专题一 第4讲 万有引力与航天-【金版教程】2025年高考物理大二轮专题复习冲刺方案全书Word（提升版）

大二轮专题复习冲刺方案 物理（提升版） 第4讲　万有引力与航天 考点1　解决天体问题的基本思路 例1　（2024·河北高考）（多选）2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24 h的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A距月心约为2.0×103 km，远月点B距月心约为1.8×104 km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是（　　） A.鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12 h B.鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1 C.鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线 D.鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s且小于11.2 km/s [解析]　根据开普勒第二定律可知，鹊桥二号在C→B→D过程运动的速率均小于在D→A→C过程运动的速率，而在C→B→D过程运动的路程等于在D→A→C过程运动的路程，则鹊桥二号从C经B到D的运动时间大于半个周期，即大于12 h，故A错误；设月球质量为M，鹊桥二号质量为m，根据牛顿第二定律，鹊桥二号在A点有G＝maA，在B点有G＝maB，联立并代入题中数据，解得鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比aA∶aB＝81∶1，故B正确；由于鹊桥二号做曲线运动，则可知鹊桥二号速度方向沿轨迹的切线方向，则鹊桥二号在C、D两点的速度方向不可能垂直于其与月心的连线，故C错误；由于鹊桥二号环绕月球运动，而月球为地球的“卫星”，则鹊桥二号未脱离地球引力的束缚，故鹊桥二号的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9 km/s，且小于地球的第二宇宙速度11.2 km/s，故D正确。 [答案]　BD 例2　（2024·新课标卷）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（　　） A.0.001倍 B.0.1倍 C.10倍 D.1000倍 [解析]　设红矮星的质量为M1，行星GJ1002c的质量为m1，绕红矮星运行的轨道半径为r1，周期为T1，太阳的质量为M2，地球的质量为m2，地球到太阳的距离为r2，绕太阳运行的周期为T2，根据万有引力提供向心力，对行星GJ1002c有G＝m1r1，对地球有G＝m2r2，联立可得＝·，由题意可知，r1＝0.07r2，T1＝0.06T2，联立解得≈0.1，故选B。 [答案]　B 例3　（2024·湖南高考）（多选）2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集，并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是（　　） A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度 B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度 C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 [解析]　设质量为m的物体沿质量为M的中心天体表面绕中心天体做匀速圆周运动，其速度大小即第一宇宙速度为v，中心天体的半径为R，根据万有引力提供向心力，有＝m，在中心天体表面附近，万有引力近似等于重力，有＝mg，联立解得v＝，由题知g月＝g地，R月＝R地，则返回舱在该绕月轨道相对月球的速度v月与地球的第一宇宙速度v地之比为＝＝，可得v月<v地，故A错误，B正确；对质量为m的环绕物体，根据线速度和周期的关系有T＝，可得返回舱在该绕月轨道飞行的周期T月与地球上近地圆轨道卫星的周期T地之比为＝＝，故C错误，D正确。 [答案]　BD 1.开普勒定律 （1）根据开普勒第二定律，行星（或卫星）在椭圆轨道上运动时，它与中心天体的连线在相等时间内扫过的面积相等（如图所示）。 （2）根据开普勒第三定律，＝k。