第四章　因式分解课件2024-2025学年 北师大版 数学八年级下册

第四章　因式分解 3　公 式 法 第2课时　利用完全平方公式分解因式 1. 有下列多项式:① a2-a+;② 16x2+8x+1;③ 4x2+4x-1;④ m2x+6mnx+ 9n2x.其中,能利用完全平方公式分解因式的是 (　　) A. ①③　　 B. ①②④ C. ②③④　　 D. ①③④ 2. 有下列因式分解:① x3+2xy+x=x(x2+2y);② -a2+a-=-;③ x2-2x-8 =x(x-2)-8;④ -x2+4xy-4y2=-(x-2y)2.其中,正确的有 (　　) A. 1个　　 B. 2个 C. 3个　　　 D. 4个 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 3. 把下面各式因式分解: (1) (2023·无锡)4-4x+x2=　　　　;  (2) (2023·东营)3ma2-6mab+3mb2=　　 　　.　  4. 已知一个正方形的面积是9a2+6ab+b2(a>0,b>0),则该正方形的边长为 　　　　. (2-x)2 3m(a-b)2 3a+b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 利用因式分解计算: (1) 992+198+1; (2) 8002-1 600×798+7982; (3) 842-28×84+142; (4) 2.22+4.4×17.8+17.82. (1) 10 000　 (2) 4　 (3) 4900　 (4) 400 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. (教材P103习题4.5第1题变式)把下列各式因式分解: (1) (2023·常德)a3+2a2b+ab2; (2) 4x2-(x2+1)2; (3) (y2-1)2+6(1-y2)+9; (4) x2-10x(y+1)+25(y+1)2. (1) a(a+b)2　 (2) -(x+1)2(x-1)2　 (3) (y+2)2(y-2)2　 (4) (x-5y-5)2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 已知下列单项式:① 4m2;② 9b2a;③ 6a2b;④ 4n2;⑤ -4n2;⑥ -12ab; ⑦ -8mn;⑧ a3.请在以上单项式中选取三个组成一个能够先用提公因式法,再用公式法分解因式的多项式,并将这个多项式因式分解(写两个不同的式子). 4m2+4n2-8mn=4(m2+n2-2mn)=4(m-n)2,a3+9b2a+6a2b=a(a2+9b2+6ab)=a(a+ 3b)2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 如图,将图①中的图形拼成一个正方形(如图②),下列等式中与之相对应的是 (　　) A. a2+2ab+b2=(a+b)2 B. a2-2ab+b2=(a-b)2 C. a2-b2=(a+b)(a-b) D. a2b2=(ab)2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. (2024·广西)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为 (　　) A. 0　 B. 1 C. 4　 D. 9 10. 一个三角形的三边长分别为a,b,c.若M=c2,N=a2+2ab+b2,则M-N的值为 (　　) A. 正数 B. 负数 C. 正数或0 D. 负数或0 11. 若多项式x2-(m-1)x+16能用完全平方公式进行因式分解,则m=　　　 . D B 9或-7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. (教材P103习题4.5第2题变式)把下列各式因式分解: (1) -3ma2+12ma-12m; (2) (x2-2x+4)2-9; (3) (a+2b)2+2(a+2b-1)+3. (1) -3m(a-2)2　 (2) (x2-2x+7)(x-1)2　 (3) (a+2b+1)2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足a2-2ab+b2=ac-bc,试判断△ABC的形状,并说明理由. △ABC为等腰三角形　理由:∵ a2-2ab+b2=ac-bc,∴ (a-b)2=c(a-b).∴ (a-b)2-c(a-b)=0.∴ (a-b)·(a-b-c)=0.∵ a,b,c是△ABC的三边长,∴ a-b-c≠0.∴ a-b=0.∴ a=b.∴ △ABC为等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 我们已经学过利用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.其实,因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等. ① 分组分解法,如x2-2xy+y2-4=(x2-2xy+y2)-4=(x-y)2-4=(x-y+2)(x-y-2); ② 拆项法,如x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-4=(x+3)(x-1). 