精品解析：内蒙古科尔沁左翼中旗民族职业中专2022-2023学年高三下学期期中考试数学试题

2022-2023学年内蒙古通辽市科左中旗民族职业中专高三（下）期中数学试卷 一、单选题（每小题5分，共12题，合计60分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足（i为虚数单位），是z的共轭复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，则向量在方向上的射影为（ ） A. B. C. D. 4 若直线是曲线在某点处的切线，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 函数大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 6. 国内首个百万千瓦级海上风电场-三峡阳江沙扒海上风电项目宣布实现全容量并网发电，为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力．风速预测是风电出力大小评估的重要工作，通常采用威布尔分布模型，有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型：，其中k为形状参数，x为风速．已知风速为1m/s时，，则风速为4m/s时，（ ）（参考数据：，） A. 0.920 B. 0.964 C. 0.975 D. 0.982 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积是（ ） A. B. C. D. 9. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆与直线交于，两点，且，则圆与函数的图象交点个数为（ ）个. A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域是R，为偶函数，，且，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 12. 已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 13 若表示不超过x的最大整数（例如：，），数列满足：，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共4题，合计20分） 14. 已知实数x，y满足，目标函数的最大值为______. 15 “田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，马匹按奔跑的速度分为上、中、下三等.一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马，每匹马都各赛一局，采取三局两胜制.已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王较低等次的马快.若田忌事先打探到齐王第一场比赛会派出上等马，田忌为使自己获胜的概率最大，采取了相应的策略，则其获胜的概率最大为______. 16. 已知正项数列的前n项和为，且满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 17. 已知双曲线的左，右焦点分别为、，点P在双曲线上，且，的角平分线交x轴于点A，则______. 三、解答题（17题10分，18-22题各12分，合计70分） 18. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件， （1）求角A的大小； （2）求边中线长的最小值. 条件①：； 条件②：. 19. 为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下： 奖项组别 个人赛 团体赛获奖 一等奖 二等奖 三等奖 高一 20 20 60 50 高二 16 29 105 50 （1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率； （2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望； （3）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自高一的人数为ξ，来自高二的人数为η，试判断与的大小关系．（结论不要求证明） 20. 如图所示，在四棱锥中，平面平面，，. （1）求证：； （2）若二面角为，求直线与平面所成的角的正弦值． 21. 已知离心率为的椭圆过点，过点P作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A，B两点． （1）求椭圆C方程； （2）求证：直线AB过定点，并求出此定点的坐标． 22. 已知函数. （1）判断并证明在的单调性； （2）已知a为正实数，且对于任意，都有恒成立，求正实数a的取值范围. 23. 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为（t为参数）,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为. （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）若射线与曲线C交于点M,与直线l交于点N.求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年内蒙古通辽市科左中旗民族职业中专高三（下）期中数学试卷 一、单选题（每小题5分，共12题，合计60分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集以及补集的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以，则. 故选：B. 2. 已知复数z满足（i为虚数单位），是z的共轭复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的代数运算求出，然后求出共轭复数，利用复数在复平面的坐标可求解. 【详解】， ， ， 在复平面内对应的点为， ∴复数在复平面内对应的点位于第三象限， 故选：C. 3. 已知向量，则向量在方向上的射影为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件利用投影公式计算即可. 【详解】因向量， 所以向量在方向上的射影为. 故选：D. 4. 若直线是曲线在某点处的切线，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 分析】先设切点为，由点在直线和曲线上及切线斜率建立方程组即可解出. 【详解】设切点为， ，， 直线是曲线在某点处的切线， ，，实数. 故选：C. 5. 