专题07 平面直角坐标中面积、变换、规律、新定义型的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（华东师大版）

专题07 平面直角坐标中面积、变换、规律、新定义型的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、平面直角坐标系中的动点面积问题 2 类型二、平面直角坐标系中点的规律探究问题 8 类型三、平面直角坐标系中与几何证明的综合问题 10 类型四、平面直角坐标系中的新定义型问题 17 压轴能力测评（16题） 20 解题知识必备 1.点到坐标轴的距离 坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离. 注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负， 可能有多个解的情况，应注意不要丢解. ②坐标平面内任意两点A（x₁，y₁）、B(x₂，y₂)之间的距离公式为：d = 2.坐标平面内对称点坐标的特点 ①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反； ②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反； ③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反. 3.平行于坐标轴的直线的表示 ①平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a（a为纵坐标）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的绝对值； ②平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b（b为横坐标）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的绝对值. 4.象限角平分线的特点 ①第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号） ②第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号) 压轴题型讲练 类型一、平面直角坐标系中的动点面积问题 例题：（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，若点，，满足． (1)求的值； (2)若点的坐标为，连接，．则的面积为 ； (3)点在直线上，且．数学活动小组的同学发现：当点在线段上时，可连接，的面积是面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点的坐标． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·云南曲靖·期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，且轴． (1)求a的值； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使得的面积等于面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 类型二、平面直角坐标系中点的规律探究问题 例题：（23-24七年级下·云南大理·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着循环爬行，其中点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·北京·期末）如图，点，点，点，点，…，按照这样的规律下去，点的坐标是 ． 2．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 类型三、平面直角坐标系中与几何证明的综合问题 例题：（24-25八年级上·河南开封·期中）如图，，，以A点为顶点、为腰在第三象限作等腰直角三角形． (1)点C的坐标为______． (2)如图②，，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，为腰向右作等腰直角三角形，过D作轴于E点，求的值． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在直角坐标系中，B点的坐标为，且a、b满足． (1)求B点的坐标； (2)点A为y轴上一动点，过B点作，交x轴正半轴于点C，求证：． 2．（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图1，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，平分交于点C，点D为线段上一点，过点D作交y轴于点E，已知，，且m、n满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)若点D为中点，延长交x轴于点F，在的延长线上取点G．使，连接． ①与y轴的位置关系怎样？说明理由； ②求的长； (3)如图2，若点为直线在x轴下方的一点，点M是y轴的正半轴上一动点，以M为直角顶点作等腰直角，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标． 类型四、平面直角坐标系中的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）点是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为（其中k为常数且），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点的“2拓点”Q为，即点Q为． (1)求点的“3拓点”Q的坐标； (2)若点的“4拓点”Q的坐标是，求的值． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·重庆·期末）在学习了“数形结合”讨论问题后，某校数学兴趣小组开展“你命我解”互助学习活动．其中有一组的同学给出了这样一个问题：在平面直角坐标系中，点中x，y的值若满足，则称点Q为“直线点”，请你来解答这位同学提出的问题： (1)判断点是否为“直线点”，并说明理由； (2)若点是“直线点”，请通过计算判断点M在第几象限？ 2．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知是平面直角坐标系中的一点，若，是关于，的二元一次方程组的解，则称为该方程组的“梦想点”例如：是二元一次方程组，的“梦想点”根据以上定义，回答下列问题： (1)求关于，的二元一次方程组的“梦想点”． (2)若关于，的方程组与的“梦想点”相同，求，的值． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，，已知三角形的面积是三角形面积的2倍，则m的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．14或 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知按这样的规律，则点的坐标为（） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫作点的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·山东青岛·期中）在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是 ． 5．（23-24七年级下·广东·期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“”方向依次排列：根据这个规律，第个点的坐标为 ． 6．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点的一对“和谐点”．例如，点的一对“和谐点”是点与点， （1）若点的一对“和谐点”重合，则的值为 （2）若点的一个“和谐点”坐标为，则点的坐标为 ． 三、解答题 7．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，，点P是线段上的一个动点． (1)若平分的面积，求线段的长以及点P的坐标； (2)在上取一点Q，使得，当是一个等腰三角形时，求出此时点Q的坐标． 8．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．    (1)直接写出点D的坐标：______； (2)求的面积； (3)已知点，若的面积与的面积相等，求m的值． 9．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线对应的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，，…，，构成形如“7”的图形，阴影部分的面积分别为，，，…． 根据以上规律，解决下列问题： (1)______，______（用含的式子表示）． (2)计算：． 10．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读下列范例，按要求解答问题． 定义：在平面直角坐标系中，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积的值相等，则称点为“友善点”．如图，点的坐标为，则矩形的周长为，面积为，则点就是“友善点”． (1)判断点是不是“友善点”，并说明理由； (2)若是“友善点”，求点的坐标． 11．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，一点从开始按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动个单位长度，其运动路线如图所示，根据规律，解决下列问题．    (1)点的坐标为______ ； (2)点的坐标为______ ； (3)求出点到点的距离． 12．（18-19七年级下·广西柳州·期末） 对于实数a，b定义两种新运算“※”和“*”： （其中k为常数，且），若对于平面直角坐标系中的点，有点的坐标与之对应，则称点P的“k衍生点”为点．例如：的“2衍生点”为，即． (1)点的“3衍生点”的坐标为 ； (2)若点P的“5衍生点”的坐标为，求点P的坐标； (3) 若点P的“k衍生点”为点，且直线平行于y轴，线段的长度为线段长度的3倍，求k的值． 13．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于任意三点的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”是任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点的坐标分别为，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．根据所给定义解决下面的问题： (1)若点的坐标分别为，则“水平底”______，“铅垂高”______，“矩面积”______； (2)若点，用含的式子表示这三点的“矩面积”S； (3)已知点，在坐标轴上是否存在点，使这三点的“矩面积”S为24？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)若动点P从原点O出发，沿y轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的的时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（24-25八年级上·四川自贡·期末）在直角坐标系中，已知，且． (1)请判断并说明的形状． (2)如图1．若，为中点，连接，过点向左作，且，连．过点作直线垂直于轴，交于点N，求证：． (3)如图2，点在的延长线上，连接，以为斜边向上构造等腰直角三角形，连接，若，，求的面积． 16．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求点，坐标； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平面直角坐标中面积、变换、规律、新定义型的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、平面直角坐标系中的动点面积问题 2 类型二、平面直角坐标系中点的规律探究问题 8 类型三、平面直角坐标系中与几何证明的综合问题 10 类型四、平面直角坐标系中的新定义型问题 17 压轴能力测评（16题） 20 解题知识必备 1.点到坐标轴的距离 坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离. 注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负， 可能有多个解的情况，应注意不要丢解. ②坐标平面内任意两点A（x₁，y₁）、B(x₂，y₂)之间的距离公式为：d = 2.坐标平面内对称点坐标的特点 ①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反； ②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反； ③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反. 3.平行于坐标轴的直线的表示 ①平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a（a为纵坐标）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的绝对值； ②平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b（b为横坐标）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的绝对值. 4.