示，万有引力常量为G，则剩余部分对m的万有引力为（　　） A． B． C． D． 8．（2024·贵州遵义·一模）（多选）如图所示，鹊桥二号中继星在椭圆轨道上绕月球运行，运行周期为T。鹊桥二号在近月点和远月点时，受到的引力大小分别为F1和F2，加速度大小分别为a1和a2，速度大小分别为v1和v2，从远月点到近月点的时间为t，不考虑其他天体的影响。则（　　） A．v1 > v2 B．a1 > a2 C．F1 < F2 D．t < 0.5T 9．（22-23高一下·四川成都·期中）（多选）如图所示，是一个半径为，质量为的密度均匀球体的球心，现在其内以为球心挖去一个半径为的球，并在空心球内某点放置一个质量为的质点。若已知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，则球剩余部分对该质点的万有引力（　　） A．方向由点指向连线上某点 B．方向与连线平行 C．大小为 D．大小为 10．（24-25高二上·上海·开学考试）万有引力定律是支持宇宙探秘的重要理论之一。 (1)第一次在实验室验证万有引力定律，并较精确测出万有引力常量的是__________ A．牛顿 B．卡文迪什 (2)用国际单位制的基本单位表示万有引力常量的单位，下列符合要求的是（　　） A．N·m2/kg2 B．N·kg2/m2 C．m3/（kg·s2） D．kg·s2/m3 (3)如图为测量万有引力常量的装置，该实验中为测量石英丝极微小的扭转角，采取“微小量放大”的主要措施是（　　） A．增大石英丝的直径 B．增大T型架横梁的长度 C．增大光源与平面镜的距离 D．增大刻度尺与平面镜的距离 【素养提升】 11.（22-23高一下·陕西西安·期中）半径为、密度为的球内部有半径为r（r＜R）的球形空腔，空腔中心位于离球心处（如图）。质量为的质点离球心距离为，如果三角形是直角三角形： （1）∠ACB为直角时，求该质点被多大力吸向球； （2）∠BAC为直角时，求该质点被多大力吸向球。 12．（22-23高三下·浙江·期中）某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中，行星到卫星A、B轨道上点的距离分别记为rA、rB。假设A、B只受到行星的引力，下列叙述正确的是（　　） A．B与A的绕行周期之比为:1 B．rB的最大值与rB的最小值之比为2:1 C．rA的最大值与rA的最小值之比为3:1 D．rB的最小值小于rA的最大值 【能力培优】 13.（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）(1)牛顿发现万有引力定律之后，在卡文迪许生活的年代，地球的半径经过测量和计算已经知道约6400千米，很快通过计算得出了地球的质量。1798年，他首次测出了地球的质量数值，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G。 a.求地球的质量； b.若一卫星在距地球表面高为h的轨道上绕地球做匀速圆周运动，求该卫星绕地球做圆周运动的周期； (2)牛顿时代已知如下数据：月球绕地球运行的周期T、地球半径R、月球与地球间的距离60R、地球表面的重力加速度g。牛顿在研究引力的过程中，为了验证地面上物体的重力与地球吸引月球的力是同一性质的力，同样遵从与距离的平方成反比规律的猜想；接着他设想，把一个物体放到月球轨道上，假定物体在地面受到的重力和在月球轨道上运行时受到的引力，都是来自地球的引力，他又从动力学的角度计算出了物体在月球轨道上的向心加速度。上述两个加速度的计算结果是一致的，从而证明了物体在地面上所受的重力与地球吸引月球的力是同一性质的力 a.请你分别从运动学的角度和动力学的角度推导出上述两个加速度的表达式； b.已知月球绕地球做圆周运动的周期约为T＝2.4×106s，地球半径约为R＝6.4×106m，取π2＝g。结合题中的已知条件，求上述两个加速度的比值，并得出合理的结论。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 万有引力与宇宙航行 课时7.2 万有引力定律 2020年课程标准 物理素养 2.2.4 通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用。 物理观念：了解开普勒定律的内容，理解行星运动的规律。掌握万有引力定律，理解太阳与行星之间的引力关系。认识到太阳在宇宙中的地位，以及地球在太阳系中的位置。 科学思维：能够运用开普勒定律分析行星运动的实际问题。学会运用万有引力定律计算天体间的引力大小。培养逻辑推理和空间想象能力，对行星运动进行合理预测。 科学探究：通过观察和分析行星运动的数据，探究开普勒定律的适用性。设计实验或模拟实验，验证万有引力定律。学会收集、处理和分析数据，提高科学探究能力。 科学态度与责任：培养对自然现象的好奇心和探索精神，对科学保持敬畏之心。认识到科学家在探索宇宙过程中的艰辛与付出，树立正确的价值观。关注我国航天事业的发展，增强民族自豪感和使命感。树立环保意识，关注地球及宇宙环境，积极参与保护行动。 知识点一、行星与太阳间的引力 1.推导基础 开普勒定律发现以后，科学家们开始思考行星绕太阳运动的原因。牛顿时代的科学家如胡克等人认为行星绕太阳运动是因为受到太阳对它的引力，牛顿在前人对惯性研究的基础上，利用他的运动定律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来。 2.模型简化 行星绕太阳的运动可以近似看作匀速圆周运动，受到一个指向圆心（太阳）的引力，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。 3.公式推导 把行星轨道当做圆来处理，设行星质量为m，速度为v，行星到太阳的距离为r，太阳的质量为M。则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力为。根据开普勒第三定律，，可推导出，进而得到，即太阳对行星的引力。根据牛顿第三定律，行星对太阳也有引力，且与太阳对行星的引力大小相等，方向相反，所以行星对太阳的引力，综合可得太阳与行星间的引力，即，其中G为比例常数。 特别提醒 太阳的质量远大于各行星的质量，因此一般只考虑太阳与行星间的引力，不计各行星间的引力。 知识点二、月-地检验 1.目的 验证月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力。 2.假设与推理 假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足。根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度，式中M地是地球质量，r是地球中心与月球中心的距离。 假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度，式中R是地球中心与苹果间的距离。由以上两式可得。