【问题解决】 (1) 选用上述方式对下面的多项式进行因式分解: ① 4x2+4x-y2+1; ② x2-6x+8. ① 4x2+4x-y2+1=(4x2+4x+1)-y2=(2x+1)2-y2=(2x+1+y)(2x+1-y)　 ② x2-6x+8= x2-6x+9-1=(x-3)2-1=(x-2)(x-4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 若a,b,c是△ABC的三条边,且a2+b2+c2-4a-4b-6c+17=0,求△ABC的周长. (2) ∵ a2+b2+c2-4a-4b-6c+17=0,∴ (a2-4a+4)+(b2-4b+4)+(c2-6c+9)=(a-2)2+ (b-2)2+(c-3)2=0.∴ 易得a=2,b=2,c=3.∴ a+b+c=2+2+3=7.∴ △ABC的周长为7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第四章　因式分解 第四章总结提升 考点一　因式分解与整式乘法 1. (2023·济宁)下列各式从左到右的变形中,因式分解正确的是 (　　) A. (a+3)2=a2+6a+9 B. a2-4a+4=a(a-4)+4 C. 5ax2-5ay2=5a(x+y)(x-y) D. a2-2a-8=(a-2)(a+4) 2. 把x2+5x+c因式分解的结果为(x+2)·(x+3),则c=　　　　. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 6 3. 计算如图①所示的正方形ABCD的面积时,分别从两个不同的角度进行操作,进而验证利用完全平方公式分解因式,即a2+2ab+b2=(a+b)2. (1) 请你利用上述方法在图②中验证一个与因式分解有关的恒等式; (1) 把题图②看作一个大正方形,得该大正方形 的面积为(a+b+c)2;把题图②看作由3个小正方 形和6个小长方形拼成的大正方形,得该大正方 形的面积为a2+ab+ac +ab +b2 +bc+ac+bc+c2=a2 +b2+c2+2ab+2ac+2bc.∴ a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc =(a+b+c)2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2) 试画出面积为2a2+3ab+b2的长方形的示意图(标注a,b),并根据画出的图形把多项式2a2+3ab+b2因式分解. (2) 如图所示　由图,知2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 考点二　因式分解的方法 4. 有下列多项式:① x2-y2;② x3+2;③ x2+4x;④ x2-10x+25.其中,能直接运用公式法因式分解的有 (　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 下列因式分解中,正确的是 (　　) A. 6x2y3=2x2·3y3 B. a(a+1)(a-1)=a3-a C. a2-2a+1=(a-1)2 D. x2+1=x 6. 多项式mx2-m和x2-2x+1的公因式为 (　　) A. x-1 B. x+1 C. x2-1 D. (x-1)2 B C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 7. 把下面各式因式分解: (1) (2023·扬州)xy2-4x=　　　 　;  (2) ax2-2ax+a=　　　　.  8. 以下是把多项式(x-2)2-4x+8因式分解的过程: 解:原式=(x-2)2-(4x-8)① =(x-2)2-4(x-2)② =(x-2)(x-2+4)③ =(x-2)(x+2)④ 其中,最开始出现错误的是　　　　(填序号). x(y+2)(y-2) a(x-1)2 ③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 9. 已知A=3x2-12,B=5x2y3+10xy3,C=(x+1)(x+3)+1,多项式A,B,C是否有公因式?若有,求出其公因式;若没有,请说明理由. 多项式A,B,C有公因式　∵ A=3x2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2),B=5x2y3+10xy3 =5xy3(x+2),C=(x+1)(x+3)+1=x2+4x+3+1=x2+4x+4=(x+2)2,∴ 多项式A,B,C的公因式为x+2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 10. 在对某二次三项式进行因式分解时,甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2(x-1)(x-9),而乙同学因看错了常数项而将其分解为2(x-2)(x-4),请你写出正确的二次三项式,并正确进行因式分解. 2(x-1)(x-9)=2x2-20x+18,2(x-2)(x-4)=2x2-12x+16.∵ 甲同学看错了一次项系数,乙同学看错了常数项,∴ 正确的二次三项式为2x2-12x+18.