函数的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊点的函数值的大小以及函数的单调性，即可求解. 【详解】对于A：当时，，任取且， 所以， 当时，， 所以，即， 当时，， 所以，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时， 因为函数、在上均单调递增， 所以函数在单调递增， 所以A选项符合题意； 对于B、C：当时，，所以B、C不符合题意； 对于D：当时，，所以D不符合题意． 故选：A． 6. 国内首个百万千瓦级海上风电场-三峡阳江沙扒海上风电项目宣布实现全容量并网发电，为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力．风速预测是风电出力大小评估的重要工作，通常采用威布尔分布模型，有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型：，其中k为形状参数，x为风速．已知风速为1m/s时，，则风速为4m/s时，（ ）（参考数据：，） A. 0.920 B. 0.964 C. 0.975 D. 0.982 【答案】D 【解析】 【分析】由风速为1m/s时，，代入函数式，可求出k，再将代入函数即可求解． 【详解】∵风速为1m/s时，，，即， ，解得， ∴当时，. 故选：D 7. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数的运算以及对数的运算可逐一判断． 【详解】对于A：，所以A错误； 对于B：，所以B错误； 对于C：，所以C错误； 对于D：，所以D正确. 故选：D． 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，再补全为长方体，求出长方体的体对角线，即可求出外接球的半径，结合球的表面积公式，求解即可. 【详解】 由三视图易知，该几何体为长方体中四个顶点连线构成的三棱锥, 其外接球即为长方体的外接球， 由题意易得长方体中，， 所以体对角线长为， 所以外接球的半径为， 所以外接球的表面积为. 故选：A 9. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】利用等比数列与等差数列的性质求得，，进而利用诱导公式与特殊角的三角函数值即可求解. 【解答】因为数列是等比数列，数列是等差数列，， ， ， 故选：A. 10. 已知圆与直线交于，两点，且，则圆与函数的图象交点个数为（ ）个. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件结合垂径定理可得的值，画出图形，数形结合得出答案. 【详解】由得， 所以圆心到直线的距离， 又直线被圆所截弦长为，所以， 作出圆及函数的图象如图： 当时，，圆在轴下方点的纵坐标为， 由图可知，圆与函数的图象交点个数为， 故选：A. 11. 已知函数的定义域是R，为偶函数，，且，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，易得函数的图像关于对称，即，结合，可推出函数是周期为4的函数，继而求解. 【详解】因为函数的定义域是R，为偶函数，图像关于轴对称， 又图像是由图像左移1个单位得到， 所以函数的图像关于对称， 所以，即， 又，所以， 即， 所以，故函数是周期为4的函数， 因为， 所以 故选：C． 12. 已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，构造结合函数单调性，再根据二次函数的性质分类讨论即可解得. 【详解】∵对于任意，都有， ∴， ∴， ∴在上单调递增， 当时，在上单调递增； 当时，的对称轴为且开口向上，即在上单调递增； 当时，要使在上单调递增，需满足对称轴，即； 综上所述，实数a的取值范围是． 故选：C 13. 若表示不超过x的最大整数（例如：，），数列满足：，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据数列的递推公式，和求和公式，求得，再根据，得到即可求解. 【详解】∵，， ∴， 累加得 ， ∴， ∵，即， ∴， ， 故选：A. 二、填空题（每小题5分，共4题，合计20分） 14. 已知实数x，y满足，目标函数的最大值为______. 【答案】14 【解析】 【分析】作出可行域，根据图象找到最优解，即可求得目标函数的最大值. 【详解】作出可行域如下图阴影部分所示， 由图象可知，平移直线过点A时，目标函数取得最大值， 联立，解得，即， 则目标函数的最大值为. 故答案为：14. 15. “田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，马匹按奔跑的速度分为上、中、下三等.一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马，每匹马都各赛一局，采取三局两胜制.已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王较低等次的马快.若田忌事先打探到齐王第一场比赛会派出上等马，田忌为使自己获胜的概率最大，采取了相应的策略，则其获胜的概率最大为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出所有比赛的方式，再根据齐王第一场比赛会派出上等马可知第一场田忌必输，所以田忌第一场派下等马，再求出剩下两场获胜的概率即可． 【详解】设齐王有上、中、下三等马、、，田忌有上、中、下三等马、、， ∵齐王第一场比赛会派出上等马， ∴第一场田忌必输，∴田忌第一场派下等马， ∴比赛方式有、、和、、，其中田忌获胜的有、、. ∴田忌获胜的概率最大为． 故答案为：． 16. 已知正项数列的前n项和为，且满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据得到得到，求出与，再根据得到，再构造函数，求出的最大值即可得解. 【详解】∵正项数列的前n项和为，且满足， ∴， ∵，得到，即， ∴正项数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴，， 又恒成立，即， ， 构造函数，， ∵， ∴当时，，当时，， ∴在或时取得最大值，，， ，即实数的取值范围是. 故答案为：. 17. 已知双曲线的左，右焦点分别为、，点P在双曲线上，且，的角平分线交x轴于点A，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据双曲线的性质，以及余弦定理、正弦定理求面积，即可求解 【详解】因为双曲线， 所以双曲线的左，右焦点分别为，， 设P在双曲线的右半支上，，， 因为，，，，， 由余弦定理得，即， 又因为，， 所以， 所以， 解得，， 由正弦定理得 所以， 解得， 故答案为：. 三、解答题（17题10分，18-22题各12分，合计70分） 18. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件， （1）求角A的大小； （2）求边中线长的最小值. 