若为椭圆轨道，则a为轨道半长轴，若为圆轨道，则a为轨道半径；k只与中心天体有关。 2.将行星（或卫星）的运动看作匀速圆周运动，中心天体对它的万有引力作为在轨运行所需要的向心力： 卫星的发射 地球的第一宇宙速度：v＝＝＝7.9 km/s，是最小的发射速度和最大的环绕速度 （天体）卫星在圆轨道上运行 G＝Fn＝ 轨高速低周期大 注：双星问题和椭圆轨道问题不符合此表达式。 3.物体所受重力和万有引力的关系 （1）地球对其表面上物体的万有引力可分解为垂直地轴及竖直向下两个分力，其中垂直地轴的分力充当该物体随地球自转所需要的向心力，另一个竖直向下的分力则为重力。 （2）忽略地球自转，则＝mg，或g＝，GM＝gR2（黄金代换），其中M为地球的质量，R为地球的半径，g为地球表面的重力加速度。 （3）由此可推广到处于其他星球表面的物体所受重力和万有引力的关系。 4.天体质量和密度的计算 考点2　卫星的变轨问题 例4　（2024·湖北高考）太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则（　　） A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同 B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小 D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大 [解析]　空间站变轨前、后在P点所受到的万有引力相同，即其所受到的合力相同，根据牛顿第二定律可知，空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确；因为空间站变轨后其轨道的半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知，空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B错误；空间站在P点沿背离地球球心方向极短时间喷射气体，使空间站获得指向地球球心方向的反冲速度，根据平行四边形定则，空间站变轨后在P点的速度比变轨前的大，故C错误；由开普勒第二定律可知，空间站变轨后在P点的速度比变轨后在近地点的小，结合C项分析可知，空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误。 [答案]　A 例5　（2024·江苏省南通市高三下第一次适应性调研）如图所示，载人飞船先后在圆形轨道Ⅰ、椭圆轨道Ⅱ和圆形轨道Ⅲ上运行，与天和核心舱刚好在B点成功对接。已知轨道Ⅰ、Ⅲ的半径分别为r1、r2，轨道Ⅰ和Ⅱ、Ⅱ和Ⅲ分别相切于A、B两点，则飞船（　　） A.在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅰ上运行的周期 B.在轨道Ⅱ上的A点和B点的速度的大小之比为r2∶r1 C.在轨道Ⅱ上从A点运行到B点的过程中机械能减小 D.先到轨道Ⅲ，然后再加速，才能与天和核心舱完成对接 [解析]　设飞船在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上运行的周期分别为T1和T2，根据开普勒第三定律，有＝，可得T2＝T1，因为r1<r2，所以T1<T2，故A错误；设飞船在轨道Ⅱ上的A点和B点的速度大小分别为vA和vB，根据开普勒第二定律，飞船在轨道Ⅱ上有r1vA＝r2vB，则＝，故B正确；飞船在轨道Ⅱ上只受万有引力作用，机械能守恒，故C错误；飞船在轨道Ⅱ上经过B点时加速变轨进入轨道Ⅲ，若天和核心舱在轨道Ⅲ上恰好也到达B点，飞船才能与天和核心舱完成对接，若飞船在轨道Ⅲ加速，则飞船将做离心运动离开轨道Ⅲ，不能与天和核心舱完成对接，故D错误。 [答案]　B 例6　（2023·吉林省长春市高三下质量监测（三））空间站在地球外层的稀薄大气中绕行时，因受气体阻力的影响，轨道高度会逐渐降低，空间站可通过发动机对轨道进行修正。如图所示为某空间站在某年2月初到8月初期间离地高度随时间变化的曲线。下列说法正确的是（　　） A.空间站绕地球运行速度约为10.0 km/s B.2月份空间站的动能减小，机械能减小 C.若要增加空间站高度，应开启发动机，向运动方向喷气 D.3月份发动机对轨道进行过修正 [解析]　由题图可知，空间站可认为是绕地球做圆周运动，卫星绕地球做圆周运动的最大速度为第一宇宙速度7.9 km/s，因此空间站绕地球运行速度不可能是10.0 km/s，故A错误；由题图可知，2月份空间站的离地高度减小，则轨道半径变小，由G＝m可知空间站的速度v＝增大，则动能增大，因为有气体阻力做负功，所以机械能减小，故B错误；若要增加空间站高度，应开启发动机，向运动反方向喷气，使其加速，故C错误；由题图可知，3月份某时刻轨道突然变高，所以3月份发动机对轨道进行过修正，故D正确。 [答案]　D 求航天器变轨问题的三点注意 （1）航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，在外轨道上的速度大于在内轨道上的速度。 （2）航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径（或半长轴）越大，机械能越大。 （3）航天器在同一中心天体的不同圆轨道或椭圆轨道上的运行周期均满足开普勒第三定律＝k。 考点3　双星问题 例7　（2024·河北省张家口市高三下二模）（多选）洛希极限是指在双星系统中，两个天体之间的最近距离。如果两个天体之间的距离小于洛希极限，则质量较小的天体就会在质量较大的天体引力下被撕碎。洛希极限的计算公式为：r＝2.44R，其中，r为洛希极限，M、m分别为质量较大和较小的天体质量，R为质量较大的天体半径。如图甲所示，某脉冲双星系统由两颗相距较近的天体组成，并远离其他天体，它们在彼此间的万有引力作用下，绕连线上的一点做匀速圆周运动。简化为如图乙所示，测得A、B两恒星间的距离为L，A、B两恒星的半径分别为RA、RB，恒星A做圆周运动的向心加速度是恒星B的8倍，下列说法正确的是（　　） A.该双星系统的洛希极限为4.88RB B.该双星系统的洛希极限为2.44RA C.双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 D.双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越大 [解析]　由万有引力提供向心力有＝mAaA＝mBaB，由题意知aA＝8aB，可知mA∶mB＝aB∶aA＝1∶8，则该双星系统的洛希极限为r＝2.44RB＝4.88RB，故A正确，B错误；设恒星A、B做圆周运动的半径分别为rA、rB，转动周期为T，根据万有引力提供向心力有＝mArA＝mBrB，且有rA＋rB＝L，可得T＝2π，可知双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大，双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越小，故C正确，D错误。 [答案]　AC 例8　（2023·福建高考）（多选）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r≪R），在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（　　） A.ω＝ B.ω＝ C.r＝R D.r＝R [解析]　设日心和地心与O点的距离分别为r1和r2，由题意可知，地球和太阳绕O点做圆周运动的角速度为ω，对由太阳和地球构成的双星系统，由万有引力提供向心力，有G＝Mω2r1，G＝mω2r2，且r1＋r2＝R，联立解得ω＝，r1＝R，r2＝R，故A错误，B正确；设在L2点的航天器的质量为m′，由题意可知，在L2点的航天器受太阳和地球引力的共同作用，以角速度ω、半径r＋r2绕O点做匀速圆周运动，则由牛顿第二定律有G＋G＝m′ω2（r＋r2），联立可得＋＝＋·r，又≈，则上式可近似表示为－·r＋＝＋·r，由此可解得r＝R，故C错误，D正确。 [答案]　BD 1.双星模型及特点 模型：两个天体只在彼此的引力作用下绕连线上一点做圆周运动 动力学方程 ＝m1ωr1， ＝m2ωr2 运动关系 T1＝T2，ω1＝ω2 轨道半径关系 r1＋r2＝L，＝ 周期和角速度大小 T＝2π ω＝ 系统总质量 m1＋m2＝ 2.多星系统 （1）一般都在同一平面内绕同一圆心做匀速圆周运动，它们的周期都相等。 （2）星体所需的向心力由其他星体对它的万有引力的合力提供。 3.拉格朗日点问题 处在地月拉格朗日点处的卫星，其周期与月球公转周期相同，向心力为地球和月球对卫星的万有引力的合力；处在日地拉格朗日点处的卫星，其周期与地球公转周期相同，向心力为太阳和地球对卫星的万有引力的合力。 双星系和多星系问题的解题步骤 （1）确定星球受几个万有引力，所受万有引力的合力充当向心力。 （2）找清楚天体之间的引力距离，确定天体运动的轨道半径。 （3）求出天体之间的万有引力，列出牛顿第二定律方程，进行计算。 高考命题预测 1.