对其进行因式分解为2x2-12x+18=2(x-3)2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 考点三　因式分解的应用 11. 若k+1012-1=1022,则k的值为 (　　) A. 100 B. 101 C. 200 D. 204 12. 已知a,b,c为一个三角形的三条边长,则代数式(a-b)2-c2的值一定为 　　　　(填“正数”“负数”或“0”). D 负数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 13. 已知多项式:① x2-2xy;② x2-4y2;③ x2-4xy+4y2. (1) 把这三个多项式因式分解. (1) x2-2xy=x(x-2y),x2-4y2=(x+2y)(x-2y),x2-4xy+4y2=(x-2y)2　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2) 张老师:“三个等式①+②=③,①+③=②,②+③=①能否同时成立?” 林林:“只有当x=y=0时,三个等式能同时成立.” 你认为林林的说法正确吗?请说明理由. (2) 不正确　理由:∵ ①+②=③,∴ x(x-2y)+(x+2y)(x-2y)=(x-2y)2,即x(x-2y) +(x+2y)(x-2y)-(x-2y)2=0.∴ (x-2y)(x+4y)=0.∵ ①+③=②,∴ x(x-2y)+(x-2y)2=(x+2y)(x-2y),即x(x-2y)+(x-2y)2-(x+2y)(x-2y)=0.∴ (x-2y)(x-4y)=0.∵ ②+③=①,∴ (x+2y)(x-2y)+(x-2y)2=x(x-2y),即(x+2y)(x-2y)+(x-2y)2-x(x-2y) =0.∴ x(x-2y)=0.∵ 要使三个等式能同时成立,∴ x-2y=0或x+4y=x-4y=x=0,解得x=2y或x=y=0.∴ 林林的说法不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14. 小李在计算20242025-20242023时,发现其计算结果能被三个连续整数整除,则这三个连续整数是 (　　) A. 2024,2025,2026 B. 2023,2024,2025 C. 2022,2023,2024 D. 2021,2022,2023 15. 一位密码编译爱好者的密码手册中有这样一条信息:a-b,x-1,3,x2+1,a, x+1分别对应下列六个字:国、爱、我、数、学、祖,现将3a(x2-1)-3b(x2-1)因式分解,结果呈现的密码信息可能是 (　　) A. 爱数学 B. 我爱数学 C. 爱祖国 D. 我爱祖国 B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16. 已知实数n满足n2-n+1=0,则4n3-5n2+5n+11的值为 (　　) A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 17. 规定新运算:a⊕b=3a-2b,其中a=x2+2xy,b=3xy+6y2,则把a⊕b因式分解的结果是 (　　) A. 3(x+2y)(x-2y) B. 3(x-2y)2 C. 3(x2-4y2) D. 3(x+4y)(x-4y) 18. 已知实数x,y,z满足(x+z)2-4(x-y)(y+z)=0,则下列式子一定成立的是 (　　) A. x+y-z=0 B. x+y+2z=0 C. y-z-2x=0 D. -z+x-2y=0 A A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 19. (2024·威海)因式分解:(x+2)(x+4)+1=　　　　.  20. (2023·凉山)已知x2-2x-1=0,则3x3-10x2+5x+2027的值为　　　　.  21. 对于a,b,c,d,规定一种运算:=ad-bc,例如=1×4-2×3=-2,则把因式分解的结果是　　　　. (x+3)2 2 023 (x-3)2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 22. 设a=8582-1,b=8562+1 713,c=1 4292-1 1422,试比较a,b,c的大小. a=8582-1=(858-1)×(858+1)=857×859,b=8562+1 713=8562+856×2+1= (856+1)2=8572,c=1 4292-1 1422=(1 429+1 142)×(1 429-1 142)=2 571×287 =857×3×287=857×861.∵ 857<859<861,∴ 8572<857×859<857×861. ∴ b<a<c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23. 阅读与思考: 整式乘法与因式分解是方向相反的变形.由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,得x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解.例如:将式子x2+6x+8因式分解.分析:这个式子的常数项8=2×4,一次项系数6=2+4,所以x2+6x+8=x2+(2+4)x+2×4.解:x2+6x+8 =(x+2)(x+4). 