精品解析：山西省朔州市朔城区2024-2025学年八年级上学期12月期中考试数学试题

2024—2025学年度八年级上学期阶段评估（二） 数学 上册第十一~十四章 说明：共三大题，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史年月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，原图形绕对称中心旋转度后与自身完全重合． 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：选项A：是中心对称图形，故本选项符合题意； 选项B：不是中心对称图形，故本选项不合题意； 选项C：不是中心对称图形，故本选项不合题意； 选项D：不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 2. 下列实例中，没有应用到“三角形稳定性”的是（ ） A. 三角支架 B. 钢架桥 C. 起重机 D. 活动挂架 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的性质，根据三角形具有稳定性判断即可． 【详解】解：A、三角支架应用到三角形的稳定性，不符合题意； B、钢架桥应用到三角形的稳定性，不符合题意； C、起重机应用到三角形的稳定性，不符合题意； D、活动挂架没有应用到三角形的稳定性，符合题意； 故选：D． 3. 下列整式乘法能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点：两数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，是解题的关键；根据平方差公式的特点逐项验证即可． 【详解】解：A、第一个因式是两数的和，第二个因式不是这两个数的差，故不能用平方差公式计算； B、第一个因式是两数的和，第二个因式是这两个数的差，故能用平方差公式计算； C、第一个因式是两数的差，第二个因式不是的和，而是这两个数的差，故不能用平方差公式计算； D、第一个因式是两数的差，第二个因式是的差，不是这两个数的和，故不能用平方差公式计算； 故选：B． 4. 由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．嘉嘉设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可，如图1，衣架杆，若衣架收拢时，（如图2），则此时A，B两点之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质的应用；连接，由题意得是等边三角形，由等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵衣架收拢时，，且， ∴是等边三角形， ∴； 故选：C． 5. 已知，则“★”所表示的单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，掌握此运算法则是关键；由乘除法的关系得，利用单项式除以单项式的法则进行即可． 【详解】解：由题意得：； 故选：C． 6. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就画出一个与原三角形形状大小完全一样（即全等）的三角形，这两个三角形全等的依据为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形． 【详解】解：已知三角形的两角和夹边，小明所画的三角形与原来三角形全等， ∴两个三角形全等的依据是， 故选：C． 7. 如果是一个完全平方式，那么k的值是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键：①有三项；②两项符号相同且都可写成两数的平方形式；③另一项应是两数积的倍，符号不限． 根据完全平方式的特征可得，由此即可得出的值． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 即：， 故选：． 8. 下面是小丽同学计算的过程： 解：…① …② …③ 则步骤①②③依据的运算性质分别是（ ） A. 积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法 B. 幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法 C. 同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方 D. 幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：…① …② …③ 则步骤①②③依据的运算性质分别是积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法． 故选：A． 9. 为了响应国家节能减排的号召，某城市大力推广新能源汽车，并计划在市区内新建一批新能源汽车充电站，小王需要在一条城市主干道附近选一个地点建一个充电站C，为附近的两个居民小区A和B的新能源汽车用户提供充电服务，要使两个居民小区的车主到充电站C的行驶距离之和最小，则充电站C的选址正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的最短路径问题，熟练掌握基本知识点是解题关键； 作出点（或点）关于l的对称点即可求解． 【详解】解：选项C中： ∴当三点共线时，的值最小，满足题意； 故选：C 10. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是如对于多项式，因式分解的结果是，若取当，时，则各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式取，时，用上述方法产生的密码不可能是（ ） A. 113212 B. 111232 C. 123211 D. 123011 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用,用提取公因式法和平方差公式因式分解，熟练掌握用提取公因式法和平方差公式因式分解是解题的关键．根据题中范例的提示，先提取公因式，再运用平方差公式因式分解，得到，可得到六种密码排列，即可判断答案． 【详解】解：，且，， 各个因式的值是，，， 组成的密码应包含11，12，32， 组成的密码共有6种：111232，113212，121132，123211，321112，321211， 不能组成的密码为123011． 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，一个不为0的零次幂等于1；据此求解即可． 【详解】解：； 故答案为：1． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 《红楼梦》是我国四大名著之一，文学社团的同学在搜集相关资料时发现一张如图所示的《红楼梦》纪念币图案（将纪念币的正面图案和背面图案拼到一起），这个图案可以抽象成有公共边的两个正八边形，如图，则的度数是_____． 【答案】##90度 【解析】 【分析】此题考查了正多边形的外角性质，利用正多边形的外角性质以及外角和是即可求出答案，解题的关键是熟练掌握正多边形的外角性质以及外角和是． 