专题01 倍长中线与一线三垂直-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（重庆专用）

专题1 倍长中线与一线三垂直 倍长中线和一线三垂直是中考几何常见考点，它是通过构造典型的几何模型，运用三角形全等或相似的性质得到相关几何结论。在考试中以中高档题为主，本专题就倍长中线和一线三垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 倍长中线的核心解题方法，是构造八字全等三角形，并以这组全等三角形为基础，推进第二次全等证明。而一线三垂直，则是认准图形背景特征：垂直（或旋转90度）以及两条相等线段，进而寻找或构造三垂直模型。 2 模型1.倍长中线 2 模型2.一线三垂直 7 15 模型1.倍长中线 （1）条件：如图，在中，为的中线， 作法：延长至点E，使得，连接， 结论：①；②；③. （2）条件：如图，在中，为的中线， 作法：过点C作于点E，过点B作交的延长线于点D， 结论：①；②；③. （3）条件：如图，在中，D为的中点，M为边上任意一点， 作法：延长至点N，使得，连接， 结论：①；②；③. （1）条件：如图，在中，为的中线， 作法：延长至点E，使得，连接， 结论：①；②；③. 证明：∵为的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴. （2）条件：如图，在中，为的中线， 作法：过点C作于点E，过点B作交的延长线于点D， 结论：①；②；③. 证明：∵为的中线， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴. （3）条件：如图，在中，D为的中点，M为边上任意一点， 作法：延长至点N，使得，连接， 结论：①；②；③. 证明：∵D为的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴. 例1．中，，，则边的中线的取值范围是　 　． 【答案】． 【解答】解：如图，延长至E，使，连接， ∵D是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 例2．如图，点D、E、F分别是三边的中点，则下列判断错误的是（　　） A．四边形一定是平行四边形 B．若平分，则四边形是正方形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是矩形 【答案】B． 【解答】解：A．∵点D、E、F分别是三边的中点，∴、为得中位线， ∴，且；同理，且， ∴四边形一定是平行四边形，正确． B．若平分，如图，延长到M，使，连接，由于，， ， ∴， ∴， 又∵， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 则；，， 结合（1）四边形是菱形，因为不一定是直角 ∴不能判定四边形是正方形； C．若，则；，，结合（1）四边形是菱形，正确； D．若，则四边形是矩形，正确． 故选：B． 例3．如图，和都是等腰直角三角形，，连接，连接、，若点F是的中点，连接，求证：． 【答案】见解析． 【解答】证明：如图，延长到G，使得，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 模型2.一线三垂直 一线三垂直 （1）条件：如图，，，， 结论：①；②. （2）条件：如图，，，， 结论：①；②. （3）条件：如图，，，，， 结论：. （1）条件：如图，，，， 结论：①；②. 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴. （2）条件：如图，，，， 结论：①；②. 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴. （3）条件：如图，，，于点O，， 结论：. O 证明：∵于点O，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ 在和中， ， ∴. 例1．如图，在正方形的边上有一点E，连接，把绕点E逆时针旋转，得到，连 接并延长与的延长线交于点G．则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：过点F作交延长线于点H， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵绕点E逆时针旋转，得到， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，正方形边长为y， 则，，， ∴， ∴， 故选：A． 例2．如图所示，已知，，，点D和点E分别是和边上的动点， 满足，连接，点F是的中点，则的最大值为 　 　． 【答案】． 【解答】解：过E作，且，连，．取中点N，连、、． ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 设， ∵F为中点， ∴， ∴， ∵N为中点， ∴． ∴， ∵， ∴最大值， ∴， 故答案为：． 例3．如图1，等腰中，，，点D，E，F分别为边，，上的 点． （1）连接，相交于点G，连接并延长交的延长线于点H．若，，求的度数； （2）如图2，在（1）问的条件下，在平面内将线段绕点B顺时针旋转得线段，连接．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解答】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图2，作于N，于M，于Q，连接． 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵且， ∴， ∴，， ∴D、G、B、P四点共圆， ∴， ∴， ∴． 倍长中线 1．在中，，，则边上的中线的取值范围是　 　． 2．如图所示，为中线，D为中点，，，连接，．若的面积为3，则的面积为 　 　． 3．如图，在中，，D为中点，，，，则　 　． 4．如图，五边形中，，，，M为边的 中点，，，则五边形的面积为　 　． 5．如图，点D是的斜边的中点，点E、F分别在边、上，且，连 接、，若，，则线段的长为 　 　． 6．如图，中，，点D在上，连接，的中线的延长线交于点F，，若，，则的长为 　 　． 7．如图，在等边中，E为线段上一点，D为三角形外一点，连接、，F为上一 点，连接，N为中点，且，，求证：． 8．中，，以为边，在右侧作等边，E为延长线上一点，连接、，G为的中点，连接、，，证明：． 9．菱形中，，连接，点E是边上一点，连接交于点M．以为边向右侧作等边，连接，，点G是中点，连接．求证：． 10．如图，在中，，，以为斜边作，，再 将绕点B逆时针旋转得到， 的延长线过的中点D，当点E在的中垂线上时， 交于点H，直接写出的值． 11．如图，中，D在上，E在上，，F在上，． 若，G在上，，求证：． 12．在矩形中，E是边上一点．若，于E点，连接并反向延长至 G点使得．点H在直线上方，连接、，，， 请探究并请直接写出与的数量关系． 一线三垂直 1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，把线段绕点B逆时针旋 转后得到线段，则点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．如图，，，，则的面积为（　　） A．8 B．12 C．14 D．16 3．如图，内接于圆O，已知，，顶点A，B，C恰好分别落在一组平行线 中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是1cm，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 4．