由于月球与地球中心的距离约为地球半径的 60 倍，所以。 3.结论 地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力，遵从相同的规律。 知识点三、万有引力定律 1.内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间的距离r的二次方成反比。 2.公式 其中F为引力，G为万有引力常数，m1、m2为两物体质量，r为两物体质心或球心间的距离。 3.适用条件 （1）公式适用于计算两质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时也适用。 （2）求解质量分别均匀且有一定间距的球体间的相互作用，也可以用此公式，此时r为两球心间的距离。 （3）当物体不能看成质点，且不是质量分别均匀的球体时，可以把物体看成是由无数个质点构成，分别求出各质点与另一物体所有质点的万有引力，然后矢量合成，即得两物体间的万有引力。 4.特性 （1）普遍性：万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力。 （2）相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上。 （3）宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用。 （4）特殊性：两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关。 知识点四、引力常量 1.数值与单位 引力常量目前推荐标准值G=6.67259×10-11N·m2/kg2，通常取G=6.67×10-11N·m2/kg2。 2.测量历史 牛顿发现万有引力定律后的 100 多年里，无法准确测量出引力常量。直到英国物理学家卡文迪许在实验室里用扭秤实验巧妙地测出了引力常量。卡文迪许通过在 T 形架两端固定小球，附近放置大球，根据万有引力使 T 形架扭转，利用镜子反射光的光斑移动来放大扭转角度，从而测出引力大小，进而得出引力常量。 3.意义 引力常量的普适性成为万有引力定律正确的见证，使万有引力定律有了真正实用的价值，可据此测定地球表面物体重力加速度、测地球质量等。 知识点五、用万有引力定律解释相关现象 1.万有引力与重力 （1）区别 概念：万有引力是自然界中任何两个物体之间都存在的相互吸引力，遵循。重力是由于地球吸引而使物体受到的力，在地球上，重力是地球对物体万有引力的一个分力，在忽略地球自转时可近似认为二者相等。 方向：万有引力方向在两物体质心连线上，对于地球上物体，地球视为均匀球体时，物体受地球的万有引力指向地心。重力方向竖直向下，在赤道和两极与万有引力方向重合，其他位置有夹角。 大小：万有引力大小由计算。重力一般用G = mg计算，g与位置有关，随纬度升高而增大，随高度增加而减小。 （2）联系 本质：重力源于地球对物体的万有引力，是万有引力在地球表面附近的一种表现。 大小关系：不考虑地球自转时，在地球表面。考虑地球自转时，万有引力F分解为重力G和向心力F向，，重力略小于万有引力。 2.黄金代换 （1）内容：在不考虑地球自转的情况下，地球表面质量为m的物体所受重力G=mg等于地球对它的万有引力，即，化简可得，这就是黄金代公式。其中G为引力常量，M为地球质量，m为物体质量，R为地球半径，g为地球表面重力加速度。 （2）应用：黄金代换公式在很多天体问题中非常有用，它可以将一些难以直接测量的物理量（如地球质量M与容易测量的物理量（如地球半径R和重力加速度g）联系起来，方便进行计算和分析。例如在计算天体质量、卫星的环绕速度等问题时，经常会用到黄金代换公式进行代换和求解。 3.地球重力加速度g及其变化（忽略地球自转） （1）地球表面处的重力加速度 地球表面处物体受到的重力近似等于万有引力，即，所以地球表面处的重力加速度，其中R为地球半径，M为地球质量，G为引力常量。 （2）距离地球表面高度为h处的重力加速度 ，所以 （3）地球内部距地球表面为h＇的深度处的重力加速度 理论表面，一个均匀的球壳，对处在其中的物体的引力为零。 地球表面：，在深度为h＇的地球内部：，所以。 4.物体在赤道上完全失重的条件 （1）受力分析：在赤道上，物体随地球自转做匀速圆周运动，此时物体受到地球的万有引力，这个力提供物体做圆周运动的向心力和重力G＝mg，即F＝F向＋G。 （2）完全失重条件：当物体所受的万有引力恰好全部用来提供向心力时，物体对支持物的压力或对悬挂物的拉力为零，即处于完全失重状态。 此时， 所以完全失重的临界条件（地球半径R＝6400km） a0＝g＝9.8m/s2 上述结果是近地人造卫星的向心加速度、角速度、线速度和周期。 5.地球不因自转而瓦解的最小密度 （1）原理分析：地球自转时，赤道处的物体所受的万有引力一部分提供向心力，若地球自转角速度过大，赤道处的物体可能会因所需向心力过大而脱离地球，导致地球瓦解。为使地球不瓦解，赤道处物体所受万有引力应能提供足够的向心力。 （2）推导过程 设地球质量为M，半径为R，自转角速度为ω，地球密度为ρ。根据。 对于赤道上质量为m的物体，万有引力提供向心力，当二者相等时地球处于刚好不瓦解的临界状态，即。 将、代入可得：。 已知地球自转周期T = 24×3600s，G = 6.67×10-11N·m2/kg2，代入可得地球不因自转而瓦解的最小密度值。而地球的平均密度ρ0＝5507.85kg/m3，足以保证地球处于稳定状态。 问题一：万有引力定律的推导 【角度1】物理学史 【典例1】（2024·全国·模拟预测）物理学的发展离不开物理学家们的智慧和奋斗，他们对物理学的研究既展现了他们的聪明才智，又展现了他们超强的意志品质。下列有关物理史实的叙述正确的是（　　） A．伽利略采用“冲淡”重力的方法，使得位移的测量更加容易 B．牛顿进行了“月-地检验”，验证了引力常量数值的正确性 C．卡文迪什通过扭秤实验测定了引力常量的数值，证明了万有引力定律的正确性 D．开普勒用20年的时间研究伽利略的行星观测记录，发现了开普勒行星运动定律 【答案】C 【解析】A．伽利略采用“冲淡”重力的方法，使得时间的测量更加容易，故A错误； B．牛顿进行了“月-地检验”，验证了地球与物体间引力与天体间引力属于同种性质力，故B错误； C．卡文迪什通过扭秤实验测定了引力常量的数值，证明了万有引力定律的正确性，故C正确； D．开普勒用20年的时间研究第谷的行星观测记录，发现了开普勒行星运动定律，故D错误。 故选C。 解法通则 要解决这类题型，需理解和熟记本节涉及的物理学家及他们的观点。 （1）伽利略 “冲淡” 重力实验 伽利略让铜球在阻力很小的斜面上滚下，“冲淡” 重力的作用，以便更容易测量时间和研究物体运动规律，通过实验和合理外推，得出自由落体运动的规律等。 （2）牛顿 “月 - 地检验” 牛顿假设地球对月球的引力与地球对地面上物体的引力是同一种力，都遵循平方反比规律。他通过计算月球绕地球运动的向心加速度和地面上物体的重力加速度，比较它们是否符合平方反比关系，从而验证了万有引力定律的正确性。 （3）卡文迪许扭秤实验 卡文迪许利用扭秤装置，通过微小的扭转形变放大原理，精确地测量出了引力常量的数值，使得万有引力定律能够进行更精确的定量计算。 （4）开普勒研究行星运动定律 开普勒通过对第谷等前人大量的天文观测数据的研究，总结出了行星运动的三大定律，为牛顿发现万有引力定律奠定了基础。 【变式1-1】（22-23高一下·湖南·期中）下列关于物理学史的说法，正确的是（　　） A．卡文迪什的理想斜面实验说明力不是维持物体运动的原因 B．开普勒研究了前人的观测数据，提出了行星运动定律 C．胡克发现：在任何情况下，弹簧的弹力与物体的形变量成正比 D．牛顿总结前人的研究，提出了万有引力定律，并用实验测定了万有引力常量 【答案】B 【解析】A．理想斜面实验是伽利略完成的，故A错误； B．开普勒研究了前人的观测数据，提出了行星运动定律，故B正确； C．弹性限度内，弹力与形变量成正比，故C错误； D．牛顿总结前人的研究，提出了万有引力定律，卡文迪什测出了万有引力常数，故D错误。 故选B。 【变式1-2】（2024·浙江·一模）下列关于物理研究方法的叙述中，正确的是（　　） A．把物体当成质点来处理，主要采用了“微元法” B．建立“重心”概念时，主要采用了“极限法” C．卡文迪什利用扭秤实验测出了引力常量的数值，主要采用了“放大法” D．利用图像推导匀变速直线运动位移与时间公式时，主要采用了“控制变量法” 【答案】C 【解析】A．把物体当成质点来处理，抓住主要因素忽略次要因素，主要采用了理想模型法。故A错误； B．立“重心”概念时，主要采用了“等效法”。故B错误； C．卡文迪什利用扭秤实验测出了引力常量的数值，主要采用了“放大法”。故C正确； D．在推导匀变速运动的位移公式时，采用微元法将变速运动等效近似为很多小段的匀速运动。故D错误。 故选C。 【角度2】行星与太阳间的引力 【典例2】(2023北京朝阳六校联考)牛顿利用他发现的运动规律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来，并深入思考了月球受到的引力与地面物体受到的引力的关系。设太阳质量为m1，地球质量为m2，月球质量为m3，地球与太阳间距离为R，月球与地球间距离为r。若地球绕太阳的运动及月球绕地球的运动可以看成匀速圆周运动。关于得出万有引力定律的推理，下列说法正确的是 (　　) A.根据地球绕太阳的运动规律及开普勒第三定律得出，太阳对地球的吸引力 B.根据牛顿第三定律及对称性，地球对太阳的吸引力与太阳对地球的吸引力的比例系数相同 C.类比地球绕太阳的运动规律及开普勒第三定律得出，地球对月球的吸引力 D.若地球对苹果的吸引力与地球对月球的力是同一种力，则苹果自由落体的加速度与月球绕地球做圆周运动的向心加速度之比为 【答案】C　 【解析】A.若地球绕太阳的运动为匀速圆周运动，则太阳对地球的吸引力提供向心力，有，根据开普勒第三定律可知，联立可得，A错误； B.太阳对地球的吸引力为，同理可得，地球对太阳的吸引力为，由于受力物体不同，所以二者的比例系数不相同，B错误； C.类比地球绕太阳的运动规律及开普勒第三定律得出，地球对月球的吸引力为，C正确； D.若地球对苹果的吸引力与地球对月球的力是同一种力，则，，所以苹果自由落体加速度与月球绕地球做圆周运动的向心加速度之比为，D错误。 【变式2-1】下列关于行星对太阳的引力的说法中正确的是：（ ） A．行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一种性质的力 B．行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星的质量无关 C．太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力 D．行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星距太阳的距离成反比 【答案】A 【解析】行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是作用力与反作用力，所以是同一种性质的力且大小相等，A对，C错；行星对太阳的引力即与太阳质量有关，又与行星的质量有关，B错；行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星距太阳的距离的平方成反比，D错。 【变式2-2】（多选）根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动知识知：太阳对行星的引力，行星对太阳的引力，其中M、m、r分别为太阳、行星质量和太阳与行星间的距离。下列说法正确的是 （ ） A．由和知 B．F和F大小相等，是作用力与反作用力 C．F和F大小相等，是同一个力 D．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力 【答案】BD 【解析】根据牛顿第三定律，太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是作用力与反作用力，故两个力的大小相等方向相反，故A错误，B正确；太阳对行星的引力受力物体是行星，行星对太阳的引力受力物体是太阳，故两个力不是同一个力，故C错误；行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的万有引力提供行星圆周运动的向心力，故D正确． 考点：考查了万有引力定律的应用 【角度3】月-地检验 【典例3】（23-24高三上·河北邯郸·阶段练习）地球绕太阳运动，月球绕地球运动，它们之间的作用力是同一性质的力，这种力与地球对树上苹果的力也是同一性质的力吗？牛顿认为苹果受到地球的吸引才下落，这种吸引力与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质，且都满足。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，苹果自由落体的加速度为，根据牛顿的想法，月球绕地球公转的向心加速度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】假设地面的地球吸引力与地球吸引月球绕地球运行的引力是同种力，即地面的重力满足 则 对于月球，有 所以 故选A。 【变式3-1】（23-24高一下·北京海淀·期末）请阅读文字。牛顿根据行星运动规律得出“天体间引力遵循平方反比规律”后，进一步设想“使苹果落向地面的力”与天体间的引力是同一性质的力。为此，他进行了著名的“月—地检验”加以证实。设地球质量为、月球质量为、苹果质量为，地球中心与月球中心的距离为r，地球中心与苹果的距离为R，引力常量为G、地表重力加速度为g。 （1）月球绕地球做匀速圆周运动的过程中，下列物理量保持不变的是（　　） A．周期 B．线速度 C．向心力 D．