5.2.1 基本初等函数的导数（导学案)-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第五章一元函数的导数及其应用 5.2导数的运算 5.2.1基本初等函数的导数 一、学习目标 （一）课程标准要求 ①能根据导数定义推导函数的导数公式 ②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如)的导数. ③会使用导数公式表. （二）课时目标要求 1.利用导数的定义推导出常值函数与幂函数的导数，体验由特殊到一般的逻辑思维过程，发展学生的逻辑推理与数学运算核心素养. 2.能从物理或几何的角度，解释5个函数，的导数的意义，并借助信息技术观察这几个函数图象上的点处切线的斜率随着的变化而变化的规律，体会数形结合的思想，发展直观想象素养. 3.能根据几个常用幂函数的导数公式的结构特征，归纳出形如一般幂函数的导数公式，并熟悉其他基本初等函数的导数公式，体会特殊与一般的数学思想. 4.通过应用常用函数的导数公式求基本初等函数的导数，发展学生的数学运算核心素养. 二、重点难点 学习重点：基本初等函数的导数公式. 学习难点：基本初等函数的导数公式的应用. 三、学习过程 环节一：创设情境，导入新课 由导函数的定义可知，如果一个函数可导，那么它的导数是唯一确定的.我们知道，很多复杂的函数都是由基本初等函数通过加、减、乘、除等运算得到的，由此自然想到要计算较复杂函数的导数，是否可以先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的运算法则，这样就可以利用基本初等函数的导数和导数的运算法则来求复杂函数的导数了.本节课我们先研究基本初等函数的导数. 问题1：回顾上节课所学，函数在处的导数的概念是什么？导函数的概念又是什么？ 追问1：你能利用导数的定义求出下列函数的导数吗？ (1);(2) 追问2：若和分别表示两个不同物体运动时路程关于时间的函数，你能借助这两个物体在任意一个时刻的瞬时速度，解释它们的运动状态吗？ 问题2：你能从以上两个函数求导过程中归纳出用定义法求导数的基本步骤吗? 问题3：类似地，你能利用定义法推导以下两个函数的导数吗? (3)；(4) 追问：你能从几何或物理角度解释问题3中的两个函数的导数的意义吗? 问题4：结合以上四个函数的导数推导方法，你能推导以下两个函数的导数吗? (5)； (6) 追问：画出函数的图象．根据图象，你能结合其导数描述图象的变化情况吗？你能求出曲线在点处的切线方程，并进一步说明导数的几何意义吗? 问题5：前面我们根据导数的定义求出了一些简单函数的导数.对于常用的基本初等函数的导数，教科书给出了公式表.请你阅读教科书，记忆并默写出这些公式. 环节三：根据新知，简单应用 例1．求下列函数的导数： （1）；（2）． 例2假设某地在20年间的年均通货膨胀率为，物价(单位：元)与时间(单位：年)之间的关系为 ， 其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)? 追问：如果某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少? 环节四：随堂演练 1．下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 2．一质点的运动方程为，则时质点的瞬时速度为（ ） A． B． C． D． 3．已知，则等于（ ） A．0 B． C． D． 4．函数在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 环节五：能力提升 题型一：基本初等函数导数公式应用 例1:求下列函数的导数. (1)；(2)；(3)；(4)；(5). 变式训练： 1．求下列函数的导数. (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)； (7)；（8）；（9）；(10)． 题型二：利用导数研究曲线的切线方程 例2：已知函数 (1)求在点处的切线方程； (2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程． 变式训练： 2．已知曲线的一条切线方程为，求的值． 3．以正弦曲线上一点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 4．直线是曲线的一条切线，则实数 . 题型三：导数的简单综合应用 例3．已知两条曲线，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 变式训练： 5．已知点，，函数． (1)过坐标原点作曲线的切线，求切线方程； (2)在曲线上是否存在点，使得过点的切线与直线平行？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 6．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 环节六：凝练升华，课堂小结 问题6:回顾本节课的学习内容，回答下列问题. (1)利用导数定义推导函数的导数时，其基本步骤是什么?你认为最关键的是哪一步? (2)回顾几个常用函数的导数的推导过程，你认为这个过程中应掌握哪些数学思想方法? (3)在运用基本初等函数的导数公式解决问题的过程中，蕴含着哪些数学思想方法? (4)用基本初等函数的导数公式解决实际问题时，基本方法是什么? 环节七：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第75页练习第1、2、3、4题 巩固作业答案： 1．求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 2．求下列函数在给定点的导数： （1）在处的导数； （2）在处的导数； （3）在处的导数； （4）在处的导数． 3．求余弦曲线在点处的切线方程． 4．求曲线在点处的切线方程． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章一元函数的导数及其应用 5.2导数的运算 5.2.1基本初等函数的导数 一、学习目标 （一）课程标准要求 ①能根据导数定义推导函数的导数公式 ②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如)的导数. ③会使用导数公式表. （二）课时目标要求 1.利用导数的定义推导出常值函数与幂函数的导数，体验由特殊到一般的逻辑思维过程，发展学生的逻辑推理与数学运算核心素养. 