请依照上面的方法,解答下列问题: (1) 因式分解:x2+7x+12; (1) x2+7x+12=(x+3)(x+4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2) 因式分解:(x2-3)2+(x2-3)-2; (3) 若x2+px-8可分解为两个一次因式的积,请写出整数p的所有可能的值. (2) (x2-3)2+(x2-3)-2=(x2-3-1)(x2-3+2)=(x2-4)(x2-1)=(x+2)·(x-2)(x+1)(x-1)　 (3) 由-8=(-1)×8=(-2)×4=(-4)×2=(-8)×1,知有四种情况:① (x-1)(x+8)= x2+7x-8,则p=7;② (x-2)(x+4)=x2+2x-8,则p=2;③ (x-4)(x+2)=x2-2x-8,则p= -2;④ (x-8)(x+1)=x2-7x-8,则p=-7.综上所述,整数p的所有可能的值为7,2, -2,-7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 $$第四章　因式分解 2　提公因式法 第2课时　公因式为多项式的因式分解 1. 下列各组多项式中,没有公因式的一组为 (　　) A. mx-my和ny-nx B. 2a-3b和4a2-6ab C. (a-b)2和(b-a)2 D. ab-ax和ab-bx 2. 将多项式x2y(a-b)-y(b-a)提公因式后,余下的部分是 (　　) A. x2+1 B. x2y+y C. x2-1 D. x+1 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 3. 把多项式m2(a-3)+m(3-a)因式分解的结果为 (　　) A. (a-3)(m2+m) B. (a-3)(m2-m) C. m(a-3)(m-1) D. m(a-3)(m+1) 4. 多项式6(x-y)3-4(y-x)2的公因式为　 　　　,因式分解的结果为 　　　 　　　.  5. 因式分解:(a-2)2+4(a-2)=　　 　　. C 2(x-y)2 2(x-y)2(3x-3y-2) (a-2)(a+2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. (教材P97例2变式)把下列各式因式分解: (1) (5a+2b)(2a-3b)+5a(5a+2b); (2) x(a-b)+y(b-a)+3(a-b); (3) (1+x)(1-x)-(x-1); (4) (a-3)2+2a-6; (5) 2a2(b-7)+7-b; (6) 5m(m-2n)2+10(2n-m)2. (1) (5a+2b)(7a-3b)　 (2) (a-b)(x-y+3)　 (3) (1-x)(x+2)　 (4) (a-3)(a-1)　 (5) (b-7)(2a2-1)　 (6) 5(m-2n)2(m+2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 先因式分解,再求值: (1) a(x-y)-b(y-x),其中x-y=2,a+b=3; (2) (x-5)(x+7)+(5-x)2-(x-5)·(2x-3),其中x=7. (1) 原式=(a+b)(x-y).当x-y=2,a+b=3时,原式=3×2=6　 (2) 原式=5(x-5).当x=7时,原式=5×(7-5)=10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且a+2ab=c+2bc,请判断△ABC的形状,并说明理由. △ABC是等腰三角形　理由:∵ a+2ab=c+2bc,∴ (a-c)+2b(a-c)=0.∴ (a-c)(1+2b)=0.∵ a,b,c是△ABC的三边长,∴ 1+2b>0.∴ a-c=0.∴ a=c.∴ △ABC是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 下列因式分解正确的是 (　　) A. mn(m-n)-m(n-m)=-m(n-m)·(n+1) B. 6(p+q)2-2(p+q)=2(p+q)(3p+q-1) C. 3(y-x)2+2(x-y)=(y-x)(3y-3x+2) D. 3x(x+y)-(x+y)2=(x+y)(2x+y) 10. 已知a-b-c=2,则a(a-b-c)-b(a-b-c)+c(b-a+c)=　　　　. A 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. (教材P98习题4.3第1题变式)把下列各式因式分解: (1) (x2+y-3)2-x2-y+3; (2) 2x(a-b)+14y(b-a); (3) (m-3n)2-5m+15n; (4) 2st2(s-t)2-8s2t(t-s). (1) (x2+y-3)(x2+y-4)　 (2) 2(a-b)(x-7y)　 (3) (m-3n)(m-3n-5)　 (4) 2st(s-t)(st-t2+4s) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. (教材P98习题4.3第2题变式)先因式分解,再求值: (1) 当m=2024时,求(m+1)2-m(m+1)的值; (2) 当x=0.4,m=-1时,求x(m+2)-4x(m+2)的值. (1) 原式=m+1.当m=2024时,原式=2024+1=2025　 (2) 原式=-3x(m+2).