向心加速度 （2）假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一性质的力，则地球与月球间的作用力F的表达式为（　　） A． B． C． D． （3）假设地球与树上苹果的作用力和地球与月球间的作用力也是同一性质的力，则月球绕地球做圆周运动的向心加速度和苹果的自由落体加速度之间的大小关系应该满足（　　） A． B． C． D． 【答案】（1）A （2）D （3）C 【解析】（1）月球绕地球做匀速圆周运动的过程中，周期保持不变，线速度、向心力和向心加速度均大小不变，方向时刻发生变化。 故选A。 （2）已知地球中心与月球中心的距离为r，假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一性质的力，则地球与月球间的作用力F的表达式为 故选D。 （3）根据 可得 故选C。 问题二：万有引力定律的理解 【角度1】万有引力定律的理解 【典例4】（2023·浙江宁波·模拟预测）太阳系中，地球和月球一起绕着太阳做匀速圆周运动，同时，月球也绕着地球做匀速圆周运动，太阳对月球的引力大于地球对月球的引力。在地球周围，还有宇航员在空间站中，空间站也绕着地球做匀速圆周运动。根据上述信息，下列说法正确的是（　　） A．以地球为参考系，月球绕地球做圆周运动的加速度大小随时间变化 B．月球绕太阳转动的向心加速度大于绕地球公转的向心加速度 C．当月球处在太阳与地球的连线上时候，月球的加速度方向指向地球 D．宇航员在空间站中，不受到地球的引力 【答案】B 【解析】A．月球绕着地球做匀速圆周运动，根据可知以地球为参考系，月球绕地球做圆周运动的加速度大小不变，故A错误； B．太阳对月球的引力大于地球对月球的引力，根据可知月球绕太阳转动的向心加速度大于绕地球公转的向心加速度，故B正确； C．由于太阳对月球的引力大于地球对月球的引力，当月球处在太阳与地球的连线上时候，月球的加速度方向指向太阳，故C错误； D．宇航员在空间站中，受到地球的引力，故D错误； 故选B。 【变式4-1】关于万有引力公式的理解，以下说法中正确的是（　　） A．牛顿首先得到了万有引力定律，并且用实验测定了引力常量G的数值 B．由公式可知，两物体紧靠在一起时万有引力无穷大 C．可看作质点的两物体间的引力可用公式计算 D．两个质点质量不变，距离变为原来的2倍，则它们之间的万有引力将变为原来的 【答案】C 【解析】A．卡文迪许用实验测定了引力常量G的数值，A错误； B．两物体紧靠在一起时，万有引力公式不再适用，B错误； C．可看作质点的两物体间的引力可用公式计算，C正确； D．根据公式，两个质点质量不变，距离变为原来的2倍，则它们之间的万有引力将变为原来的，D错误。 故选C。 【变式4-2】（23-24高一下·安徽·期末）对于万有引力定律的表达式，下列说法正确的是（　　） A．引力常量G的单位为 B．当物体间的距离趋近于0时，物体间的万有引力无穷大 C．若，则两物体之间所受万有引力比的大 D．该表达式只能用来计算质点与质点间的万有引力大小 【答案】A 【解析】A．根据 有 根据单位运算可知，引力常量G的单位为，故A正确； B．当r趋近于无穷远时，万有引力趋近于无穷小，但当间距为零时，万有引力定律不适用，故B错误； C．两物体彼此之间的万有引力是一对相互作用力，大小总是相等，故C错误； D．万有引力定律可以普遍使用，不仅仅只适用于两个质点间万有引力大小的计算，故D错误。 故选A。 【角度2】引力常量 【典例5】（24-25高一上·山西·期末）人类对天体运动的认识，经历了漫长的发展过程，直到1687年牛顿在其出版的《自然哲学的数学原理》中正式提出万有引力定律，才成功解释了天体运动的规律，其公式为，其中为两个物体的质量，r为两个物体间的距离，G为引力常量．关于G的单位，用国际单位制中的基本单位表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由万有引力定律有 可得 若用国际单位制的基本单位表示为 故选A。 【变式5-1】（2023·上海松江·二模）如图，卡文迪什扭秤实验中使用了带有平面镜M的光学系统，它的作用是（　　） A．等效替代 B．放大 C．增大亮度 D．监测装置是否平衡 【答案】B 【解析】卡文迪什扭秤实验中使用了带有平面镜M的光学系统，它的作用是放大微小角度变化。 故选B。 【角度3】万有引力与重力 【典例6】（23-24高一下·广东广州·期中）关于重力和万有引力的关系，下列说法正确的是（　　） A．物体在南极受到的万有引力大于重力 B．物体在赤道受到的万有引力大于重力 C．离地越高，物体的重力加速度越大 D．万有引力是重力的一个分力，因此重力大于万有引力 【答案】B 【解析】ABD．万有引力的一个分力表现为重力，另一分力提供物体转动的向心力，在赤道处地球自转线速度最大，所需向心力最大，故此地重力最小，所以物体在赤道受到的万有引力大于重力，在地球两极万有引力等于重力，故AD错误，B正确； C．离地越高，物体的重力加速度越小，故C错误。 故选B。 【变式6-1】（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示，P、Q为质量均为m的两个质点，分别置于地球表面上的不同纬度上，如果把地球看成一个均匀球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则说法正确的是（　　） A．P、Q所受重力大小相等 B．P、Q受地球引力大小相等 C．P、Q的向心力大小相等 D．运动过程中质点P线速度不变 【答案】B 【解析】A．考虑地球自转的影响，则纬度越高的地方质量相同的物体所受重力越大，故A错误； B．两质点到地心的距离相等，根据 可知，两质点受到的引力大小相等，故B正确； C．根据题意可知质量和角速度相同，但半径不同，根据公式 可知，两质点的向心力大小不等，故C错误； D．运动过程中质点P的线速度方向不断改变，故D错误。 故选B。 问题三：万有引力的计算 【角度1】公式法 【典例7】（2024·广西·高考真题）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在（　　） A．a处最大 B．b处最大 C．c处最大 D．a、c处相等，b处最小 【答案】A 【解析】根据万有引力公式 可知图中a处单位质量的海水收到月球的引力最大； 故选A。 万有引力定律公式适用于质点、质量分布均匀的球体或球壳间万有引力的计算，当两物体为质量分布均匀的球体或球壳时，可以认为质量集中于球心，r为两球心间的距离，引力的方向沿两球心的连线。 【变式7-1】从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受陆平台的作用力大小之比为（　　） A．9∶1 B．9∶2 C．36∶1 D．72∶1 【答案】B 【解析】悬停时所受平台的作用力等于万有引力，根据 可得 故选B。 【变式7-2】（2024·四川绵阳·一模）1994年发生了苏梅克-列维9号彗星与木星相撞事件，由于强大的引力潮汐效应，相撞前彗星被撕裂为二十几块。如图所示的简化模型能解释引力潮汐效应。质量分布均匀的球状行星半径为R、密度为ρ，两质量均为m的球体可视为质点，固定在长为L的轻质细杆两端。