（2024·河北省石家庄市高三下教学质量检测三）A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离Δr随时间变化的关系如图所示。已知地球的半径为r，卫星A的线速度大于卫星B的线速度，若不考虑A、B之间的万有引力，则卫星A、B绕地球运行的周期分别为（　　） A.7T0，56T0 B.9T0，72T0 C.8T0，64T0 D.14T0，56T0 答案：A 解析：设卫星A、B绕地球运行的周期分别为TA和TB，由题意，卫星A的线速度大于卫星B的线速度，又由G＝m知，R＝，则卫星B的轨道半径大于卫星A的轨道半径，结合题图可知，A、B间最近距离为RB－RA＝3r，A、B间最远距离为RB＋RA＝5r，由开普勒第三定律有＝，A、B间相邻两次相距最近满足·8T0＝2π，联立解得卫星A、B绕地球运行的周期分别为TA＝7T0，TB＝56T0，故选A。 2.（2024·福建省三明市高三下三模）（多选）如图，地球半径为R，一卫星与探测器的组合体沿半径为nR的圆形轨道绕地球运动。某时刻，探测器在P点沿运动方向以v1的速度射出后沿椭圆轨道Ⅰ运动，探测器射出瞬间卫星的速度大小为v2、方向仍沿原运动方向，之后卫星沿椭圆轨道Ⅱ运动，设探测器和卫星绕地球沿椭圆运动的周期分别为T1和T2。已知探测器和卫星的质量分别为m和M，Ⅰ轨道上的远地点和Ⅱ轨道上的近地点到地心的距离分别为8nR和L。以无穷远为引力势能零点，由于地球的吸引，在距地心r处的物体引力势能为－G，式中Me为地球质量，m0为物体质量，G为引力常量。本题涉及的速度均以地心为参考系，不计飞船变轨前后质量的变化，则（　　） A.v1>v2 B.T1∶T2＝（9nR）∶（8nR＋L） C.v1＝ D.v2＝ 答案：AC 解析：设卫星与探测器的组合体沿半径为nR的圆形轨道运动的线速度为v0，由题意可知，探测器在P点沿运动方向以v1的速度射出后沿椭圆轨道Ⅰ运动，则v1>v0，而探测器射出瞬间卫星在P点运动速度为v2，之后沿椭圆轨道Ⅱ运动，则v2<v0，得v1>v2，故A正确；根据开普勒第三定律得＝，解得＝，故B错误；设探测器在轨道Ⅰ的远地点速度大小为v1′，由开普勒第二定律可知v1′·8nR＝v1·nR，由机械能守恒定律，可知mv＋＝mv1′2＋，联立解得v1＝，故C正确；组合体在P点做圆周运动时，根据万有引力提供向心力得G＝（M＋m），解得v0＝，分离过程根据动量守恒定律得mv1＋Mv2＝（M＋m）v0，联立解得v2＝，故D错误。 专题作业 1.（2024·广西高考）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在（　　） A.a处最大 B.b处最大 C.c处最大 D.a、c处相等，b处最小 答案：A 解析：由题图可知，a、b和c处到月球球心的距离ra<rb<rc，根据万有引力定律F＝G，可知题图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小Fa>Fb>Fc，故选A。 2.（2024·全国甲卷）2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是（　　） A.在环月飞行时，样品所受合力为零 B.若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零 C.样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同 D.样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小 答案：D 解析：在环月飞行时，样品做曲线运动，所受合力不为零，故A错误；若将样品放置在月球正面，由平衡条件知，样品在月球表面所受的重力大小等于月球表面对样品的支持力大小，由牛顿第三定律知，月球表面对样品的支持力大小等于样品对月球表面的压力大小，则样品对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小，故B错误；质量是物体的固有属性，样品在不同过程中受到的引力不同，但质量不变，故C错误；由于月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的，则样品在月球表面的重力小于在地球表面的重力，所以样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小，故D正确。 3.（2024·海南高考）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A. B. C. D.