当x=0.4,m=-1时,原式=-3×0.4×(-1+2)=-1.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 先阅读下面因式分解的过程,再解决问题. 1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)(1+x)2=(1+x)3. (1) 上述因式分解的方法是　 　　　　,共运用了　　　　次;  (2) 若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2023,则需运用上述方法______次,结果是　　 　　;  (3) 利用因式分解计算:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数). 提公因式法 2 2 023 (1+x)2 024 (3) 原式=(1+x)n+1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第四章　因式分解 3　公 式 法 第1课时　利用平方差公式分解因式 1. (2024·云南)把3a2-12因式分解的结果为 (　　) A. 3(a-2)(a+2)　 B. 3(a2-4) C. (a-3)(a+4)　 D. a2(3-12a) 2. 把4x2-(y-z)2因式分解,其中一个因式为 (　　) A. 2x-y-z B. 2x+y-z C. 2x+y+z D. 4x-y+z 3. 把下列各式因式分解: (1) (2023·内江)x3-xy2=　　 　　;  (2) (2023·日照)a3b-ab=　　　 　;  (3) x4-16=　　 　　. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B x(x+y)(x-y) ab(a+1)(a-1) (x2+4)(x+2)(x-2) 4. 利用因式分解计算: (1) 27×33; (2) 5.9×6.1; (3) 99×100; (4) 20242-2025×2023. (1) 891　 (2) 35.99　 (3) 9999　 (4) 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 把下列各式因式分解: (1) (2023·赤峰)x3-9x; (2) (a+b)2-4a2; (3) x2(a-b)-9y2(a-b); (4) (1-a)2-(b-1)2. (1) x(x+3)(x-3)　 (2) (3a+b)(b-a)　 (3) (a-b)·(x+3y)(x-3y)　 (4) (a-b) (a+b-2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. (教材P101习题4.4第3题变式)如图,技术员小张在制作某种机器零件时,先要在半径为Rcm的圆形钢板中钻9个半径为rcm的圆形小孔,再将剩余部分涂上油漆.小张已测量出R=34,r=2,请你帮他算一下需要涂油漆的部分的面积是多少(结果保留π). πR2-9πr2=π(R+3r)(R-3r).当R=34,r=2时,原式=π(34+3×2)(34-3×2)=1120π.∴ 需要涂油漆的部分的面积是1120πcm2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 已知甲、乙、丙均为含x的整式,且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘的积为x2-9,乙与丙相乘的积为x2-3x,则甲与丙相乘的积为 (　　) A. 3x+3 B. x2+3x C. 3x-3 D. x2-3x 8. (2023·河北)若k为任意整数,则(2k+3)2-4k2的值总能 (　　) A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 若a+b=3,则a2+6b-b2的值为　　　　.  10. 某同学粗心大意,因式分解时,把式子中的2a4-⊕=2(a2-2b)(a2+2b)的一部分弄脏了,则式子中的 ⊕ 所对应的代数式为　　　　.  11. 若x+y+z=2,x2-(y+z)2=8,则x-y-z=　　　　. 9 8b2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图,四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形,设AB=acm,DE=bcm(a >b). (1) 求CG的长. (2) 观察图形,当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时,你能获得一个因式分解的公式吗?请将这个公式写出来. (1) CG=(a-b)cm　 (2) 能　a2-b2=(a+b)(a-b)　 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多16cm,它们的面积相差960cm2,试利用(2)中的公式,求a,b的值. (3) 由题意,得a-b=16①,a2-b2=(a+b)(a-b)=960,∴ a+b=60②. 由①②,解得a=38,b=22 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 先阅读下面的材料,再解决问题. 