两球体在行星引力作用下自由下落，杆一直沿竖直方向，某时刻下端球体与行星表面间距离为h，忽略两球间的万有引力。关于杆上张力F随上述中的一个物理量变化的情况，下列说法正确的是（　　） A．L越大，F越小 B．ρ越大，F越小 C．m越大，F越小 D．h越大，F越小 【答案】D 【解析】设行星质量为，有，对杆下端的球体有 对杆上端的球体有 得 可知L越大，F越大，A错误；ρ越大，越大，F越大，B错误；m越大，F越大，C错误；h越大，F越小，D正确。 故选D。 【角度2】推论法 【典例8】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）有人设想建设贯通地球弦线的光滑列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，O'为隧道的中点，O'与地心O的距离为，如图所示。假设地球是质量均匀分布的球体，地球的半径为R，表面的重力加速度为g，忽略地球的自转。已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零，P点到O'的距离为x，求： (1)列车在P点受到引力的大小与列车在地面受到重力大小mg的比值； (2)列车在P点沿隧道AB方向的加速度大小； (3)列车在运动中的最大速度的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）设地球的质量为，则在地面附近时 设P点到地心的距离为r 则有 其中 代入可得 （2）设，则 结合上述分析可知，P点的重力加速度为 列车运动到P点加速度满足 解得 （3）列车在A点受到地球的引力为 列车在A点受到合力为 由几何关系可得 列车在隧道内距的距离时，AB方向的合力为 可知随均匀变化，列车从A到做加速度减小的加速运动，则列车在点有最大速度，则有 其中 解得 推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即。 推论2：如图所示，在匀质球体内部距离球心r处的质量为m的质点受到的万有引力，等于球体内半径为r、质量为M´的同心球体对它的万有引力，即。 【变式8-1】（24-25高三上·安徽·阶段练习）如图，在一半径为R，质量分布均匀的大球内部挖去一个半径为的小球（两球相切于P点），，分别为大球、小球的球心。另外有一个可视为质点、质量为m的物体N。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零，大球的密度为，引力常量为G。 (1)若将物体N置于处，求大球剩余部分对物体N的万有引力大小； (2)若仅考虑大球剩余部分对物体N的万有引力的作用，将物体N从P处由静止释放，求物体N到达处的时间。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）物体N受到的大球剩余部分的引力为大球对物体N的引力减去小球对物体N的引力。未挖去前，大球对物体N引力为零，所以大球剩余部分的引力等于小球对物体N的引力， 方向沿指向 解得 （2）如图，假设物体N运动到了P、连线上的Q点 设、Q距离为x，未挖去前，大球对物体N引力 小球对物体N引力 大球剩余部分的引力 所以物体N的加速度 物体N从P到达，有 解得 【变式8-2】（22-23高三上·山东·阶段练习）（多选）如图所示，有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的Р点有一质量为m的质点，从M中挖去一个半径为的球体，设大球剩余部分对m的万有引力为F1。若把质点m移放在空腔中心点，设大球的剩余部分对该质点的万有引力为F2。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0，万有引力常量为G，O、、P三点共线。下列说法正确的是（　　） A．F1的大小为 B．F2的大小为 C．若把质点m移放在O点右侧，距O点处，大球的剩余部分对该质点的万有引力与F2相同 D．若把质点m移放在O点右侧，距O点处，大球的剩余部分对该质点的万有引力与F2不同 【答案】AC 【解析】A．设半径为的小球体的质量为，球体的密度为，则有 联立可得 由补偿法可知，其余部分对P处质点的引力等于大球对该点的引力减去挖走的小球对该点的引力，则大球剩余部分对m的万有引力为 代入数据解得 A正确； B．由质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0可知，大球不挖走小球时，大球对点的质点的引力等于以O点为圆心为半径的小球对该点的引力，即 由补偿法可知，其余部分对处质点的引力等于大球对该点的引力减去挖走的小球对该点的引力。因为质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0，故挖走的小球对该点的引力为0，所以其余部分对该点的引力等于实心大球对该点的引力。B错误； CD．半径为、的小球质量分别为 由B选项分析可知，若把质点m移放在O点右侧，距O点处，大球的剩余部分对该质点的万有引力等于以O点为圆心为半径的小球对该点的引力，即 同理挖走的小球对该点的引力为以点为圆心，为半径的小球对该点的引力 故其余部分对该点的引力为 C正确，D错误。 故选AC。 【角度3】填补法 【典例9】（2024·湖北·模拟预测）半径为R、质量分布均匀且为M的两个相同的球固定在水平面上，两个球球心之间的距离为4R，它们间的万有引力大小为 F。现在两球心的连线外侧各挖掉一个直径为 R 的小球，剩余部分放在相同位置，如图所示。则剩余部分之间的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设小球对另一个大球的万有引力大小为，大球剩余部分对另一个大球的万有引力大小为，小球对小球的万有引力大小为，小球对另一个大球剩余部分的万有引力大小为，大球剩余部分对另一个大球剩余部分的万有引力大小为。由题可知，挖掉小球的质量 所以 故选D。 (1)计算一些不完整球形物体(含球穴)间的万有引力时,常采用“填补法” (2)对非对称的物体,通过填补后构成对称物体,然后利用对称物体所满足的物理规律进行求解的方法称为“填补法”。 (3)具体求解步骤 ①把从均匀球体上挖去的部分补上; ②计算完整球体所受的万有引力; ③计算补上部分所受的万有引力; ④)两者之差即球体剩余部分所受的万有引力。 【变式9-1】（22-23高一下·云南曲靖·阶段练习）如图所示，有一质量为，半径为，密度均匀的球体，在距离球心为的地方有一质量为的质点，现从中挖去一半径为的球体，试求： （1）剩余部分对质点的引力大小； （2）若在挖空部分填满另外一种密度为原来2倍的物质，求填充后的实心体对质点的引力大小。