（1＋k）3 答案：D 解析：设月球的质量为M，半径为R，嫦娥六号的质量为m，轨道高度为h，由题意知h＝kR，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力，有G＝m（R＋h），又月球的体积V＝πR3，月球的平均密度ρ＝，联立可得ρ＝（1＋k）3，故选D。 4.（2024·浙江1月选考）如图所示，2023年12月9日“朱雀二号”运载火箭顺利将“鸿鹄卫星”等三颗卫星送入距离地面约500 km的轨道。取地球质量6.0×1024 kg，地球半径6.4×103 km，引力常量6.67×10－11 N·m2/kg2。下列说法正确的是（　　） A.火箭的推力是空气施加的 B.卫星的向心加速度大小约8.4 m/s2 C.卫星运行的周期约12 h D.发射升空初始阶段，装在火箭上部的卫星处于失重状态 答案：B 解析：根据反冲现象的原理可知，火箭向后喷射燃气的同时，燃气会给火箭施加反作用力，即推力，故A错误；设地球质量为M，卫星质量为m，地球半径为R，对于在距地面约h＝500 km的轨道上运行的卫星，根据万有引力提供向心力，有G＝ma，G＝m（R＋h），可解得卫星的向心加速度大小为a＝≈8.4 m/s2，卫星运行的周期为T＝2π≈1.6 h，故B正确，C错误；发射升空初始阶段，火箭及卫星的加速度方向向上，则装在火箭上部的卫星处于超重状态，故D错误。 5.（2024·甘肃高考）小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内，通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度，可行的是（　　） A.用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力 B.测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期 C.从高处释放一个重物，测量其下落高度和时间 D.测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径 答案：D 解析：在天宫实验室内，重力全部提供物体绕地球做匀速圆周运动的向心力，物体处于完全失重状态，故A、B、C选项中的实验均无法得到天宫实验室轨道处的重力加速度；设天宫实验室的质量为m，绕地球做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为r，天宫实验室所受的重力提供其绕地球做匀速圆周运动的向心力，有mg＝mr，整理得轨道处的重力加速度为g＝r，故D正确。 6.（2024·安徽高考）2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900 km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时（　　） A.周期约为144 h B.近月点的速度大于远月点的速度 C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度 D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 答案：B 解析：设冻结轨道的半长轴为a1，鹊桥二号在冻结轨道运行的周期为T1，捕获轨道的半长轴为a2，鹊桥二号在捕获轨道运行的周期为T2，冻结轨道和捕获轨道的中心天体都是月球，根据开普勒第三定律得＝，可解得T2＝T1≈288 h，A错误；根据开普勒第二定律得，鹊桥二号在捕获轨道运行时近月点的速度大于远月点的速度，B正确；鹊桥二号在近月点从捕获轨道进入冻结轨道需减速制动，故在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；鹊桥二号在两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，鹊桥二号在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。 7.（2024·浙江6月选考）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（　　） A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度 B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C.小行星甲与乙的运行周期之比＝ D.甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比＝ 答案：D 解析：根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于近日点的速度，故A错误；由题图可知，小行星乙的远日点到太阳的距离等于地球到太阳的距离，根据万有引力定律和牛顿第二定律，则小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误；由题图可知，小行星甲轨道的半长轴a甲＝（R1＋R），小行星乙轨道的半长轴a乙＝（R2＋R），根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比＝＝，故C错误；甲、乙两星从远日点到近日点的时间均为各自的半个公转周期，则两者之比＝＝，故D正确。 8.（2024·山东省聊城市高三下一模）（多选）如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为2θ；Ⅱ为地球的近地卫星。两卫星绕地球同向转动，已知地球的自转周期为T0，引力常量为G，根据题中条件，可求出（　　） A.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的周期之比为1∶ B.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为sin22θ∶1 C.地球的平均密度为 D.卫星Ⅱ运动的一个周期内无法直接接收到卫星Ⅰ发出电磁波信号的时间为 答案：ACD 解析：设卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径分别为r和R，近地卫星Ⅱ的周期为T，卫星Ⅰ为同步卫星，周期为T0，根据开普勒第三定律可得＝，由题图中几何关系可得sinθ＝，可得卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的周期之比为T0∶T＝1∶，故A正确；设地球质量为M，对于绕地球以半径r做圆周运动的质量为m的卫星，根据牛顿第二定律得＝ma，解得卫星的加速度a＝，所以卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为＝＝，故B错误；由A项分析知，卫星Ⅱ的周期为T＝T0，设卫星Ⅱ的质量为m1，对卫星Ⅱ，由万有引力提供向心力可得＝m1R，又M＝ρ·πR3，联立可得地球的平均密度ρ＝，故C正确；当卫星Ⅱ运行到与卫星Ⅰ的连线隔着地球的区域内时，卫星Ⅱ无法直接接收到卫星Ⅰ发出的电磁波信号，该区域为题图中两切点所分隔开的优弧部分，由几何关系可知，其对应圆心角为π＋2θ，设卫星Ⅱ运动的一个周期内对应的这段时间为t，由于两卫星同向运行，则有（ωⅡ－ωⅠ）t＝π＋2θ，其中ωⅡ＝＝，ωⅠ＝，联立解得t＝，故D正确。 9.（2024·湖北省武汉市高三下5月三模）（多选）节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，早在《淮南子》中就有记载。现行二十四节气划分是以地球和太阳的连线每扫过15°定为一个节气，如图所示为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图，其中冬至时地球在近日点附近。根据示意图，下列说法正确的是（　　） A.芒种时地球公转速度比小满时小 B.芒种到小暑的时间间隔比大雪到小寒的长 C.立春时地球公转的加速度与立秋时大小相等 D.春分、夏至、秋分、冬至四个节气刚好将一年的时间分为四等份 答案：AB 解析：由题图可知，芒种时地球到太阳的距离比小满时远，由开普勒第二定律知，芒种时地球公转速度比小满时小，A正确；由题图可知，从芒种到小暑期间地球与太阳连线扫过的面积比大雪到小寒期间的大，根据开普勒第二定律，可知芒种到小暑的时间间隔比大雪到小寒的长，B正确；根据牛顿第二定律，有G＝ma，得地球公转时的加速度a＝，立春时地球到太阳的距离比立秋时的小，因此立春时地球公转的加速度比立秋时的大，故C错误；由题图可知，春分、夏至、秋分、冬至四个节气，将椭圆轨道所分成的4个部分面积不相等，根据开普勒第二定律，可知四个节气之间的时间间隔不等，故D错误。 10.（2024·山东省烟台市高三下一模）“星下点”是指卫星和地心连线与地球表面的交点。图甲是人造地球卫星A的运行圆轨道及“星下点”示意图，卫星A的绕行方向与地球自转方向一致，M点是某时刻的“星下点”，图乙是卫星A的“星下点”在完整地球平面图上一段时间内的轨迹，已知地球同步卫星B（图中未画出）的轨道半径为r，则卫星A的轨道半径为（　　） A. B. C. D. 