条件①：； 条件②：. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）若选条件①，根据已知条件结合正弦定理可得，再由余弦定理可得，进而得到； 若选条件②，先由三角形的面积公式可知，再结合，可得，而，由此再运用余弦定理化简可得，进而得到； （）易知，可得，而，由此结合基本不等式即可得解. 【小问1详解】 若选条件①， 由于，， 则， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，， 又为的内角，则. 若选条件②， 由于的面积为， 则，可得， 又， 则，可得， 又，则， 于是，即， 则， 又为的内角，则. 【小问2详解】 根据题意，D为BC边上的中点， 则， 于是， 又， 则， 于是， 则，当且仅当时等号成立， 则边中线长的最小值为. 19. 为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下： 奖项组别 个人赛 团体赛获奖 一等奖 二等奖 三等奖 高一 20 20 60 50 高二 16 29 105 50 （1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率； （2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望； （3）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自高一的人数为ξ，来自高二的人数为η，试判断与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合条件概率公式求解即可； （2）根据题意，结合随机变量及其分布，先求得X的所有可能取值及对应概率，完成分布列，结合数学期望计算公式，即可求解； （3）根据题意，可得，结合方差的性质，即可求解. 【小问1详解】 由题意，设“任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A， “任取1名获奖学生，该生是高一学生”为事件B， 又获奖学生总体人数为人， 所以，， 所以. 即已知抽到的学生获得一等奖，则抽到的学生来自高一的概率是； 【小问2详解】 由已知可得X的取值可能是， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以 小问3详解】 理由：由题意知，所以， 所以. 20. 如图所示，在四棱锥中，平面平面，，. （1）求证：； （2）若二面角为，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合余弦定理，可得，继而得到是直角三角形，即，结合面面垂直的性质定理，即可证明结论成立； （2）根据题意，结合线面垂直的性质定理可得，，继而可得是二面角的平面角，即，结合线面垂直的判定定理，可得平面，即是直线与平面所成的角，结合解直角三角形，即可求解. 【小问1详解】 因为在中，， 所以， 得到，即， 所以是直角三角形，即， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 故； 【小问2详解】 由（1）知，平面， 又平面，所以， 因为平面平面，平面，平面， 所以是二面角的平面角，即， 在中，，，所以， 因为，，平面，平面， 所以平面，即是直线与平面所成的角， 又， 在中， 即直线与平面所成的角的正弦值是. 21. 已知离心率为的椭圆过点，过点P作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A，B两点． （1）求椭圆C方程； （2）求证：直线AB过定点，并求出此定点的坐标． 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组，求出a、b，即得结果， （2）按照直线AB的斜率是否存在讨论，当直线AB斜率存在时，设方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理及，探求m，k的关系推理作答. 【小问1详解】 设椭圆半焦距为c，则， 依题意：，解得， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 证明：设， 当直线AB的斜率不存在时，设直线AB方程为， 由，得， 则， 于是， 所以，直线； 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为， 由，消去y并整理得：， 则， 由于，则， 而，有， 即， 整理得， 因此， 化简得， 即， 因直线AB不过点P，即， 于是得， 此时直线AB方程为，直线AB过定点； 综上，直线AB过定点. 22. 已知函数. （1）判断并证明在的单调性； （2）已知a为正实数，且对于任意，都有恒成立，求正实数a的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减；证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数可判断在上单调性； （2）构建新函数，求出与其导数，再分类讨论、两种情况下的符号，从而得解. 【小问1详解】 在上单调递减，证明如下： 的定义域为， ， 因为当时，，则， 所以在上单调递减； 【小问2详解】 因为对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 当时，，则有对于任意恒成立， 即， 设，则， 令，则， ①若，则在上恒成立，故在上为减函数， 故，故在上为减函数， 所以； ②若，则， 因为为不间断函数，故存在，使得时，， 故当时，，这与题设矛盾. 所以，又， 所以正实数a的取值范围为. 23. 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为（t为参数）,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为. （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）若射线与曲线C交于点M,与直线l交于点N.求的长. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由消去参数t，即可得到直线l的普通方程，由，可得，进而得到曲线C的直角坐标方程； （2）将代入曲线C的极坐标方程和直线l的极坐标方程，可得作差即可得解. 【小问1详解】 由于直线l的参数方程为（为参数）， 则消去参数可得， ，即为直线的普通方程， 由于曲线C的极坐标方程为， 则，将代入， 即，化简可得，， 即曲线C的直角坐标方程为； 【小问2详解】 将代入曲线C的极坐标方程可得，， 即， 将直线的普通方程化为极坐标方程，， 即直线的极坐标方程为， 即， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$