已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状. 解:∵ a2c2-b2c2=a4-b4①, ∴ c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)②. ∴ c2=a2+b2③. ∴ △ABC为直角三角形④. (1) 上述解题过程中,开始出现错误的是　　　　(填序号);  (2) 错误的原因是　　　　　　　　　;  ③ 没有考虑a2-b2=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 请你判断△ABC的形状(写出完整的解题过程). (3) ∵ a2c2-b2c2=a4-b4,∴ c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).∴ (a2+b2)(a2-b2)-c2(a2-b2) =0.∴ (a2+b2-c2)(a2-b2)=0.∴ a2+b2-c2=0或a2-b2=0或a2+b2-c2=0且a2-b2=0.当a2+b2-c2=0,即a2+b2=c2时,∵ a,b,c是△ABC的三边长,∴ △ABC为直角三角形.当a2-b2=0,即a2=b2时,∵ a,b,c是△ABC的三边长,∴ a>0,b>0.∴ a= b.∴ △ABC为等腰三角形.当a2+b2-c2=0且a2-b2=0,即a2+b2=c2且a2=b2时, ∵ a,b,c是△ABC的三边长,∴ 易得△ABC为等腰直角三角形.综上所述, △ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第四章　因式分解 1　因式分解 1. 把x2+3x+c因式分解得(x+1)(x+2),则c的值为 (　　) A. -2　 B. 2　 C. -1　 D. 1 2. 在横线上填上适当的整式. (1) 3x+6y=3·(　　　　);  (2) x2-4y2=(x+2y)·(　　　　);  (3) πx2+πy2-πz=π·(　　　　);  (4) 5m2n+10mn-25mn2=5mn·(　　　　).  B 1 2 3 4 5 6 7 x+2y x-2y x2+ y2-z m+2-5n 3. 如图,四边形ABCD是一个长方形,根据图中所标注的线段长度表示长方形ABCD的面积,可表达出一个有关多项式因式分解的等式:_________ 　　　　 . m2+2mn= m(m+2n) 1 2 3 4 5 6 7 4. 请利用a2+ab=a(a+b)解决下面的问题: (1) 简便运算:7.62+7.6×2.4; (2) 判断n2+n(n为整数)是奇数还是偶数. (1) 7.62+7.6×2.4=7.6×(7.6+2.4)=7.6×10=76　 (2) n2+n=n(n+1).若n为奇数,则n+1为偶数;若n为偶数,则n+1为奇数.∴ n与n+1始终一奇一偶.∴ n(n+1)为偶数,即n2+n是偶数 1 2 3 4 5 6 7 5. 若259+517能被n整除,则n的值可以是 (　　) A. 20 B. 30 C. 35 D. 40 6. 如图,直径为6的大圆内并排放置三个直径分别为d1,d2,d3的小圆(四个圆的圆心在同一条直线上),则阴影部分的周长为　　　　(结果保留π). B 12π 第6题 1 2 3 4 5 6 7 7. 仔细阅读下面的材料. 已知二次三项式x2-4x+m有一个因式为x+3,求另一个因式及m的值. 解:由题意,可设另一个因式为x+n,得x2-4x+m=(x+3)(x+n),则x2-4x+m=x2+ (n+3)x+3n. ∴ 解得 ∴ 另一个因式为x-7,m的值为-21. 仿照以上方法解答问题:已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式为2x-5,求另一个因式及k的值. 1 2 3 4 5 6 7 由题意,可设另一个因式为x+a,得2x2+3x-k=(2x-5)(x+a),则2x2+3x-k=2x2+ (2a-5)x-5a.∴ 解得∴ 另一个因式为x+4,k的值为20 1 2 3 4 5 6 7 $$第四章　因式分解 2　提公因式法 第1课时　公因式为单项式的因式分解 1. 下列多项式中,可以提取公因式的为 (　　) A. x2-y2 B. x2+x C. x2-y D. x2+2xy+y2 2. 将-a2b-ab2提取公因式-ab后,另一个因式为 (　　) A. a+2b B. -a+2b C. -a-b D. a-2b 3. 把多项式x2y5-xynz因式分解时,提取的公因式为xy5,则n的值可能为 (　　) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A A 4. 把多项式2x2y4-4xy2z因式分解,则提取的公因式为　　　　.  5. 把下面各式因式分解: (1) (2023·成都)m2-3m=　　　　;  (2) 4x3y3+6x3y-2xy=　　　 　　　.  6. (2023·十堰)若x+y=3,xy=2,则x2y+xy2的值是　　　　. 