如图，以正方形的两边和为斜边向外作两个全等的直角三角形和，过点C 作于点G，交于点H，过点B作于点I，过点D作，交延长线于 点K，交于点L．若，，则的长为（　　） A．6 B． C．7 D． 5．如图，在中，，，D为边上的点，且，连接．过 点B作，并截取，连接交于点F．则下列结论： ①； ②F是的中点； ③； ④．其中正确的结论共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图1，为的直径，C，D为上两点，． （1）求的度数； （2）如图2，过点A，B分别作的垂线，垂足为点E，F，求证：． 7．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）若在线段上存在一点M，使得，过点O作交的延长线于点H，求点M的坐标． 8．（1）思考尝试：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是的中点，，与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想与的数量关系，并加以证明．同学们发现，取的中点G，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题； （2）实践探究：和谐小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题； （3）拓展迁移：辉煌小组深入研究和谐小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值． 9．在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段 绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为 　 　； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 10．综合与实践 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是 　 　； （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； （3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点N，则　 　； （4）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线上找点P，使，请直接写出线段的长度． 11．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用：（1）如图2，中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． （2）如图3，在中，D是上一点，，，，，求点C到边的距离． （3）如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，求的值． 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 倍长中线与一线三垂直 倍长中线和一线三垂直是中考几何常见考点，它是通过构造典型的几何模型，运用三角形全等或相似的性质得到相关几何结论。在考试中以中高档题为主，本专题就倍长中线和一线三垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 倍长中线的核心解题方法，是构造八字全等三角形，并以这组全等三角形为基础，推进第二次全等证明。而一线三垂直，则是认准图形背景特征：垂直（或旋转90度）以及两条相等线段，进而寻找或构造三垂直模型。 2 模型1.倍长中线 2 模型2.一线三垂直 7 15 模型1.倍长中线 （1）条件：如图，在中，为的中线， 作法：延长至点E，使得，连接， 结论：①；②；③. （2）条件：如图，在中，为的中线， 作法：过点C作于点E，过点B作交的延长线于点D， 结论：①；②；③. （3）条件：如图，在中，D为的中点，M为边上任意一点， 作法：延长至点N，使得，连接， 结论：①；②；③. （1）条件：如图，在中，为的中线， 作法：延长至点E，使得，连接， 结论：①；②；③. 证明：∵为的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴. （2）条件：如图，在中，为的中线， 作法：过点C作于点E，过点B作交的延长线于点D， 结论：①；②；③. 证明：∵为的中线， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴. （3）条件：如图，在中，D为的中点，M为边上任意一点， 作法：延长至点N，使得，连接， 结论：①；②；③. 证明：∵D为的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴. 例1．中，，，则边的中线的取值范围是　 　． 【答案】． 【解答】解：如图，延长至E，使，连接， ∵D是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 例2．如图，点D、E、F分别是三边的中点，则下列判断错误的是（　　） A．四边形一定是平行四边形 B．若平分，则四边形是正方形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是矩形 【答案】B． 【解答】解：A．∵点D、E、F分别是三边的中点，∴、为得中位线， ∴，且；同理，且， ∴四边形一定是平行四边形，正确． B．若平分，如图，延长到M，使，连接，由于，， ， ∴， ∴， 又∵， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 则；，， 结合（1）四边形是菱形，因为不一定是直角 ∴不能判定四边形是正方形； C．若，则；，，结合（1）四边形是菱形，正确； D．若，则四边形是矩形，正确． 故选：B． 例3．如图，和都是等腰直角三角形，，连接，连接、，若点F是的中点，连接，求证：． 【答案】见解析． 【解答】证明：如图，延长到G，使得，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 模型2.一线三垂直 一线三垂直 （1）条件：如图，，，， 结论：①；②. （2）条件：如图，，，， 结论：①；②. （3）条件：如图，，，，， 结论：. （1）条件：如图，，，， 结论：①；②. 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴. （2）条件：如图，，，， 结论：①；②. 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴. （3）条件：如图，，，于点O，， 结论：. O 证明：∵于点O，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ 在和中， ， ∴. 例1．如图，在正方形的边上有一点E，连接，把绕点E逆时针旋转，得到，连 接并延长与的延长线交于点G．