抽象函数总结讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

学员姓名： 年级： 专题 抽象函数总结 教学内容 【例题精讲】 题型一：定义域问题 例1 已知函数的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域. 例2 已知函数的定义域是，求函数的定义域。 题型二：求值问题 例3 已知定义域为的函数f（x），同时满足下列条件：①；②，求的值。 题型三：值域问题 例4 设函数f（x）定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域. 题型四：解析式问题 例5 (1) 设对满足的所有实数x，函数满足，求的解析式. (2) 已知定义在R上的偶函数，，且当时，，则当时，求的解析式. 题型五：单调性问题 例6 设定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。 题型六：奇偶性问题 例7 (1)已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f（x）的奇偶性。 (2)已知是定义在上的函数，且满足，， 试判断函数的奇偶性. 题型七：对称性问题 例8 已知函数满足，求的值。 例9 定义在R上的函数满足：对任意实数m，n，总有，且当x>0时，0<<1 （1）判断的单调性； （2）设， 题型八：周期性问题 例10 是R上的奇函数，时的值 例11 已知是定义在R上的函数，且满足，，求的值. 题型九：函数猜想法 1、线性函数型抽象函数：线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。 例12 函数对任意实数x，y，均有，且当x＞0时，＞0，，求在区间[－2，1]上的值域。 例13 已知函数对任意，满足条件，且当x＞0时，，f（3）＝5，求不等式的解。 2、指数函数型抽象函数 例14 设函数的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立. 求：（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。 例15 是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N； ②；③f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。 3、对数函数型抽象函数:即由对数函数抽象而得到的函数。 例16 设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，，求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。 例17 设函数的反函数是。如果，那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。 4、幂函数型抽象函数:即由幂函数抽象而得到的函数。 例18 已知函数对任意实数x、y都有，且，f（27）＝9，当时，。 （1）判断的奇偶性； （2）判断在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明； （3）若，且，求a的取值范围。 1 6 学科网（北京）股份有限公司 $$