2xy2 m(m-3) 2xy·(2x2y2+3x2-1) 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 写出下列多项式中各项的公因式,并进行因式分解. (1) (2023·温州)2a2-2a; (2) 2a2b-6bc; (3) -3ax2 +6ax+12a; (4) 56x3yz+14x2y2z-21xy2z2. (1) 2a　2a(a-1)　 (2) 2b　2b(a2-3c)　 (3) -3a　-3a(x2-2x-4)　 (4) 7xyz　7xyz(8x2+2xy-3yz) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 若m+2n=1,则3m2+6mn+6n的值为 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 给出下列多项式:① 8y3+24y2+4y;② 32x3y+16xy2+28x3;③ 4x4-12x3+8x2;④ 8x3+4x2-24x.其中,公因式与多项式8x3+24x2+4x的公因式相同的是 　　　　(填序号). C ②④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. (教材P97习题4.2第2题变式)如图,把R1(欧)、R2(欧)、R3(欧)三个电阻串联起来,设线路AB上通过的电流为I(安),线路AB两端的电压为U(伏),则U=IR1+IR2+IR3.当R1=34.9,R2=20.8,R3=32.3,I=2.5时,求线路AB两端的电压. U=IR1+IR2+IR3=I·(R1+R2+R3).当R1=34.9,R2=20.8, R3=32.3,I=2.5时,原式=2.5×(34.9+20.8+32.3)=220. ∴ 线路AB两端的电压为220伏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 说理题: (1) 在学习过程中,小明发现:当n=1,2,3时,n2-6n的值都是负数.于是小明猜想:当n为任意正整数时,n2-6n的值都是负数.小明的猜想正确吗?请说明理由. (1) 不正确　理由:∵ n2-6n=n(n-6),∴ 当n为大于或等于6的正整数时,n2-6n的值为非负数.∴ 小明的猜想不正确.　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 5个连续整数的平方和是5的倍数吗?请说明理由. (2) 5个连续整数的平方和是5的倍数　理由:设5个连续整数分别是n-2,n-1,n,n+1,n+2,则它们的平方和为(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=n2-4n+4 +n2-2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4=5n2+10=5(n2+2).∵ n是整数,∴ n2+2是整数.∴ 5个连续整数的平方和是5的倍数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$第四章　因式分解 小专题(七)　因式分解及其常见应用 类型一　用于简便计算 1. 运用因式分解计算39×3.14+85×3.14-24×3.14的结果为 (　　) A. 314　 B. 264 C. 256　 D. 300 2. 用合理的方法计算:7.52×1.6-2.52×1.6=　　　　. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 80 3. 利用因式分解计算: (1) 729-30×27+152; (2) ×…×. (1) 144　 (2) 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 类型二　用于求值 4. 若2m-n=2,2m+n=3,则4m2+n2+4mn的值为 (　　) A. 4　 B. 6 C. 9　 D. 18 5. 若m3+2m-1=0,则2m4+m3+4m2-2024的值为 (　　) A. -2024　　　　 B. -2025 C. -2022　　　 　 D. -2023 6. 若a-b=3,则代数式a2+b2+6(a-b)-2ab的值为　　　　.  7. 若3a-2b=5,则9a2-4b2-20b+1的值为　　　　.  8. 若(b-c)2=4(1-b)(c-1),则b+c的值为　　　　. C D 27 26 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 阅读材料: 把代数式通过配凑等方法,得到局部完全平方式,再进行有关运算,这种解题方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用. ① 用配方法因式分解:a2+6a+8. 解:a2+6a+8=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3+1)(a+3-1)=(a+4)(a+2). ② 求a2+6a+8的最小值. 解:a2+6a+8=a2+6a+9-1=(a+3)2-1 ∵ (a+3)2≥0,∴ (a+3)2-1≥-1,即a2+6a+8的最小值为-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 请根据上述材料解决下列问题: (1) 在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式:a2+4a+　　　　;  (2) 因式分解:a2-10a+21; (3) 求4x2+4x+5的最小值. 4 (2) a2-10a+21=a2-10a+25-4=(a-5)2-4=(a-5+2)(a-5-2)=(a-3)(a-7)　 (3) 4x2+4x+5=4x2+4x+1+4=(2x+1)2+4.