则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：过点F作交延长线于点H， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵绕点E逆时针旋转，得到， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，正方形边长为y， 则，，， ∴， ∴， 故选：A． 例2．如图所示，已知，，，点D和点E分别是和边上的动点， 满足，连接，点F是的中点，则的最大值为 　 　． 【答案】． 【解答】解：过E作，且，连，．取中点N，连、、． ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 设， ∵F为中点， ∴， ∴， ∵N为中点， ∴． ∴， ∵， ∴最大值， ∴， 故答案为：． 例3．如图1，等腰中，，，点D，E，F分别为边，，上的 点． （1）连接，相交于点G，连接并延长交的延长线于点H．若，，求的度数； （2）如图2，在（1）问的条件下，在平面内将线段绕点B顺时针旋转得线段，连接．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解答】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图2，作于N，于M，于Q，连接． 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵且， ∴， ∴，， ∴D、G、B、P四点共圆， ∴， ∴， ∴． 倍长中线 1．在中，，，则边上的中线的取值范围是　 　． 【答案】． 【解答】解：延长至E，使，连接． 在和中， ， ∴， ∴． 在中，， 即， 故． 故答案为：． 2．如图所示，为中线，D为中点，，，连接，．若的面积为3，则的面积为 　 　． 【答案】1.5． 【解答】解：延长到点G，使，连接， ∵D为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1.5． 3．如图，在中，，D为中点，，，，则　 　． 【答案】4． 【解答】解：如图，延长至G，使，连接、， ∵D为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：4． 4．如图，五边形中，，，，M为边的 中点，，，则五边形的面积为　 　． 【答案】90． 【解答】解：如图，延长到F，使，连接、、， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：90． 5．如图，点D是的斜边的中点，点E、F分别在边、上，且，连 接、，若，，则线段的长为 　 　． 【答案】13． 【解答】解：如图，延长至点P，使得，连接，，过点E作于点Q， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：13． 6．如图，中，，点D在上，连接，的中线的延长线交于点F，，若，，则的长为 　 　． 【答案】． 【解答】解：延长至点G，使得， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 过点B作于点H， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 过点D作，交于点M． ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，在等边中，E为线段上一点，D为三角形外一点，连接、，F为上一 点，连接，N为中点，且，，求证：． 【答案】见解析． 【解答】证明：如图，延长到点H，使，连接、，则， ∵N为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 8．中，，以为边，在右侧作等边，E为延长线上一点，连接、，G为的中点，连接、，，证明：． 【答案】见解析． 【解答】证明：连接，如图， ∵，， ∴是线段的垂直平分线． ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 延长至点F，使，连接，， 在和中， ， ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． 9．菱形中，，连接，点E是边上一点，连接交于点M．以为边向右侧作等边，连接，，点G是中点，连接．求证：． 【答案】见解析． 【解答】证明：如图，延长至H，使，即，连接， ∵点G为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．如图，在中，，，以为斜边作，，再 将绕点B逆时针旋转得到， 的延长线过的中点D，当点E在的中垂线上时， 交于点H，直接写出的值． 【答案】． 【解答】解：作，交延长线于点N， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点E在的中垂线上， ∴， 设， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 得， ∴， 过点B作，垂足为点P， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 得， ， ∴． 11．如图，中，D在上，E在上，，F在上，． 若，G在上，，求证：． 【答案】见解析． 【解答】证明：延长至H使， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 延长至I使，连接，则， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．在矩形中，E是边上一点．若，于E点，连接并反向延长至 G点使得．点H在直线上方，连接、，，， 请探究并请直接写出与的数量关系． 【答案】． 【解答】解：作关于的对称，连接，，如图． ∵（对称）， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． 又∵，， ∴． ∴，． ∵，，， ∴． ∴，． ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 一线三垂直 1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，把线段绕点B逆时针旋 转后得到线段，则点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：过点C作轴，垂足为D， ∴， ∴， ∵点A的坐标是，点B的坐标是， ∴，， 由旋转得： ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标是， 故选：D． 2．如图，，，，则的面积为（　　） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】D． 【解答】解：作于E，交延长线于F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，内接于圆O，已知，，顶点A，B，C恰好分别落在一组平行线 中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是1cm，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：过点C作，垂足为D，延长交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ， 故选：C． 4．如图，以正方形的两边和为斜边向外作两个全等的直角三角形和，过点C 作于点G，交于点H，过点B作于点I，过点D作，交延长线于 点K，交于点L．若，，则的长为（　　） A．6 B． C．