【详解】∵正八边形的外角和是，共八个外角且每个外角都相等， ∴每个外角都是， ∴正八边形的两个外角的和， 故答案为：． 14. 如图，在一个长为，宽为的长方形木板的四个角上各裁去一个边长为n的正方形木板，则剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为______．（化简） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，正确理解题意并列出代数式化简是解题的关键．根据题意列出代数式，再根据整式的运算法则化简，即得答案． 【详解】解： 剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为． 故答案为：． 15. 如图，为等边三角形，D，G为边上两点，，连接，，，过点D作，交的延长线于点E，F为延长线上一点，连接，且，若，，则______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．过点G作于点H，先证明,根据直角三角形的性质求出，再证明，求得，即可求得答案． 【详解】解：为等边三角形， ，， ，， ， ∵， ， ， ， ， , ，， ， ， 如图，过点G作于点H，则， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：13． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，平方差公式和完全平方公式： （1）先计算积的乘方，平方差，再去括号、合并同类项即可； （2）利用平方差公式、完全平方公式进行计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算； 利用单项式乘多项式法则及完全平方公式将原式展开，然后合并同类项，得出化简结果后，再将，代入化简结果求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 18. 已知a，b，c是的三边长，且，试判断的形状． 【答案】等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，等边三角形的定义，由条件可得，结合非负数的性质可得，，，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴为等边三角形． 19. 在信息传递的过程中，信息的发送方甲方，为了保护传输的数据信息不被第三方窃取，采用一个密钥将要发送的信息进行加密并形成密文发送给乙方，信息的接收方乙方用另一把密钥对密文进行解密，得到明文信息，这种完成信息通信目的的方法称为密钥加密．若某种加密规则如图所示，当发送方发出，，求解密后m，n的值． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法运算，涉及单项式除以单项式，多项式除以单项式，掌握运算法则是解题的关键；分别按单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则计算出m、n，再代入求值即可． 【详解】解：由题意可知，， ； 将，代入，得， ； ∴，． 20. 将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）已知，，求： ①的值； ②的值； （2）已知，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）①由同底数幂乘法的逆用可得，然后将，代入求值即可；②由同底数幂除法的逆用及幂的乘方的逆用可得，然后将，代入求值即可； （2）由可得，解方程即可求出的值． 【小问1详解】 解：①，， ； ②，， ； 【小问2详解】 解：， ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂乘法的逆用，同底数幂除法的逆用，幂的乘方，幂的乘方的逆用，代数式求值，解一元一次方程等知识点，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 21. 下面是小芳同学的部分数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 2024年10月11日星期五，今天参加课外兴趣小组活动时，老师提出了一个问题：如图1，在中，若，，则BC边上的中线AD的取值范围是多少？ 小组内的同学们经过讨论发现，如果在条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结果转化到同一个三角形中，这样就可以找到解题方法：如图1，延长AD至点E，使，连接BE，可证得，进而可求得中线AD的取值范围．该小组在求解下面的拓展题时，发现也可以用这种方法解决． 拓展题：如图2，以的边AB，AC为边分别向外作等腰和等腰，其中， ，，F是的中点，连接，，当时，求的长． 任务： （1）图1中与的数量关系是______； （2）图1中，的取值范围是______； （3）求图2中的长． 【答案】（1）； （2）； （3）16 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由“”可证，进而可得出答案； （2）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得． 【小问1详解】 如图1，延长至点E，使，连接， ∵为中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，延长至点E，使，连接． ∵，，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故答案为； 【小问3详解】 如图，延长至点G，使，连接． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． 22. 综合与实践 主题：制作“回形”正方形． 素材：一张长方形纸板（长为，宽为b）． 步骤1：如图1，将长方形纸板的长四等分，画出相同的小长方形，并按虚线剪开； 步骤2：如图2，把剪好的四块小长方形纸板拼成一个“回形”大正方形纸板． （1）图2中小正方形（阴影部分）的边长为______；（用含a，b的式子表示） （2）根据图2，请直接写出，，ab之间的等量关系； （3）若，，求的值． 拓展与应用 （4）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）16；（4）． 【解析】 【分析】此题考查完全平方公式与几何图形的面积． （1）根据图形即可得到答案； （2）大正方形的面积可以表示为，还可以表示为，据此即可得到答案； （3）把已知条件整体代入即可得到答案； （4）把，，整体代入即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意可得，图2中小正方形（阴影部分）的边长为； 故答案为： （2）根据图2，大正方形的面积可以表示为，还可以表示为， ∴； （3）∵，， ∴； （4）∵，， ∴， ∴， 解得． 23. 