答案：C 解析：设卫星A的轨道半径为r′，周期为T′，地球自转周期为T，由题图乙分析可知，地球自转一圈，卫星A运动三圈，则T＝3T′，地球同步卫星B做匀速圆周运动，设地球质量为M，卫星B质量为m，根据万有引力提供向心力可得G＝mr，解得地球同步卫星B的周期T＝2π，同理可得，卫星A的周期T′＝2π，所以卫星A的轨道半径r′＝r，故A、B、D错误，C正确。 11.（2024·广东高考）（多选）如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞，在接近某行星表面时以60 m/s的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为1000 kg，背罩质量为50 kg，该行星的质量和半径分别为地球的和。地球表面重力加速度大小取g＝10 m/s2。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有（　　） A.该行星表面的重力加速度大小为4 m/s2 B.该行星的第一宇宙速度为7.9 km/s C.“背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为80 m/s2 D.“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30 kW 答案：AC 解析：设地球的质量为M、半径为R，则该行星的质量为、半径为，在地球表面，对质量为m的物体有G＝mg，可得地球表面的重力加速度大小g＝，同理可得，该行星表面的重力加速度大小g′＝，则g′＝g＝×10 m/s2＝4 m/s2，故A正确；在地球近地轨道上，对质量为m的环绕物体，根据万有引力提供向心力有G＝m，可得地球的第一宇宙速度v＝，同理可得，该行星的第一宇宙速度v行＝，则v行＝v＝×7.9 km/s＝3.5 km/s，故B错误；设探测器的质量为m1，背罩的质量为m2，“背罩分离”前，探测器及其保护背罩和降落伞整体做匀速直线运动，设速度大小为v′，对探测器受力分析，由平衡条件可知，探测器与保护背罩之间的作用力大小为F＝m1g′＝1000×4 N＝4000 N，“背罩分离”后瞬间，背罩与降落伞间弹性轻绳的弹力不发生突变，则背罩所受的合力大小为F′＝F＝4000 N，根据牛顿第二定律有F′＝m2a，解得背罩的加速度大小为a＝80 m/s2，故C正确；“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率P＝m1g′v′＝1000×4×60 W＝240 kW，故D错误。 12.（2024·辽宁高考）如图a，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图b所示（不考虑自转影响）。设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。的值为（　　） A.2n B. C. D. 答案：C 解析：设地球表面的重力加速度为g1，该天体表面的重力加速度为g2，小球的质量为m，弹簧的劲度系数为k。根据题意可知，小球在正向最大位移处时，弹簧弹力为0，小球所受合力等于重力，则在地球表面与该天体表面时，小球在正向最大位移处所受的回复力大小分别为F1＝mg1，F2＝mg2，根据简谐运动的对称性可知，小球在负向最大位移处和正向最大位移处所受的回复力大小相等，则在负向最大位移处分别有F1＝k·4A－mg1，F2＝k·2A－mg2，联立解得g1＝，g2＝，＝2。由于不考虑自转影响，则在星球表面万有引力等于重力，有G＝mg，又M＝ρV，V＝πR3，可得星球的平均密度ρ＝。根据题意，地球与该天体的半径之比为＝n，则＝·＝，故选C。 13.（2024·福建省厦门市高三下三模）两颗中子星绕二者连线上的某点做圆周运动组成双星系统，并以引力波的形式向外辐射能量。经过一段时间，两颗中子星的间距减小为原来的p倍，运行周期变为原来的q倍，若两星可视为质量均匀分布的球体，则利用牛顿力学知识可得（　　） A.p2q3＝1 B.＝1 C.p3q2＝1 D.＝1 答案：D 解析：设两颗中子星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，间距为L，运行周期为T，根据万有引力提供向心力可知＝m1r1＝m2r2，又L＝r1＋r2，联立并整理得＝，依题意，两颗中子星的间距减小为原来的p倍，运行周期变为原来的q倍，同理有＝，可得＝1，故选D。 14.