∵ (2x+1)2≥0,∴ (2x+1)2+4≥4,即4x2 +4x+5的最小值为4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 类型三　用于判断整除 10. 下列各数中,能将(-8)2024+(-8)2023整除的是 (　　) A. 3　 B. 5 C. 7　 D. 9 11. 对任意整数n,(2n+1)2-25的值都能 (　　) A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 12. 已知432-1可以被10到20之间的某两个整数整除,则这两个数是 (　　) A. 12,14 B. 13,15 C. 14,16 D. 15,17 C B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 随机写出一个十位上的数字与个位上的数字不相等的两位数,把它的十位上的数字与个位上的数字对调得到另一个两位数,并用较大的两位数减去较小的两位数,所得的差一定能被9整除吗?请说明理由. 所得的差一定能被9整除　理由:设该两位数个位上的数字是b(b≠0),十位上的数字是a,不妨令a>b,则这个两位数是10a+b.将十位上的数字与个位上的数字对调后的数是10b+a,则在这两个两位数中,较大的数减去较小的数的差是(10a+b)-(10b+a)=9a-9b=9(a-b).∵ a-b是正整数,∴ 所得的差一定能被9整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 类型四　用于判断与说理 14. 阅读材料: 若2m2+4mn+4n2-6m+9=0,求m,n的值. 解:∵ 2m2+4mn+4n2-6m+9=0,∴ (m2-6m+9)+(m2+4mn+4n2)=0.∴ (m-3)2 +(m+2n)2=0.∴ m=3,n=-. 根据你的观察,解答下列问题: (1) 已知一个三角形的三边长分别为a,b,c,且a,b,c都是正整数,并满足a2+ b2-2a-8b+17=0,则c=　　　　.  4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+c2+2b(b-a-c)=0,试判断△ABC的形状. (3) 关于x,y的代数式5x2+4xy+y2-6x+34是否存在最小值?若存在,求出最小值及此时x,y的值;若不存在,请说明理由. (2) ∵ a2+c2+2b(b-a-c)=a2+c2+2b2-2ab-2bc=(a-b)2+(b-c)2=0,∴ a-b=0,b-c=0. ∴ a=b,b=c.∴ a=b=c.∴ △ABC是等边三角形　 (3) 存在　∵ 5x2+4xy+y2-6x+34=(4x2+4xy+y2)+(x2-6x+9)+25=(2x+y)2+(x-3)2+25.∵ (2x+y)2≥0,(x-3)2≥0,∴ (2x+y)2+(x-3)2+25≥25.∴ 当2x+y=0,x-3=0,即x=3,y=-6时,代数式5x2+4xy+y2-6x+34有最小值,最小值为25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 先阅读下面的材料,再解决问题. 若一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差,则称这个正整数为“神秘数”.如4=4×1=22-02,12=4×3=42-22,20=4×5=62-42,因此4,12,20都是“神秘数”. (1) 28和2024这两个数是“神秘数”吗? (1) ∵ 28=4×7=82-62,∴ 28是“神秘数”.∵ 2024=4×506=5072-5052,∴ 2024不是“神秘数”　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 设两个连续偶数为2n和2n+2(n为非负整数),由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗?请说明理由. (2) 是4的倍数　理由:∵ (2n+2)2-(2n)2=4n2+8n+4-4n2=4(2n+1),且n为非负整数,∴ 由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3) 设两个连续的奇数为2m+1和2m+3(m为非负整数),这两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗?请说明理由. (3) 不是“神秘数”　理由:由(2),知“神秘数”可表示为4(2n+1),且n为非负整数.∴ 2n+1是奇数.∴ “神秘数”是4的倍数,一定不是8的倍数.∵ (2m+ 3)2-(2m+1)2=4m2+12m+9-4m2-4m-1=8m+8=8(m+1),且m为非负整数,∴ 这两个连续奇数的平方差是8的倍数.∴ 这两个连续奇数的平方差不是“神秘数”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$