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）没挖去前，球体对质点m的万有引力 根据 可知挖去部分的质量是球体质量的，则挖去部分对质点m的引力 则剩下部分对m的万有引力 （2）若挖去的小球中填满原来球的密度的2倍的物质，该物质的质量为，则该物质对质点m的万有引力 所以质点所受的万有引力 【变式9-2】（2023·重庆·模拟预测）如图所示，从一质量为M、半径为2R的均匀球体的球心O处挖出一半径为R的小球，将其移至两球面相距R处，已知引力常量为G，则大球剩余部分和小球间的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】大球剩余部分和小球的质量之比为 质量之和为 所以大球剩余部分和小球的质量分别为 所以二者之间的万有引力大小为 故选A。 问题四：万有引力与天体运动 【角度1】时间 【典例10】（2024·浙江·模拟预测）一部科幻小说中在地球飞向某一新的恒星的过程中，科学家分别测出距该恒星表面高为h、的引力加速度大小为a和4a。若最后地球以距离该恒星表面高H处近似做圆周运动，求地球新的一“年”为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设恒星半径r，根据题意 地球绕该恒星做圆周运动周期T，有 联立得 故选C。 【变式10-1】（2024·吉林长春·一模）（多选）卫星P、Q绕某行星运动的轨道均为椭圆，只考虑P、Q受到该行星的引力，引力大小随时间的变化如图所示，已知下列说法正确的是（　　） A．P、Q绕行星公转的周期之比为 B．P、Q到行星中心距离的最小值之比为 C．P、Q的质量之比为 D．Q的轨道长轴与短轴之比为 【答案】ACD 【解析】A．由图可知 故A正确： B．当P离行星最近时 当P离行星最远时 当Q离行星最近时 当Q离行星最远时 由开普勒第三定律可知 联立解得 故B错误； C．由B可知 解得 故C正确； D．设卫星Q的轨迹半长轴为a，半短轴为b，焦距为c，则有 联立解得 所以Q的轨道长轴与短轴之比为，故D正确。 故选ACD。 【角度2】引力 【典例11】（2024·湖北黄石·三模）（多选）位于贵州的500米口径球面射电望远镜，其反射面相当于30个足球场的大小，灵敏度达到世界第二大望远镜的2.5倍以上，大幅拓展了人类的视野。射电望远镜观测到某行星的卫星、绕以其为焦点的椭圆轨道运行，星的运行周期约为星的倍，星轨迹远点到行星的距离是轨迹近点的2倍，星轨迹远点到行星的距离是轨迹近点的3倍。假设、只受到行星的引力，则下列叙述正确的是（　　） A．星受到行星的引力最大值与最小值之比为 B．星受到行星的引力始终小于星 C．星受到行星的引力最大值与星受到行星的引力最小值之比为 D．星轨迹近点到行星的距离小于星轨迹远点到行星的距离 【答案】AD 【解析】A．已知星轨迹远点到行星的距离是轨迹近点的2倍，则根据万有引力定律可知，星受到行星的引力最大值与最小值之比为，故A正确； BC．由于卫星、的质量关系未知，所以无法判定两个卫星受到的引力大小关系，故BC错误； D．根据开普勒第三定律可得 整理得 由题可知 即星轨迹近点到行星的距离小于星轨迹远点到行星的距离，故D正确。 故选AD。 【变式11-1】（23-24高一下·全国·课后作业）（多选）如图所示，三颗质量均为的卫星等间隔分布在半径为的圆轨道上，设地球质量为、半径为。已知引力常量为，下列说法正确的是（　　） A．地球对一颗卫星的引力大小为 B．一颗卫星对地球的引力大小为 C．两颗卫星之间的引力大小为 D．三颗卫星对地球引力的合力大小为 【答案】BC 【解析】AB．根据万有引力定律，地球与一颗卫星之间的引力大小，由于一颗卫星对地球的引力与地球对一颗卫星的引力是一对相互作用力，其大小相等，故B正确，A错误； C．三颗卫星等间隔分布，由几何关系知，两颗卫星间的距离 则两颗卫星间的万有引力大小 故C项正确； D．卫星对地球的引力均沿卫星与地球球心间的连线向外，由于三颗卫星质量相等，各自对地球的引力大小相等，且三颗卫星等间隔分布，由几何关系知，相邻两个力的夹角为，故三颗卫星对地球引力的合力大小为零，故D错误。 故选BC。 【变式11-2】（23-24高一下·山西·期末）月球对地球施加的引力是造成潮汐的主要原因。如图所示，当月球在某个位置时，它对地球上最近的那部分海洋有较强的引力作用，导致海水向月球方向隆起，形成高潮。已知地球质量为M，地球半径为R，地球自转周期为T，月球质量为m，月球到地球的距离为r，引力常量为G，取地月连线上靠近月球一侧的地球表面上质量为的小水球作为研究对象，求： （1）小水球绕地心做圆周运动的向心力大小； （2）月球对小水球的引力大小与地球对小水球的引力大小之比。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）地球表面上质量为的小水球，随地球自转，半径为，周期为，则向心力为 （2）月球对水球引力为 地球对水球引力 联立可得 【角度3】综合 【典例12】（2024·四川泸州·二模）（多选）2023年7月10日，经国际天文学联合会小行星命名委员会批准，中国科学院紫金山天文台发现的国际编号为381323号的小行星被命名为“樊锦诗星”。如图所示，地球绕日运行近视为圆轨道，“樊锦诗星”绕日运行为椭圆轨道，其轨道半长轴为3.18天文单位（日地距离为1天文单位），远日点到太阳中心距离为4.86天文单位。下列说法正确的是（　　） A．“樊锦诗星”绕太阳转动一圈，需要3.18年 B．“樊锦诗星”在近日点离太阳中心的距离为1.5天文单位 C．“樊锦诗星”在远日点的加速度与地球的加速度大小之比为 D．“樊锦诗星”、地球分别跟太阳中心的连线，在相等时间内扫过的面积相等 【答案】BC 【解析】A．根据开普勒第三定律有 解得 故A错误； B．近日点和远日点分别在椭圆长轴的两端，半长轴为3.18天文单位，则长轴为 则近日点离太阳中心的距离为 故B正确； C．根据牛顿第二定律可知 “樊锦诗星”在远日点的加速度与地球的加速度大小之比为 故C正确； D．根据开普勒第二定律可知环绕天体与中心天体之间的连线在相等的时间内扫过的面积相等，应该是同一个环绕天体天体，故D错误。 故选BC。 【变式12-1】（2024·河北邯郸·一模）（多选）如图为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上的示意图，其中冬至时地球离太阳最近。仅考虑太阳对地球的引力，关于地球绕太阳公转过程，下列说法正确的是（　　） A．在冬至位置地球所受万有引力最大 B．在立春位置，根据万有引力定律可得 C．地球自转周期的平方与轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数 D．经过近日点、远日点两位置的瞬时速度大小之比约为1.03 【答案】AD 【解析】A．根据万有引力表达式 由图可知，在冬至位置地球离太阳最近，所受万有引力最大，故A正确； B．由于地球绕太阳做椭圆运动，不是匀速圆周运动，所以在立春位置 故B错误； C．根据开普勒第三定律可知，地球公转周期的平方与轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数，故C错误； D．根据开普勒第二定律可知，经过近日点、远日点两位置的瞬时速度大小之比为 故D正确。 