（2024·北京高考）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一点O为观测点，以质量为m的小星体（记为P）为观测对象。当前P到O点的距离为r0，宇宙的密度为ρ0。 （1）求小星体P远离到2r0处时宇宙的密度ρ； （2）以O点为球心，以小星体P到O点的距离为半径建立球面。P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力。已知质量为m1和m2、距离为R的两个质点间的引力势能Ep＝－G，G为引力常量。仅考虑万有引力和P远离O点的径向运动。 a.求小星体P从r0处远离到2r0处的过程中动能的变化量ΔEk； b.宇宙中各星体远离观测点的速率v满足哈勃定律v＝Hr，其中r为星体到观测点的距离，H为哈勃系数。H与时间t有关但与r无关，分析说明H随t增大还是减小。 答案：（1）ρ0 （2）a.－Gπρ0mr　b.H随t减小 解析：（1）由题意可知，以O点为球心，以P到O的距离为半径的球体的质量不变，则有 ρ0·πr＝ρ·π（2r0）3 解得ρ＝ρ0。 （2）a.以O点为球心，以P到O的距离为半径的球体的质量M＝ρ0·πr P从r0处远离到2r0处，P与上述球体间引力势能的变化量ΔEp＝－G－ 由机械能守恒定律得ΔEk＝－ΔEp 联立解得ΔEk＝－Gπρ0mr。 b.随时间t推移，星体与观测点间距离r增大，由a中结果知星体的动能减小，各星体远离观测点的速率v减小，由哈勃定律v＝Hr，知哈勃系数H减小，即H随t减小。 15.（2024·重庆市九龙坡区高三下5月第三次学业质量抽调）2024年4月25日神舟十八号载人飞船成功发射，标志着中国载人航天技术已走在世界前列。有人对今后神舟系列飞船的发射构想：沿着地球的某条弦挖一通道，并铺设成光滑轨道，在通道的两个出口分别将一物体和飞船同时释放，利用两者碰撞（弹性碰撞）效应，将飞船发射出去，已知地表重力加速度为g，地球的半径为R；物体做简谐运动的周期T＝2π，m为物体的质量，k为简谐运动物体的回复力和其离开平衡位置的位移大小之比。 （1）若神舟十八号飞船贴近地球表面做匀速圆周运动，求其运行的线速度大小； （2）如图甲，设想在地球上距地心h处挖一条光滑通道AB，从A点静止释放一个质量为m的物体，求物体从A运动到B点的时间，以及物体通过通道中心O′的速度大小（质量分布均匀的球壳对球壳内的物体的万有引力为零）； （3）如图乙，若通道已经挖好，且h＝R，如果在A、B处同时释放质量分别为M和m的物体和飞船，它们同时到达O′点并发生弹性碰撞，要使飞船飞出通道口时速度达到第一宇宙速度，M和m应该满足什么关系？ 答案：（1）　（2）π　 （3）M＝3m 解析：（1）设地球的质量为M地，神舟十八号飞船的质量为m0，神舟十八号飞船贴近地球表面做匀速圆周运动的线速度大小为v，根据万有引力提供向心力有G＝m0 对质量为m1的物体，在地球表面，由万有引力与重力的关系有G＝m1g 联立解得v＝。 （2）设地球的密度为ρ，半径为r的球体体积为V，质量为M′，物体和地球球心的连线与通道AB的夹角为θ，以O′为原点，沿AB方向建立x坐标轴 则V＝πr3 M′＝ρV 由题意知，物体与地心距离为r时，到地球中心距离超过r的部分可视为均匀球壳，对物体万有引力的合力为0，根据万有引力定律，可知物体受到内部球体的引力为F＝G 引力在通道AB方向的分力为Fx＝Fcosθ 其中cosθ＝－ 联立解得Fx＝－πρGmx 故物体做简谐运动，且回复力与其离开平衡位置的位移大小之比k＝πρGm 又G＝m1g M地＝πR3ρ 则k＝ 由题知，物体做简谐运动的周期 T＝2π＝2π 物体从A运动到B点的时间为tAB＝T 联立解得tAB＝π 从A到O′点，万有引力做功为W＝x·xAO′ 由于F与x大小成正比，故x＝ 其中Fmax＝mg· 根据勾股定理，有xAO′＝ 设物体通过通道中心O′的速度大小为vO′，从A到O′点，由动能定理可得W＝mv－0 联立解得vO′＝。 （3）由（2）问分析可知，当h＝R时，物体和飞船到达O′点时速度大小均为 v0＝＝ 设碰撞后物体和飞船的速度分别为v1和v2，以向右为正方向，由动量守恒定律有 Mv0－mv0＝Mv1＋mv2 根据总动能不变可得 Mv＋mv＝Mv＋mv 联立解得v2＝ 飞船返回通道口过程中，万有引力做功为W′＝－W 设返回通道口时，飞船的速度为v，根据动能定理有W′＝mv2－mv 由（1）问分析可知，飞船飞出通道口时速度达到第一宇宙速度，即v＝ 联立解得M＝3m。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$