2.能从物理或几何的角度，解释5个函数，的导数的意义，并借助信息技术观察这几个函数图象上的点处切线的斜率随着的变化而变化的规律，体会数形结合的思想，发展直观想象素养. 3.能根据几个常用幂函数的导数公式的结构特征，归纳出形如一般幂函数的导数公式，并熟悉其他基本初等函数的导数公式，体会特殊与一般的数学思想. 4.通过应用常用函数的导数公式求基本初等函数的导数，发展学生的数学运算核心素养. 二、重点难点 学习重点：基本初等函数的导数公式. 学习难点：基本初等函数的导数公式的应用. 三、学习过程 环节一：创设情境，导入新课 由导函数的定义可知，如果一个函数可导，那么它的导数是唯一确定的.我们知道，很多复杂的函数都是由基本初等函数通过加、减、乘、除等运算得到的，由此自然想到要计算较复杂函数的导数，是否可以先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的运算法则，这样就可以利用基本初等函数的导数和导数的运算法则来求复杂函数的导数了.本节课我们先研究基本初等函数的导数. 问题1：回顾上节课所学，函数在处的导数的概念是什么？导函数的概念又是什么？ 函数在处的导数的概念 如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(derivative)(也称为瞬时变化率)，记作或，即 ． 导函数的概念 从求函数在处导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数.这样，当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数(简称导数).的导函数有时也记作,即 追问1：你能利用导数的定义求出下列函数的导数吗？ (1);(2) 师生活动：学生根据导数的定义进行推导，可以选几个学生进行板演，得出： (1) 因为，所以； (2) 因为，所以； 追问2：若和分别表示两个不同物体运动时路程关于时间的函数，你能借助这两个物体在任意一个时刻的瞬时速度，解释它们的运动状态吗？ 师生活动:学生独立思考之后，教师引导学生观察函数图象(图5.2-1和图5.2-2),结合导数的物理意义得出结论： (1)若函数表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为,即一直处于静止状态. (2)若函数表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动. 问题2：你能从以上两个函数求导过程中归纳出用定义法求导数的基本步骤吗? 师生活动:学生分组讨论，相互交流，教师引导学生归纳得出用定义法求导的基本步骤： 第一步:计算平均变化率,并化简； 第二步，观察当无限趋近于0时，无限趋近于哪个定值.此时，要注意是的函数，视为常量. 第三步，无限趋近的定值就是函数的导数. 问题3：类似地，你能利用定义法推导以下两个函数的导数吗? (3)；(4) 师生活动：学生分小组合作讨论，全班交流展示用定义法求导的推导过程，得到相应函数的导数. （3）因为， 所以， （4）因为 ， 所以， 追问：你能从几何或物理角度解释问题3中的两个函数的导数的意义吗? 师生活动：在学生分组合作讨论、全班交流的基础上，归纳得出函数的导数的几何意义和物理意义，函数的导数的几何意义.教师再利用信息技术演示验证函数图象上点处切线的斜率随的变化而变化的规律. （3）函数的导数的几何意义与物理意义. 表示函数的图象(图5.2-3)上点处切线的斜率为,说明随着的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，越来越小，减少得越来越慢；当x>0时，随着的增加，越来越大，增加得越来越快. 若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为. （4）出函数的导数的几何意义. 表示函数的图象(图5.2-4)上点处切线的斜率为,这说明随着的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数. 问题4：结合以上四个函数的导数推导方法，你能推导以下两个函数的导数吗? (5)； (6) 师生活动：学生独立完成，教师通过投影仪展示学生代表的运算过程，师生共同总结求分式和根式结构的函数导数时，化简的运算心得，教师及时点评. （5）因为 所以． （6）因为 所以． 追问：画出函数的图象．根据图象，你能结合其导数描述图象的变化情况吗？你能求出曲线在点处的切线方程，并进一步说明导数的几何意义吗? 师生活动：函数的图象如图5.2-5所示.结合函数图象及其导数，发现，当时，随着的增加，函数减少得越来越快；当时，随着的增加，函数减少得越来越慢. 根据导数的几何意义，函数在处的导数就是曲线在点(1,1)处切线的斜率.因为,所以函数在处的导数,所以曲线在点处切线的斜率为,因此过点的切线方程为. 问题5：前面我们根据导数的定义求出了一些简单函数的导数.对于常用的基本初等函数的导数，教科书给出了公式表.请你阅读教科书，记忆并默写出这些公式. 师生活动：学生阅读教科书后进行记忆： 1．若(为常数)，则； 2．若，则； 3．若，则； 4．若，则； 5．若(，且)，则； 特别地，若，则； 6．若(，且)，则； 特别地，若，则． 教师指出：这些公式的推导需要用到更多的知识，今后进一步学习后会得到完善，现在可以直接使用. 环节三：根据新知，简单应用 例1．求下列函数的导数： （1）；（2）． 师生活动：教师引导学生独立思考，自行归纳使用公式时的步骤：分析函数解析式一选择导数公式一求函数导数. 解：（1）；（2） 例2假设某地在20年间的年均通货膨胀率为，物价(单位：元)与时间(单位：年)之间的关系为 ， 其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)? 解：根据基本初等函数的导数公式表，有 ， 所以 ． 所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨． 追问：如果某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少? 师生活动：教师引导学生分析，当时，函数变为,解答这一问题需要求函数的导数.运用导数公式表，和的导数可以直接求得，而的导数已经不能直接用基本初等函数的导数公式表解答.教师引导学生课后思考：可否用与的导数来表示他们乘积的导数. 环节四：随堂演练 1．下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】BCD 【详解】A：，错误； B：，则，正确； C：，正确； D：正确. 