培优专题6-1两种计数原理及其应用（3知识点+6题型+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

培优专题6-1：两种计数原理及其应用 分类加法计数原理 1、分类加法计数原理的定义：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 2、分类加法计数原理的推广：完成一件事情有类不同的方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法． 【注意】完成这件事的类方案是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要在用其他的方法． （24-25高二上·甘肃定西·期末）将2个相同的红球和2个相同的黑球放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【解析】满足条件的放法可分为两类， 第一类，每个盒子放；两个球，满足条件的放法有3种； 第二类，一个盒子放一个球，另一个盒子放个球，满足条件的放法有种， 由分类加法计数原理可得，满足条件的不同的放法共有种．故选：C. 分步乘法计数原理 1、分步乘法计数原理的定义：完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 2、分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要个步骤，做第1步有中不同的方法，做第2步有中不同的方法，…，做第步有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法． 【注意】完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不能完成． （24-25高二上·陕西汉中·期末）阅读课上，名同学分别从种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】阅读课上，名同学分别从种不同的书中选择一种进行阅读，每名同学都有种选法， 因此，不同的选法种数为种.故选：C. 两种计数原理综合 1、两种计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 都是完成一件事的不同方法的种数问题 不同点1 完成一件事有类不同方案，关键词是“分类” 完成一件事需要个步骤，关键词是“分步” 不同点2 每类方案都能独立完成这件事情，且每种方法得到的最后结果，只需一种方法就可以完成这件事 任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事 不同点3 各类方案之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 2、两种计数原理综合应用 （1）用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在最开始计算之前进行仔细分析—需要分类还是需要分步； （2）分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数； （3）分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数． （24-25高二上·吉林延边·月考）某班举办新年联欢班会，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项. 甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同. 甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖没有戊好但是比丁的强”. 根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是 【答案】13 【解析】若甲是特等奖，则乙可以是剩余四种中的一种，则丙丁戊情况被唯一确定，此时共有4种情况， 若甲不是特等奖，则甲可以是剩余3种奖中的一种，此时乙也有3种情况， 则丙丁戊情况被唯一确定，此时共有种情况， 故总的情况为，故答案为：13 分类加法计数原理的应用 例1．（24-25高二上·广西·期末）已知甲部门有员工4人，乙部门有员工5人，丙部门有员工6人，现从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（    ） A．120 B．15 C．25 D．90 【答案】B 【解析】根据分类加法计数原理可知，不同的选法种数为.故选：B. 【变式1-1】（24-25高二上·福建宁德·月考）如果一个三位正整数“”满足且，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275），当中间数为3或4时，那么所有凸数的个数为（    ） A．18 B．15 C．16 D．21 【答案】A 【解析】当中间数为3时，有（个）； 当中间数为4时，有（个）． 故共有（个）．故选：A 【变式1-2】某班级投票选举班长，每人必须且只需投一票，有三个投票箱，A投票箱内有10张选票，B投票箱内比C投票箱内的选票多4张，若从A或B或C投票箱中任取一张选票共有54种取法，则B投票箱内的票数为 ． 【答案】24 【解析】由题意，不妨设投票箱内的票数为投票箱内票数为， 由分类加法计数原理有，即， 又，所以． 故答案为：24. 【变式1-3】（24-25高二上·贵州遵义·期末）设集合，集合，那么集合中满足的元素的个数为（    ） A．12 B．18 C．22 D．24 【答案】C 【解析】集合中元素个数共有个， 若，则有， 则可能，共1种； 或，或，共2种； 或，或，共2种； 故集合中满足的元素的个数为.故选：C. 【解题方法总结】 应用分类加法计数原理的注意事项：（1）根据题目特点恰当选择一个分类标准；（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复；（3）分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏． 分步乘法计数原理的应用 例2．（24-25高二上·江西南昌·期末）某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书.从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（    ） A．13种 B．42种 C．种 D．种 【答案】B 【解析】7本不同的历史书任取1本历史书有7种取法； 6本不同的地理书任取1本地理书有6种取法， 从这些书中任取1本历史书和1本地理书， 根据分步乘法原理得到不同的取法有7×6=42种.故选：B. 【变式2-1】（24-25高二上·辽宁·期末）某体育用品店有5种不同价格的篮球，4种不同价格的排球，若从中选购1个篮球和1个排球，则不同的选购方法有（    ） A．9种 B．20种 C．625种 D．1024种 【答案】B 【解析】第一步，从5种不同的篮球中选一个，有5种选法， 第二步，从4种不同的排球中选一个，有4种选法， 故不同的选法为：种.故选：B. 【变式2-2】（24-25高二上·河南南阳·期末）从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解析】从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人， 第一个路口有种选择，第二个路口有种选择，最后一个路口有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为种.故选：B. 【变式2-3】（24-25高二上·陕西汉中·期末）一辆公交车上有位乘客，沿途个车站，则乘客下车的可能方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【解析】一辆公交车上有位乘客，沿途个车站，每位乘客都有种下车方式， 所以，乘客下车的可能方式共有种.故选：A. 【解题方法总结】 （1）利用分步计数原理时，要明确完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可． （2）分步乘法计数原理的解题思路：①分步：将完成这件事的过程分成若干步；②计数：求出每一步中的方法数；③结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果． 两种计数原理的综合应用 例3．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 【答案】D 【解析】依题意可知，有两类衣服可选， 第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择； 第二类：选择连衣裙，共有中选择； 所以共有种选择.故选：D 【变式3-1】（23-24高二下·广西·期末）如图，要让电路从A处到B处只有一条支路接通，可有（    ）条不同路径. A．4 B．5 C．9 D．10 【答案】D 【解析】走上面需要两步，每步都有两种路径，有种方法， 走下面需要两步，第一步有三种路径，第二步有两种路径，有种方法， 共计有10种方法.故选：D. 【变式3-2】（23-24高二下·贵州遵义·期末）如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有 种不同的走法． 【答案】14 【解析】分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有2×3=6种， 第二类，从甲到丙再到丁，共有4×2=8种， 根据分类计数原理可得，共有6+8=14种， 故从甲地到丁地共有14条不同的路线． 故答案为：14 【变式3-3】（24-25高二上·江西上饶·月考）汽车制造的专业化流程是：设计效果图→制作油泥模型→生产样车→对样车检验→投入生产.已知A市、B市、C市分别有3个、10个、7个能设计效果图的设计院，A市有2个能制作油泥模型的制作中心，B市有6个能生产样车的生产车间，C市有1处能对样车检验的检验中心，A市、B市、C市、D市、E市分别有8，8，6，3，2家能实际投入生产的生产厂家，从设计到实际生产，有 种选择方法． 【答案】6480 【解析】共分五步：第一步，设计效果图，共计种方法； 第二步，制作油泥模型，有2种方法；第三步，生产样车，有6种方法； 第四步，对样车检验，有1种方法；第五步，投入生产，共计种方法． 所以从设计到实际生产有种选择方法． 【解题方法总结】 两个计数原理的综合问题中往往既有分类又有分步，这时，首先要理解题意，弄清“完成哪件事”，弄清时类的趋势大，还是步的趋势大，再决定是先分步还是先分类．若既可用分类加法计数原理，又可用分步乘法计数原理解题时，则要注意权衡用哪种方法解决问题较为简单． 选（抽）取与分配问题 例4．（24-25高二上·河南南阳·月考）学校教师运动会设置有“跳绳”、“立定跳远”、“定点投篮”、“沙包掷准”四个比赛项目，每个项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，每人做且仅做一项裁判工作，因为时间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，则不同的安排方法共有（    ） A．12种 B．14种 C．7种 D．9种 【答案】B 【解析】当甲安排“定点投篮”，另外3人任意安排工作有6种方法. 当甲不安排“定点投篮”时，先安排甲有2种，再安排乙有2种，另外剩余2人有2种， 此时有种方法，共有种，故选：B 【变式4-1】（24-25高二上·河南驻马店·月考）某中学高二年级入学进行了一场为期一周的军训，在军训过程中，教官根据班级表现从各个维度进行评分，最终评出“先进集体”“作风优良班级”“纪律优良班级”“素质优良班级”四个奖项．已知总共有三个班级获奖，其中有两个班级均获得了“先进集体”，剩余三个奖项每个奖项均只有一个班级获得，则所有的颁奖方式有（    ） A．57种 B．60种 C．114种 D．120种 【答案】A 【解析】设获奖的三个班级分别为，，，首先分配“先进集体”奖，有（种）可能； 继续分配“作风优良班级”“纪律优良班级”“素质优良班级”这三个奖项， 每个奖项分别有，，三种可能，于是有（种）可能， 相乘一共有（种）可能， 其中一个班级一个奖项都不获得， 也就是分配“作风优良班级”“纪律优良班级”“素质优良班级”这三个奖项时 均分配到两个获得“先进集体”奖的班级，共有（种）可能； 两者相减得所有的颁奖方式有（种）．故选：A． 【变式4-2】（23-24高三下·山东·二模）某校高一年级有四个班，四位老师各教一个班的数学在该年级某次数学考试中，要求每位数学老师均不在本班监考，则不同的安排监考的方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设四个班分别是、、、，对应的数学老师分别是、、、． 让老师先选，可从、、班中选一个，有种选法， 不妨假设老师选的是，则老师从剩下的三个班级中任选一个，有种选法， 剩下的两位老师都只有种选法． 由分步乘法计数原理，知共有种不同的安排方法．故选：B. 【变式4-3】（24-25高二下·全国·专题练习）某外语组9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，则不同的选法有 种． 【答案】20 【解析】依题意得，既会英语又会日语的有7＋3－9＝1(人)，6人只会英语，2人只会日语． 第1类：从只会英语的6人中选一人有6种选法，此时选会日语的有2＋1＝3(种)． 由分步乘法计数原理得N1＝6×3＝18(种)； 第2类：从既会英语又会日语的人中选一人会英语的有1种选法，此时选会日语的有2种． 由分步乘法计数原理得N2＝1×2＝2(种)． 综上，不同的选法共有N＝N1＋N2＝18＋2＝20(种). 【解题方法总结】 选（抽）取与分配问题的常见类型及其解法 （1）当涉及对象数目不大时,一般选用列举法、树形图法或者图表法． （2）当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的则按分类进行． ②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． “多面手”问题一般是按“多面手”是否入选、入选哪一类活动进行分类讨论，必要时可借助集合中的Venn 图帮助理解、分析． 用计数原理解决组数问题 例5．（24-25高二上·北京大兴·期末）用这个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为百位不为0，有9个数字可选， 则十位有9个数字可选， 个位有8个数字可选， 所以可以组成个没有重复数字的三位数.故选：C. 【变式5-1】（24-25高二上·辽宁·期末）用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（    ） A．60 B．30 C．36 D．21 【答案】B 【解析】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即，，，有3种选择， 因为这是一个三位数，所以百位数不能是0. ①当个位数为0时，有种， ②当个位数为2或4时，有种.综上，有30种.故选：B. 【变式5-2】（23-24高二下·河南商丘·期中）数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（    ） A．147 B．112 C．65 D．50 【答案】C 【解析】最高位是5的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个； 最高位是6的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个； 最高位是7的“凸数”，中间数分别为8，9，分别有7，8个，共有15个； 最高位是8的“凸数”，中间数为9，有8个， 所以没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为.故选：C 【变式5-3】（23-24高二下·陕西榆林·期末）设集合中的元素皆为无重复数字（如113为有重复数字）的三位正整数，且中任意两个元素之积皆为奇数，则中元素个数的最大值为 ． 【答案】320 【解析】由题意可知集合中的元素无偶数，均为奇数， 故个位数字从中选一个，有5种选法， 百位数字从除去0和个位数字上选定的数字之外的8个数字中选一个，有8种选法， 十位数字从除去百位数字和个位数字上选定的数字之外的8个数字中选一个，有8种选法， 故中元素个数的最大值为， 故答案为：320 【解题方法总结】 组数问题的常见类型及解决原则： （1）常见的组数问题：①组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”；②在一定范围内的数的问题;③各位数字和为某一定值问题；④位数字之间满足某种关系的问题等． （2）解决原则：①明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如正面分类较多，可采用间接法求解．②要注意数字“0”不能在两位数或两位以上的数的最高位． 用计数原理解决涂色（种植）问题 例6．（24-25高二上·甘肃定西·期末）如图，给编号为1，2，3，…，6的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．125种 【答案】A 【解析】由题意可得，只需确定区域1，2，3的颜色，即可确定所有区域的涂色． 先涂区域1，有5种选择；再涂区域2，有4种选择；最后涂区域3，有3种选择． 故不同的涂色方案有种．故选：A. 【变式6-1】（24-25高二上·河南·月考）现用3种不同的颜色给正五边形的五个顶点涂色，要求相邻顶点的颜色不同，则不同的涂色方法种数为 . 【答案】30 【解析】如图，考虑B，C，E三点的涂色情况， 若B，C，E三点涂三种颜色，则该三点共有种涂色方法， 此时A有1种涂色方法，D有1种涂色方法，则共有种涂色方法； 若B，C，E三点涂两种颜色，则E与B同色，或E与C同色， 当E与B同色时，该三点共有种涂色方法， 此时A有2种涂色方法，D有1种涂色方法，则共有种涂色方法， 同理当E与C同色时，共有种涂色方法， 综上，不同的涂色方法种数为． 故答案为：30． 【变式6-2】（23-24高二下·江苏南京·月考）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为（    ） A．192 B．420 C．210 D．72 【答案】B 【解析】按照的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类： 第一类，A，C同色，由分步计数原理有种不同的染色方法； 第二类，A，C不同色，由分步计数原理有种不同的染色方法； 根据分类加法计数原理，共有种不同的染色方法.故选：B. 【变式6-3】（24-25高二上·河南南阳·月考）用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（    ） A．25 B．630 C．605 D．580 【答案】B 【解析】先涂第一个圆，由6种情况；再涂第二个圆有5种情况；涂第三个圆有5种情况； 涂第四个圆有5种情况；涂第五个圆有5种情况，利用计数原理可知，一共有种； 若没有红色， 先涂第一个圆，由5种情况；再涂第二个圆有4种情况；涂第三个圆有4种情况； 涂第四个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况，一共有种； 若红色涂一个圆， 当红色涂第一个圆，再涂第二个圆有5种情况；涂第三个圆有4种情况； 涂第四个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况，一共有种； 当红色涂第二个圆，再涂第一个圆有5种情况，涂第三个圆有5种情况， 涂第四个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况；一共有种； 当红色涂第三个圆，再涂第二个圆有5种情况，涂第四个圆有5种情况， 涂第一个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况；一共有种； 当红色涂第四个圆，再涂第三个圆有5种情况，涂第五个圆有5种情况， 涂第一个圆有4种情况；涂第二个圆有4种情况；一共有种； 当红色涂第五个圆，再涂第四个圆有5种情况，涂第是三个圆有4种情况， 涂第二个圆有4种情况；涂第一个圆有4种情况；一共有种； 所以红色至少涂两个圆的方案有.故选:B 【解题方法总结】 涂色问题的两种解决方案： （1）选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色,这时用分步乘法计数原理进行计算．若图形不是很规则，往往从某一区域开始进行涂色，选用分步乘法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进行分类，对每一类再进行分步． （2）首先根据涂色时所用颜色数的多少，进行分类处理.然后在每一类的涂色方案的计算上需用到分步乘法计数原理.最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法数求和即得到最终涂色方法数．对于涂色(立方体)问题将空间问题平面化,转化为平面区域涂色问题． 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南长沙·期末）某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小红3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（    ） A．36种 B．50种 C．75种 D．125种 【答案】C 【解析】因为小明不选篮球和足球，所以小明有3种选课方法， 小强和小红各有5种选课方法，所以不同的选课方法共有种.故选：C. 2．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，直线中的是取自集合中的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为锐角，符合以上所有条件的直线的条数为（    ） A．40 B．32 C．24 D．23 【答案】D 【解析】由直线的倾斜角为锐角可知斜率一定存在，可得， 且，所以异号， 从集合中任取三个不同元素，且异号， 易知有4种选法，有2种选法，有3种选法，共有种， 又因为当和时，都表示直线， 所以符合条件的直线的条数为种.故选：D 3．（24-25高二上·北京·月考）甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【解析】由题意可得丙不是第1名，甲，乙相邻； 所以丙是第2名时，甲，乙只能是第3，4名，丁为第1名，此时共2种情况； 丙是第3名时，甲，乙只能是第1，2名，丁为第4名，此时共2种情况； 丙是第4名时，甲，乙有可能是第1，2名，或第2，3名， 当甲，乙是第1，2名时，丁为第3名，此时共2种情况； 当甲，乙是第2，3名时，丁为第1名，此时共2种情况； 所以一共有2+2+2+2=8种情况.故选：C. 4．（23-24高二下·贵州·期中）高二某班级4名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（    ） A．54 B．12 C．8 D．81 【答案】B 【解析】由甲同学不能报名足球，可得甲有2种报名方式， 乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同， 可得乙有3种报名方式，丙有2种报名方式，丁只有1种报名方式， 共分步计数原理可得共有种．故选：B． 5．（23-24高二上·江西九江·期末）从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（    ） A．30个 B．42个 C．41个 D．39个 【答案】D 【解析】当取时，则只能为真数，此时这个对数值为， 当不取时，底数有种，真数有种， 其中， 故此时有个， 所以共有个.故选：D. 6．（23-24高二下·河北沧州·月考）为纪念抗美援朝，某市举办了一场“红色”歌曲文艺演出，已知节目单中共有6个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了3位参加过抗美援朝的老战士分别演唱一首当年的革命歌曲，在不改变原来的节目顺序的情况下，将这3个不同的节目添加到节目单中，则不同的安排方式共有（    ） A．210种 B．336种 C．504种 D．672种 【答案】C 【解析】原来的个节日形成个空，插入第一个节目，共有种结果， 原来的个和刚插入的一个，形成个空，插入第二个节目有种结果， 同理插入最后一个节目有种结果， 根据分步乘法计数原理得到不同的安排方式有种．故选：C． 7．（23-24高二下·山东青岛·期中）在如图所示的九宫格中填入数字和字母，已知三个字母：都填到九宫格中且不能在同一行同一列，其他每格只能从数字中选择一个填入，有公共边的两个格数字不相同，则不同的填法种数为（    ） A．5230 B．3619 C．4758 D．5184 【答案】D 【解析】先填，对于，有9个位置可以选择， 除去所在的行和列，有4个位置可以选择， 再除去所在的行和列，只剩1个位置， 故填共有种；再填1，2，3，如下图， ④ ⑤ ① ⑥ ② ③ 由于公共边的两个格数字不相同，从①号位置开始: ①有3种选择，②有2种选择，③有2种选择，④有3种选择，⑤有2种选择，⑥有2种选择， 故填1，2，3有种； 所以共有种.故选：D. 8．（23-24高二下·北京朝阳·期中）北京地铁12号线是一条主要沿北三环东西向敷设的轨道交通干线，全长约30公里，设21座车站，跨越海淀、西城、东城、朝阳四个行政区，预计2024年7月1日正式开通，它的开通将填补东坝地区轨道交通的空白. 作为“地下北三环”，12号线开通后还能有效缓解英才高二年级许老师和郑老师的上下班通勤压力.若许老师和郑老师同时从东坝西站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过18站，地铁票价如下表，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同， 乘坐站数 票价/元 3 4 5 6 则下列结论中不正确的是（    ） A．若许老师、郑老师两人共花费7元，则许老师、郑老师下地铁的不同方案共有24种 B．若许老师、郑老师两人共花费10元，则许老师、郑老师下地铁的不同方案共有88种 C．若许老师、郑老师两人共花费9元，则郑老师比许老师先下地铁的概率为 D．若许老师、郑老师两人共花费9元，则郑老师比许老师先下地铁的概率为 【答案】C 【解析】选项A：若许老师、郑老师两人共花费7元，则许老师、郑老师票价分别为3，4或4，3； 共有方案种，A选择正确； 选项B：若许老师、郑老师两人共花费10元， 则许老师、郑老师票价分别为5，5或4，6或6，4， 共有方案种，B选项正确； 选项C，D：若许老师、郑老师两人共花费9元， 则许老师、郑老师票价分别为5，4或4，5或3，6或6，3， 则郑老师比许老师先下地铁的概率为，C错误，D选项正确.故选：C. 二、多选题 9．（23-24高二下·江苏南京·月考）下列说法正确的是（    ） A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有24种报名方法 B．4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目，则这三个项目的冠军共有64种不同结果 C．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人，共有24种报名方法 D．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，共有24种报名方法 【答案】BD 【解析】4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目， 每人报一项，每个同学都有3种情况，共有种，所以A错误； 4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目， 每个冠军有4种情况，则这三个项目的冠军共有种，所以B正确； 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目， 每人报一项，每项至少一人，可以1,1,2部分平均分组再分配，种，所以C错误； 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目， 每项报一人，每人至多报一项，跑步项目有4种，跳高由3种，跳远有2种， 根据分步乘法原理，可得一共种，所以D正确.故选：BD 10．（23-24高二下·湖北武汉·月考）数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（    ） A．四位回文数有45个 B．四位回文数有90个 C．（）位回文数有个 D．（）位回文数有个 【答案】BD 【解析】据题意，对于四位回文数，有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、 2992、……9009、9119、9229、……、9999，共90个，则A错误，B正确； 对于2n位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……， 第n和第n+1位也有10种，则共有9×10×10×……×10＝9×10n-1种选法，故C错； 对于2n+1位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法……， 第n+1个数字，即最中间的数字有10种选法， 则共有9×10×10×……×10＝9×10n种选法，即2n+1（n∈N*）位回文数有9×10n个， 所以D正确．故选：BD． 11．（23-24高二下·山东菏泽·月考）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为（），则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．某人抛掷三次股子后棋子恰好又回到点处，则（    ） A．三次股子后所走的单位数可以是12 B．三次骰子的点数之和只可能有两种结果 C．三次股子的点数之和超过10的走法有6种 D．回到点处的所有不同走法共有24种 【答案】BC 【解析】由题意知正方形（边长为2个单位）的周长是8， 抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的表示三次骰子的点数之和是8，16，故A错误，B正确： 在点数中三个数字能够使得和为8，16的有125，134，116，224，233，466，556， 在组合125，134，每种情况可以排列出种结果，共有种结果； 在116，224，233，466，556各有3种结果，共有种结果， 其中点数之和超过10的走法为466，556，共有种，故C正确； 根据分类计数原理知共有种结果，故D错误；故选：BC 三、填空题 12．（23-24高二下·天津红桥·期中）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有 种． 【答案】50 【解析】第一种情况是甲选龙，乙只能选马，丙有10种方法， 第二种情况是甲选牛或马，甲有2种方法，乙也有2种方法， 那么丙有10种方法，则共有种方法， 所以共有种方法. 13．（23-24高二下·贵州安顺·期中）如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有 . 【答案】48 【解析】根据题意，对于区域A，有4种涂色方法，对于区域B，有3种涂色方法， 对于区域C，有2种涂色方法，对于区域D，有2种涂色方法， 则由分步乘法计数原理可得种涂色方法. 故答案为：48 14．（23-24高二下·福建·期末）某快件从甲送到乙需要5个转运环节，其中第1，2两个环节各有a，b两种方式，第3，4两个环节各有b，c两种方式，第5个环节有d，e两种方式，则快件从甲送到乙，第一个环节使用a方式的送达方式有 种；从甲到乙恰好用到4种方式的送达方式有 种. 【答案】 16 16 【解析】由题意可得，若第一个环节使用a方式的送达方式有种； 快递从甲送到乙有4种运输方式，且第5个环节从d，e两种运输方式中选一种， 1，2，3，4个环节必须包含三种不同的运输方式， 若第1，2个环节运输方式相同，则只能都选，则3，4个环节一个选，一个选， 则有种， 若第1，2个环节运输方式不相同，则已经包含两种运输方式， 则3，4个环节一个选，一个选，或者都选， 则由种， 快递从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有种. 故答案为：16；16 四、解答题 15．（23-24高二下·河南郑州·月考）书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书. (1)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ (2)从书架上任取两本同学科的书，有多少种不同的取法？ 【答案】(1)24；(2)10 【解析】（1）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成： 第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法， 第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法， 第3步从第3层取1本体育书，有2种方法， 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是. （2）分为3类：第1类取两本计算机书有6种取法； 第2类取两本文艺书有3种取法； 第3类取两本体育书有1种取法； 不同取法的种数共有. 16．（23-24高二下·陕西西安·月考）个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡. (1)某人要从两个袋子中任取一张供自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法? (2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法? 【答案】(1)22种；(2)120种 【解析】（1）从两个袋子中任取一张卡有两类情况： 第一类：从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有种取法； 第二类：从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有种取法； 根据分类加法计数原理,共有 (种)取法； （2）得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行： 第一步：从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有种取法. 第二步：从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有种取法. 根据分步乘法计数原理共有 (种)取法. 17．（24-25高二上·安徽亳州·月考）口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球 (1)正好是白球､红球各一个的取法有多少种？ (2)至少有一个白球的取法有多少种？ (3)两球的颜色相同的取法有多少种？ 注：结果均用数字作答． 【答案】(1)80；(2)108；(3)73 【解析】（1）取出1个白球，有8种取法；取出1个红球，有10种取法， 所以取出两个球正好是白球、红球各一个的取法有种． （2）至少有一个白球分为白球、红球各一个和两个全是白球， 取出的两个球全是白球的取法有种， 所以至少有一个白球共有种取法． （3）两球的颜色相同分为两球全是白球和两球全是红球， 取出的两个球全是红球的取法有种， 所以两球的颜色相同的取法有种． 18．（23-24高二下·江苏连云港·月考）从0，1，2，3，4五个数字中选出3个数字组成一个三位数． (1)可以组成多少个三位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可以组成多少个无重复数字的三位偶数？ 【答案】(1)100；(2)48；(3)30 【解析】（1）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方 法，第二、三位可以排0，因此，根据分步乘法计数原理共有（个）． （2）三位数的首位不能为0，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二位可以排0，除 首位排的数字共有4种方法，第三位除前两位排的数字共有3种方法，因此，根据分步乘 法计数原理共有（个）． （3）偶数末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类： 一类是末位数字是0，则有（种）排法； 一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位， 所以有3种排法，十位有3种排法，因此有（种）排法． 因此有（种）排法．即可以排成30个无重复数字的三位偶数. 19．（23-24高二下·山东菏泽·月考）高二（1）班、（48）班、（62）班分别有7，5，9人参加创新技能大赛笔试． (1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？ (2)如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？ (3)如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？ 【答案】(1)21种；(2)315种；(3)143种． 【解析】（1）事件选一人当组长可分三类方案完成， 第一类，组长从（1）班选出，有7种选法、 第二类，组长从（48）班选出，有5种选法、 第三类，组长从（62）班选出，有9种选法， 根据分类加法计数原理，选一人当组长有种选法， （2）如果老师任组长，每班选一名副组长，则需要分三步， 第一步，从（1）班选一名同学担任副组长，有7种选法， 第二步，从（48）班选一名同学担任副组长，有5种选法， 第三步，从（62）班选一名同学担任副组长，有9种选法， 根据分步乘法计数原理，每班选一名副组长共有种选法； （3）事件推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，可分为三类方案， 第一类，若两人来自（1）班和（48）班，有种选法， 第二列，若两人来自（1）班和（62）班，有种选法， 第三类，若两人来（48）班和（62）班，有种选法， 综上可知，这两人来自不同的班级的不同的选法有种． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题6-1：两种计数原理及其应用 分类加法计数原理 1、分类加法计数原理的定义：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 2、分类加法计数原理的推广：完成一件事情有类不同的方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法． 【注意】完成这件事的类方案是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要在用其他的方法． （24-25高二上·甘肃定西·期末）将2个相同的红球和2个相同的黑球放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 分步乘法计数原理 1、分步乘法计数原理的定义：完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 2、分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要个步骤，做第1步有中不同的方法，做第2步有中不同的方法，…，做第步有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法． 【注意】完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不能完成． （24-25高二上·陕西汉中·期末）阅读课上，名同学分别从种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是（    ） A． B． C． D． 两种计数原理综合 1、两种计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 都是完成一件事的不同方法的种数问题 不同点1 完成一件事有类不同方案，关键词是“分类” 完成一件事需要个步骤，关键词是“分步” 不同点2 每类方案都能独立完成这件事情，且每种方法得到的最后结果，只需一种方法就可以完成这件事 任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事 不同点3 各类方案之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 2、两种计数原理综合应用 （1）用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在最开始计算之前进行仔细分析—需要分类还是需要分步； （2）分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数； （3）分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数． （24-25高二上·吉林延边·月考）某班举办新年联欢班会，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项. 甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同. 甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖没有戊好但是比丁的强”. 根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是 分类加法计数原理的应用 例1．（24-25高二上·广西·期末）已知甲部门有员工4人，乙部门有员工5人，丙部门有员工6人，现从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（    ） A．120 B．15 C．25 D．90 【变式1-1】（24-25高二上·福建宁德·月考）如果一个三位正整数“”满足且，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275），当中间数为3或4时，那么所有凸数的个数为（    ） A．18 B．15 C．16 D．21 【变式1-2】某班级投票选举班长，每人必须且只需投一票，有三个投票箱，A投票箱内有10张选票，B投票箱内比C投票箱内的选票多4张，若从A或B或C投票箱中任取一张选票共有54种取法，则B投票箱内的票数为 ． 【变式1-3】（24-25高二上·贵州遵义·期末）设集合，集合，那么集合中满足的元素的个数为（    ） A．12 B．18 C．22 D．24 【解题方法总结】 应用分类加法计数原理的注意事项：（1）根据题目特点恰当选择一个分类标准；（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复；（3）分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏． 分步乘法计数原理的应用 例2．（24-25高二上·江西南昌·期末）某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书.从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（    ） A．13种 B．42种 C．种 D．种 【变式2-1】（24-25高二上·辽宁·期末）某体育用品店有5种不同价格的篮球，4种不同价格的排球，若从中选购1个篮球和1个排球，则不同的选购方法有（    ） A．9种 B．20种 C．625种 D．1024种 【变式2-2】（24-25高二上·河南南阳·期末）从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式2-3】（24-25高二上·陕西汉中·期末）一辆公交车上有位乘客，沿途个车站，则乘客下车的可能方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【解题方法总结】 （1）利用分步计数原理时，要明确完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可． （2）分步乘法计数原理的解题思路：①分步：将完成这件事的过程分成若干步；②计数：求出每一步中的方法数；③结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果． 两种计数原理的综合应用 例3．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 【变式3-1】（23-24高二下·广西·期末）如图，要让电路从A处到B处只有一条支路接通，可有（    ）条不同路径. A．4 B．5 C．9 D．10 【变式3-2】（23-24高二下·贵州遵义·期末）如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有 种不同的走法． 【变式3-3】（24-25高二上·江西上饶·月考）汽车制造的专业化流程是：设计效果图→制作油泥模型→生产样车→对样车检验→投入生产.已知A市、B市、C市分别有3个、10个、7个能设计效果图的设计院，A市有2个能制作油泥模型的制作中心，B市有6个能生产样车的生产车间，C市有1处能对样车检验的检验中心，A市、B市、C市、D市、E市分别有8，8，6，3，2家能实际投入生产的生产厂家，从设计到实际生产，有 种选择方法． 【解题方法总结】 两个计数原理的综合问题中往往既有分类又有分步，这时，首先要理解题意，弄清“完成哪件事”，弄清时类的趋势大，还是步的趋势大，再决定是先分步还是先分类．若既可用分类加法计数原理，又可用分步乘法计数原理解题时，则要注意权衡用哪种方法解决问题较为简单． 选（抽）取与分配问题 例4．（24-25高二上·河南南阳·月考）学校教师运动会设置有“跳绳”、“立定跳远”、“定点投篮”、“沙包掷准”四个比赛项目，每个项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，每人做且仅做一项裁判工作，因为时间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，则不同的安排方法共有（    ） A．12种 B．14种 C．7种 D．9种 【变式4-1】（24-25高二上·河南驻马店·月考）某中学高二年级入学进行了一场为期一周的军训，在军训过程中，教官根据班级表现从各个维度进行评分，最终评出“先进集体”“作风优良班级”“纪律优良班级”“素质优良班级”四个奖项．已知总共有三个班级获奖，其中有两个班级均获得了“先进集体”，剩余三个奖项每个奖项均只有一个班级获得，则所有的颁奖方式有（    ） A．57种 B．60种 C．114种 D．120种 【变式4-2】（23-24高三下·山东·二模）某校高一年级有四个班，四位老师各教一个班的数学在该年级某次数学考试中，要求每位数学老师均不在本班监考，则不同的安排监考的方法种数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二下·全国·专题练习）某外语组9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，则不同的选法有 种． 【解题方法总结】 选（抽）取与分配问题的常见类型及其解法 （1）当涉及对象数目不大时,一般选用列举法、树形图法或者图表法． （2）当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的则按分类进行． ②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． “多面手”问题一般是按“多面手”是否入选、入选哪一类活动进行分类讨论，必要时可借助集合中的Venn 图帮助理解、分析． 用计数原理解决组数问题 例5．（24-25高二上·北京大兴·期末）用这个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·辽宁·期末）用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（    ） A．60 B．30 C．36 D．21 【变式5-2】（23-24高二下·河南商丘·期中）数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（    ） A．147 B．112 C．65 D．50 【变式5-3】（23-24高二下·陕西榆林·期末）设集合中的元素皆为无重复数字（如113为有重复数字）的三位正整数，且中任意两个元素之积皆为奇数，则中元素个数的最大值为 ． 【解题方法总结】 组数问题的常见类型及解决原则： （1）常见的组数问题：①组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”；②在一定范围内的数的问题;③各位数字和为某一定值问题；④位数字之间满足某种关系的问题等． （2）解决原则：①明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如正面分类较多，可采用间接法求解．②要注意数字“0”不能在两位数或两位以上的数的最高位． 用计数原理解决涂色（种植）问题 例6．（24-25高二上·甘肃定西·期末）如图，给编号为1，2，3，…，6的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．125种 【变式6-1】（24-25高二上·河南·月考）现用3种不同的颜色给正五边形的五个顶点涂色，要求相邻顶点的颜色不同，则不同的涂色方法种数为 . 【变式6-2】（23-24高二下·江苏南京·月考）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为（    ） A．192 B．420 C．210 D．72 【变式6-3】（24-25高二上·河南南阳·月考）用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（    ） A．25 B．630 C．605 D．580 【解题方法总结】 涂色问题的两种解决方案： （1）选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色,这时用分步乘法计数原理进行计算．若图形不是很规则，往往从某一区域开始进行涂色，选用分步乘法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进行分类，对每一类再进行分步． （2）首先根据涂色时所用颜色数的多少，进行分类处理.然后在每一类的涂色方案的计算上需用到分步乘法计数原理.最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法数求和即得到最终涂色方法数．对于涂色(立方体)问题将空间问题平面化,转化为平面区域涂色问题． 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南长沙·期末）某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小红3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（    ） A．36种 B．50种 C．75种 D．125种 2．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，直线中的是取自集合中的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为锐角，符合以上所有条件的直线的条数为（    ） A．40 B．32 C．24 D．23 3．（24-25高二上·北京·月考）甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 4．（23-24高二下·贵州·期中）高二某班级4名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（    ） A．54 B．12 C．8 D．81 5．（23-24高二上·江西九江·期末）从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（    ） A．30个 B．42个 C．41个 D．39个 6．（23-24高二下·河北沧州·月考）为纪念抗美援朝，某市举办了一场“红色”歌曲文艺演出，已知节目单中共有6个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了3位参加过抗美援朝的老战士分别演唱一首当年的革命歌曲，在不改变原来的节目顺序的情况下，将这3个不同的节目添加到节目单中，则不同的安排方式共有（    ） A．210种 B．336种 C．504种 D．672种 7．（23-24高二下·山东青岛·期中）在如图所示的九宫格中填入数字和字母，已知三个字母：都填到九宫格中且不能在同一行同一列，其他每格只能从数字中选择一个填入，有公共边的两个格数字不相同，则不同的填法种数为（    ） A．5230 B．3619 C．4758 D．5184 8．（23-24高二下·北京朝阳·期中）北京地铁12号线是一条主要沿北三环东西向敷设的轨道交通干线，全长约30公里，设21座车站，跨越海淀、西城、东城、朝阳四个行政区，预计2024年7月1日正式开通，它的开通将填补东坝地区轨道交通的空白. 作为“地下北三环”，12号线开通后还能有效缓解英才高二年级许老师和郑老师的上下班通勤压力.若许老师和郑老师同时从东坝西站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过18站，地铁票价如下表，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同， 乘坐站数 票价/元 3 4 5 6 则下列结论中不正确的是（    ） A．若许老师、郑老师两人共花费7元，则许老师、郑老师下地铁的不同方案共有24种 B．若许老师、郑老师两人共花费10元，则许老师、郑老师下地铁的不同方案共有88种 C．若许老师、郑老师两人共花费9元，则郑老师比许老师先下地铁的概率为 D．若许老师、郑老师两人共花费9元，则郑老师比许老师先下地铁的概率为 二、多选题 9．（23-24高二下·江苏南京·月考）下列说法正确的是（    ） A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有24种报名方法 B．4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目，则这三个项目的冠军共有64种不同结果 C．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人，共有24种报名方法 D．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，共有24种报名方法 10．（23-24高二下·湖北武汉·月考）数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（    ） A．四位回文数有45个 B．四位回文数有90个 C．（）位回文数有个 D．（）位回文数有个 11．（23-24高二下·山东菏泽·月考）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为（），则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．某人抛掷三次股子后棋子恰好又回到点处，则（    ） A．三次股子后所走的单位数可以是12 B．三次骰子的点数之和只可能有两种结果 C．三次股子的点数之和超过10的走法有6种 D．回到点处的所有不同走法共有24种 三、填空题 12．（23-24高二下·天津红桥·期中）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有 种． 13．（23-24高二下·贵州安顺·期中）如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有 . 14．（23-24高二下·福建·期末）某快件从甲送到乙需要5个转运环节，其中第1，2两个环节各有a，b两种方式，第3，4两个环节各有b，c两种方式，第5个环节有d，e两种方式，则快件从甲送到乙，第一个环节使用a方式的送达方式有 种；从甲到乙恰好用到4种方式的送达方式有 种. 四、解答题 15．（23-24高二下·河南郑州·月考）书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书. (1)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ (2)从书架上任取两本同学科的书，有多少种不同的取法？ 16．（23-24高二下·陕西西安·月考）个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡. (1)某人要从两个袋子中任取一张供自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法? (2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法? 17．（24-25高二上·安徽亳州·月考）口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球 (1)正好是白球､红球各一个的取法有多少种？ (2)至少有一个白球的取法有多少种？ (3)两球的颜色相同的取法有多少种？ 注：结果均用数字作答． 18．（23-24高二下·江苏连云港·月考）从0，1，2，3，4五个数字中选出3个数字组成一个三位数． (1)可以组成多少个三位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可以组成多少个无重复数字的三位偶数？ 19．（23-24高二下·山东菏泽·月考）高二（1）班、（48）班、（62）班分别有7，5，9人参加创新技能大赛笔试． (1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？ (2)如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？ (3)如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$