7 D． 【答案】D． 【解答】解：过A作于点M，交于点N， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，在中，，，D为边上的点，且，连接．过 点B作，并截取，连接交于点F．则下列结论： ①； ②F是的中点； ③； ④．其中正确的结论共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 【解答】解：过点E作，垂足为H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴点F是的中点； ∵， ∴； 故①②③都正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④不正确； 所以，上列结论，其中正确的结论共有3个， 故选：C． 6．如图1，为的直径，C，D为上两点，． （1）求的度数； （2）如图2，过点A，B分别作的垂线，垂足为点E，F，求证：． 【答案】（1）的度数为；（2）证明见解析． 【解答】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴的度数为； （2）证明：连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）若在线段上存在一点M，使得，过点O作交的延长线于点H，求点M的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）点M的坐标为． 【解答】解：（1）∵抛物线经过点，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）由（1）得，点， 设直线的解析式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点M的坐标为， 如图，过点M作轴于点N，过点H作轴于点K， 则， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，． ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴当时，点M的坐标为． 8．（1）思考尝试：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是的中点，，与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想与的数量关系，并加以证明．同学们发现，取的中点G，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题； （2）实践探究：和谐小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题； （3）拓展迁移：辉煌小组深入研究和谐小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值． 【答案】（1）结论：，证明见解析；（2）证明见解析；（3）周长的最小值． 【解答】（1）结论：． 证明：如图，G为中点，则， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． 在和中，，，， ∴， ∴． （2）如图，作，G为垂足． ∵是等腰直角三角形，， ∴，． 又∵， ∴． 在和中， ，，， ∴． ∴，， 又∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形． ∴， ∴． （3）如图，连接，由（2）可知，故点P的轨迹在射线上． 过点D作的垂线，交于点O，交与点Q． 易得、和都是等腰直角三角形． ∴是的垂直平分线，D、Q两点关于对称，． 当点P在射线上移动时，． 在中，，， ∴． ∴周长的最小值为：． 9．在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段 绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为 　 　； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或． 【解答】解：（1）如图，过点E作延长线于点M， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）补全图形如图，，理由如下： 过点E作于点M， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，当点D在延长线上时，过点E作延长线于点M， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴； 当点D在延长线上时，过点E作于点M， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上，或． 10．综合与实践 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是 　 　； （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； （3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点N，则　 　； （4）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线上找点P，使，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）的长度为或． 【解答】解：（1）∵线段绕点B逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． （2）∵线段绕点B逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． （3）如图，过N作于点M， 由得，，即， ∴， 由得，，即， 解得， 由得，． 故答案为：． （4）①当点P在点B左侧时，如图所示，过P作于点Q， ∵，， ∴，， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点P在点B右侧时，如图所示，作交延长线于点G， ，，即， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长度为或． 11．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用：（1）如图2，中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． （2）如图3，在中，D是上一点，，，，，求点C到边的距离． （3）如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）点C到的距离为；（3）． 【解答】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：过点D作于点F，过点C作，交的延长线于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 即点C到的距离为； （3）解：过点D作交的延长线于点M， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 30 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $$