模型突破01 30种特殊模型（二级结论）-2025届高考物理二轮专题讲义

2025届物理总复习·二轮·模型突破 模型突破01 大招秒杀之 30种特殊模型（二级结论） 物理模型是一种理想化的物理形态，是物理知识的一种直观表现，模型思维法是利用抽象、理想化、简化、类比等手段，突出主要因素，忽略次要因素，把研究对象的物理本质特征抽象出来，从而进行分析和推理的一种思维方法。 能够成为特定模型的，都是一些重要的结论或规律，所以要熟悉物理学中一些常见的二级结论。 1．竖平面内的等时圆模型 ( d d )▲模型：如图所示的两种情况中，小球由静止开始沿各条光滑 轨道（轨道的一端为圆的最高点或最低点）运动的时间相等，且等 于沿圆的直径做自由落体运动的时间。 即：（d为圆的直径，R为圆的半径） ( A B C )【例1】如图所示，两根长度分别为L1和L2的光滑杆AB和AC在A点垂直焊接，当按图 示方式固定在竖直平面内时，将一滑环从A点由静止释放，分别沿AB和AC滑到杆的底端所 用的时间相同，则下滑时间为（ ） ( A B C )A． B． C． D． 【答案】C 【解析】据题意，A、B、C处在一个等时圆上，圆的直径 下滑时间，C对 ( A B M N P ) ▲变式：若轨道两端都不为圆的最高点或最低点，则可另外构造等时圆 【例2】如图，竖直平面内有一圆，AB为其竖直直径，在圆上有两条光滑斜面轨道 PM与PN，M、N两端等高。现让一个小滑块从P点由静止开始，分别沿PM、PN下滑， 到达另一端所用时间分别为t1、t2，则 A．t1＜t2 B．t1＝t2 ( A B M N P A B M N P 按 PN 构造等时圆 按 PM 构造等时圆 )C．t1＞t2 D．无法确定t1与t2的大小关系 【答案】A 【解析】因为P不是圆的最高点，不符合等时圆规律 可按PN或按PM重新构造等时圆，如图所示 根据另两轨道的末端位置，易得A正确 ( α = 45 ° d A α 竖线 垂线 角平分线 β β β ＝ α / 2 )▲由等时圆规律，得到两种（光滑斜面）“最速线”： ①45°最速线：光滑斜面底边长度d一定，倾角为45°时， 由静止从斜面顶端运动到底端的时间最短 ②角平分最速线：从斜面外一点A引出一光滑斜轨道到 达斜面，当轨道沿竖线和垂线的角平分线时，由静止从轨道 顶端运动到底端的时间最短 2．妙招：匀变速直线运动的比例规律在n为非整数也成立 ▲模型：物体做初速为0的匀加速直线运动 （1）在相等的各段时间内的位移之比 :::…:＝1:3:5:…:（2n-1）（n为非整数也成立） （2）通过各段相等的位移所用的时间之比 :::…:＝1:（-1）:（-）:…:（-）（n为非整数也成立） 【例3】一物体从某一初速度开始做匀减速直线运动，加速度大小a＝1m/s2，最后停止下来。若物体在最初5s内通过的路程S1与最后5s内通过的路程S2之比S1∶S2＝11∶5，则物体（ ） A．运动的总时间可能大于10s B．运动的总时间为8s C．初速度为10m/s D．路程之差S1-S2＝15m 【答案】B 【解析】设运动总时间为n个5s，则S1∶S2＝11∶5＝（2n−1）∶1 解得n＝1.6，总时间为t＝8s，A错B对； 用逆程法得初速度v0＝at＝8m/s，C错； 由位移公式得，用逆程法得 则，D错 3．正反恒力等时复位模型（3倍力2倍速规律） ( O v v 1 v 2 = - 2 v 1 t x x /3 4 x /3 F 1 F 2 = 3 F 1 t 0 /3 2 t 0 /3 t 0 F 1 F 2 ＝ 3 F 1 a 1 a 2 ＝ 3 a 1 v 1 v 2 ＝ 2 v 1 x x /3 4 x /3 )▲模型：物体受恒力F1作用从静止开始做匀加速直线运动，经时间t速度大小为v1；此后受力变为反向的恒力F2，经等长时间t速度大小变为v2并返回出发点。则F2＝3F1（a2＝3a1），v2＝2v1。 【例4】质量为m的带正电小球由空中A点无初速度自由下落，在经时间t加上竖直向上、范围足够大的匀强电场，再经过时间t小球又回到A点，不计空气阻力且小球从未落地，重力加速度为g。则（ ） A．整个过程中小球电势能变化了 B．整个过程中小球动量增量的大小为 C．从加电场开始到小球运动到最低点时小球动能变化了 D．从A点到最低点小球重力势能变化了 【答案】BD 【解析】A：由等时复位规律，得所加电场力F电＝4mg。（加电场后，合力为重力的3倍，则电场力为重力的4倍） 自由下落高度，则加电场后经时间t上升的高度 电势能的变化量，A错； B：由等时复位规律，知整个过程末速度大小，则动量增量大小，B对； C：开始加电场时，运动到最低点时速度为0，则动能变化量，C错； D：由等时复位规律，知A点到最低点的高度， 则重力势能减小量，D对。 ( F 37 ° O )【例5】如图所示，足够长的光滑细杆倾斜37°固定，一质量m＝0.3kg的小环 套在杆上位于杆的底端O点。现对小环施加一个竖直向上的恒定拉力F，作用时间 t1＝3s后撤去该力，小环再经时间t2＝3s恰好返回杆的底端O点。取重力加速度g＝ 10m/s2，sin37°＝0.6，下列说法正确的有（ ） A．恒力F＝4N B．滑块返回O端时的速度为6m/s C．滑块上滑时间为4s D．力F做功36J 【答案】AC 【解析】小环重力沿杆方向的分力Gx＝mgsin37°＝1.8N。 ( F 37 ° O G x G x )沿杆方向为等时复位模型，则 ，A对； 有F时，由动量定理得 则返回O端时的速度，B错； 上滑时间，C对； 有F时的位移，F做的功，D错。 ▲注意：若出现“增加一个力”或“撤去一个力”情况，往往会出现“4倍力”等关系 （原来受F1作用，经时间t反方向增加一个力F2，再经时间t复位） 4．“恒力对恒角”动态平衡规律：对角垂直力最大 ▲模型：三共点力的动态平衡，如果存在一组恒力对恒角情况，则可用“对角垂直力最大”秒杀 ▲推导：拉密定理 ( A B O θ M ) ( 恒力 恒角 （ θ 1 ＝ 90 ° 时 F 1 最大）（ θ 1 偏离 90 ° 越远，则 F 1 越小） （ θ 2 ＝ 90 ° 时 F 2 最大）（ θ 2 偏离 90 ° 越远，则 F 2 越小） ) 【例6】如图所示，两根轻绳的一端系于结点O，另一端分别系于圆环上的A、B两点， O为圆心。O点悬挂一物体M，绳OA水平，拉力大小为FA；绳OB与OA的夹角θ＝150°， 绳OB的拉力大小为FB。将圆环在竖直平面内沿顺时针方向缓慢转过75°，则在转动过程中， 下列说法正确的是（ ） A．FA逐渐增大 B．FA先增后减 C．FB逐渐减小 D．FB先减后增 ( θ F A F B α β T ＝ G )【答案】BC 【解析】转动过程中， FA所对的角α从120°变到45°，中间取得90°时FA最大，所以FA先增后减，A错B对； FB所对的角β从90°变到165°，逐渐远离90°，所以FB逐渐减小，C对D错。 ( α β α v v 0 O M N P )5．平抛运动的2倍数规律 ▲规律：平抛及类平抛运动，速度反向延长交初速方向位移的中点， 速度偏转角的正切为位移偏转角正切的2倍。 如右图中N为OM的中点，tanα＝2tanβ。 【例7】如图所示，半径为R的半球形碗固定，碗口AB水平，O点为碗口的圆心。 将一弹性小球（可视为质点）从A点沿AB方向以初速度v1水平抛出，小球与碗内壁碰 撞一次后恰好经过B点；若将该小球从离O点处的C点以初速度v2水平抛出， 小球与碗内壁碰撞一次后恰好返回C点。假设小球与碗内壁碰撞前后瞬间小球的切向 速度不变，沿半径方向的速度等大反向，则v2与v1的比值为（ ） ( C ′ )A． B． C． D． 【答案】B 【解析】从A点抛出经过B点，由对称性知，落点为碗的最低点： 一段的水平位移，竖直位移 从C点抛出返回C点，可知小球沿碗的半径方向垂直落到碗内，碰撞后垂直反弹沿原路返回C点 落到碗内时速度方向反向延长必过碗的圆心O。由2倍数规律及几何关系知： 一个单程的水平位移，竖直位移 平抛速度，则，B对 ( v A B C D E F G H P ) 【例8】如图所示，在正方形ABCD区域内有平行于AB边的匀强电场，E、F、G、 H是各边中点，其连线构成正方形，其中P点是EH的中点。一个带正电的粒子（不计 重力）从F点沿FH方向射入电场后恰好从D点射出。以下说法正确的是（ ） A．粒子的运动轨迹一定经过P点 B．粒子的运动轨迹一定经过PH之间某点 ( O v A B C D E F G H P v ' )C．若将粒子的初速度变为原来的一半，粒子恰好由E点从AD边射出 D．若将粒子的初速度变为原来的一半，粒子会由ED之间某点从AD边射出 【答案】C 【解析】出D点时速度反向延长线正好过P点和正方形中心O点 则轨迹经过PE之间某点，A、B错 粒子从F点到达AD边上所用时间一定，易得C正确D错误 6．斜面上的定角抛射规律：落回时方向恒定 ( α θ α v 01 v 02 v 1 v 2 斜面上定角平抛，平行落回斜面 θ α α v 1 v 02 v 01 v 2 斜面上定角斜抛，平行落回斜面 )斜面上速度大小不同的定角抛射，落回斜面时方向平行 注意：这一条规律，是指过抛出点和 落地点作一个斜面，落到这个斜面上时速 度方向平行，而不是指落到同一个水平面 上时速度方向平行。 原因：斜面上平抛，直接由平抛运动 的2倍数规律可得。因为从斜面上抛出再 落到同一斜面上，位移偏转角确定，则速 度偏转角也确定，所以平行。 斜面上斜抛，参看下面的例题。（其实，相关的一切规律，都可由下面的例题得到） ( v 0 α β )【例9】如图所示，在倾角为α的足够长斜面上某点O以初速度v0抛出一小球，抛射方向与斜面下方的夹角为β，不计空气阻力，下列说法正确的有（ ） A．若α＝30°不变，同时保持v0大小不变，改变抛射角β（0＜β≤90°）， 则β越大，小球在斜面上的抛射距离越小 B．若α＝30°不变，同时保持v0大小不变，当β＝60°时，小球在斜面上的 抛射距离最大 C．保持α、β不变，以不同大小的v0抛出，小球落回斜面时的速度方向平行 D．只要β＞90°，小球在斜面上的落点一定在O点的上方 ( 到斜面的最远距离 射高 v 0 α β x y g g y α g x v 0 x v 0 y s v x v y v H )【答案】BC 【解析】 方法1：平行−垂直分解法。如图所示 y方向类似于竖直上抛运动，飞行时间 x方向匀加速运动，位移（即抛射距离） A：α＝30°为定值，0＜β≤90°，则−30°＜2β−α≤150°，随β增大，sin(2β−α)先增后减，则s也是先增后减，A错； B：α＝30°，当2β−α＝90°，即β＝60°时sin(2β−α)最大，则s也最大，B对； ( v 0 β α 垂直线 竖直线 水平线 )C：α、β均为定值，落回斜面时，y方向速度大小 x方向速度大小 则为定值，因而合速度方向确定，与v0大小无关，C对； D：如右图，若v0夹在垂直线与竖直线之间，即90°＜β≤90°+α，小球向斜面下方 ( v 0 α β s v 0 v y v 90 ° - α 90 ° + α - β )做斜抛运动，落点在O点以下，D错 方法2：速度、加速度分离法。如图所示 小球具有初速度v0和加速度g，可将小球的抛体运动看成两个分运动： 一个是以速度v0的匀速直线运动，经时间t的位移 另一个是以重力加速度g的自由落体运动，经时间t的位移 这两个分位移x、h和合位移s关系如图所示 由正弦定理得： 则： 又由正弦定理得： A、B选项分析同方法1，A错B对 C：以不同大小的初速度定向抛射，作出的矢量三角形相似，因而x与h之比为定值，即 ( x v 0 β h O P 竖 直 线 垂直线 )为定值，因而为定值 由此可得v0与vy的合速度v方向确定，C对； D：90°＜β≤90°+α时，由位移矢量图可见，无论抛出速度v0多大，落点P总在抛出点O以下，D错。 ▲定角抛射四规律（水平面上斜抛、斜面上平抛、斜面上斜抛、竖直上抛）： 以不同大小的初速度定角抛射， （1）落回速度平行规律：落回抛射面时速度方向彼此平行 （2）落回速度正比规律：落回抛射面时速度大小与初速度成正比 （3）射高平方正比规律：射高（离抛射面的最远距离）与初速度平方成正比 （4）射程平方正比规律：射程与初速度平方成正比 ▲变角抛射射程最远条件：（α：抛射面倾斜角；β：抛射方向与斜面下方的夹角） （如水平面上的斜抛运动，α＝0，β＝45°时射程最大） ( A B A B C v 0 ∆ v v x v 类水平方向 合外力方向 （类竖直方向） v 0 v ∆ v v x v 斜抛运动模型 C ) 7．初、末定速抛射，速度垂直射最远 物体受恒力作用而做匀变速曲线运动， 运动轨迹为抛物线，作初速度v0、末速度 v及速度变化∆v的矢量三角形ABC。 （1）三角形面积S△ABC反映水平（类水平）位移 ( v 0 v ∆ v v x )如图的斜抛运动，运动时间，水平射程 （2）若初、末速度大小确定，当它们方向垂直时三角形面积最大，则水平射程最大。 水平（类水平）射程最大时，从抛射点到落地点的射程也最大 ( α β v 0 v 0 v ＝ v 0 v ＝ v 0 ∆ v 射程最大 α ＝ 60 ° β =30 ° θ ＝ 45 ° 时 )从同一高度处，以大小确定的速度v0向不同方 向抛出物体，落到另外同一水平面上，则落地速度 v大小确定。当v与v0垂直时，水平射程最大。 特例：落地点与抛出点等高时，v＝v0 ①v与v0垂直时抛射角为45°，水平射程最大。 ②抛射角α＋抛射角β＝90°时，矢量三角形面积 ，水平射程相等。 【例10】在网球赛场上，若网球被击出的瞬间离地高度为h，初速度大小为v0，抛射角为θ，忽略空气阻力，网球可视为质点，下列说法正确的有（ ） A．当时水平射程最大 B．最大的水平射程 C．h越小，最大的水平射程对应的抛射角越接近45° D．网球落地前，其速度方向反向延长过其水平位移的中点 【答案】ABC ( v 0 v Δ v v x θ θ )【解析】由动能定理，得落地速度大小 v0与v大小都为定值，据前述规律知，当v0与v垂直时水平射程最大 ，A对； 设水平速度为vx，飞行时间为t，则水平射程 ，B对； 由选项A知，h越小，tanθ越接近于1，则θ越接近于45°，C对； （h＝0时，为水平面上的斜抛运动，抛射角为45°时水平射程最大） 速度方向反向延长过水平位移中点，只适应于平抛，D错。 【例11】质量m＝0.5kg的石块（视为质点）从距地面h＝8.75m高处斜向上方抛出（如图），初速度大小v0＝15m/s，不计空气阻力，g取10m/s2。 （1）求石块落地速度的大小v； （2）当石块初速度的仰角θ为多大时，落地点与抛出点的水平距离最大？最大值为多少？ ( h θ v 0 )（3）在水平射程最大的条件下，求石块在空中的飞行时间，及落地时石块重力的功率。 【答案】（1）20m/s；（2）约37°，30m；（3）80W 【解析】 （1）据动能定理得： （2）由水平位移最大规律，得 ( v 0 ＝ 15 m/s v ＝20 m/s 37 ° 37 ° ) 最大水平位移 （3）落地时重力的功率 ( h min R )8．竖直平面内圆周运动的临界问题（无阻力自由圆周运动） （1）初始最小高度 （2）两组临界速度 ①绳（圆内）模型：最高点最小速度，最低点最小速度 ②杆（圆管）模型：最高点最小速度，最低点最小速度 （3）最低点弹力的三个倍数 ①从圆心高度处由静止滚下，经最低点时压力等于重力的3倍：FN＝3mg ②从顶点高度处由静止滚下，经最低点时压力等于重力的5倍：FN＝5mg ③刚能转圈时（临界），经最低点时压力等于重力的6倍：FN＝6mg （4）最低点与最高点力的固定倍数差 ①向心力之差恒等于重力的4倍：∆Fn＝Fn底―Fn顶＝4mg ( O P l A B C l /2 )②弹力之差恒等于重力的6倍：∆FN＝F底―F顶＝6mg（与速度大小无关） 【例12】如图所示，质量为m的小球用一根长为l的细绳悬挂于O点，在O点 的正下方l/2高度处有一颗钉子P。将小球向左拉至细绳水平后由静止释放，小球摆 至最低点B时细绳被钉子挡住，关于小球经B点时下列说法正确的有（ ） A．小球的速率突然减半 B．小球圆周运动的角速度突然加倍 C．细绳的拉力突然加倍 D．细绳的拉力突然由3mg变为5mg 【答案】BD 9．圆周运动的动能口诀：力径减半得动能（无论什么力提供向心力，该结论都成立） ▲模型：做圆周运动的物体，向心力与轨道半径之积的一半，等于物体的动能 推导：（向心力） ( 2 r F m )【例13】如图所示，在光滑水平平台上，用一细线连接一质量为m的小球，细线 的另一端穿过中心的光滑小孔。当小球以2r为半径做匀速圆周运动时，细线下端竖直 向下的拉力为F。若逐渐增大拉力，将小球缓慢向内拉，当小球变为以r为半径做匀速 圆周运动时，细线下端的拉力变为6F。此过程中拉力所做的功为（ ） A．Fr B．2Fr C．3.5Fr D．6Fr 【答案】BD 【解析】用力径减半得到末态与初态的动能，再由动能定理得到拉力的功，易知B对 【说明】这是一个变力做功问题。在将球往内拉的过程中，不明确拉力是按什么规律变化的，所以无法用平均力求功。 不能认为平均力，从而得到拉力的功。 【例14】用“力径减半得动能”结论求动能： （1）质量为m的人造卫星绕地球（质量为M）做轨道半径为R的匀速圆周运动，其运动动能为 ； （2）质量为m的小球做圆锥摆运动，线长为L，细线与竖直方向成θ角时，小球运动的动能为 ； （3）基态氢原子电子绕核运动的轨道半径r＝0.53×10_10m，则电子运动动能为 eV。 ( L r θ θ mg Fn T O )【答案】（1）；（2）；（3）13.6 【解析】（1） （2） （3） ( O R A B C v 0 ) 【例15】如图所示，竖直平面内一圆形轨道半径为R，各处粗糙程度相同。质量 为m的小滑块开始向右运动经最低点A时对轨道的压力大小为8mg，自由运动到达 最高点C时对轨道的压力恰好为零。OB为水平半径，下列说法正确的有（ ） A．滑块从A点经半圈运动到C点，克服轨道摩擦力做功为3mgR B．滑块从A点经半圈运动到C点，克服轨道摩擦力做功为mgR C．滑块第一次经B点时，对轨道的压力大小为4mg D．滑块绕一圈回到A点时，对轨道的压力小于4mg 【答案】BD 10．重力三角板模型（两质点与悬挂点构成三角形） ( m 1 m 2 x 1 x 2 O C l 1 l 2 θ 1 θ 2 T 1 T 2 h m 2 g m 1 g F F T 1 T 2 )▲模型：质量分别为m1、m2的两质点，用长度分别为l1、l2的轻绳悬挂于O点，稳定时过O点的竖直线交两质点连线于C点（C为两质点构成系统的重心），则： ①距离关系：（杠杆平衡） ②角度关系：（同侧水平投影等长） ③拉力关系：（悬点水平平衡） 以上比例关系与质点间推斥力的大小无关； x1与x2、θ1与θ2、T1与T2的具体大小与质点间推斥力的大小有关。 【例16】如图所示，两个质量分别为mA和mB的带电小球A、B（视为质点） 通过一根绝缘轻绳跨放在光滑的定滑轮上（滑轮大小不计），两球静止，O为滑轮 正下方AB连线上的一个点。两球到O点距离分别为xA和xB，到滑轮的距离分别 为lA和lB，且lB＝2lA，细绳与竖直方向的夹角分别为θ1和θ2，两球电荷量分别为 qA和qB。则（ ） A．qB＝2qA B．θ2＝θ1 C．mB＝2mA D．xB＝2xA 【答案】BD ( O A B α β x A x B C )【例17】光滑半球形容器半径为R，用一根长度L＝的轻杆连接A、B两个小 球（视为质点）置于容器内，质量mA＝m0，mB＝m0，静止时过圆心O的竖直线交 轻杆于C点，容器对A、B两球的弹力大小分别为FA、FB，轻杆内的弹力大小为T， 其他各量如图中所示。则（ ） A． B． C． D． 【答案】AB ( A B F )11．连接体动力分配规律（动力分配跟质量成正比）（动力分配定比模型） ▲模型：如图，A、B两物体共同运动，B对A的弹力， 该弹力大小表现为“四个无关”： （前提：①两物体与支持面间动摩擦因数相同；②两物体间的弹力与运动方向平行） ①与动摩擦因数μ无关（不论是否光滑，不论μ大小如何，FN都相同） ②与运动状态无关（不论匀速还是变速运动，不论加速度大小，FN都相同） ③与连接方式无关（不论接触推动、连线拉动、摩擦带动、弹簧连接，FN都相同） ④与接触面是否倾斜无关（不论接触面水平、倾斜、竖直，FN都相同） ( A θ B F )【例18】如图，质量分别为m1、m2的A、B两物体与倾角为θ的斜面间动摩擦因数均为μ， 在平行于斜面的恒力F作用下沿斜面向上加速运动，则A、B两物体间的弹力FN（ ） A．为 B．为 C．为 D．与μ及θ有关 【答案】B 【例19】如图所示，光滑的斜面上，质量相同的两个物体A、B间用轻质弹簧相连。 用平行于斜面且大小为F的力拉物体A，两物体沿斜面向上匀速运动时，弹簧的长度为 l1；改用同样的力推物体B，两物体沿斜面向上匀速运动时，弹簧的长度为l2。弹簧的拉 伸或压缩均在弹性限度内，则该弹簧的劲度系数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 12．摩擦力做功的水平投影模型 ▲模型：物体沿斜面滑动摩擦力所做的功，等于它在斜面的水平投影面上（动摩擦因数相同）滑动摩擦力所做的功，即沿斜面滑动克服摩擦力的功|Wf|＝μmgs（s为水平投影的长度）。 【例20】三个斜面a、b、c的底边长与高分别如图中所示，某物体与这三个斜面间 的动摩擦因数都相同，这个物体分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端。关于物体三 种运动情况相比较，下列说法正确的有（ ） A．损失的机械能2∆Ea＝2∆Eb＝∆Ec B．减小的重力势能∆Epa＝2∆Epb＝∆Epc C．到达底端的动能Eka＝2Ekb＝2Ekc D．因摩擦产生的热量Qa＝2Qb＝2Qc 【答案】AB ( B C D R R A O R )【例21】如图所示，竖直平面内有一半径为R的1/4圆弧轨道与水平轨道相切 于最低点B。一个小物块（视为质点）从与圆心等高的A处由静止滑下，最后停在 水平轨道上的C处，BC＝R，物块与轨道各处的动摩擦因数均为μ。若将物块从A点 正上方R处由静止释放，最终停在水平轨道上的D处，BD＝s，则（ ） A．s＞ B．s＝ C．s＜ D．s＝2R 【答案】C 【解析】注意，这种模型只适应于斜面 若为曲面，因向心力会改变弹力，从而改变摩擦力，改变摩擦力的功 本题中，物体从高处落下经凹面时压力比原来情况要大，克服摩擦力做功要多，因而C正确 13．传送带能量折半模型 ▲模型：水平传送带匀速运动，物块由静止放上传送带，直到物块与传送带达到相同速度。该过程中，传送带所做的功，一半用来增大物块动能，一半用来摩擦生热。 （传送带多做的功，物块动能增量，摩擦生热） （传送带对地位移，等于物块对地位移的2倍，也等于传送带对物块相对位移的2倍。） 【例22】足够长的水平传送带以匀速传动，一质量为的小物块A由静止轻放于传送带上，直至小物体与传送带达到相对静止，该过程中转化为内能的能量为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 14．弹性碰撞质速关系4结论 ▲动碰静：碰前m1的速度为v1，m2静止；碰后， （1）等质量速度交换规律 ▲模型：两个质量相等的物体发生弹性正碰 （或类似于弹性碰撞过程），作用结果是发生速 度交换。 ( A B v 0 )【例23】如图所示，在光滑绝缘的水平面上相距L固定两个质量均为m、带同性电荷量均为q的小球A、B。现突然给A一个方向指向B、大小为v0的水平向右的速度，同时由静止放开B，A、B通过库仑斥力相互作用都做变速运动（运动中A、B未相碰）。当A、B间的距离重新恢复L时，A、B的速度分别为（ ） A．v0/2，向右；v0/2，向右 B．0；v0，向右 C．v0，向左；2v0，向右 D．无法确定，因不知m、q及L的具体大小 【答案】B 【解析】前后两情况A、B间距都为L，系统电势能相等，则总动能也相等 水平地面光滑，系统总动量守恒 因而两球作用过程类似于弹性碰撞，作用结果是速度交换，B正确 ( v 0 )【例24】质量为M的小车静止于光滑的水平面上，小车的上表面和1/4圆弧轨道均 光滑，如图所示。一个质量为m的小球（视为质点）以速度v0水平冲上小车，当小球重 新返回左端脱离小车时，下列说法正确的是（ ） A．小球一定水平向左做平抛运动 B．小球可能水平向左做平抛运动 C．小球可能水平向右做平抛运动 D．小球可能做自由落体运动 【答案】BCD 【解析】小球冲上去再返回圆弧最低点，系统总势能不变，则总动能也不变 水平地面光滑，系统水平方面总动量守恒 因而两者作用过程类似于弹性碰撞 若M=m，速度交换，m速度变为0而做自由落体运动，D对 若m>M，小球不反向，C对 若m<M，小球反向，B对 （2）小碰大原速反弹规律 ▲模型：质量很小的物体，以某一速度与静止的 质量很大的物体发生弹性正碰，碰后小物体几乎以原 速率（略小）弹回，大物体几乎不动 （3）大碰小2倍速弹出规律 ▲模型：质量很大的物体，以某一速度与静止的 质量很小的物体发生弹性正碰，碰后小物体以2倍速 度（略小）弹出，大物体速度几乎不变（略减小） （4）任意质量两物体发生弹性正碰，同物体碰撞前后速度矢量和相等 ▲模型：任意质量的两个物体发生弹性正碰，一个物体 碰前碰后速度矢量和，等于另一物体碰前碰后速度矢量和 ▲技巧：对于弹性碰撞，可用这个速度关系方程，和动 量守恒方程，构成二元一次方程组求解 ( A B v 0 2 v 0 )【例25】如图所示，大小相同的两小球A、B在光滑水平面上沿同一直线相向运动，A的质量为2m、速度大小为v0方向向右；B的质量为m、速度大小为2v0方向向左。两小球发生弹性正碰后（ ） A．小球A将静止 B．小球B将以2v0的速度反弹向右运动 C．小球A的动能将增加mv02 D．小球B的动量变化量的大小为4mv0 【答案】BD 【解析】碰前总动量为0，则碰后总动量也为0，得碰后速度大小vB＝2vA 弹性碰撞，则v0-vA＝-2v0+2vA，解得vA＝v0，所以vB＝2v0 15．等质量完全非弹性碰撞折半模型 ▲模型：一个运动物体，与另一个等质量 的静止物体发生完全非弹性正碰（或类似于完 全非弹性碰撞过程），碰撞后速度折半、总动 能折半（总动能损失一半、剩下一半） 【例26】在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球A、B，质量都为m。现B球静止，A球向B球运动，发生正碰。已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为EP，则碰前A球的速度等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】有一半动能转化为弹性势能，则 ，C对 ( v 0 )【例27】如图所示，质量为m的长木板静止放在光滑水平面上，另一质量也为m的小铁块（视为质点）以水平速度v0滑上长木板，与木板间的动摩擦因数为μ。为使铁块不从木板上掉下去，木板的长度至少应为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】一半动能用来摩擦生热，则 ，A对 【例28】如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示。下列图象中可能正确的是（ ） ( A B C D ) 【答案】AC ▲一般情况：动碰静完全非弹性正碰，总动能的损失： 【例29】如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量为M的滑块 静止在光滑水平地面上，一光滑小球以某一速度水平冲上滑块的圆 弧面，且没有从滑块上端冲出去。若测得在水平方向上小球与滑块 的速度大小分别为v1、v2，作出图像如图乙所示，重力加速度为g， 则下列说法正确的是（ ） A．小球的质量为 B．小球运动到最高点时的速度为 C．小球能够上升的最大高度为 D．乙中图线与纵轴交点状态，只能发生在≥的条件下 【答案】ABD 16．万有引力的黄金代换公式：（一般称为黄金代换，或黄金代换公式） ▲模型：质量为M、半径为R的星球，表面的重力加速度为g，则（不考虑星自转） 推导： 记住：引力势能，卫星动能，卫星机械能（取无穷远处为0） ( r R O )【例30】假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体，设想在以地心为圆心， 半径为r处开凿一圆形隧道，在隧道内有一小球环绕地心O做匀速圆周运动，且对 隧道内外壁的压力为零，如图所示。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为 零。地球的第一宇宙速度为v1，小球的线速度为v2，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B ( m 1 m 2 r 1 r 2 )17．双星反比模型 ▲模型：双星依靠大小相等的相互间的万有引力，绕共同的圆心做周期 （角速度）相等的匀速圆周运动，则运动的轨道半径跟星球的质量成反比， 即，或。，（L＝r1+r2）。 ( Q A B l 1 l 2 )【例31】（极限法，双星模型法）如图所示，天花板上有一可自由转动的光滑小环Q， 一轻绳穿过Q，两端分别连接质量为m1、m2的A、B小球，两小球平稳的在各自水平面内 做圆周运动，它们的周期相等，则A、B小球到Q的距离l1、l2的比值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B ▲质量规律： 中心天体质量： 双星总质量： 将双星系统视为一颗星绕另一颗星运动，将距离视为轨道半径，求中心天体质量即可 18．四大周期同一性规律（周期的单摆模型） ( 地表卫星运动 O R 地轴隧道内物体振动 O R 单摆简谐运动 O l ＝ R 圆锥摆运动 O h ＝ R )▲四种周期的单摆模型 ①地表卫星绕地球做圆周运动 ②设想沿地轴打通一条隧道， 隧道内物体以地心为中心简谐振动 ③单摆做简谐运动，摆长l＝R ④圆锥摆高h＝R（不是摆线长） 以上四种情况，物体的运动周期均为（单摆周期，圆锥摆周期） ( O h θ l O h θ l T mg F n θ r )圆锥摆周期的单摆模型 ▲模型：圆锥摆的周期公式： 即圆锥摆的周期，等于以圆锥高为摆长的单摆的周期 ▲推导： ①等高圆锥摆：h相同，则T（ω、f）相同 ②等长圆锥摆：l相同，若θ越大，则r越大，ω（f）越大，T越小 球面摆即为等长圆锥摆模型 ③等角圆锥摆：l越大，则T越大，ω（f）越小 等角漏斗摆即为等角圆锥摆模型 【例32】如图所示，转动轴垂直于光滑水平台面，与台面交点O的上方h处（A点）固定细绳的一端，细绳的另一端拴接一质量为m的小球B，绳长l大于h，转动轴带动小球在光滑水平面上做圆周运动。当转动的角速度ω逐渐增大时，下列说法正确的是（ ） ( ω l O A B θ )A．小球未离开台面时始终受三个力的作用 B．小球未离开台面时细绳上的拉力大小始终保持不变 C．小球未离开台面时，角速度≤ D．小球离开台面后在空中一个水平面内做圆周运动，角速度可能为＝ 【答案】C 19．附加恒力振子与单向恒力振子 （1）附加恒力振子（附加的恒力一般为：重力、匀强电场力、相对运动方向始终相同的滑动摩擦力、拉力或推力） 受力特点：除了弹簧的弹力外，振子在来、回振动的过程中，还附加受到其他大小和方向都恒定的外力作用（或附加外力的合力恒定） 运动特点：在弹性限度内，振子仍然做简谐运动，附加的恒定外力只改变振动的平衡位置，不改变振动规律，不改变振动周期。 ( P v 0 )【例33】如图所示，水平传送带以速度v0匀速传动。劲度系数为k的水平 轻质弹簧左端固定，右端连接质量为m的振子，振子与传送带间的动摩擦因数 为μ。振子位于P点时弹簧处于原长，现将振子从P点由静止轻放到传送带上， 振子在传送带上的运动速度始终小于v0，且振子不会离开传送带，弹簧始终在 弹性限度内。下列说法正确的有（ ） A．振子在传送带上来回做简谐运动 B．振子振动的最大速度为 C．增大传送带的速度v0，振子的振幅将增大 D．增大传送带的速度v0，振子的振动周期不变 【答案】ABD 【例34】如图所示，光滑水平桌面上，轻弹簧的左端固定，右端连接物体A，A和B通过细绳绕过轻小定滑轮连接，已知A的质量为mA，B的质量为mB，弹簧的劲度系数为k，不计滑轮质量及摩擦，重力加速度为g。开始时A位于O点，系统处于静止状态，A在P点时弹簧处于原长。现将A物体从P点由静止释放，A在运动过程中不会碰到滑轮，弹簧未超出弹性限度。已知弹簧振子做简谐运动的周期公式为，则下列说法正确的是（ ） A．物体A、B振动过程中，弹簧的最大弹性势能为 B．物体A、B的振动周期为 C．若物体B振动到最低点时细绳突然断掉，则经时间物体A第一次回到位置O D．若物体B振动到最低点时细绳突然断掉，则物体A回到位置O时的速度大小为 【答案】ACD 【解析】A：从P点释放，回复力F＝mBg，振幅 B下降到最低点时，B下降2A，最大弹性势能，A对； B：振动周期，B错； C：细绳断掉后，物体A振动的平衡位置变为P点，振幅变为A′＝2A，振动周期变为 第一次回到O点从振幅处运动到振幅的一半处，时间为，C对； D：回到O点时，弹簧伸长量变为最大值的，弹性势能变为最大值的，减小的转化为物体A的动能，则 ，D对。 ( O P T/ 4 T ′ / 6 绳断之前的平衡位置 O 绳断之后的平衡位置 P A A ′ t t ) （2）单向恒力振子（来、回恒力不同的原因，一般是因为来、回运动中滑动摩擦力方向相反） 受力特点：除了弹簧的弹力外，振子在向一边运动的过程中，还附加受到其他大小和方向都恒定的外力作用（或附加外力的合力恒定）；在返回向另一边运动的过程中，也附加受到其他大小和方向都恒定的外力作用（或附加外力的合力恒定）。但来、回运动过程中，附加的恒定合外力不同。 运动特点：在弹性限度内，振子来、回向一边运动各为简谐运动，但整个来回运动不是简谐运动。 【例35】如图所示，一轻质弹簧上端固定，下端与物块栓接，将物块上推使弹簧处于压缩状态，物块由静止释放后沿粗糙斜面向下运动至最低点，返回运动一段距离后停在斜面上。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取沿斜面向下为正方向，此过程中，物块的加速度a与位移x的关系图像正确的是（ ） ( A B C D a a a a O O O x O x x x ) 【答案】D ( m )【例36】如图所示，一根轻弹簧左端固定，右端连接一物块。弹簧的劲度系数为k， 物块质量为m，物块与地面的动摩擦因数为μ。现以水平向右的恒力F（F＞μmg）将物块 自弹簧原长位置向右拉动，物块在向右运动的过程中，下列说法正确的是（ ） A．物块的最大加速度大小为 B．弹簧系统的最大弹性势能为 C．物块的最大速度为 D．弹簧的弹力对物块的冲量大小等于恒力F的冲量大小 【答案】B 【解析】开始作用力F时具有最大回复力，最大加速度，A错； 振幅，最大弹性势能，B对； ，C错； 从最左边运动到最右边，恒力F、弹簧弹力、摩擦力的总冲量为0，弹簧的弹力对物块的冲量大小等于恒力F的冲量大小，D错。 20．附加径向力单摆与等效重力单摆 21．共线三电荷平衡规律 ( l q 1 q 中 r 1 r 2 q 2 )▲模型：共线的三个点电荷，只在相互间库仑力作用下同时平衡的条件是： ①电性要求：两同夹异 ②电量要求：两大夹小， ③距离要求：近小远大（l＝r1+r2）（两侧两个电荷，大的离中间电荷远，小的离中间电荷近） ::＝::＝::＝::＝:: :＝:（或写成） ( A B + q – 9 q 0.4 m )【例37】如图所示，真空中一条直线上有两个相距0.4m的点电荷A、B， A带电+q，B带电–9q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均只在电场 力作用下处于静止状态，则点电荷C的电性、电量、位置应为（ ） A．C带的电荷 B．C带的电荷 C．C位于A的左侧0.2m处 D．C位于A的右侧0.2m处 【答案】BC 22．等电荷中垂线最强点定角规律： 规律：如图所示，等量同性点电荷连线中垂线上电场最强的点为P，则θ角为定值，， ( d r A B + Q + Q P E 0 E ⊥ θ θ x O )θ角约为35.3°，P点到两电荷连线中点O的距离，最大场强。 推导：如图所示，只需推导E⊥取得最大值的条件。 现只需讨论函数的最大值问题 因为定值，由不等式性质得时y最大，E⊥最大，P点的合电场场强最大。 由上可得θ≈35.3°。 进一步可求得最大场强： 最大场强： 相应可得，P点场强最大时，P点到两电荷连线中点O的距离 说明：得到E⊥的函数关系后，也可用求导法得到E⊥取得最大值的条件 ( x y A C B D F 1 F 2 E F H G O + q 0 + q 0 )【例38】如图所示，在一个椭圆的两个焦点F1和F2上分别固定一个带电量为q0的正点电荷，在图示坐标系中，椭圆方向为（a＞b＞0），E、F、G、H为椭圆上关于原点O中心对称的四个点。已知点电荷Q所激发的电场中某点的电势公式为，其中Q是点电荷的电量，r是电场中该点 到点电荷的距离，k为静电力常量。则下列说法正确的有（ ） A．E点和G点场强相同 B．一正的试探电荷沿ABC运动，电场力先做正功后做负功 C．从B沿直线运动到D，场强先减小后增大 ( x y A C B D F 1 F 2 E F H G O + q 0 + q 0 P r 1 r 2 )D．椭圆上各点电势的最大值为 【答案】BD 【解析】 A：E点和G点电场方向不同，A错； B：设椭圆上某点P到F1、F2的距离分别为r1、r2，则P点的电势 ( P F 1 F 2 B O D θ )由不等式性质知，r1+r2＝2a为定值，则r1＝r2＝a时r1r2积最大，电势φ最小 而A、C两点，r1与r2相差最大，r1r2积最小，电势φ最大 沿ABC运动，电势先减小后增大，正电荷的电势能先减小后增大 则电场力先做正功后做负功，B对； C：若椭圆接近于圆，则两焦点靠近中心O场强最大的点P在椭圆内部， 从B到O，场强先增大（到P点时最大）后减小（到O点时为0）， 从O到D，场强先增大后减小。所以C错； D：由B的推导可知，椭圆上A、C两点电势最大。按图中A点计算 ( x y A C B D F 1 F 2 E F H G O b a )， D对 23．电场加速再电场偏转的同轨迹模型 ( U L y v v E m、q )▲模型：同性带电粒子由静止开始经过同一电场加速，再垂直进入同一匀强电场偏转，运动轨迹相同，不受粒子的质量和电荷量影响。 推导：经加速电场加速： 通过偏转电场的时间： 偏转距离：，与m、q无关，所以轨迹相同 ( + – + – E 1 E 2 )【例39】如图，氕、氘、氚三种原子核从同一位置无初速度飘入水平向右的加速 电场E1中，加速后再垂直进入竖直向下的匀强电场E2中，偏转后打在右方竖直的荧光 屏上。整个装置处在真空中，不计粒子重力及相互作用力，则这三种粒子（ ） A．打在屏上同一位置 B．打到屏上时速度大小相同 C．打到屏上时动能相同 D．整个过程的运动时间相同 【答案】AC 24．轨迹圆弦长垂直直径模型 ▲模型：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，轨迹圆的任意一条弦的长度d（实际问题中，这条弦长就是进出磁场边界的两点间距），由速度v垂直于这条弦的分速度v⊥决定，相当于以v⊥运动时的轨迹直径。 ( v v ⊥ R R ⊥ O O ´ 实际轨迹 等效半圆轨迹 B m 、 q θ θ 弦长 v R R ⊥ 实际轨迹 等效半圆轨迹 B N M v ⊥ )推导： 价值：带电粒子做类平抛运动时，沿初速度方向速度不变，如果这个初速度方向垂直于磁场边界，粒子进出磁场的两点间距离就为定值。 ( U 1 U 2 B d M N O v )【例40】如图所示，某带电粒子由静止开始经电压U1加速后， 平行于极板方向射入两平行极板之间的匀强偏转电场，偏转电压为 U2，穿过偏转电场后又垂直于磁场方向射入匀强磁场，磁场的左边 界线与偏转电场的中心线垂直。粒子进出磁场的M、N两点间的距 离用d表示，不计粒子重力，不考虑边缘效应，粒子不会打到极板 上。关于d的大小，下列说法正确的有（ ） A．U1越大，则d越大 B．U2越大，则d越大 C．偏转极板间的距离越大，则d越小 D．磁场的磁感应强度B越大，则d越小 【答案】AD 25．串联电压、并联电流测量中的比例模型 ( R 1 R 2 U V V )▲模型： 串联电阻R1、R2两端总电压U恒定，用电压表分别测R1、R2两端电压， 示数之比，与电压表内阻RV无关。 ，（注意：U1+U2＜U） ( I ) ( R 1 R 2 A A )并联电阻R1、R2中的总电流I恒定，用电流表分别测R1、R2中的电流， 示数之比，与电流表内阻RA无关。 ，（注意：I1+I2＜I） ( R 1 R 2 )【例41】如图所示，定值电阻R1与R2串联后接在电压恒为U＝14V的电路两端， 现用内阻为1kΩ的电压表分别测量R1、R2两端的电压，读数分别为2V和6V，则R1与 R2的阻值分别为（ ） A．1kΩ，3kΩ B．2kΩ，4kΩ C．3kΩ，6kΩ D．1kΩ，4kΩ 【答案】A 【解析】由分压规律得 测R1： 测R2：相当于将R1与R2互换，则 则：（这是一条非常重要的规律，与电压表内阻大小无关），A对 26．电源输出功率2结论 （1）最大输出功率条件：R＝r ▲模型：固定电源（电动势E，内阻r）给外电阻R供电，当R＝r时，电源的输出功率最大。 最大输出功率，此时电源的总功率，电源的效率η＝50%。 ( O α β I U a b )【例42】如图所示是某直流电路中电压随电流变化的图象，其中a、b分别表示 路端电压、负载电阻上电压随电流变化的情况，下列说法正确的是（ ） A．图中阴影部分的“面积”表示电源输出功率 B．图中阴影部分的“面积”表示电源的内阻上消耗的功率 C．当α＝β时，电源输出功率最大 D．当α＝β时，电源效率最高 【答案】AC 【解析】分析C：a线斜率表示电源内阻，b线斜率表示负载电阻 当α＝β时，负载电阻等于电源内阻，电源输出功率最大，C对 （2）等大输出功率条件：R1R2＝r2 ( V E ， r R 3 R 1 R 2 k a b )▲模型：固定电源（电动势E，内阻r）分别给外电阻R1、R2供电， 当R1R2＝r2时，电源的输出功率（即R1、R2消耗功率）相等。 【例43】如图所示电路中，电源电动势E恒定，内阻r＝5Ω，V为理想电压表， 定值电阻R3＝1Ω。当开关k断开与闭合时，ab段电路消耗的电功率相等。则（ ） A．电阻R1、R2可能分别为3Ω、6Ω B．电阻R1、R2可能分别为4Ω、5Ω C．k由断开到闭合，电压表的示数变大 D．k由断开到闭合，电源的效率变大 ( V E ， r R 3 R 1 R 2 k a b )【答案】B 【解析】如图，将虚线框内整体视为电源，等效内阻r′＝r+R3＝6Ω B：k断开时，ab段电阻为R1+R2＝9Ω；k闭合时，ab段电阻为R1＝4Ω 9×4＝62，符合规律，B对；同样方法验证，A错； C、D：k闭合，外电阻变小，电压表示数变小，C错；电源效率变小，D错。 27．磁场中的等大聚焦圆（发散圆）模型 ▲模型：带电粒子从圆形匀强磁场区域边缘（把磁场边缘的这个圆称为区域圆）上某点垂直进入磁场，只在洛伦兹力作用下而做匀速圆周运动（把这个圆称为轨迹圆），若轨迹圆与区域圆等大，则存在以下两组平行关系（这两组平行关系非常重要，是判定是否为磁聚焦和磁发散的重要依据）： ( 若轨迹圆与区域圆等大，则 OPCQ 为菱形，切 线与 OP 垂直， v 与 OC 垂直，则 v 与切线平行 图 甲 等大圆磁发散 图乙 等大圆磁聚焦 v （ 与切线平行） v 区域圆 轨迹圆 轨迹圆圆心 C 区域圆圆心 O 入射点区域圆切线 P Q O C )①入射速度与出射点处区域圆的切线平行；②出射速度与入射点处区域圆的切线平行 磁发散：若粒子以相同大小的速度，从区域圆边界上同一点沿不同方向垂直射入磁场，轨迹圆都与区域圆等大，粒子将从不同点相互平行射出磁场，我们把这种现象称为磁发散，如图甲所示。 磁聚焦：反过来，如果粒子以相同速度相互平行射入磁场，若轨迹圆与区域圆等大，则这些粒子将会聚于区域圆边缘上的同一点射出磁场，我们把这种现象称为磁聚焦，如图乙所示。 ( a b B q )【例44】如图所示，半径为R的一圆柱形匀强磁场区域的横截面（纸面），磁感应强度 大小为B，方向垂直于纸面向外。一电荷量为q（q＞0）、质量为m的粒子沿平行于直径ab 的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为R/2。已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向 间的夹角为60°，则粒子的速率为（不计重力）（ ） A． B． C． D． ( a b B q )【答案】B 【解析】本高考题看似只是一个小选择题，实则很不好解，要求考生平面几何基础要好 如果想到发散圆的特点，则极为方便 射入点与ab的距离为R/2，则射入点处磁场圆的切线与入射速度方向成60°角 而粒子射出磁场的速度也与入射速度成60°角，则说明轨迹圆与磁场圆等大，则 ，B对 ( R P Q E F O R )【例45】如图，圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场 （图中未画出），PQ、EF是其两条相互垂直的直径。在纸面内，有一束关于PQ 对称且宽度也为R的平行的带正电粒子，每个粒子完全相同，质量均为m、电荷 量均为q、速率均为v，其中最下边缘的粒子经磁场偏转后恰好从F点射出磁场。 不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（ ） A．磁场的方向垂直于纸面向里 B．所有粒子均从F点射出磁场 C．磁场的磁感应强度大小为 D．粒子在磁场中运动的最短时间为 【答案】BCD 28．半波有效值与分段有效值 （1）半波有效值：为全波的倍 模型：正半周与负半周变化规律相同的交流电，半波交流电的有效值，为全波有效值的倍。 【例46】关于如图所示的正弦交流电和方波交流电的有效值和周期，下列说法正确的有（ ） ( i / A i / A i / A i / A t / s t / s t / s t / s ) 【答案】C （2）分段有效值：为各段有效值的方均根平均值 模型：若交流电的每个周期等分为n段，各段时间内的有效值依次为I1、I2、…、In，则总的有效值（方均根平均值）（电压、电动势类似） ( 0 1 2 3 4 8 8 6 t /10 -2 s u / V )【例47】有一种信号电压如图所示，周期为0.04s。每一周期的前半周期 为正弦电压，最大值为6V；最后1/4周期为恒定电压8V。则该信号电压的有 效值为（ ） A．4V B．5V C．6V D．7V 【答案】B 29．变压器电路等效电阻模型 ( （等效电阻） ~ 等效变换 R n 1 n 2 电源 交流 电源 交流 ～ ～ )模型：理想变压器原、副线圈匝数比为n1:n2， 负载电阻为R。若将变压器和负载视为一个整体， 则其等效电阻的阻值。 推导：设副线圈电流为I2，则电压U2＝I2R； 原线圈电流，电压，则等效电阻 ( 乙 U R 2 甲 n 1 : n 2 U R 1 )【例48】如图所示，甲图中变压器为理想变压器，其原线圈接到U＝200V的 民用交流电源上，副线圈与阻值为R1的电阻接成闭合电路，乙图中阻值为R2电阻 直接接到电压U＝200V的交流电源上，结果发现R1与R2消耗功率恰好相等，则 可知变压器原、副线圈匝数之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】D ( R 1 R 2 R 3 S U A ) 【例49】如图所示，电阻R1＝3Ω，R2＝1Ω，R3＝4Ω，变压器、交流电流表A都是 理想的，正弦交流电源输出的电压有效值U恒定。开关S断开时，电流表A的示数为I； S闭合时，A的示数为4I。则变压器原、副线圈的匝数比为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B ( u MN / V )【例50】如图甲所示的电路中，变压器为理想变压器，原、 副线圈的匝数比为2:1，电压表和电流表均为理想电表，定值电 阻R1＝R2＝10Ω，M、N输入如图乙所示的电压，～时间 内为正弦曲线，则电压表和电流表的示数分别为（ ） A．V、A B．V、A C．16V、0.8A D．16V、0.2A 【答案】C 30．规律：球内过定点光线，垂直于半径时投射球面，入射角最大 ( O S P θ R d α O S P θ R d θ 角最大 )推导：如图所示，对三角形用正弦定理得 d与R为定值，则当α＝90°时θ角最大。 若是从光密介质射向光疏介质，则最易发生全反射。 ( O R n )【例51】为研究各种材料的透光性，实验小组将折射率为n的某种材料制成厚度极小、 半径为R的薄圆片置于真空中。现将一点光源置于该材料内部，会发现光源处于某些位置 时发出的光第一次到达圆形边缘时全部能够折射出圆形边界。实验小组将能满足这种现象 的光源的位置组成的区域命名为“全亮区”，则全光亮区的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，设点光源S到圆心O的距离为r，垂直于所在半径的光线投射到圆形 边缘对应的入射角最大。假设这一条光线刚好发生全反射，则临界角C满足： ( O R n S C r R ) 若S更靠近圆心O，则发出的所有光线都不会发生全反射 因而所求面积为，A对 【作业】 班次 座次 姓名 1．一辆汽车以某一速度在郊区的水平公路上运动，因前方交通事故紧急刹车而做匀减速直线运动，最后静止，汽车在最初3s内通过的位移与最后3s内通过的位移之比为x1︰x2＝5︰3，则汽车制动的总时间（ ） A．t＞6s B．t＝6s C．4s＜t＜6s D．t＝4s 【答案】D 【解析】设总时间t为n个3s，则由位移的比例规律得：（2n－1）∶1＝5∶3 解得 2．某质点做匀减速直线运动，经过s静止，则该质点在第1s内和第2s内的位移之比为（ ） A．7︰5 B．9︰5 C．11︰7 D．13︰7 ( R θ A B C 甲 乙 )【答案】D 3．如图所示，竖直平面内的光滑圆弧轨道最低点为C，A、B两点等高，对应的 半径OA、OB与竖直方向夹角很小（θ＜5°）。A、C之间有一光滑斜面轨道。两个 相同小球甲、乙分别从A、B两点同时由静止释放，甲沿斜面运动，乙沿圆弧运动。 关于两个小球从A、B两点运动到C点，下列说法正确的有（ ） A．甲先到达C点 B．两球同时到达C点 C．若减小θ角，甲的运动时间将变短 D．若减小θ角，乙的运动时间将不变 【答案】D 【解析】甲：等时圆模型，，C错； 乙：单摆模型，，单摆有等时性，D对； 由此得t甲＞t乙，A、B错。 ( P O A )4．如图所示，某物体自空中O点以水平初速度v0抛出，落在地面上的A点， 其轨迹为一抛物线。现仿此抛物线制作一个光滑滑道并固定在与OA完全重合的位 置上，然后将此物体从O点由静止释放，受微小扰动而沿此滑道滑下，在下滑过程 中物体未脱离滑道。P为滑道上一点，OP与竖直成45º角，则此物体（ ） A．由O运动到P点的时间为 B．经P点时速度的水平分量为 C．经P点时速度的竖直分量为 D．经P点时的速度大小为 【答案】B ( P O A v v x y x/2 M N v y θ θ )【解析】设平抛运动经时间t到达P点，则 而沿曲面轨道由静止滑下，竖直方向肯定比自由落体运动慢，因而时间必大于t，A错 平抛到P下落高度 由沿曲线轨道由静止滑到P点时的速度，D错 平抛轨迹切线过水平位移的中点，则 ，B对 ，C错 5．如图，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水 平抛出，经时间为t小球到达斜面，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ） A．以最小位移到达斜面，则 B．垂直击中斜面，则 ( θ β α v 0 v y v )C．击中斜面中点，则 D．无论怎样到达斜面，均为 【答案】AB 【解析】 以最小位移到达斜面，即位移垂直于斜面，位移偏转角β =（π/2）- θ 由平抛规律得 ( v y v θ v 0 ) A对 垂直击中斜面，则 B对 击中斜面中点，则 ( y x x θ ) C错 由上面的推导，显然D错 6．（超重失重模型）（2015年福建卷）如图，在竖直平面内，滑道ABC关于B点对称，且A、B、C三点在同一水平线上。若小滑块第一次由A滑到C，所用时间为t1，第二次由C滑到A，所用时间为t2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则（ ） A．t1＜t2 B．t1＝t2 C．t1＞t2 D．无法比较t1、t2的大小 【答案】A 【解析】分AB和BC两段分析 走AB段，速度越大压力越小，摩擦力越小 走BC段，速度越大压力越大，摩擦力越大 从A到C相对于从C到A，经AB段时，前一过程速度大，摩擦力小，克服摩擦力做功小 从A到C相对于从C到A，经BC段时，前一过程速度小，摩擦力小，克服摩擦力做功小 由此可见，经AB段和BC段，都是前一过程克服摩擦力做功较小，整体来说运动较快，时间较短，A正确 ( f f m M F )7．（动力分配定比模型）如图所示，一夹子夹住木块，在力F作用下向上提升。 夹子和木块的质量分别为m、M，夹子与木块两侧间的最大静摩擦力均为f。若木块 不滑动，力F的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法1：总分法 整体法：对整体有 隔离法：对木块有 解得：. 方法2：动力定比模型法 对于向上运动来说，两个摩擦力f提供木块的动力，拉力F提供整体的动力 动力分配与有无重力及运动方向无关，则： 8．（动力分配定比模型）如图，水平地面上有三个靠在一起的物块P、Q和R，质量分别为m、2m和3m，物块与地面间的动摩擦因数都为μ。用大小为F的水平外力推动物块P，记R和Q之间相互作用力与Q与P之间相互作用力大小之比为k。下列判断正确的是（ ） A．若μ≠0，则k＝ B．若μ≠0，则k＝ C．若μ＝0，则k＝ D．若μ＝0，则k＝ 【答案】BD 9．（力径减半）某人造地球卫星质量为m，绕地球做匀速圆周运动，离地高度等于地球半径R。已知地表重力加速度为g，则卫星运行时的动能大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】卫星所在处：重力为，半径为 则动能，B对 ( q 1 q 2 q 3 r 2 r )10．三个点电荷处在同一条直线上，电荷量及距离关系如图中所示，它们仅在相互间 的库仑力作用下都处于静止状态，则电荷量q1、q2、q3（负号表示电性）之比为（ ） A．（–9）:4:（–36） B．9:4:36 C．（–3）:2:（–6） D．3:2:6 【答案】A 11．（平抛模型法）空间中水平面MN下方有竖直向下的匀强电场，质量为m的带 电小球由MN上方的A点以一定初速度水平抛出，从B点进入电场，到达C点时速度 方向恰好水平，A、B、C三点共直线，且AB＝2BC，如图所示。由此可知（ ） A．小球带正电 B．小球在电场中受电场力大小为3mg C．小球运动时间tAB＝tBC D．过C点后小球水平匀速运动 ( v y t O t AB t B C )【答案】B 【解析】只看竖直方向的运动 A：进入电场后竖直方向减速，电场力必向上，小球带负电，A错 C：AB＝2BC，则竖直位移也是2:1，得tAB＝2tBC，C错 B：速度变化的大小相同，则加速大小aBC＝2aAB＝2g 由牛顿第二定律得F电-mg＝2mg，则F电＝3mg，B对 D：向上的电场力大于向下的重力，过C点后会返回向上转，D错 12．如图所示，轻绳一端受到大小为F的水平恒力作用，另一端通过定滑轮与质量为m、可视为质点的小物块相连。开始时绳与水平方向夹角为θ。当小物块从水平面上的A点被拖动到水平面上的B点时，位移为L，随后从B点沿斜面被拖动到定滑轮O处，BO间距离也为L。小物块与水平面及斜面间的动摩擦因数 均为μ，若小物块从A点运动到O点的过程中，F对小物块做的功为WF，小物块 在BO段运动过程中克服摩擦力做的功为Wf，则以下结果正确的是（ ） A．WF＝FL(cosθ＋1) B．WF＝2FLcosθ C．Wf＝μmgLcos2θ D．Wf＝FL－mgLsin2θ 【答案】BC ( 0 1 2 3 4 5 6 t/10 -2 s 1 -1 i / A )13．（方均根平均值）如图所示为某一交变电流的电流-时间（i-t） 图像，时间轴上方为最大值为1A的正弦交流电的一部分，则该交流电 的有效值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设电流有效值为I，记该电流通过电阻R，取一个周期T计算，则： ，C对 ( R a b A V )14．如图所示，一个理想变压器初级线圈的匝数为nl，a、b接交流电源；次级 线圈匝数为n2，与负载电阻R相连接，R＝40Ω。图中电压表示数为100V，初级线 圈电流为0.4A。则下列说法正确的是（ ） A．次级线圈中电流的最大值为1A B．初级和次级线圈的匝数比nl∶n2＝2∶5 C．如果将另一个阻值为R的电阻与负载电阻并联，图中电流表的示数为2A D．如果将另一个阻值为R的电阻与负载电阻串联，变压器消耗的电功率是80W 【答案】C 15．如图所示，电动机带动足够长的水平传送带以恒定速率v1匀速向右运动， 一质量为m的滑块从传送带右端以水平向左的速率v2（v2＞v1）滑上传送带，最终 滑块又返回至传送带的右端。就上述过程，下列判断正确的有（ ） A．滑块返回传送带右端的速率为 B．此过程中传送带对滑块做的功为 C．此过程中电动机对传送带多做的功为 D．此过程中滑块与传送带间摩擦生热为 【答案】AC 16．（动力分配规律）如图所示，在水平面上A、B物块通过轻弹簧相连，其中 A物体带电量为+q、质量为m1，B物体不带电、质量为m2，弹簧劲度系数为k，原 长为L。水平面处于水平向右的匀强电场中，电场强度为E，A、B一起向右做匀加 速直线运动，A、B与地面的动摩擦因数均为μ，则此时A、B间距为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】电场力提供整体的动力，为qE；弹簧对B的拉力kx提供B的动力，由分配规律得 则A、B间距为，C对 17．（附加恒力振子）如图所示，轻质弹簧的上端固定，下端连接一质量为m的金属小球，托住小球 使弹簧处于原长，在t＝0时由静止释放，一段时间内小球在竖直方向做周期为T的简谐运动。已知弹簧 的劲度系数为k，重力加速度为g，则（ ） A．小球振动的位移 B．小球振动的位移 C．小球相邻两次加速度大小为的时间为 D．小球相邻两次加速度大小为的时间为 【答案】D 【解析】 18．如图所示的弹簧振子静止在光滑绝缘斜面上，轻弹簧劲度系数为k，振子（与弹簧绝缘 相连）质量为m电荷量为+q。当施加一个沿斜面向上场强大小为E的匀强电场后（ ） A．小球做简谐振动 B．小球的机械能守恒 C．小球上滑的最大距离为 D．小球上滑过程中加速度先增后减 【答案】AC ( v / m · s -1 x / m )19．如图甲所示，物块以初速度v0＝6m/s从A点沿水平 方向冲上长为2m的传送带，并沿水平传送带滑到B点后水 平抛出，落到地面上的P点，平抛运动的水平距离记为x； 在v0一定的情况下，改变传送带的速度v，得到x-v关系图 像如图乙所示（规定向右为速度的正方向）。则（ ） A．B、P两点之间的高度差为0.8m B．物块与传送带间的动摩擦因数为0.5 C．当传送带的速度为2m/s时，物块到达B点的速度为4m/s D．当传送带的速度为20m/s时，平抛运动的水平距离为6.4m 【答案】D 20．如图，质量为m的滑块在水平向右的外力F作用下由静止开始沿水平面运动，运动过程中外力F随位移x的变化满足，已知滑块与桌面间的滑动摩擦因数（g为重力加速度），下列说法正确的是（ ) A．滑块向右运动的最大位移为 B．滑块最终能回到出发点 C．滑块运动的最大速度为 D．从开始运动到最终静止，物块与桌面摩擦生热为 【答案】CD 【解析】 ( E O B A m 、+ q R ) 21．（力径减半得动能）如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场，平行于 电场方向的竖直平面内有一内半径为R的光滑绝缘圆形轨道，A、B分别为圆的 最左点和最低点。有一质量为m的带正电小球在圆内自由转圈，经A点时对轨道 的压力大小为mg。已知小球所受电场力F电＝mg，则小球经B点时对轨道的压力 大小为（ ） A．3mg B．5mg C．7mg D．9mg 【答案】BD ( E O B A R F N 1 F N 2 F 电 mg A B F 电 mg )【解析】据题意，经A点时受轨道的弹力FN1＝mg，向心力Fn1＝2mg 设经B点时受轨道的弹力为FN2，则向心力Fn2＝FN2−mg 小球从A运动到B，位移大小为， 所受重力与电场力的合力大小为，方向也是A→B 由力径减半得动能，及动能定理得： 即小球经B点时对轨道的压力也为7mg，C对。 【说明】对于该题，绝大部分师生都会这样求解： 第1步：据A点的弹力得向心力，由向心力得速度 第2步：据动能定理得B点的速度 第3步：再据B点的速度，由向心力关系得弹力 这样解题，明显要麻烦得多 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届物理总复习·二轮·模型突破 模型突破01 大招秒杀之 30种特殊模型（二级结论） 物理模型是一种理想化的物理形态，是物理知识的一种直观表现，模型思维法是利用抽象、理想化、简化、类比等手段，突出主要因素，忽略次要因素，把研究对象的物理本质特征抽象出来，从而进行分析和推理的一种思维方法。 能够成为特定模型的，都是一些重要的结论或规律，所以要熟悉物理学中一些常见的二级结论。 1．竖平面内的等时圆模型 ( d d )▲模型：如图所示的两种情况中，小球由静止开始沿各条光滑 轨道（轨道的一端为圆的最高点或最低点）运动的时间相等，且等 于沿圆的直径做自由落体运动的时间。 即：（d为圆的直径，R为圆的半径） ( A B C )【例1】如图所示，两根长度分别为L1和L2的光滑杆AB和AC在A点垂直焊接，当按图 示方式固定在竖直平面内时，将一滑环从A点由静止释放，分别沿AB和AC滑到杆的底端所 用的时间相同，则下滑时间为（ ） A． B． C． D． ( A B M N P ) ▲变式：若轨道两端都不为圆的最高点或最低点，则可另外构造等时圆 【例2】如图，竖直平面内有一圆，AB为其竖直直径，在圆上有两条光滑斜面轨道 PM与PN，M、N两端等高。现让一个小滑块从P点由静止开始，分别沿PM、PN下滑， 到达另一端所用时间分别为t1、t2，则 A．t1＜t2 B．t1＝t2 C．t1＞t2 D．无法确定t1与t2的大小关系 ( α = 45 ° d A α 竖线 垂线 角平分线 β β β ＝ α / 2 )▲由等时圆规律，得到两种（光滑斜面）“最速线”： ①45°最速线：光滑斜面底边长度d一定，倾角为45°时， 由静止从斜面顶端运动到底端的时间最短 ②角平分最速线：从斜面外一点A引出一光滑斜轨道到 达斜面，当轨道沿竖线和垂线的角平分线时，由静止从轨道 顶端运动到底端的时间最短 2．妙招：匀变速直线运动的比例规律在n为非整数也成立 ▲模型：物体做初速为0的匀加速直线运动 （1）在相等的各段时间内的位移之比 :::…:＝1:3:5:…:（2n-1）（n为非整数也成立） （2）通过各段相等的位移所用的时间之比 :::…:＝1:（-1）:（-）:…:（-）（n为非整数也成立） 【例3】一物体从某一初速度开始做匀减速直线运动，加速度大小a＝1m/s2，最后停止下来。若物体在最初5s内通过的路程S1与最后5s内通过的路程S2之比S1∶S2＝11∶5，则物体（ ） A．运动的总时间可能大于10s B．运动的总时间为8s C．初速度为10m/s D．路程之差S1-S2＝15m 3．正反恒力等时复位模型（3倍力2倍速规律） ( O v v 1 v 2 = - 2 v 1 t x x /3 4 x /3 F 1 F 2 = 3 F 1 t 0 /3 2 t 0 /3 t 0 F 1 F 2 ＝ 3 F 1 a 1 a 2 ＝ 3 a 1 v 1 v 2 ＝ 2 v 1 x x /3 4 x /3 )▲模型：物体受恒力F1作用从静止开始做匀加速直线运动，经时间t速度大小为v1；此后受力变为反向的恒力F2，经等长时间t速度大小变为v2并返回出发点。则F2＝3F1（a2＝3a1），v2＝2v1。 【例4】质量为m的带正电小球由空中A点无初速度自由下落，在经时间t加上竖直向上、范围足够大的匀强电场，再经过时间t小球又回到A点，不计空气阻力且小球从未落地，重力加速度为g。则（ ） A．整个过程中小球电势能变化了 B．整个过程中小球动量增量的大小为 C．从加电场开始到小球运动到最低点时小球动能变化了 D．从A点到最低点小球重力势能变化了 ( F 37 ° O )【例5】如图所示，足够长的光滑细杆倾斜37°固定，一质量m＝0.3kg的小环 套在杆上位于杆的底端O点。现对小环施加一个竖直向上的恒定拉力F，作用时间 t1＝3s后撤去该力，小环再经时间t2＝3s恰好返回杆的底端O点。取重力加速度g＝ 10m/s2，sin37°＝0.6，下列说法正确的有（ ） A．恒力F＝4N B．滑块返回O端时的速度为6m/s C．滑块上滑时间为4s D．力F做功36J ▲注意：若出现“增加一个力”或“撤去一个力”情况，往往会出现“4倍力”等关系 （原来受F1作用，经时间t反方向增加一个力F2，再经时间t复位） 4．“恒力对恒角”动态平衡规律：对角垂直力最大 ▲模型：三共点力的动态平衡，如果存在一组恒力对恒角情况，则可用“对角垂直力最大”秒杀 ▲推导：拉密定理 ( A B O θ M ) ( 恒力 恒角 （ θ 1 ＝ 90 ° 时 F 1 最大）（ θ 1 偏离 90 ° 越远，则 F 1 越小） （ θ 2 ＝ 90 ° 时 F 2 最大）（ θ 2 偏离 90 ° 越远，则 F 2 越小） ) 【例6】如图所示，两根轻绳的一端系于结点O，另一端分别系于圆环上的A、B两点， O为圆心。O点悬挂一物体M，绳OA水平，拉力大小为FA；绳OB与OA的夹角θ＝150°， 绳OB的拉力大小为FB。将圆环在竖直平面内沿顺时针方向缓慢转过75°，则在转动过程中， 下列说法正确的是（ ） A．FA逐渐增大 B．FA先增后减 C．FB逐渐减小 D．FB先减后增 ( α β α v v 0 O M N P ) 5．平抛运动的2倍数规律 ▲规律：平抛及类平抛运动，速度反向延长交初速方向位移的中点， 速度偏转角的正切为位移偏转角正切的2倍。 如右图中N为OM的中点，tanα＝2tanβ。 【例7】如图所示，半径为R的半球形碗固定，碗口AB水平，O点为碗口的圆心。 将一弹性小球（可视为质点）从A点沿AB方向以初速度v1水平抛出，小球与碗内壁碰 撞一次后恰好经过B点；若将该小球从离O点处的C点以初速度v2水平抛出， 小球与碗内壁碰撞一次后恰好返回C点。假设小球与碗内壁碰撞前后瞬间小球的切向 速度不变，沿半径方向的速度等大反向，则v2与v1的比值为（ ） A． B． C． D． ( v A B C D E F G H P ) 【例8】如图所示，在正方形ABCD区域内有平行于AB边的匀强电场，E、F、G、 H是各边中点，其连线构成正方形，其中P点是EH的中点。一个带正电的粒子（不计 重力）从F点沿FH方向射入电场后恰好从D点射出。以下说法正确的是（ ） A．粒子的运动轨迹一定经过P点 B．粒子的运动轨迹一定经过PH之间某点 C．若将粒子的初速度变为原来的一半，粒子恰好由E点从AD边射出 D．若将粒子的初速度变为原来的一半，粒子会由ED之间某点从AD边射出 6．斜面上的定角抛射规律：落回时方向恒定 ( α θ α v 01 v 02 v 1 v 2 斜面上定角平抛，平行落回斜面 θ α α v 1 v 02 v 01 v 2 斜面上定角斜抛，平行落回斜面 )斜面上速度大小不同的定角抛射，落回斜面时方向平行 注意：这一条规律，是指过抛出点和 落地点作一个斜面，落到这个斜面上时速 度方向平行，而不是指落到同一个水平面 上时速度方向平行。 原因：斜面上平抛，直接由平抛运动 的2倍数规律可得。因为从斜面上抛出再 落到同一斜面上，位移偏转角确定，则速 度偏转角也确定，所以平行。 斜面上斜抛，参看下面的例题。（其实，相关的一切规律，都可由下面的例题得到） ( v 0 α β )【例9】如图所示，在倾角为α的足够长斜面上某点O以初速度v0抛出一小球，抛射方向与斜面下方的夹角为β，不计空气阻力，下列说法正确的有（ ） A．若α＝30°不变，同时保持v0大小不变，改变抛射角β（0＜β≤90°）， 则β越大，小球在斜面上的抛射距离越小 B．若α＝30°不变，同时保持v0大小不变，当β＝60°时，小球在斜面上的 抛射距离最大 C．保持α、β不变，以不同大小的v0抛出，小球落回斜面时的速度方向平行 D．只要β＞90°，小球在斜面上的落点一定在O点的上方 ▲定角抛射四规律（水平面上斜抛、斜面上平抛、斜面上斜抛、竖直上抛）： 以不同大小的初速度定角抛射， （1）落回速度平行规律：落回抛射面时速度方向彼此平行 （2）落回速度正比规律：落回抛射面时速度大小与初速度成正比 （3）射高平方正比规律：射高（离抛射面的最远距离）与初速度平方成正比 （4）射程平方正比规律：射程与初速度平方成正比 ▲变角抛射射程最远条件：（α：抛射面倾斜角；β：抛射方向与斜面下方的夹角） （如水平面上的斜抛运动，α＝0，β＝45°时射程最大） ( A B A B C v 0 ∆ v v x v 类水平方向 合外力方向 （类竖直方向） v 0 v ∆ v v x v 斜抛运动模型 C ) 7．初、末定速抛射，速度垂直射最远 物体受恒力作用而做匀变速曲线运动， 运动轨迹为抛物线，作初速度v0、末速度 v及速度变化∆v的矢量三角形ABC。 （1）三角形面积S△ABC反映水平（类水平）位移 ( v 0 v ∆ v v x )如图的斜抛运动，运动时间，水平射程 （2）若初、末速度大小确定，当它们方向垂直时三角形面积最大，则水平射程最大。 水平（类水平）射程最大时，从抛射点到落地点的射程也最大 ( α β v 0 v 0 v ＝ v 0 v ＝ v 0 ∆ v 射程最大 α ＝ 60 ° β =30 ° θ ＝ 45 ° 时 )从同一高度处，以大小确定的速度v0向不同方 向抛出物体，落到另外同一水平面上，则落地速度 v大小确定。当v与v0垂直时，水平射程最大。 特例：落地点与抛出点等高时，v＝v0 ①v与v0垂直时抛射角为45°，水平射程最大。 ②抛射角α＋抛射角β＝90°时，矢量三角形面积 ，水平射程相等。 【例10】在网球赛场上，若网球被击出的瞬间离地高度为h，初速度大小为v0，抛射角为θ，忽略空气阻力，网球可视为质点，下列说法正确的有（ ） A．当时水平射程最大 B．最大的水平射程 C．h越小，最大的水平射程对应的抛射角越接近45° D．网球落地前，其速度方向反向延长过其水平位移的中点 【例11】质量m＝0.5kg的石块（视为质点）从距地面h＝8.75m高处斜向上方抛出（如图），初速度大小v0＝15m/s，不计空气阻力，g取10m/s2。 （1）求石块落地速度的大小v； （2）当石块初速度的仰角θ为多大时，落地点与抛出点的水平距离最大？最大值为多少？ ( h θ v 0 )（3）在水平射程最大的条件下，求石块在空中的飞行时间，及落地时石块重力的功率。 ( h min R )8．竖直平面内圆周运动的临界问题（无阻力自由圆周运动） （1）初始最小高度 （2）两组临界速度 ①绳（圆内）模型：最高点最小速度，最低点最小速度 ②杆（圆管）模型：最高点最小速度，最低点最小速度 （3）最低点弹力的三个倍数 ①从圆心高度处由静止滚下，经最低点时压力等于重力的3倍：FN＝3mg ②从顶点高度处由静止滚下，经最低点时压力等于重力的5倍：FN＝5mg ③刚能转圈时（临界），经最低点时压力等于重力的6倍：FN＝6mg （4）最低点与最高点力的固定倍数差 ①向心力之差恒等于重力的4倍：∆Fn＝Fn底―Fn顶＝4mg ( O P l A B C l /2 )②弹力之差恒等于重力的6倍：∆FN＝F底―F顶＝6mg（与速度大小无关） 【例12】如图所示，质量为m的小球用一根长为l的细绳悬挂于O点，在O点 的正下方l/2高度处有一颗钉子P。将小球向左拉至细绳水平后由静止释放，小球摆 至最低点B时细绳被钉子挡住，关于小球经B点时下列说法正确的有（ ） A．小球的速率突然减半 B．小球圆周运动的角速度突然加倍 C．细绳的拉力突然加倍 D．细绳的拉力突然由3mg变为5mg 9．圆周运动的动能口诀：力径减半得动能（无论什么力提供向心力，该结论都成立） ▲模型：做圆周运动的物体，向心力与轨道半径之积的一半，等于物体的动能 推导：（向心力） ( 2 r F m )【例13】如图所示，在光滑水平平台上，用一细线连接一质量为m的小球，细线 的另一端穿过中心的光滑小孔。当小球以2r为半径做匀速圆周运动时，细线下端竖直 向下的拉力为F。若逐渐增大拉力，将小球缓慢向内拉，当小球变为以r为半径做匀速 圆周运动时，细线下端的拉力变为6F。此过程中拉力所做的功为（ ） A．Fr B．2Fr C．3.5Fr D．6Fr 【例14】用“力径减半得动能”结论求动能： （1）质量为m的人造卫星绕地球（质量为M）做轨道半径为R的匀速圆周运动，其运动动能为 ； （2）质量为m的小球做圆锥摆运动，线长为L，细线与竖直方向成θ角时，小球运动的动能为 ； （3）基态氢原子电子绕核运动的轨道半径r＝0.53×10_10m，则电子运动动能为 eV。 ( O R A B C v 0 ) 【例15】如图所示，竖直平面内一圆形轨道半径为R，各处粗糙程度相同。质量 为m的小滑块开始向右运动经最低点A时对轨道的压力大小为8mg，自由运动到达 最高点C时对轨道的压力恰好为零。OB为水平半径，下列说法正确的有（ ） A．滑块从A点经半圈运动到C点，克服轨道摩擦力做功为3mgR B．滑块从A点经半圈运动到C点，克服轨道摩擦力做功为mgR C．滑块第一次经B点时，对轨道的压力大小为4mg D．滑块绕一圈回到A点时，对轨道的压力小于4mg 10．重力三角板模型（两质点与悬挂点构成三角形） ( m 1 m 2 x 1 x 2 O C l 1 l 2 θ 1 θ 2 T 1 T 2 h m 2 g m 1 g F F T 1 T 2 )▲模型：质量分别为m1、m2的两质点，用长度分别为l1、l2的轻绳悬挂于O点，稳定时过O点的竖直线交两质点连线于C点（C为两质点构成系统的重心），则： ①距离关系：（杠杆平衡） ②角度关系：（同侧水平投影等长） ③拉力关系：（悬点水平平衡） 以上比例关系与质点间推斥力的大小无关； x1与x2、θ1与θ2、T1与T2的具体大小与质点间推斥力的大小有关。 【例16】如图所示，两个质量分别为mA和mB的带电小球A、B（视为质点） 通过一根绝缘轻绳跨放在光滑的定滑轮上（滑轮大小不计），两球静止，O为滑轮 正下方AB连线上的一个点。两球到O点距离分别为xA和xB，到滑轮的距离分别 为lA和lB，且lB＝2lA，细绳与竖直方向的夹角分别为θ1和θ2，两球电荷量分别为 qA和qB。则（ ） A．qB＝2qA B．θ2＝θ1 C．mB＝2mA D．xB＝2xA ( O A B α β x A x B C )【例17】光滑半球形容器半径为R，用一根长度L＝的轻杆连接A、B两个小 球（视为质点）置于容器内，质量mA＝m0，mB＝m0，静止时过圆心O的竖直线交 轻杆于C点，容器对A、B两球的弹力大小分别为FA、FB，轻杆内的弹力大小为T， 其他各量如图中所示。则（ ） A． B． C． D． ( A B F )11．连接体动力分配规律（动力分配跟质量成正比）（动力分配定比模型） ▲模型：如图，A、B两物体共同运动，B对A的弹力， 该弹力大小表现为“四个无关”： （前提：①两物体与支持面间动摩擦因数相同；②两物体间的弹力与运动方向平行） ①与动摩擦因数μ无关（不论是否光滑，不论μ大小如何，FN都相同） ②与运动状态无关（不论匀速还是变速运动，不论加速度大小，FN都相同） ③与连接方式无关（不论接触推动、连线拉动、摩擦带动、弹簧连接，FN都相同） ④与接触面是否倾斜无关（不论接触面水平、倾斜、竖直，FN都相同） ( A θ B F )【例18】如图，质量分别为m1、m2的A、B两物体与倾角为θ的斜面间动摩擦因数均为μ， 在平行于斜面的恒力F作用下沿斜面向上加速运动，则A、B两物体间的弹力FN（ ） A．为 B．为 C．为 D．与μ及θ有关 【例19】如图所示，光滑的斜面上，质量相同的两个物体A、B间用轻质弹簧相连。 用平行于斜面且大小为F的力拉物体A，两物体沿斜面向上匀速运动时，弹簧的长度为 l1；改用同样的力推物体B，两物体沿斜面向上匀速运动时，弹簧的长度为l2。弹簧的拉 伸或压缩均在弹性限度内，则该弹簧的劲度系数为（ ） A． B． C． D． 12．摩擦力做功的水平投影模型 ▲模型：物体沿斜面滑动摩擦力所做的功，等于它在斜面的水平投影面上（动摩擦因数相同）滑动摩擦力所做的功，即沿斜面滑动克服摩擦力的功|Wf|＝μmgs（s为水平投影的长度）。 【例20】三个斜面a、b、c的底边长与高分别如图中所示，某物体与这三个斜面间 的动摩擦因数都相同，这个物体分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端。关于物体三 种运动情况相比较，下列说法正确的有（ ） A．损失的机械能2∆Ea＝2∆Eb＝∆Ec B．减小的重力势能∆Epa＝2∆Epb＝∆Epc C．到达底端的动能Eka＝2Ekb＝2Ekc D．因摩擦产生的热量Qa＝2Qb＝2Qc ( B C D R R A O R )【例21】如图所示，竖直平面内有一半径为R的1/4圆弧轨道与水平轨道相切 于最低点B。一个小物块（视为质点）从与圆心等高的A处由静止滑下，最后停在 水平轨道上的C处，BC＝R，物块与轨道各处的动摩擦因数均为μ。若将物块从A点 正上方R处由静止释放，最终停在水平轨道上的D处，BD＝s，则（ ） A．s＞ B．s＝ C．s＜ D．s＝2R 13．传送带能量折半模型 ▲模型：水平传送带匀速运动，物块由静止放上传送带，直到物块与传送带达到相同速度。该过程中，传送带所做的功，一半用来增大物块动能，一半用来摩擦生热。 （传送带多做的功，物块动能增量，摩擦生热） （传送带对地位移，等于物块对地位移的2倍，也等于传送带对物块相对位移的2倍。） 【例22】足够长的水平传送带以匀速传动，一质量为的小物块A由静止轻放于传送带上，直至小物体与传送带达到相对静止，该过程中转化为内能的能量为（ ） A． B． C． D． 14．弹性碰撞质速关系4结论 ▲动碰静：碰前m1的速度为v1，m2静止；碰后， （1）等质量速度交换规律 ▲模型：两个质量相等的物体发生弹性正碰 （或类似于弹性碰撞过程），作用结果是发生速 度交换。 ( A B v 0 )【例23】如图所示，在光滑绝缘的水平面上相距L固定两个质量均为m、带同性电荷量均为q的小球A、B。现突然给A一个方向指向B、大小为v0的水平向右的速度，同时由静止放开B，A、B通过库仑斥力相互作用都做变速运动（运动中A、B未相碰）。当A、B间的距离重新恢复L时，A、B的速度分别为（ ） A．v0/2，向右；v0/2，向右 B．0；v0，向右 C．v0，向左；2v0，向右 D．无法确定，因不知m、q及L的具体大小 ( v 0 )【例24】质量为M的小车静止于光滑的水平面上，小车的上表面和1/4圆弧轨道均 光滑，如图所示。一个质量为m的小球（视为质点）以速度v0水平冲上小车，当小球重 新返回左端脱离小车时，下列说法正确的是（ ） A．小球一定水平向左做平抛运动 B．小球可能水平向左做平抛运动 C．小球可能水平向右做平抛运动 D．小球可能做自由落体运动 （2）小碰大原速反弹规律 ▲模型：质量很小的物体，以某一速度与静止的 质量很大的物体发生弹性正碰，碰后小物体几乎以原 速率（略小）弹回，大物体几乎不动 （3）大碰小2倍速弹出规律 ▲模型：质量很大的物体，以某一速度与静止的 质量很小的物体发生弹性正碰，碰后小物体以2倍速 度（略小）弹出，大物体速度几乎不变（略减小） （4）任意质量两物体发生弹性正碰，同物体碰撞前后速度矢量和相等 ▲模型：任意质量的两个物体发生弹性正碰，一个物体 碰前碰后速度矢量和，等于另一物体碰前碰后速度矢量和 ▲技巧：对于弹性碰撞，可用这个速度关系方程，和动 量守恒方程，构成二元一次方程组求解 ( A B v 0 2 v 0 )【例25】如图所示，大小相同的两小球A、B在光滑水平面上沿同一直线相向运动，A的质量为2m、速度大小为v0方向向右；B的质量为m、速度大小为2v0方向向左。两小球发生弹性正碰后（ ） A．小球A将静止 B．小球B将以2v0的速度反弹向右运动 C．小球A的动能将增加mv02 D．小球B的动量变化量的大小为4mv0 15．等质量完全非弹性碰撞折半模型 ▲模型：一个运动物体，与另一个等质量 的静止物体发生完全非弹性正碰（或类似于完 全非弹性碰撞过程），碰撞后速度折半、总动 能折半（总动能损失一半、剩下一半） 【例26】在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球A、B，质量都为m。现B球静止，A球向B球运动，发生正碰。已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为EP，则碰前A球的速度等于（ ） A． B． C． D． ( v 0 )【例27】如图所示，质量为m的长木板静止放在光滑水平面上，另一质量也为m的小铁块（视为质点）以水平速度v0滑上长木板，与木板间的动摩擦因数为μ。为使铁块不从木板上掉下去，木板的长度至少应为（ ） A． B． C． D． 【例28】如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示。下列图象中可能正确的是（ ） ( A B C D ) ▲一般情况：动碰静完全非弹性正碰，总动能的损失： 【例29】如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量为M的滑块 静止在光滑水平地面上，一光滑小球以某一速度水平冲上滑块的圆 弧面，且没有从滑块上端冲出去。若测得在水平方向上小球与滑块 的速度大小分别为v1、v2，作出图像如图乙所示，重力加速度为g， 则下列说法正确的是（ ） A．小球的质量为 B．小球运动到最高点时的速度为 C．小球能够上升的最大高度为 D．乙中图线与纵轴交点状态，只能发生在≥的条件下 16．万有引力的黄金代换公式：（一般称为黄金代换，或黄金代换公式） ▲模型：质量为M、半径为R的星球，表面的重力加速度为g，则（不考虑星自转） 推导： 记住：引力势能，卫星动能，卫星机械能（取无穷远处为0） ( r R O )【例30】假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体，设想在以地心为圆心， 半径为r处开凿一圆形隧道，在隧道内有一小球环绕地心O做匀速圆周运动，且对 隧道内外壁的压力为零，如图所示。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为 零。地球的第一宇宙速度为v1，小球的线速度为v2，则等于（ ） A． B． C． D． ( m 1 m 2 r 1 r 2 )17．双星反比模型 ▲模型：双星依靠大小相等的相互间的万有引力，绕共同的圆心做周期 （角速度）相等的匀速圆周运动，则运动的轨道半径跟星球的质量成反比， 即，或。，（L＝r1+r2）。 ( Q A B l 1 l 2 )【例31】（极限法，双星模型法）如图所示，天花板上有一可自由转动的光滑小环Q， 一轻绳穿过Q，两端分别连接质量为m1、m2的A、B小球，两小球平稳的在各自水平面内 做圆周运动，它们的周期相等，则A、B小球到Q的距离l1、l2的比值为（ ） A． B． C． D． ▲质量规律： 中心天体质量： 双星总质量： 将双星系统视为一颗星绕另一颗星运动，将距离视为轨道半径，求中心天体质量即可 18．四大周期同一性规律（周期的单摆模型） ( 地表卫星运动 O R 地轴隧道内物体振动 O R 单摆简谐运动 O l ＝ R 圆锥摆运动 O h ＝ R )▲四种周期的单摆模型 ①地表卫星绕地球做圆周运动 ②设想沿地轴打通一条隧道， 隧道内物体以地心为中心简谐振动 ③单摆做简谐运动，摆长l＝R ④圆锥摆高h＝R（不是摆线长） 以上四种情况，物体的运动周期均为（单摆周期，圆锥摆周期） ▲ ( O h θ l O h θ l T mg F n θ r )圆锥摆周期的单摆模型 ▲模型：圆锥摆的周期公式： 即圆锥摆的周期，等于以圆锥高为摆长的单摆的周期 ▲推导： ①等高圆锥摆：h相同，则T（ω、f）相同 ②等长圆锥摆：l相同，若θ越大，则r越大，ω（f）越大，T越小 球面摆即为等长圆锥摆模型 ③等角圆锥摆：l越大，则T越大，ω（f）越小 等角漏斗摆即为等角圆锥摆模型 【例32】如图所示，转动轴垂直于光滑水平台面，与台面交点O的上方h处（A点）固定细绳的一端，细绳的另一端拴接一质量为m的小球B，绳长l大于h，转动轴带动小球在光滑水平面上做圆周运动。当转动的角速度ω逐渐增大时，下列说法正确的是（ ） ( ω l O A B θ )A．小球未离开台面时始终受三个力的作用 B．小球未离开台面时细绳上的拉力大小始终保持不变 C．小球未离开台面时，角速度≤ D．小球离开台面后在空中一个水平面内做圆周运动，角速度可能为＝ 19．附加恒力振子与单向恒力振子 （1）附加恒力振子（附加的恒力一般为：重力、匀强电场力、相对运动方向始终相同的滑动摩擦力、拉力或推力） 受力特点：除了弹簧的弹力外，振子在来、回振动的过程中，还附加受到其他大小和方向都恒定的外力作用（或附加外力的合力恒定） 运动特点：在弹性限度内，振子仍然做简谐运动，附加的恒定外力只改变振动的平衡位置，不改变振动规律，不改变振动周期。 ( P v 0 )【例33】如图所示，水平传送带以速度v0匀速传动。劲度系数为k的水平 轻质弹簧左端固定，右端连接质量为m的振子，振子与传送带间的动摩擦因数 为μ。振子位于P点时弹簧处于原长，现将振子从P点由静止轻放到传送带上， 振子在传送带上的运动速度始终小于v0，且振子不会离开传送带，弹簧始终在 弹性限度内。下列说法正确的有（ ） A．振子在传送带上来回做简谐运动 B．振子振动的最大速度为 C．增大传送带的速度v0，振子的振幅将增大 D．增大传送带的速度v0，振子的振动周期不变 【例34】如图所示，光滑水平桌面上，轻弹簧的左端固定，右端连接物体A，A和B通过细绳绕过轻小定滑轮连接，已知A的质量为mA，B的质量为mB，弹簧的劲度系数为k，不计滑轮质量及摩擦，重力加速度为g。开始时A位于O点，系统处于静止状态，A在P点时弹簧处于原长。现将A物体从P点由静止释放，A在运动过程中不会碰到滑轮，弹簧未超出弹性限度。已知弹簧振子做简谐运动的周期公式为，则下列说法正确的是（ ） A．物体A、B振动过程中，弹簧的最大弹性势能为 B．物体A、B的振动周期为 C．若物体B振动到最低点时细绳突然断掉，则经时间物体A第一次回到位置O D．若物体B振动到最低点时细绳突然断掉，则物体A回到位置O时的速度大小为 （2）单向恒力振子（来、回恒力不同的原因，一般是因为来、回运动中滑动摩擦力方向相反） 受力特点：除了弹簧的弹力外，振子在向一边运动的过程中，还附加受到其他大小和方向都恒定的外力作用（或附加外力的合力恒定）；在返回向另一边运动的过程中，也附加受到其他大小和方向都恒定的外力作用（或附加外力的合力恒定）。但来、回运动过程中，附加的恒定合外力不同。 运动特点：在弹性限度内，振子来、回向一边运动各为简谐运动，但整个来回运动不是简谐运动。 【例35】如图所示，一轻质弹簧上端固定，下端与物块栓接，将物块上推使弹簧处于压缩状态，物块由静止释放后沿粗糙斜面向下运动至最低点，返回运动一段距离后停在斜面上。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取沿斜面向下为正方向，此过程中，物块的加速度a与位移x的关系图像正确的是（ ） ( A B C D a a a a O O O x O x x x ) ( m )【例36】如图所示，一根轻弹簧左端固定，右端连接一物块。弹簧的劲度系数为k， 物块质量为m，物块与地面的动摩擦因数为μ。现以水平向右的恒力F（F＞μmg）将物块 自弹簧原长位置向右拉动，物块在向右运动的过程中，下列说法正确的是（ ） A．物块的最大加速度大小为 B．弹簧系统的最大弹性势能为 C．物块的最大速度为 D．弹簧的弹力对物块的冲量大小等于恒力F的冲量大小 20．附加径向力单摆与等效重力单摆 21．共线三电荷平衡规律 ( l q 1 q 中 r 1 r 2 q 2 )▲模型：共线的三个点电荷，只在相互间库仑力作用下同时平衡的条件是： ①电性要求：两同夹异 ②电量要求：两大夹小， ③距离要求：近小远大（l＝r1+r2）（两侧两个电荷，大的离中间电荷远，小的离中间电荷近） ::＝::＝::＝::＝:: :＝:（或写成） ( A B + q – 9 q 0.4 m )【例37】如图所示，真空中一条直线上有两个相距0.4m的点电荷A、B， A带电+q，B带电–9q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均只在电场 力作用下处于静止状态，则点电荷C的电性、电量、位置应为（ ） A．C带的电荷 B．C带的电荷 C．C位于A的左侧0.2m处 D．C位于A的右侧0.2m处 22．等电荷中垂线最强点定角规律： 规律：如图所示，等量同性点电荷连线中垂线上电场最强的点为P，则θ角为定值，， ( d r A B + Q + Q P E 0 E ⊥ θ θ x O )θ角约为35.3°，P点到两电荷连线中点O的距离，最大场强。 推导：如图所示，只需推导E⊥取得最大值的条件。 现只需讨论函数的最大值问题 因为定值，由不等式性质得时y最大，E⊥最大，P点的合电场场强最大。 由上可得θ≈35.3°。 进一步可求得最大场强： 最大场强： 相应可得，P点场强最大时，P点到两电荷连线中点O的距离 说明：得到E⊥的函数关系后，也可用求导法得到E⊥取得最大值的条件 ( x y A C B D F 1 F 2 E F H G O + q 0 + q 0 )【例38】如图所示，在一个椭圆的两个焦点F1和F2上分别固定一个带电量为q0的正点电荷，在图示坐标系中，椭圆方向为（a＞b＞0），E、F、G、H为椭圆上关于原点O中心对称的四个点。已知点电荷Q所激发的电场中某点的电势公式为，其中Q是点电荷的电量，r是电场中该点 到点电荷的距离，k为静电力常量。则下列说法正确的有（ ） A．E点和G点场强相同 B．一正的试探电荷沿ABC运动，电场力先做正功后做负功 C．从B沿直线运动到D，场强先减小后增大 D．椭圆上各点电势的最大值为 23．电场加速再电场偏转的同轨迹模型 ( U L y v v E m、q )▲模型：同性带电粒子由静止开始经过同一电场加速，再垂直进入同一匀强电场偏转，运动轨迹相同，不受粒子的质量和电荷量影响。 推导：经加速电场加速： 通过偏转电场的时间： 偏转距离：，与m、q无关，所以轨迹相同 ( + – + – E 1 E 2 )【例39】如图，氕、氘、氚三种原子核从同一位置无初速度飘入水平向右的加速 电场E1中，加速后再垂直进入竖直向下的匀强电场E2中，偏转后打在右方竖直的荧光 屏上。整个装置处在真空中，不计粒子重力及相互作用力，则这三种粒子（ ） A．打在屏上同一位置 B．打到屏上时速度大小相同 C．打到屏上时动能相同 D．整个过程的运动时间相同 24．轨迹圆弦长垂直直径模型 ▲模型：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，轨迹圆的任意一条弦的长度d（实际问题中，这条弦长就是进出磁场边界的两点间距），由速度v垂直于这条弦的分速度v⊥决定，相当于以v⊥运动时的轨迹直径。 ( v v ⊥ R R ⊥ O O ´ 实际轨迹 等效半圆轨迹 B m 、 q θ θ 弦长 v R R ⊥ 实际轨迹 等效半圆轨迹 B N M v ⊥ )推导： 价值：带电粒子做类平抛运动时，沿初速度方向速度不变，如果这个初速度方向垂直于磁场边界，粒子进出磁场的两点间距离就为定值。 ( U 1 U 2 B d M N O v )【例40】如图所示，某带电粒子由静止开始经电压U1加速后， 平行于极板方向射入两平行极板之间的匀强偏转电场，偏转电压为 U2，穿过偏转电场后又垂直于磁场方向射入匀强磁场，磁场的左边 界线与偏转电场的中心线垂直。粒子进出磁场的M、N两点间的距 离用d表示，不计粒子重力，不考虑边缘效应，粒子不会打到极板 上。关于d的大小，下列说法正确的有（ ） A．U1越大，则d越大 B．U2越大，则d越大 C．偏转极板间的距离越大，则d越小 D．磁场的磁感应强度B越大，则d越小 25．串联电压、并联电流测量中的比例模型 ( R 1 R 2 U V V )▲模型： 串联电阻R1、R2两端总电压U恒定，用电压表分别测R1、R2两端电压， 示数之比，与电压表内阻RV无关。 ，（注意：U1+U2＜U） ( I ) ( R 1 R 2 A A )并联电阻R1、R2中的总电流I恒定，用电流表分别测R1、R2中的电流， 示数之比，与电流表内阻RA无关。 ，（注意：I1+I2＜I） ( R 1 R 2 )【例41】如图所示，定值电阻R1与R2串联后接在电压恒为U＝14V的电路两端， 现用内阻为1kΩ的电压表分别测量R1、R2两端的电压，读数分别为2V和6V，则R1与 R2的阻值分别为（ ） A．1kΩ，3kΩ B．2kΩ，4kΩ C．3kΩ，6kΩ D．1kΩ，4kΩ 26．电源输出功率2结论 （1）最大输出功率条件：R＝r ▲模型：固定电源（电动势E，内阻r）给外电阻R供电，当R＝r时，电源的输出功率最大。 最大输出功率，此时电源的总功率，电源的效率η＝50%。 ( O α β I U a b )【例42】如图所示是某直流电路中电压随电流变化的图象，其中a、b分别表示 路端电压、负载电阻上电压随电流变化的情况，下列说法正确的是（ ） A．图中阴影部分的“面积”表示电源输出功率 B．图中阴影部分的“面积”表示电源的内阻上消耗的功率 C．当α＝β时，电源输出功率最大 D．当α＝β时，电源效率最高 （2）等大输出功率条件：R1R2＝r2 ( V E ， r R 3 R 1 R 2 k a b )▲模型：固定电源（电动势E，内阻r）分别给外电阻R1、R2供电， 当R1R2＝r2时，电源的输出功率（即R1、R2消耗功率）相等。 【例43】如图所示电路中，电源电动势E恒定，内阻r＝5Ω，V为理想电压表， 定值电阻R3＝1Ω。当开关k断开与闭合时，ab段电路消耗的电功率相等。则（ ） A．电阻R1、R2可能分别为3Ω、6Ω B．电阻R1、R2可能分别为4Ω、5Ω C．k由断开到闭合，电压表的示数变大 D．k由断开到闭合，电源的效率变大 27．磁场中的等大聚焦圆（发散圆）模型 ▲模型：带电粒子从圆形匀强磁场区域边缘（把磁场边缘的这个圆称为区域圆）上某点垂直进入磁场，只在洛伦兹力作用下而做匀速圆周运动（把这个圆称为轨迹圆），若轨迹圆与区域圆等大，则存在以下两组平行关系（这两组平行关系非常重要，是判定是否为磁聚焦和磁发散的重要依据）： ( 若轨迹圆与区域圆等大，则 OPCQ 为菱形，切 线与 OP 垂直， v 与 OC 垂直，则 v 与切线平行 图 甲 等大圆磁发散 图乙 等大圆磁聚焦 v （ 与切线平行） v 区域圆 轨迹圆 轨迹圆圆心 C 区域圆圆心 O 入射点区域圆切线 P Q O C )①入射速度与出射点处区域圆的切线平行；②出射速度与入射点处区域圆的切线平行 磁发散：若粒子以相同大小的速度，从区域圆边界上同一点沿不同方向垂直射入磁场，轨迹圆都与区域圆等大，粒子将从不同点相互平行射出磁场，我们把这种现象称为磁发散，如图甲所示。 磁聚焦：反过来，如果粒子以相同速度相互平行射入磁场，若轨迹圆与区域圆等大，则这些粒子将会聚于区域圆边缘上的同一点射出磁场，我们把这种现象称为磁聚焦，如图乙所示。 ( a b B q )【例44】如图所示，半径为R的一圆柱形匀强磁场区域的横截面（纸面），磁感应强度 大小为B，方向垂直于纸面向外。一电荷量为q（q＞0）、质量为m的粒子沿平行于直径ab 的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为R/2。已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向 间的夹角为60°，则粒子的速率为（不计重力）（ ） A． B． C． D． ( R P Q E F O R )【例45】如图，圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场 （图中未画出），PQ、EF是其两条相互垂直的直径。在纸面内，有一束关于PQ 对称且宽度也为R的平行的带正电粒子，每个粒子完全相同，质量均为m、电荷 量均为q、速率均为v，其中最下边缘的粒子经磁场偏转后恰好从F点射出磁场。 不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（ ） A．磁场的方向垂直于纸面向里 B．所有粒子均从F点射出磁场 C．磁场的磁感应强度大小为 D．粒子在磁场中运动的最短时间为 28．半波有效值与分段有效值 （1）半波有效值：为全波的倍 模型：正半周与负半周变化规律相同的交流电，半波交流电的有效值，为全波有效值的倍。 【例46】关于如图所示的正弦交流电和方波交流电的有效值和周期，下列说法正确的有（ ） ( i / A i / A i / A i / A t / s t / s t / s t / s ) （2）分段有效值：为各段有效值的方均根平均值 模型：若交流电的每个周期等分为n段，各段时间内的有效值依次为I1、I2、…、In，则总的有效值（方均根平均值）（电压、电动势类似） ( 0 1 2 3 4 8 8 6 t /10 -2 s u / V )【例47】有一种信号电压如图所示，周期为0.04s。每一周期的前半周期 为正弦电压，最大值为6V；最后1/4周期为恒定电压8V。则该信号电压的有 效值为（ ） A．4V B．5V C．6V D．7V 29．变压器电路等效电阻模型 ( （等效电阻） ~ 等效变换 R n 1 n 2 电源 交流 电源 交流 ～ ～ )模型：理想变压器原、副线圈匝数比为n1:n2， 负载电阻为R。若将变压器和负载视为一个整体， 则其等效电阻的阻值。 推导：设副线圈电流为I2，则电压U2＝I2R； 原线圈电流，电压，则等效电阻 ( 乙 U R 2 甲 n 1 : n 2 U R 1 )【例48】如图所示，甲图中变压器为理想变压器，其原线圈接到U＝200V的 民用交流电源上，副线圈与阻值为R1的电阻接成闭合电路，乙图中阻值为R2电阻 直接接到电压U＝200V的交流电源上，结果发现R1与R2消耗功率恰好相等，则 可知变压器原、副线圈匝数之比为（ ） A． B． C． D． ( R 1 R 2 R 3 S U A ) 【例49】如图所示，电阻R1＝3Ω，R2＝1Ω，R3＝4Ω，变压器、交流电流表A都是 理想的，正弦交流电源输出的电压有效值U恒定。开关S断开时，电流表A的示数为I； S闭合时，A的示数为4I。则变压器原、副线圈的匝数比为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 ( u MN / V )【例50】如图甲所示的电路中，变压器为理想变压器，原、 副线圈的匝数比为2:1，电压表和电流表均为理想电表，定值电 阻R1＝R2＝10Ω，M、N输入如图乙所示的电压，～时间 内为正弦曲线，则电压表和电流表的示数分别为（ ） A．V、A B．V、A C．16V、0.8A D．16V、0.2A 30．规律：球内过定点光线，垂直于半径时投射球面，入射角最大 ( O S P θ R d α O S P θ R d θ 角最大 )推导：如图所示，对三角形用正弦定理得 d与R为定值，则当α＝90°时θ角最大。 若是从光密介质射向光疏介质，则最易发生全反射。 ( O R n )【例51】为研究各种材料的透光性，实验小组将折射率为n的某种材料制成厚度极小、 半径为R的薄圆片置于真空中。现将一点光源置于该材料内部，会发现光源处于某些位置 时发出的光第一次到达圆形边缘时全部能够折射出圆形边界。实验小组将能满足这种现象 的光源的位置组成的区域命名为“全亮区”，则全光亮区的面积是（ ） A． B． C． D． 【作业】 班次 座次 姓名 1．一辆汽车以某一速度在郊区的水平公路上运动，因前方交通事故紧急刹车而做匀减速直线运动，最后静止，汽车在最初3s内通过的位移与最后3s内通过的位移之比为x1︰x2＝5︰3，则汽车制动的总时间（ ） A．t＞6s B．t＝6s C．4s＜t＜6s D．t＝4s 2．某质点做匀减速直线运动，经过s静止，则该质点在第1s内和第2s内的位移之比为（ ） A．7︰5 B．9︰5 C．11︰7 D．13︰7 ( R θ A B C 甲 乙 ) 3．如图所示，竖直平面内的光滑圆弧轨道最低点为C，A、B两点等高，对应的 半径OA、OB与竖直方向夹角很小（θ＜5°）。A、C之间有一光滑斜面轨道。两个 相同小球甲、乙分别从A、B两点同时由静止释放，甲沿斜面运动，乙沿圆弧运动。 关于两个小球从A、B两点运动到C点，下列说法正确的有（ ） A．甲先到达C点 B．两球同时到达C点 C．若减小θ角，甲的运动时间将变短 D．若减小θ角，乙的运动时间将不变 ( P O A )4．如图所示，某物体自空中O点以水平初速度v0抛出，落在地面上的A点， 其轨迹为一抛物线。现仿此抛物线制作一个光滑滑道并固定在与OA完全重合的位 置上，然后将此物体从O点由静止释放，受微小扰动而沿此滑道滑下，在下滑过程 中物体未脱离滑道。P为滑道上一点，OP与竖直成45º角，则此物体（ ） A．由O运动到P点的时间为 B．经P点时速度的水平分量为 C．经P点时速度的竖直分量为 D．经P点时的速度大小为 5．如图，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水 平抛出，经时间为t小球到达斜面，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ） A．以最小位移到达斜面，则 B．垂直击中斜面，则 C．击中斜面中点，则 D．无论怎样到达斜面，均为 6．（超重失重模型）（2015年福建卷）如图，在竖直平面内，滑道ABC关于B点对称，且A、B、C三点在同一水平线上。若小滑块第一次由A滑到C，所用时间为t1，第二次由C滑到A，所用时间为t2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则（ ） A．t1＜t2 B．t1＝t2 C．t1＞t2 D．无法比较t1、t2的大小 ( f f m M F )7．（动力分配定比模型）如图所示，一夹子夹住木块，在力F作用下向上提升。 夹子和木块的质量分别为m、M，夹子与木块两侧间的最大静摩擦力均为f。若木块 不滑动，力F的最大值是（ ） A． B． C． D． 8．（动力分配定比模型）如图，水平地面上有三个靠在一起的物块P、Q和R，质量分别为m、2m和3m，物块与地面间的动摩擦因数都为μ。用大小为F的水平外力推动物块P，记R和Q之间相互作用力与Q与P之间相互作用力大小之比为k。下列判断正确的是（ ） A．若μ≠0，则k＝ B．若μ≠0，则k＝ C．若μ＝0，则k＝ D．若μ＝0，则k＝ 9．（力径减半）某人造地球卫星质量为m，绕地球做匀速圆周运动，离地高度等于地球半径R。已知地表重力加速度为g，则卫星运行时的动能大小为（ ） A． B． C． D． ( q 1 q 2 q 3 r 2 r )10．三个点电荷处在同一条直线上，电荷量及距离关系如图中所示，它们仅在相互间 的库仑力作用下都处于静止状态，则电荷量q1、q2、q3（负号表示电性）之比为（ ） A．（–9）:4:（–36） B．9:4:36 C．（–3）:2:（–6） D．3:2:6 11．（平抛模型法）空间中水平面MN下方有竖直向下的匀强电场，质量为m的带 电小球由MN上方的A点以一定初速度水平抛出，从B点进入电场，到达C点时速度 方向恰好水平，A、B、C三点共直线，且AB＝2BC，如图所示。由此可知（ ） A．小球带正电 B．小球在电场中受电场力大小为3mg C．小球运动时间tAB＝tBC D．过C点后小球水平匀速运动 12．如图所示，轻绳一端受到大小为F的水平恒力作用，另一端通过定滑轮与质量为m、可视为质点的小物块相连。开始时绳与水平方向夹角为θ。当小物块从水平面上的A点被拖动到水平面上的B点时，位移为L，随后从B点沿斜面被拖动到定滑轮O处，BO间距离也为L。小物块与水平面及斜面间的动摩擦因数 均为μ，若小物块从A点运动到O点的过程中，F对小物块做的功为WF，小物块 在BO段运动过程中克服摩擦力做的功为Wf，则以下结果正确的是（ ） A．WF＝FL(cosθ＋1) B．WF＝2FLcosθ C．Wf＝μmgLcos2θ D．Wf＝FL－mgLsin2θ ( 0 1 2 3 4 5 6 t/10 -2 s 1 -1 i / A )13．（方均根平均值）如图所示为某一交变电流的电流-时间（i-t） 图像，时间轴上方为最大值为1A的正弦交流电的一部分，则该交流电 的有效值为（ ） A． B． C． D． ( R a b A V )14．如图所示，一个理想变压器初级线圈的匝数为nl，a、b接交流电源；次级 线圈匝数为n2，与负载电阻R相连接，R＝40Ω。图中电压表示数为100V，初级线 圈电流为0.4A。则下列说法正确的是（ ） A．次级线圈中电流的最大值为1A B．初级和次级线圈的匝数比nl∶n2＝2∶5 C．如果将另一个阻值为R的电阻与负载电阻并联，图中电流表的示数为2A D．如果将另一个阻值为R的电阻与负载电阻串联，变压器消耗的电功率是80W 15．如图所示，电动机带动足够长的水平传送带以恒定速率v1匀速向右运动， 一质量为m的滑块从传送带右端以水平向左的速率v2（v2＞v1）滑上传送带，最终 滑块又返回至传送带的右端。就上述过程，下列判断正确的有（ ） A．滑块返回传送带右端的速率为 B．此过程中传送带对滑块做的功为 C．此过程中电动机对传送带多做的功为 D．此过程中滑块与传送带间摩擦生热为 16．（动力分配规律）如图所示，在水平面上A、B物块通过轻弹簧相连，其中 A物体带电量为+q、质量为m1，B物体不带电、质量为m2，弹簧劲度系数为k，原 长为L。水平面处于水平向右的匀强电场中，电场强度为E，A、B一起向右做匀加 速直线运动，A、B与地面的动摩擦因数均为μ，则此时A、B间距为（ ） A． B． C． D． 17．（附加恒力振子）如图所示，轻质弹簧的上端固定，下端连接一质量为m的金属小球，托住小球 使弹簧处于原长，在t＝0时由静止释放，一段时间内小球在竖直方向做周期为T的简谐运动。已知弹簧 的劲度系数为k，重力加速度为g，则（ ） A．小球振动的位移 B．小球振动的位移 C．小球相邻两次加速度大小为的时间为 D．小球相邻两次加速度大小为的时间为 18．如图所示的弹簧振子静止在光滑绝缘斜面上，轻弹簧劲度系数为k，振子（与弹簧绝缘 相连）质量为m电荷量为+q。当施加一个沿斜面向上场强大小为E的匀强电场后（ ） A．小球做简谐振动 B．小球的机械能守恒 C．小球上滑的最大距离为 D．小球上滑过程中加速度先增后减 ( v / m · s -1 x / m )19．如图甲所示，物块以初速度v0＝6m/s从A点沿水平 方向冲上长为2m的传送带，并沿水平传送带滑到B点后水 平抛出，落到地面上的P点，平抛运动的水平距离记为x； 在v0一定的情况下，改变传送带的速度v，得到x-v关系图 像如图乙所示（规定向右为速度的正方向）。则（ ） A．B、P两点之间的高度差为0.8m B．物块与传送带间的动摩擦因数为0.5 C．当传送带的速度为2m/s时，物块到达B点的速度为4m/s D．当传送带的速度为20m/s时，平抛运动的水平距离为6.4m 20．如图，质量为m的滑块在水平向右的外力F作用下由静止开始沿水平面运动，运动过程中外力F随位移x的变化满足，已知滑块与桌面间的滑动摩擦因数（g为重力加速度），下列说法正确的是（ ) A．滑块向右运动的最大位移为 B．滑块最终能回到出发点 C．滑块运动的最大速度为 D．从开始运动到最终静止，物块与桌面摩擦生热为 ( E O B A m 、+ q R ) 21．（力径减半得动能）如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场，平行于 电场方向的竖直平面内有一内半径为R的光滑绝缘圆形轨道，A、B分别为圆的 最左点和最低点。有一质量为m的带正电小球在圆内自由转圈，经A点时对轨道 的压力大小为mg。已知小球所受电场力F电＝mg，则小球经B点时对轨道的压力 大小为（ ） A．3mg B．5mg C．7mg D．9mg 21 学科网（北京）股份有限公司 $$