故选：BCD 2．一质点的运动方程为，则时质点的瞬时速度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，当时，， 所以当时质点的瞬时速度为. 故选：B 3．已知，则等于（ ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，∴， 故选C 4．函数在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则， 故切线方程为，即. 故选：B 环节五：能力提升 题型一：基本初等函数导数公式应用 例1:求下列函数的导数. (1)；(2)；(3)；(4)；(5). 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5). 【详解】（1）. （2）； （3），所以； （4）； （5）. 方法规律：求函数的导数的常见类型及解题技巧 (1)若所求函数符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导． (2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导． 变式训练： 1．求下列函数的导数. (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)； (7)；（8）；（9）；(10)． 【答案】 (1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6)；(7) ；（8）；（9）；(10) 【详解】（1）由幂函数的导数公式有； （2）由幂函数的导数公式有； （3）由幂函数的导数公式有； （4）由指数函数的导数公式有； （5）由对数函数的导数公式有. （6）因为，所以． （7）因为，所以． （8）∵ （9）∵，∴ （10）∵ ，∴ . 题型二：利用导数研究曲线的切线方程 例2：已知函数 (1)求在点处的切线方程； (2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，，. 故曲线在点处的切线方程为， 即； （2）设切点为，则， 切线方程为，. 因为切线经过原点， 故，所以， 故，切点为，切线方程为， 即过原点的切线方程为. 方法规律： (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； ②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． (2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤 变式训练： 2．已知曲线的一条切线方程为，求的值． 【答案】 【详解】设切点为，由得. 因为曲线在处的切线为，其斜率为. 所以，即， 所以切点为．所以，解得. 3．以正弦曲线上一点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，得.设， 则以点为切点的切线的斜率为. 设以点为切点的切线的倾斜角为，则. 由，可得， 所以直线的倾斜角的范围. 故选：A. 4．直线是曲线的一条切线，则实数 . 【答案】 【详解】设切点为，由题意得， 所以，所以，所以 又，所以 题型三：导数的简单综合应用 例3．已知两条曲线，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 【答案】不存在，理由见解析 【详解】由于，设这两条曲线的一个公共点为 所以两条曲线在处的斜率分别为. 若使两条切线互相垂直，必须，即， 也就是，这是不可能的. 两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直. 方法规律：导数的综合应用的解题技巧 (1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在. (2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题.遇到一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义分析. 变式训练： 5．已知点，，函数． (1)过坐标原点作曲线的切线，求切线方程； (2)在曲线上是否存在点，使得过点的切线与直线平行？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在，． 【详解】（1）设切点为． 因为，所以． 由题意可得，解得， 所以切线方程为，即． （2）过点，的直线的斜率为． 假设存在点，使得过点的切线与直线平行，设，， 则有，得． 又，所以， 所以在曲线上存在点，使得过点的切线与直线平行， 且点的横坐标为． 6．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为，，所以，， 则在点处的切线方程为，即； 在点处的切线方程为：，即， 由已知，由得，故， 故，解得， 所以，因此． 故答案为：． 环节六：凝练升华，课堂小结 问题6:回顾本节课的学习内容，回答下列问题. (1)利用导数定义推导函数的导数时，其基本步骤是什么?你认为最关键的是哪一步? (2)回顾几个常用函数的导数的推导过程，你认为这个过程中应掌握哪些数学思想方法? (3)在运用基本初等函数的导数公式解决问题的过程中，蕴含着哪些数学思想方法? (4)用基本初等函数的导数公式解决实际问题时，基本方法是什么? 环节七：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第75页练习第1、2、3、4题 巩固作业答案： 1．求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【解析】 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 2．求下列函数在给定点的导数： （1）在处的导数； （2）在处的导数； （3）在处的导数； （4）在处的导数． 【解析】 （1），； （2），； （3），； （4），． 3．求余弦曲线在点处的切线方程． 【解析】 ，，， ，所以切线方程为 ，即． 4．求曲线在点处的切线方程． 【解析】 ，，， ∴切线方程为 ，即． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$