象限角平分线的特点 ①第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号） ②第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号) 压轴题型讲练 类型一、平面直角坐标系中的动点面积问题 例题：（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，若点，，满足． (1)求的值； (2)若点的坐标为，连接，．则的面积为 ； (3)点在直线上，且．数学活动小组的同学发现：当点在线段上时，可连接，的面积是面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点的坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)或 【知识点】坐标与图形、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标系中的面积问题、中点坐标公式等，解题的关键是根据题意熟练应用上述知识． （1）依据题意，由，可得，进而计算可以得解； （2）作轴于点，由三点的坐标可知，再根据代入计算即可； （3）依据题意，可分为当点在线段上时、点在的延长线上和点在的反向延长线上三种情况，分别进行讨论即可得解． 【详解】（1）解：， ， 解得． （2）如图，作轴于点， 由（1）可得，，， ， ， ． （3）由题意，①如图，当点在线段上时， ， ， ， 边上的高是边上的高的3倍， ， 的纵坐标为2， ， ， ， 边上的高是边上的高的， ， 的横坐标为2， ； ②如图，当点在的延长线上时， ， 是线段的中点， 设， ，， ，， ，， ； ③当点在的反向延长线上时， 不成立，不合题意； 综上所述，或． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·云南曲靖·期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，且轴． (1)求a的值； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使得的面积等于面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【知识点】坐标与图形综合 【分析】本题考查的是坐标与图形的综合应用； （1）由轴可得，再解方程即可； （2）先求解，可得，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）设点P的坐标为，求解，可得，再解方程即可. 【详解】（1）解：∵轴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵点B的坐标为， ∴， ∴； （3）解：设点P的坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 2．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)；或 【知识点】坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题 【分析】（1）根据非负数的性质得，据此可得出，的长； （2）过点C作轴于E，则，进而得，然后根据可得出答案； （3）连接，过点D作于M，于N，根据点D在线段AB上，且，可得，从而可求出，进而可得点D的坐标；根据点Q在x轴上且，可分为两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：过点C作轴于E，如图1所示： ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：9． （3）解：连接，过点D作于M，于N，如图2所示： ∵点D在线段上，且， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； ∵点Q在x轴上且， ∴有以下两种情况： 设， ①当点Q在x轴的负半轴上时，过点D作轴于P，如图3所示： ∵点D的坐标为，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： ∴点Q的坐标为； ①当点Q在x轴的正半轴上时，过点D作轴于P，如图4所示： ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点Q的坐标为， 综上所述：点Q的坐标为或． 类型二、平面直角坐标系中点的规律探究问题 例题：（23-24七年级下·云南大理·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着循环爬行，其中点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点坐标规律探索，根据蚂蚁的运动规律找出“蚂蚁每运动12个单位长度是一圈”是解题的关键．先求出的长，再用2024除以上述长度，利用余数来确定蚂蚁的位置. 【详解】解：点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ， ， 则，余数为8， 故可判断蚂蚁爬了168个循环后，停在了点， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·北京·期末）如图，点，点，点，点，…，按照这样的规律下去，点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查点的坐标规律；熟练掌握平面内点的坐标，能够根据图形的变化得到点的坐标规律是解题的关键．根据题意得： ，，，，……，由此发现：脚标为偶数的点的坐标的规律，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ，，，，……， 由此发现：脚标为偶数的点的坐标的规律为， ∵， ∴点的坐标为． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 【答案】(1)2，0，4，0 (2)，0 (3) 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标规律求解，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）由图即可求解； （2）根据点的坐标规律可知，即可求解； （3）根据即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可直接写出，， 故答案为2，0，4，0． （2）解：根据点的坐标规律可知，， 故答案为，0． （3）解：∵， ∴． 类型三、平面直角坐标系中与几何证明的综合问题 例题：（24-25八年级上·河南开封·期中）如图，，，以A点为顶点、为腰在第三象限作等腰直角三角形． (1)点C的坐标为______． (2)如图②，，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，为腰向右作等腰直角三角形，过D作轴于E点，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】（1）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，据此即可得出点的坐标； （2）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，由轴可得，根据题意可知，再结合，进而可得，则，于是得解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 轴， ， ∴； 根据题意可知：， 又， ∴， ， ， 即：的值为． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的定义，等式的性质，全等三角形的判定与性质，已知两点坐标求两点距离，线段的和与差，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在直角坐标系中，B点的坐标为，且a、b满足． (1)求B点的坐标； (2)点A为y轴上一动点，过B点作，交x轴正半轴于点C，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、代入消元法、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形综合 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，非负数的性质，坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据非负数的性质建立关于的方程组，求出的值，进而得出点的坐标； （2）过点作轴于点，作轴于点，易证，即可证明，即可解题． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴点坐标为； （2）证明：如图，过点作轴于点，作轴于点， ， ， ∵在和中， ， ， ． 2．（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图1，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，平分交于点C，点D为线段上一点，过点D作交y轴于点E，已知，，且m、n满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)若点D为中点，延长交x轴于点F，在的延长线上取点G．使，连接． ①与y轴的位置关系怎样？说明理由； ②求的长； (3)如图2，若点为直线在x轴下方的一点，点M是y轴的正半轴上一动点，以M为直角顶点作等腰直角，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)①轴，理由见解析 ② (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了非负数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等列方程求解是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得方程、，解得，，即可得到、两点的坐标； （2）①由题意可得，进而可得，再证，于是可得，则，于是可得结论； ②设，则，由全等三角形的性质可知，，进而可得，列方程求解即可； （3）分别过点F、P作轴于点，轴于点，设点为，构造全等三角形，再根据点的横坐标与纵坐标相等，得出方程，解方程即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ，， ，； （2）解：①轴，理由如下： ∵平分， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵点D为中点， ∴， 在和中， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴轴； ②设，则， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ ， ∴， 解得：， ∴； （3）解：如图，分别过点F、P作轴于点，轴于点， 设点为， ∵ 点P的坐标为， ∴，， ∵，， ∴ ， ∵轴， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ，， ∴ 点F的坐标为， ∵ F点的横坐标与纵坐标相等， ∴ ， 解得：， 则， ∴ 点P的坐标为． 类型四、平面直角坐标系中的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）点是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为（其中k为常数且），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点的“2拓点”Q为，即点Q为． (1)求点的“3拓点”Q的坐标； (2)若点的“4拓点”Q的坐标是，求的值． 【答案】(1)点Q的坐标为 (2) 【知识点】新定义下的实数运算、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查点的坐标，根据题目中的新定义正确列出式子是解题的关键． （1）根据题目中的新定义，求出横坐标和纵坐标即可； （2）根据新定义列出式子，求出的值，即可求出． 【详解】（1）解：由定义可知： ∴点Q的坐标为 （2） 解得 ∴ 【变式训练】 1．（22-23七年级下·重庆·期末）在学习了“数形结合”讨论问题后，某校数学兴趣小组开展“你命我解”互助学习活动．其中有一组的同学给出了这样一个问题：在平面直角坐标系中，点中x，y的值若满足，则称点Q为“直线点”，请你来解答这位同学提出的问题： (1)判断点是否为“直线点”，并说明理由； (2)若点是“直线点”，请通过计算判断点M在第几象限？ 【答案】(1)是，理由见解析 (2)点M在第一象限 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、新定义下的实数运算 【分析】（1）由，可得，，解得，，，由，满足，进而可知点是“直线点”； （2）由是“直线点”，可知，，解得，，，由，可得，解得，，即，然后判断点M所在的象限即可． 【详解】（1）解：点是“直线点”，理由如下： ∵， ∴，， 解得，，， ∵， ∴点是“直线点”； （2）解：∵是“直线点”， ∴，， 解得，，， ∵， ∴， 解得，， ∴，即点M在第一象限． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，点坐标，一元一次方程的应用．解题的关键在于理解题意． 2．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知是平面直角坐标系中的一点，若，是关于，的二元一次方程组的解，则称为该方程组的“梦想点”例如：是二元一次方程组，的“梦想点”根据以上定义，回答下列问题： (1)求关于，的二元一次方程组的“梦想点”． (2)若关于，的方程组与的“梦想点”相同，求，的值． 【答案】(1) (2)的值为，的值为 【知识点】加减消元法、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）解方程组，可得出关于，的二元一次方程组的解为，进而可得出关于，的二元一次方程组的“梦想点”为； （2）解方程组，可得出关于，的方程组的解为，进而可得出关于，的方程组的“梦想点”为，再将代入中，解之即可求出，的值． 【详解】（1）解：， 得：， 将代入得：， 解得：， 关于，的二元一次方程组的解为， 关于，的二元一次方程组的“梦想点”为； （2）， 得：， 将代入得：， 解得：， 关于，的方程组的解为， 关于，的方程组的“梦想点”为． 将代入得：， 解得：， 的值为，的值为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组以及点的坐标，熟练掌握用加减法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，，已知三角形的面积是三角形面积的2倍，则m的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．14或 【答案】D 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．根据三角形的面积关系列出方程解题即可．先根据点A、B的横坐标相等得出轴以及的长，再根据三角形面积之间的关系得出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵三角形的面积是三角形面积的2倍， ∴， 解得：或， 故选D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知按这样的规律，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查的是点的坐标的规律，找出规律是解题的关键．先得出点为正整数)的横坐标为，纵坐标每6个一循环，再求解即可． 【详解】解：点为正整数的横坐标为，纵坐标每6个一循环 点的横坐标为， 点的纵坐标与的纵坐标相同，为0， 点的坐标为， 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫作点的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的规律，图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由题意可得，，再找出规律求解即可． 【详解】点的坐标为 ， 观察发现，每6个点为一个循环组依次循环． 点的坐标与点的坐标相同，为． 故选：B 二、填空题 4．（24-25八年级上·山东青岛·期中）在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是 ． 【答案】31 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，然后用大长方形的面积减去四周四个直角三角形的面积，得出答案即可． 【详解】解：过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，如图所示： ∵四边形各个顶点的坐标分别是，，，， ∴，，，， ∴，，， ，，，，，， ∴ ． 故答案为：31． 5．（23-24七年级下·广东·期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“”方向依次排列：根据这个规律，第个点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】根据图形推导出为奇数和为偶数的对应规律，再结合，即即可求解． 【详解】解：由图可知：第一个正方形每条边上有个点，共有个点，且终点为； 第二个正方形每条边上有个点，连同第一个正方形共有 个点，且终点为； 第三个正方形每条边上有个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为； 第四个正方形每条边上有个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为； 故当为奇数时，第个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为； 当为偶数时，第个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有个点，且终点为． 而，即，， 由规律可知，第个正方形每条边上有个点，且终点坐标为， 由图可知，再倒着推个点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是平面直角坐标系上的点坐标规律探究，解题关键是根据题意找到规律． 6．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点的一对“和谐点”．例如，点的一对“和谐点”是点与点， （1）若点的一对“和谐点”重合，则的值为 （2）若点的一个“和谐点”坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 6 或 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题是新定义问题，考查了坐标与图形，关键是理解题中“和谐点”的含义． （1）根据“和谐点”的含义及两点重合即可完成； （2）设点C的坐标为，根据“和谐点”的含义分两种情况即可完成． 【详解】解：（1）由题意得：， 点的一对“和谐点”坐标是与， 又点的一对“和谐点”重合， ， ， 故答案为：6； （2）设点C的坐标为， 若点的一个“和谐点”坐标为， 则， ， ； 若点的另一个“和谐点”坐标为， 则， ， ； 综上所述，点C的坐标为或． 三、解答题 7．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，，点P是线段上的一个动点． (1)若平分的面积，求线段的长以及点P的坐标； (2)在上取一点Q，使得，当是一个等腰三角形时，求出此时点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)或或 【知识点】坐标与图形、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、一次函数与坐标轴的交点、等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）根据中点坐标公式可得点P的坐标，从而得出的长； （2）分或或三种情形，当时，证明，得，． 【详解】（1）解：平分的面积， ∴点P为的中点， ，， ， ； （2）解：当时， ， ∴点Q与B重合， ， 当时， ， ，平分， 是等腰直角三角形， ， ， 当时， ， ， 又， ， ，， ， ， 综上：或或． 8．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．    (1)直接写出点D的坐标：______； (2)求的面积； (3)已知点，若的面积与的面积相等，求m的值． 【答案】(1) (2)9 (3) 【知识点】绝对值方程、由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平移的性质等知识． （1）根据平移的性质求解即可． （2）过点D作轴与点F，根据计算即可． （3）先求出，即可得出，解绝对值方程即可求解即可． 【详解】（1）解：∵将向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D． ，， ∴， 故答案为：； （2）解：过点D作轴与点F，如下图： 则，    ∵，，， ∴，，，， ∴ = ； （3）解：∵ 又∵， ∴ ， 解得 9．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线对应的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，，…，，构成形如“7”的图形，阴影部分的面积分别为，，，…． 根据以上规律，解决下列问题： (1)______，______（用含的式子表示）． (2)计算：． 【答案】(1)（或12）；（或） (2) 【知识点】有理数四则混合运算、用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、点坐标规律探索 【分析】本题主要考查平面直角坐标中点的规律，整数的运算，有理数的混合运算 （1）根据点与阴影部分面积的计算可得（或），由此即可求解； （2）把面积的值代入，运用有理数的混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，，阴影部分的面积分别为，，， ∴（或）， ∴（或12） 故答案为：；． （2）解： ． 10．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读下列范例，按要求解答问题． 定义：在平面直角坐标系中，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积的值相等，则称点为“友善点”．如图，点的坐标为，则矩形的周长为，面积为，则点就是“友善点”． (1)判断点是不是“友善点”，并说明理由； (2)若是“友善点”，求点的坐标． 【答案】(1)不是“友善点”，是“友善点”，理由见解析 (2) 【知识点】坐标与图形 【分析】（1）根据定义，计算横坐标绝对值与纵坐标绝对值和的2倍，计算横坐标绝对值与纵坐标绝对值的积，若相等，则符合题意，解答即可； （2）根据定义，计算周长和面积，结合绝对值意义，建立等式解答即可． 本题考查了坐标新定义问题，熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：不是“友善点”，是“友善点”． 理由：对于，矩形的周长是，面积是， 周长与面积的值不相等， 不是“友善点”； 对于，矩形的周长是，面积是， 周长与面积的值相等， 是“友善点”． （2）是“友善点”， ， ， ． ． 11．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，一点从开始按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动个单位长度，其运动路线如图所示，根据规律，解决下列问题．    (1)点的坐标为______ ； (2)点的坐标为______ ； (3)求出点到点的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】坐标与图形、点坐标规律探索、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）通过图象，推理可得到的坐标情况， （2）通过分析各个点的坐标，找到对应的规律，通过分别讨论每个点的横、纵坐标来总结规律． （3）通过（2）的规律，求得的点的坐标，通过两点间坐标求出距离． 【详解】（1）解：由图中可知，、、、、、、， 故答案为：， （2）解：根据各点坐标的规律可知，为偶数时，的横坐标为， 为奇数时，的横坐标为， 的纵坐标为4次一循环，循环顺序为， 为奇数， 点的横坐标为， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为， 故答案为：， （3）解：根据上边规律，可求点的坐标为， 到的距离为． 【点睛】本题考查同学们在平面直角坐标系中，循环问题的循环规律，通过奇偶性的不同来分别讨论，通过横纵坐标的不通规律分别讨论，最后通过坐标上两点间的距离求解． 12．（18-19七年级下·广西柳州·期末） 对于实数a，b定义两种新运算“※”和“*”： （其中k为常数，且），若对于平面直角坐标系中的点，有点的坐标与之对应，则称点P的“k衍生点”为点．例如：的“2衍生点”为，即． (1)点的“3衍生点”的坐标为 ； (2)若点P的“5衍生点”的坐标为，求点P的坐标； (3) 若点P的“k衍生点”为点，且直线平行于y轴，线段的长度为线段长度的3倍，求k的值． 【答案】(1) (2) (3)k的值为3和 【知识点】新定义下的实数运算、几何问题(二元一次方程组的应用)、坐标与图形 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，解二元一次方程组，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键． （1）直接利用新定义进而分析得出答案； （2）直接利用新定义结合二元一次方程组的解法得出答案； （3）先由平行于y轴得出点P的坐标为，继而得出点的坐标为，线段的长度为线段长度的3倍，解之可得． 【详解】（1）解：点的“3衍生点”的坐标为， 即， 故答案为：； （2）解：设 依题意，得方程组 ， 解得， ∴点； （3）解：设，则的坐标为， ∵平行于y轴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴点P的坐标为，点的坐标为， ∴线段的长度为， ∴线段的长为， 根据题意，有， ∴． ∴． ∴k的值为3和． 13．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于任意三点的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”是任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点的坐标分别为，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．根据所给定义解决下面的问题： (1)若点的坐标分别为，则“水平底”______，“铅垂高”______，“矩面积”______； (2)若点，用含的式子表示这三点的“矩面积”S； (3)已知点，在坐标轴上是否存在点，使这三点的“矩面积”S为24？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3；7；21 (2) (3)在坐标轴上存在点，使这三点的“矩面积”S为24，点F的坐标为或或或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题． （1）根据题目中的新定义可以求得相应的“水平底”、“铅垂高”和“矩面积”； （2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据题目中的新定义可以求得相应的d，h，可以求得相应的“矩面积”； （3）设点F的坐标为(，0)，再对进行分类讨论，即可求得的值，从而可以求得点F的坐标． 【详解】（1）解：∵点的坐标分别为， ∴，， ∴； （2）解：∵点， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上分析可知：； （3）解：当点F在x轴上时，设点F的坐标为， ∵点，， ∴， 当时，， ∴， 解得：， ∴此时点F的坐标为； 当时，， ∴， ∴此时没有符合条件的点F存在； 当时，， ∴， 解得：， ∴此时点F的坐标为； 当点F在y轴上时，设点F的坐标为， ∵点，， ∴， 当时，， ∴， 解得：， 此时点F的坐标为：； 当时，， ∴； ∴此时没有符合条件的点F存在； 当时，， ∴， 解得：， ∴此时点F的坐标为； 综上，在坐标轴上存在点，使这三点的“矩面积”S为24，点F的坐标为或或或． 14．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)若动点P从原点O出发，沿y轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的的时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点P的运动时间为3秒 (3)存在，或 【知识点】绝对值非负性、几何问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形综合 【分析】本题考查了绝对值，平方的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由，可得，解得，则，； （2）设，则，由题意知，，则，解得，（秒）； （3）由（2）可知设，得，由列方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， ，． 故答案为：；； （2）解：设，则， 由题意知，， ， 解得， （秒）， 点P的运动时间为3秒； （3）解：由（2）可知 设，则，， ， 解得或， 或 15．（24-25八年级上·四川自贡·期末）在直角坐标系中，已知，且． (1)请判断并说明的形状． (2)如图1．若，为中点，连接，过点向左作，且，连．过点作直线垂直于轴，交于点N，求证：． (3)如图2，点在的延长线上，连接，以为斜边向上构造等腰直角三角形，连接，若，，求的面积． 【答案】(1)是等腰直角三角形，见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、坐标与图形综合 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线、构造全等三角形解决问题． （1）证明即可； （2）过点作轴，垂足为，交于点，则，证明，推出，再证明即可； （3）过点作交的延长线于点，连，证明，推出，，可求出，最后根据即可求解． 【详解】（1）由题意得， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）证明：过点D作轴，垂足为H，交于点，则． ∵， ∴， ∵C为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ，垂直于轴，轴， ∴，， ∴，， ∴， 在和中 ∴， ∴； （3）如图，过点作交的延长线于点，连接， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴． 16．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求点，坐标； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1)， (2)或 (3)①见解析；②的大小不变，为定值 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、角平分线的判定定理 【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性质得，，则，，进而得点，坐标； （2）分两种情况，①点C在第一象限时，②点C在第四象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F，证，得，，即可解决问题； （3）①延长、，相交于点F，证，得，再证，得，则，即可得出结论； ②过点C作于点M，于点N，证，得，则是的角平分线，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：解：分两种情况： ①如图1，点C在第一象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F， ∴，，， ∴， ∵等腰直角， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； ②如图1-1，点C在第四象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F， 同①得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； （3）解：①证明：如图2，延长、，相交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：的大小不变，为定值，理由如下： 如图3，过点C作于点M，于点N， 则， ∵， ∴， 由①可知，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴， 即的大小不变，为定值． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、绝对值和偶次方的非负性质、角平分线的判定、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$