故选AD。 【变式12-2】（2024·浙江嘉兴·一模）哈雷彗星是第一颗被人类记录的周期彗星，每年环绕太阳一周，古代中国称其为“扫帚星”。如图所示，地球绕太阳做匀速圆周运动，轨道半径为r，哈雷彗星的轨道是椭圆，近日点与太阳中心距离为，远日点与太阳中心距离为，则（　　） A．哈雷彗星在远日点的速度最大 B．彗星在近日点受到的太阳引力小于彗星对太阳的引力 C．哈雷彗星在近日点与远日点的加速度之比 D．和之间满足关系式 【答案】C 【解析】A．根据开普勒第二定律可知，哈雷彗星在近日点的速度最大，故A错误； B．根据牛顿第三定律可知，彗星在近日点受到的太阳引力等于彗星对太阳的引力，故B错误； C．哈雷彗星在近日点与远日点的加速度靠万有引力提供 可知加速度与距离的平方成反比，故C正确； D．根据开普勒第三定律 代入数据整理得 故D错误。 故选C。 【基础强化】 1．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）下列说法符合史实的是（　　） A．牛顿发现了行星的运动规律 B．开普勒发现了万有引力定律 C．卡文迪什测出了引力常量G， 被称为“称量地球重量的人” D．伽利略用“月—地检验”证实了万有引力定律的正确性 【答案】C 【解析】A．开普勒发现了行星的运动规律，选项A错误； B．牛顿发现了万有引力定律，选项B错误； C．卡文迪什测出了引力常量G， 被称为“称量地球重量的人”，选项C正确； D．牛顿用“月—地检验”证实了万有引力定律的正确性，选项D错误。 故选C。 2．（2024·内蒙古赤峰·一模）物理学是集科学知识、科学方法和科学思维为一体的学科。下列有关科学思维方法的叙述正确的是（   ） A．图甲所示，通过平面镜观察桌面的微小形变——放大法 B．图乙所示，探究两个互成角度共点力的合成实验——理想模型法 C．图丙所示，卡文迪许利用扭秤实验测量引力常量——控制变量法 D．图丁所示，伽利略利用理想斜面实验对力和运动关系的研究——极限法 【答案】A 【解析】A．图甲所示，通过平面镜将桌面的微小形变进行放大，是放大法，A正确； B．图乙所示，探究两个互成角度共点力的合成实验，是用等效替代的方法，B错误； C．图丙所示，卡文迪许利用扭秤实验测量引力常量是使用放大法，C错误； D．图丁所示，伽利略利用理想斜面实验对力和运动关系的研究是应用理想实验的方法，D错误。 故选A。 3．（2025·陕西宝鸡·一模）中国的二十四节气是中华民族优秀的文化传统与祖先广博智慧的世代传承， 被国际气象界誉为中国“第五大发明”。如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置， 分别对应我国的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为r1、r2，下列说法正确的是（　　） A．冬至时地球的运行速度最小 B．地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为 C．地球从秋分到冬至的运行时间为公转周期的 D．地球在冬至和夏至时， 所受太阳的万有引力之比为 【答案】B 【解析】A．由开普勒第二定律可知，地球绕太阳做椭圆运动时，近地点的速度大于远地点的速度，所以冬至时运行速度大，A错误； B．行星从轨道的冬至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积；同理行星从轨道的夏至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积，；根据开普勒第二定律，得，即速度之比为，B正确； C．由开普勒第二定律可知，冬至附近速度快，时间短，所以周期小于公转的，C错误； D．由万有引力公式 可知，与成反比，所以引力之比为，D错误。 故选B。 4．（2024·贵州贵阳·模拟预测）质量相同的a、b两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动。a卫星是地球同步卫星，b卫星绕地球的周期约为3小时。则b卫星受地球的引力大小约是a卫星受地球引力大小的几倍（　　） A．1 B．8 C．16 D．27 【答案】C 【解析】由于两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律，可知 可知a、b卫星的轨道半径之比为 根据万有引力定律，可知a、b卫星受地球的引力大小之比为 可知，b卫星受地球的引力大小约是a卫星受地球引力大小的16倍。 故选C 。 5．（2024·广西·模拟预测）鹊桥二号中继卫星于2024年3月20日成功发射，为后续我国载人登月提供可靠保障。在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为，地球绕太阳运动的周期为，太阳半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的质量之比约为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设月球绕地球运动的轨道半径为，地球绕太阳运动的轨道半径为，根据 可得 根据几何关系 联立可得 故选D。 6．（23-24高二上·江西·开学考试）2023年8月10日，我国首颗以人工智能载荷为核心、具备智能操作系统的智能应急卫星“地卫智能应急一号”在酒泉卫星发射中心成功发射并进入预定轨道，它标志着许多智能应用能够直接在卫星上实现。在火箭搭载该卫星加速升空的过程中，某时刻卫星上压力传感器显示卫星对支撑平台的压力示数为，高度传感器显示此时卫星离地面的高度为h。已知卫星质量为m，地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，忽略地球的自转影响，则此时火箭加速度的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在地球表面有 在卫星离地面的高度为h处有 根据牛顿第二定律有 联立解得 故选A。 7．（2023·浙江·模拟预测）有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为的地方有一质量为m的质点。现从球体中挖去半径为的小球体，如图所示，万有引力常量为G，则剩余部分对m的万有引力为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】挖去小球前球与质点的万有引力 挖去的球体的质量 被挖部分对质点的引力为 则剩余部分对质点m的万有引力 故选A。 8．（2024·贵州遵义·一模）（多选）如图所示，鹊桥二号中继星在椭圆轨道上绕月球运行，运行周期为T。鹊桥二号在近月点和远月点时，受到的引力大小分别为F1和F2，加速度大小分别为a1和a2，速度大小分别为v1和v2，从远月点到近月点的时间为t，不考虑其他天体的影响。则（　　） A．v1 > v2 B．a1 > a2 C．F1 < F2 D．t < 0.5T 【答案】AB 【解析】A．根据开普勒第二定律，鹊桥二号中继星在椭圆轨道上绕月球运行，中继星与月球连线相同时间内扫过的面积相等，可知近月点速度大，远月点速度小，v1 > v2，故A正确； B．鹊桥二号中继星在椭圆轨道上绕月球运行，所受合力为万有引力，设月球质量为M，中继星的质量为m，中继星到月球球心距离为r，根据万有引力公式 在近月点受到的万有引力大于远月点受到的万有引力，根据牛顿第二定律 得 在近月点的加速度大于远月点的加速度，即a1 > a2，故B正确； C．设月球质量为M，中继星的质量为m，中继星到月球球心距离为r，根据万有引力公式 中继星在近月点受到的万有引力大于远月点受到的万有引力，F1 > F2，故C错误； D．鹊桥二号中继星在椭圆轨道上绕月球运行，轨道关于长轴对称，从远月点到近月点的时间与从近月点到远月点的时间相等，t = 0.5T，故D错误。 故选AB。 9．（22-23高一下·四川成都·期中）（多选）如图所示，是一个半径为，质量为的密度均匀球体的球心，现在其内以为球心挖去一个半径为的球，并在空心球内某点放置一个质量为的质点。若已知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，则球剩余部分对该质点的万有引力（　　） A．方向由点指向连线上某点 B．方向与连线平行 C．大小为 D．大小为 【答案】BC 【解析】AB．设球的密度为，则实心大球质量可表示为 由题意可知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，故实心大球对P点的引力等于以为半径的实心小球对质点P的引力。以为半径的实心小球的质量为 故以为半径的实心小球对P点的引力为 同理，以为半径的实心小球的质量为 则以为半径的实心小球对P点的引力为 受力情况如图 由几何关系可知 故 A错误，B正确； CD．由上述分析可知 解得 C正确，D错误。 故选BC。 10．（24-25高二上·上海·开学考试）万有引力定律是支持宇宙探秘的重要理论之一。 (1)第一次在实验室验证万有引力定律，并较精确测出万有引力常量的是__________ A．牛顿 B．卡文迪什 (2)用国际单位制的基本单位表示万有引力常量的单位，下列符合要求的是（　　） A．N·m2/kg2 B．N·kg2/m2 C．m3/（kg·s2） D．kg·s2/m3 (3)如图为测量万有引力常量的装置，该实验中为测量石英丝极微小的扭转角，采取“微小量放大”的主要措施是（　　） A．增大石英丝的直径 B．增大T型架横梁的长度 C．增大光源与平面镜的距离 D．增大刻度尺与平面镜的距离 【答案】(1)B (2)A (3)D 【解析】（1）第一次在实验室验证万有引力定律，并较精确测出万有引力常量的是卡文迪什； 故选B。 （2）根据 解得 根据单位运算可知，用国际单位制的基本单位表示万有引力常量的单位为。 故选A。 （3）A．当增大石英丝的直径时，会导致石英丝更不容易转动，该操作对测量石英丝极微小的扭转角却没有作用，故A错误； B．当增大T型架横梁的长度时，会导致石英丝更容易转动，对测量石英丝极微小的扭转角仍没有作用，故B错误； C．增大光源与平面镜的距离不会改变光转动的角度，对“微小量放大”没有作用，故C错误； D．增大刻度尺与平面镜的距离时，转动的角度更明显，故D正确。 故选D。 【素养提升】 11.（22-23高一下·陕西西安·期中）半径为、密度为的球内部有半径为r（r＜R）的球形空腔，空腔中心位于离球心处（如图）。质量为的质点离球心距离为，如果三角形是直角三角形： （1）∠ACB为直角时，求该质点被多大力吸向球； （2）∠BAC为直角时，求该质点被多大力吸向球。 【答案】（1）；（2） 【解析】如图： 半径为的大球对质点提供的是吸引力，吸引力 半径为的小球对质点提供的是排斥力，排斥力 为空腔中心到质点的距离， （1）当为直角时 根据余弦定理，质点所受的吸引力： （2）当为直角时 同理可得 12．（22-23高三下·浙江·期中）某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中，行星到卫星A、B轨道上点的距离分别记为rA、rB。假设A、B只受到行星的引力，下列叙述正确的是（　　） A．B与A的绕行周期之比为:1 B．rB的最大值与rB的最小值之比为2:1 C．rA的最大值与rA的最小值之比为3:1 D．rB的最小值小于rA的最大值 【答案】D 【解析】A．由图可知，A、B的周期为 所以B与A的绕行周期之比为 故A错误； B．由图可知，当rB最小时，有 当rB最大时，有 所以rB的最大值与rB的最小值之比为 故B错误； C．同理，当rA最小时，有 当rA最大时，有 所以rA的最大值与rA的最小值之比为 故C错误； D．根据开普勒第三定律，有 解得 所以rB的最小值小于rA的最大值，故D正确。 故选D。 【能力培优】 13.（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）(1)牛顿发现万有引力定律之后，在卡文迪许生活的年代，地球的半径经过测量和计算已经知道约6400千米，很快通过计算得出了地球的质量。1798年，他首次测出了地球的质量数值，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G。 a.求地球的质量； b.若一卫星在距地球表面高为h的轨道上绕地球做匀速圆周运动，求该卫星绕地球做圆周运动的周期； (2)牛顿时代已知如下数据：月球绕地球运行的周期T、地球半径R、月球与地球间的距离60R、地球表面的重力加速度g。牛顿在研究引力的过程中，为了验证地面上物体的重力与地球吸引月球的力是同一性质的力，同样遵从与距离的平方成反比规律的猜想；接着他设想，把一个物体放到月球轨道上，假定物体在地面受到的重力和在月球轨道上运行时受到的引力，都是来自地球的引力，他又从动力学的角度计算出了物体在月球轨道上的向心加速度。上述两个加速度的计算结果是一致的，从而证明了物体在地面上所受的重力与地球吸引月球的力是同一性质的力 a.请你分别从运动学的角度和动力学的角度推导出上述两个加速度的表达式； b.已知月球绕地球做圆周运动的周期约为T＝2.4×106s，地球半径约为R＝6.4×106m，取π2＝g。结合题中的已知条件，求上述两个加速度的比值，并得出合理的结论。 【答案】(1)a.，b. (2)a. ；，b. 0.96；说明物体在地面上所受重力与地球吸引月球的力是同一性质的力，遵循与距离的平方成反比的规律 【解析】（1）a.设地球质量为，根据万有引力与重力的关系有 解得 b.万有引力提供卫星做圆周运动的向心力 解得 （2）a.月球绕地球做匀速圆周运动 角速度的公式为 解得 质量为m的物体在地面上受到的重力 质量为m的物体在月球轨道上受到的引力 解得 b.由以上结果得 代入已知数值得 由以上结果可以看出，在误差范围内可认为，这说明物体在地面上所受重力与地球吸引月球的力是同一性质的力，遵循与距离的平方成反比的规律。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$