综合与探究 如图，在中，以， 为边分别作等边和等边，连接和． （1）如图1，写出和之间的数量关系，并证明． （2）如图2，若与相交于点M，求证：． （3）如图3，取，的中点Q，P，连接，，，得到，试猜想的形状，并证明你的猜想． 【答案】（1） 解： ，理由见解析； ∵和都是等边三角形， ∴， ，， ∴， ∴， ∴． （2） 证明：∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3） 是等边三角形． 理由如下： ∵， ∴，， ∵，的中点为Q，P． ∴，． ∵， ∴． ∵． ∴， ∴， ， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可证明，再证明，即可的答结论； （2）由全等三角形的性质可得．可得，再利用三角形的内角和定理可得结论； （3）证明，可得， ，再证明，从而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，线段中点的含义，熟练的确定全等三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度八年级上学期阶段评估（二） 数学 上册第十一~十四章 说明：共三大题，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史年月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列实例中，没有应用到“三角形稳定性”的是（ ） A. 三角支架 B. 钢架桥 C. 起重机 D. 活动挂架 3. 下列整式乘法能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4. 由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．嘉嘉设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可，如图1，衣架杆，若衣架收拢时，（如图2），则此时A，B两点之间的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则“★”所表示的单项式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就画出一个与原三角形形状大小完全一样（即全等）的三角形，这两个三角形全等的依据为（　　） A. B. C. D. 7. 如果是一个完全平方式，那么k的值是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 8. 下面是小丽同学计算的过程： 解：…① …② …③ 则步骤①②③依据的运算性质分别是（ ） A. 积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法 B. 幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法 C. 同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方 D. 幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方 9. 为了响应国家节能减排的号召，某城市大力推广新能源汽车，并计划在市区内新建一批新能源汽车充电站，小王需要在一条城市主干道附近选一个地点建一个充电站C，为附近的两个居民小区A和B的新能源汽车用户提供充电服务，要使两个居民小区的车主到充电站C的行驶距离之和最小，则充电站C的选址正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是如对于多项式，因式分解的结果是，若取当，时，则各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式取，时，用上述方法产生的密码不可能是（ ） A. 113212 B. 111232 C. 123211 D. 123011 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 因式分解：______． 13. 《红楼梦》是我国四大名著之一，文学社团的同学在搜集相关资料时发现一张如图所示的《红楼梦》纪念币图案（将纪念币的正面图案和背面图案拼到一起），这个图案可以抽象成有公共边的两个正八边形，如图，则的度数是_____． 14. 如图，在一个长为，宽为的长方形木板的四个角上各裁去一个边长为n的正方形木板，则剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为______．（化简） 15. 如图，为等边三角形，D，G为边上两点，，连接，，，过点D作，交的延长线于点E，F为延长线上一点，连接，且，若，，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 已知a，b，c是的三边长，且，试判断的形状． 19. 在信息传递的过程中，信息的发送方甲方，为了保护传输的数据信息不被第三方窃取，采用一个密钥将要发送的信息进行加密并形成密文发送给乙方，信息的接收方乙方用另一把密钥对密文进行解密，得到明文信息，这种完成信息通信目的的方法称为密钥加密．若某种加密规则如图所示，当发送方发出，，求解密后m，n的值． 20. 将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）已知，，求： ①的值； ②的值； （2）已知，求x的值． 21. 下面是小芳同学的部分数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 2024年10月11日星期五，今天参加课外兴趣小组活动时，老师提出了一个问题：如图1，在中，若，，则BC边上的中线AD的取值范围是多少？ 小组内的同学们经过讨论发现，如果在条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结果转化到同一个三角形中，这样就可以找到解题方法：如图1，延长AD至点E，使，连接BE，可证得，进而可求得中线AD的取值范围．该小组在求解下面的拓展题时，发现也可以用这种方法解决． 拓展题：如图2，以的边AB，AC为边分别向外作等腰和等腰，其中， ，，F是的中点，连接，，当时，求的长． 任务： （1）图1中与的数量关系是______； （2）图1中，的取值范围是______； （3）求图2中的长． 22. 综合与实践 主题：制作“回形”正方形． 素材：一张长方形纸板（长为，宽为b）． 步骤1：如图1，将长方形纸板的长四等分，画出相同的小长方形，并按虚线剪开； 步骤2：如图2，把剪好的四块小长方形纸板拼成一个“回形”大正方形纸板． （1）图2中小正方形（阴影部分）的边长为______；（用含a，b的式子表示） （2）根据图2，请直接写出，，ab之间的等量关系； （3）若，，求的值． 拓展与应用 （4）若，求的值． 23. 综合与探究 如图，在中，以， 为边分别作等边和等边，连接和． （1）如图1，写出和之间的数量关系，并证明． （2）如图2，若与相交于点M，求证：． （3）如图3，取，的中点Q，P，连接，，，得到，试猜想的形状，并证明你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $