专题三 培优点六 带电粒子在交变电、磁场中的运动-【金版教程】2025年高考物理大二轮专题复习冲刺方案全书Word（提升版）

大二轮专题复习冲刺方案 物理（提升版） 培优点六　带电粒子在交变电、磁场中的运动 例1　（2024·广东高考）如图甲所示，两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子在t＝0时刻从左侧电场某处由静止释放，在t＝t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t＝2t0时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在t＝3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。 （1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q； （2）求金属板的板间距离D和带电粒子在t＝t0时刻的速度大小v； （3）求从t＝0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。 [解析]　（1）根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹，结合左手定则可知，粒子带正电 设粒子在磁场中运动的周期为T，则有 ＝3t0－2t0 设粒子在磁场中运动的速率为v0，轨迹半径为r，则有T＝ 根据洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝m 联立解得q＝。 （2）由题意知，金属板的板长为L＝ 粒子在板间运动时，沿金属板方向有L＝vt0 根据题意，粒子离开金属板间电场时，垂直金属板方向的速度为0，则v0＝v 设粒子在金属板间运动的加速度大小为a，则沿垂直金属板方向的位移大小为 y＝2×a 根据牛顿第二定律，有qE＝ma 其中板间场强大小E＝ 由几何关系可知y＝2r 联立解得D＝，v＝π。 （3）由（2）可解得r＝，即金属板的板间距离D＝3r 分析可知，粒子在t＝4t0时刻进入金属板左侧的电场开始做减速运动，在t＝6t0时刻再次进入金属板间的偏转电场，t＝6.5t0时刻碰到上金属板，带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图所示。根据轨迹图分析可知，整个过程中电场力对粒子做的功，等于粒子最开始在水平向右的匀强电场中运动的过程以及最后0.5t0时间内电场力做功之和，设在这两个过程中电场力做的功分别为W1、W2，则W＝W1＋W2 根据动能定理知W1＝mv2－0 根据功的定义有W2＝qE（D－2r） 联立解得W＝。 [答案]　（1）正电　 （2）　π　（3） 例2　（2024·辽宁省鞍山市普通高中高三下二模节选）如图甲，在x≥0、y≥0区域内存在磁感应强度大小为B0、方向垂直于xOy平面的匀强磁场，该磁场做周期性变化（不考虑磁场变化瞬间对粒子运动的影响），变化规律如图乙所示，规定垂直xOy平面向里的磁场方向为正。在y轴左侧有一对竖直放置的平行金属板M、N，两板间的电势差为U0。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（重力和空气阻力均忽略不计），从贴近M板的位置由静止开始运动，通过N板小孔后在t＝0时刻从坐标原点O沿x轴正方向垂直射入磁场中。 （1）求粒子进入磁场做匀速圆周运动时的动量大小p； （2）若磁场的变化周期T0＝，求t＝T0时刻粒子的位置坐标。 [解析]　（1）设粒子在磁场中运动的速度大小为v，在加速电场中的运动过程，由动能定理有U0q＝mv2－0 又p＝mv 联立解得p＝。 （2）设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，周期为T，由洛伦兹力提供向心力，有qvB0＝ T＝ 解得R＝，T＝ 由T0＝＝及左手定则可知，在0～T0内，粒子沿顺时针方向转过角度θ1＝T0×＝120°，在T0～T0内，粒子沿逆时针方向转过角度θ2＝T0×＝60°，则粒子在0～T0内的轨迹如图所示 由几何关系得，AB平行于y轴，则t＝T0时刻，粒子位置的横坐标为x＝Rcos（θ1－90°） 粒子位置的纵坐标为y＝R＋Rsin（θ1－90°）＋R 解得x＝，y＝ 即t＝T0时刻粒子的位置坐标为。 [答案]　（1） （2） 1.变化的电场或磁场如果具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性，这种情况下要仔细分析带电粒子的受力情况和运动过程，弄清楚带电粒子在变化的电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹的草图。 2.解题思路 高考命题预测 （2024·江苏省连云港市高三下三模）如图甲所示，边长为L的正方形ABCD区域内存在垂直纸面的匀强磁场，在CD边右侧3L处平行CD放置荧光屏，O1O2是通过正方形中心O1和荧光屏中心O2的轴线。电子从静止经加速电压加速后以一定速度沿轴线连续射入磁场。整个系统置于真空中，不计电子重力，已知电子电荷量为e、质量为m，当θ很小时，近似有sinθ＝tanθ＝θ，cosθ＝1－θ2。 （1）若磁感应强度大小为B0，加速电压从0开始缓慢增加，求电子在磁场中运动的最长时间t； （2）若入射电子速度大小均为v0，正方形区域所加磁场如图乙所示，磁场变化周期为T，且T远大于电子在磁场中的运动时间，电子偏转后恰好全部从CD边射出磁场并能全部打在荧光屏上形成运动的光点，求最大磁感应强度Bm以及荧光屏的最小长度d； （3）在（2）的条件下求荧光屏上光点经过O2的速度大小v。 答案：（1）　（2）　9L　（3） 解析：（1）当电子在磁场中旋转半圈从AB边射出磁场时，在磁场中运动时间最长。设此时电子的速度为ve，在磁场中运动的轨道半径为re，由洛伦兹力提供向心力，有eveB0＝m 电子在磁场中运动的最长时间t＝ 联立解得t＝。 （2）磁感应强度最大时，电子在磁场中偏移量最大，电子从D点或C点射出。设此时电子的轨道半径为r1，如图1所示，由几何关系可得 r＝L2＋ 解得r1＝L 由洛伦兹力提供向心力，有ev0Bm＝m 解得Bm＝ 设此时电子在磁场中的速度偏转角为α，有 sinα＝ 由几何关系可得，荧光屏最小长度 d＝2 联立解得d＝9L。 （3）设电子在磁场中运动的轨道半径为r，速度偏转角为θ，如图2所示，有ev0B＝m sinθ＝ 电子刚出磁场时在CD方向上的偏移量为 y＝r（1－cosθ） 则射到荧光屏时，电子到O2的距离为 Y＝y＋3Ltanθ 可得Y＝r（1－cosθ）＋3Ltanθ 当光点经过O2点附近时，θ很小，sinθ＝tanθ＝θ，cosθ＝1－θ2 联立解得Y＝ 则光点经过O2时的速度大小v＝ 可得v＝ 根据题图乙的B­t图像有＝ 联立解得v＝。 专题作业 1.（2024·海南省海口市高三下一模）如图甲所示，在真空室内，A、C为正对放置的两平行金属板，板长L＝0.12 m，板间距离d＝0.03 m，OO1为中线，O2为OO1延长线上一点，O1O2＝d；倾角为37°且足够长的斜面与两板的截面在同一竖直面内，其底边GF与两板平行，顶点G与A、C两板的右端点共线，CG＝d。现将某种粒子从O点以某初速度沿OO1连续射入平行板间，任意相同时间内射入的粒子数相等，粒子电荷量q＝＋8.0×10－18 C、质量m＝2.0×10－25 kg，忽略电场的边缘效应，不计粒子重力且不考虑粒子间相互作用及碰到斜面后的反弹。板间电压的大小与正负都可调节，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求： （1）若两板间电压U1＝20 V，测得粒子在距离OO1为d处射出电场，求该粒子在板间运动过程中电场力所做的功W； （2）当粒子入射的初速度v0＝8.0×104 m/s时，粒子均能到达斜面，试确定两板间所加电压UAC应满足的条件； （3）若在两板右侧存在以O2为圆心、直径为d的圆形匀强磁场区域（图中未画出），磁感应强度大小B＝0.2 T、方向垂直纸面向外，当在两板间加上如图乙所示电压，发现粒子均能以水平速度射出电场，求经磁场偏转后能够打在斜面上的粒子占发射粒子总数的百分比。 答案：（1）4.0×10－17 J （2）－10 V≤UAC≤10 V　（3）87.5% 解析：（1）设粒子在电场中入射点与出射点间的电势差为U，则有＝ 该粒子在板间运动过程中电场力所做的功 W＝qU 联立并代入数据解得W＝4.0×10－17 J。 （2）设粒子在两极板间运动的时间为t，则有 L＝v0t 当UAC>0时，粒子向下偏转，粒子刚好运动至C板右边缘时，设粒子在电场中的加速度大小为a1，由牛顿第二定律可得q＝ma1 由运动学公式可得d＝a1t2 联立并代入数据解得UAC＝10 V 当UAC<0时，粒子向上偏转，由对称性可知，当UAC＝－10 V时，粒子恰好从极板A右边缘射出，由类平抛运动推论可知，粒子射出电场时的速度与O1O2的夹角θ满足tanθ＝ 代入数据解得tanθ＝，则θ<37°，粒子能到达斜面 综上，要使粒子均能到达斜面，两板间所加电压UAC应满足的条件是－10 V≤UAC≤10 V。 （3）设粒子在板间运动的加速度大小为a2，根据牛顿第二定律有q＝ma2 从t＝0时刻射入板间的粒子，在每T＝5×10－7 s内的侧向位移为y＝a2 联立并代入数据解得y＝0.005 m 由于粒子均能以水平速度射出电场，则粒子在电场中的运动时间t′＝nT（n为正整数） 由竖直方向上的位移关系2ny≤（n取正整数） 可知只有n取1时，才符合要求，即粒子在板间运动的时间为t′＝T 则粒子的初速度v＝ 设粒子在磁场中运动的半径为r，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m 联立并代入数据解得r＝0.015 m r＝，因此，所有粒子将会聚至磁场区域的最低点P，如图所示 对于恰沿PG出射的粒子，它在电场中的出射点与C点间的距离为y0＝r＋rcosα 由几何关系可知tanα＝ 能够打在斜面上的粒子占发射粒子总数的百分比为η＝ 联立并代入数据解得η＝87.5%。 2.（2024·江苏省苏锡常镇高三下3月一模）图甲中xOy平面内存在着变化磁场和变化电场，变化规律如图乙、丙所示，磁感应强度的正方向为垂直纸面向里，电场强度的正方向为＋y方向。t＝0时刻，一电荷量为＋q、质量为m的粒子从坐标原点O以初速度v0沿＋x方向入射（不计粒子重力）。B­t图中B0＝，E­t图中E0＝。求： （1）时刻粒子的坐标； （2）0～4t0时间段内粒子速度沿－x方向的时刻； （3）0～7t0时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值。 答案：（1）　（2）t0和t0 （3）v0t0 解析：（1）0～t0时间段内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，设轨迹半径为r1，由洛伦兹力提供向心力，有qv0B0＝m 运动的周期T＝ 又B0＝ 联立解得r1＝，T＝＝t0 所以时刻粒子的坐标为（r1，r1），即。 （2）0～t0时间段内，粒子做圆周运动一周回到O点，则0～t0时间段内粒子速度沿－x方向的时刻为t1＝，即t1＝t0 在t0～2t0时间段内，粒子做类平抛运动，设加速度大小为a，由牛顿第二定律有qE0＝ma t＝2t0时，粒子在沿电场方向的分速度vy＝at0 设此时粒子的速度与x轴正方向夹角为α，有tanα＝ 又E0＝ 联立解得vy＝v0，α＝ 分析可知，2t0～3t0时间段内，粒子做圆周运动一周回到2t0时刻的位置，3t0～4t0时间段内，粒子做类斜抛运动，4t0时刻速度沿＋x方向，大小为v0，则0～4t0时间段内，粒子的运动轨迹如图所示 则在2t0～4t0时间段内，粒子速度沿－x方向时，在磁场中偏转的角度为θ＝π－α＝ 所用时间Δt＝T 则2t0～4t0时间段内，粒子速度沿－x方向的时刻为t2＝2t0＋Δt 联立可得t2＝t0 即0～4t0时间段内粒子速度沿－x方向的时刻为t0和t0。 （3）t0～2t0时间段内，粒子沿y轴方向的位移y0＝vyt0 由（2）可知，3t0～4t0时间段内粒子在y轴方向上的位移为y0，在t＝4t0时粒子的速度大小为v0，方向沿x轴正方向，则4t0～5t0时间段内粒子运动一周，5t0～6t0时间段内，粒子在y轴方向上的位移大小为y0 在t＝6t0时，粒子的速度与t＝2t0时相同，即与x轴正方向夹角为α，大小为v＝＝v0 6t0～7t0时间段内，粒子做速度大小为v的匀速圆周运动，设粒子运动的轨迹半径为r2，由洛伦兹力提供向心力，有qvB0＝m 由几何关系可知，0～7t0时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值ym＝3y0＋（1＋cosα）r2 联立解得ym＝v0t0。 3.（2024·山东省潍坊市高三下二模）如图甲所示，在y轴左侧有一对竖直放置的平行金属板M、N，两板间的电势差为U，在x≥0区域内存在方向垂直于xOy平面的匀强磁场，该磁场做周期性变化（不考虑磁场变化瞬间对粒子运动的影响），变化规律如图乙所示，规定垂直xOy平面向里的磁场方向为正。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从贴近M板的位置由静止开始运动，通过N板小孔后在t＝0时刻从坐标原点O沿x轴正方向垂直射入磁场中。不计粒子重力和空气阻力，图中磁感应强度B0已知。 （1）求粒子在磁场中运动时的动量大小p； （2）若T0＝，求t＝T0时刻粒子的位置坐标； （3）若T0在的范围内取值，问：T0取何值时，在0～2T0时间内，粒子击中的y轴上的点到坐标原点的距离最大，最大距离为多少。 答案：（1） （2） （3）　 解析：（1）设粒子在磁场中运动时的速度大小为v，粒子在电场中运动时，由动能定理得 qU＝mv2－0 解得v＝ 粒子在磁场中运动时的动量为p＝mv 解得p＝。 （2）当磁场的磁感应强度大小为B0时，设带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为r1，由洛伦兹力提供向心力，有qvB0＝m 解得r1＝ 粒子在此磁场中做圆周运动的周期为T1＝ 解得T1＝ 同理可得，当磁场的磁感应强度大小为2B0时，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为 r2＝ 做圆周运动的周期为T2＝ 由＝＝＝，结合题图乙可得，粒子在0～T0内的轨迹如图1所示 由几何关系可得，t＝T0时刻粒子位置的横坐标x＝2r1sin45°＋r2＋r1（1－cos45°） 纵坐标y＝2r1（1－cos45°）＋r2＋r1sin45° 解得x＝，y＝ 即t＝T0时刻粒子的位置坐标为 。 （3）若≤T0≤，则≤≤，≤≤，经分析可知，当＝＝，即T0＝T1＝2T2＝时，粒子在0～2T0时间内，击中的y轴上的点到坐标原点的距离最大，其轨迹如图2所示 由几何关系得，粒子击中的y轴上的点到坐标原点的最大距离为ym＝4r1＋2r2 解得ym＝。 4.（2023·福建省泉州市高三下质量监测（二））如图甲的空间直角坐标系Oxyz中，有一棱长为L的立方体区域abcd－Ob′c′d′，该区域内（含边界）分布有沿y轴负方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），以初速度v0从a点沿x轴正方向进入电场区域，恰能从d′点离开。 （1）求电场强度的大小E； （2）若在该区域再加一个沿y轴正方向的匀强磁场，粒子仍从a点以初速度v0沿x轴正方向进入该区域后从Ob′之间某点离开，求磁感应强度的大小B和离开该区域时的速度大小v1； （3）撤去原来的电场，在该区域加方向沿x轴负方向的磁场Bx和沿y轴正方向的磁场By，磁感应强度Bx、By的大小随时间t周期性变化的规律如图乙所示。t＝0时刻，粒子仍从a点以初速度v0沿x轴正方向进入该区域，要使粒子从平面cdd′c′离开此区域，且速度方向与平面cdd′c′的夹角为60°，求磁感应强度B0的可能取值。 答案：（1）　（2）　v0 （3）（n＝0，1，2，…） 解析：（1）设粒子在电场中运动的加速度大小为a，运动时间为t1，粒子在电场中做类平抛运动，则 x轴方向：L＝v0t1 y轴方向：L＝at 根据牛顿第二定律，有qE＝ma 联立解得E＝。 （2）粒子在复合场中的运动，可分解为沿y轴负方向的匀加速直线运动和在平行于xOz平面的平面内的匀速圆周运动。由“粒子从Ob′之间某点离开”可知，粒子在平行xOz平面的平面内的运动轨迹为二分之一圆周。因其在沿y轴方向的分运动不变，可知其运动时间仍为t1。 在平行于xOz平面的平面内，设粒子做圆周运动的半径为r，粒子所受洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝m 粒子做圆周运动的周期T＝ 由分运动的等时性可得t1＝ 联立解得B＝ 根据动能定理可得qEL＝mv－mv 解得v1＝v0。 （3）粒子在方向与速度方向垂直的、磁感应强度大小为B0的匀强磁场中做匀速圆周运动时，设轨迹半径为r0，由洛伦兹力提供向心力，有qv0B0＝m 粒子在磁场中运动的周期T0＝ 联立解得T0＝ 根据图乙可知，在0～时间内，粒子在平面abcd向z轴正半轴偏转个圆周，在～T0时间内向y轴负半轴偏转个圆周，在T0～T0时间内向x轴正半轴偏转个圆周…… 则粒子的俯视轨迹图如图所示 ①若粒子射出时与z轴正方向夹角为60°，则沿x轴方向的位移满足L＝2nr0＋r0cos60°（n＝0，1，2，…） 这一过程粒子沿y轴负方向运动的距离s＝2nr0（n＝0，1，2，…） 由于L>s，所以粒子能到达cdd′c′平面，符合题意； ②若粒子射出时与z轴负方向夹角为60°，则沿x轴方向的位移满足L＝2nr0－r0cos60°（n＝1，2，3，…）（n＝0时粒子沿z轴正方向运动的最大距离大于L，不符合题意） 这一过程粒子沿y轴负方向运动的距离s＝2nr0（n＝1，2，3，…） 由于L<s，所以粒子无法到达cdd′c′平面，不符合题意。 综上可得r0＝＝（n＝0，1，2，…） 代入qv0B0＝m 可得B0＝（n＝0，1，2，…）。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$