7.1.2复数的几何意义课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第七章 <<< 7.1.2 复数的几何意义 1.理解并可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.(重点) 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.(难点) 学习目标 2 19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础. 导 语 一、复数与复平面内点的关系 二、复数与复平面内的向量的关系及复数的模 课时对点练 三、共轭复数 随堂演练 内容索引 四、复数的几何应用 一 复数与复平面内点的关系 有序实数对是和坐标平面上的点一一对应的，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？ 问题1 提示　复数a+bi(a，b∈R)实质上是实数的有序实数对(a，b)，复数可以和坐标平面上的点一一对应. 1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做 ，y轴叫做 ，实轴上的点都表示 ；除了 外，虚轴上的点都表示 . 2.复数集C和复平面内所有的点组成的集合是 的，即复数z=a+bi 复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义. 实轴 虚轴 实数 原点 纯虚数 一一对应 知识梳理 (1)请完成以下表格. 例 1 复平面内的点 (0，0) (-2，0) (0，1) (-2，2) 复数   -2     分类 实数       0 i -2+2i 实数 纯虚数 虚数 8 (2)在复平面内，若复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i对应的点：①在虚轴上；②在第二象限内；③在y=x的图象上，分别求实数m的取值范围. 复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i的实部为m2-2m-8，虚部为m2+3m-10. ①由题意得m2-2m-8=0， 解得m=-2或m=4. ②由题意得解得2<m<4. ③由已知得m2-2m-8=m2+3m-10， 故m=. 9 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z=a+bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，注意不是(a，bi). (2)列出方程：此类问题可根据复数的实部与虚部应满足的条件列出方程(组)或不等式(组)，进而求解. 反 思 感 悟 利用复数与点的对应关系解题的步骤 10 　当实数m为何值时，复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内的对应点： (1)位于第四象限内； 跟踪训练 1 11 要使点位于第四象限内， 则 ∴∴-7<m<3. 12 (2)位于x轴负半轴上； 要使点位于x轴负半轴上， 则 ∴∴m=4. 13 (3)在上半平面(含实轴)？ 要使点位于上半平面(含实轴)， 则 m2+3m-28≥0，解得m≥4或m≤-7. 14 二 复数与复平面内的向量的关系及复数的模 平面向量可以用有序数对来表示，借助有序数对能建立复数与平面向量的联系吗？ 问题2 提示　在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样就可以用平面向量来表示复数. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了_________ 关系(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi 平面向量.这是复数的另一种几何意义. 为方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示 复数. 1.复数与平面向量：如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量_____由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量 确定. 同一个 知识梳理 2.复数的模 (1)定义：向量的模叫做复数z=a+bi(a，b∈R)的模或绝对值. (2)记法：复数z=a+bi的模记作 . (3)公式：|z|=|a+bi|=___________. 　(1)设复数z1=-4+3i，z2=-4-3i. ①在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量； 例 2 如图，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，对应的向量分别为. 19 ②求复数z1，z2的模，并比较它们的模的大小. |z1|=|-4+3i|==5， |z2|=|-4-3i|==5， 则|z1|=|z2|. 20 (2)在复平面内，复数z对应的点(，b)在第四象限内，若|z|=3，求复数z. 由题意，得z=+bi(b<0)， 则|z|2=()2+b2=32， 解得b=-2或b=2(舍去)， 所以z=-2i. 21 反 思 感 悟 (1) 注意：复数z=a+bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个. (2)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小. 　下列命题中，假命题是 A.复数的模是非负实数 B.复数等于零的充要条件是它的模等于零 C.两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件 D.复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2| 跟踪训练 2 √ 23 任意复数z=a+bi(a，b∈R)的模|z|=≥0总成立，故A正确； 由复数相等的条件z=0⇔⇔|z|=0， 故B正确； 若z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R)， 若z1=z2，则有a1=a2，b1=b2，∴|z1|=|z2|. 反之由|z1|=|z2|，推不出z1=z2，如z1=1+3i，z2=1-3i，|z1|=|z2|，但z1≠z2，故C正确； 24 不全为实数的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故D错误. 25 三 共轭复数 1.定义：一般地，当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做___________. 2.表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z=a+bi(a，b∈R)，那么=_____. a-bi 知识梳理 　复数z=3-4i的共轭复数在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 例 3 √ z=3-4i的共轭复数为=3+4i，可知其在复平面内对应的点在第一象限. 28 反 思 感 悟 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上. 　(多选)下列说法正确的是 A.复数和其共轭复数都是成对出现的 B.实数不存在共轭复数 C.互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称 D.复数和其共轭复数的模相等 跟踪训练 3 √ √ 由共轭复数的相关知识可知，AD正确. 30 四 复数的几何应用 　(课本例3改编)设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形. (1)|z|=2； 例 4 32 方法一　|z|=2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆. 方法二　设z=a+bi(a，b∈R)，由|z|=2，得a2+b2 =4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆. 33 (2)1≤|z|≤2. 不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组 不等式|z|≤2的解集是圆|z|=2及该圆内部所有点组成的集合. 不等式|z|≥1的解集是圆|z|=1及该圆外部所有点组成的集合. 这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合，如图中的阴影部分，故所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界. 34 反 思 感 悟 (1)|z|表示在复平面内复数z对应的点到原点的距离. (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解. 　设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，|z1|=2，z2=3i，则Z1，Z2两点之间距离的最大值为 A.1 B.3 C.5 D.7 跟踪训练 4 √ 因为|z1|=2，说明复数z1在复平面内对应的点Z1到原点的距离为2，这样的点Z1的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.z2在复平面内对应的点Z2为(0，3)，则最大值为点Z2(0，3)到圆心O的距离加上半径，即3+2=5. 36 1.知识清单： (1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系. (2)复数的模及几何意义. (3)共轭复数. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合. 3.常见误区：虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小. 课堂小结 37 随堂演练 五 1 2 3 4 1.(2024·新课标全国Ⅱ)已知z=-1-i，则|z|等于 A.0 B.1 C. D.2 √ 若z=-1-i， 则|z|==. 2.已知z=m+(3m+2)i在复平面内对应的点在直线y=2x上，则实数m的值是 A.-2 B.- C.0 D.2 1 2 3 4 √ ∵z=m+(3m+2)i在复平面内对应的点在直线y=2x上，∴3m+2=2m，解得m=-2. 3.向量a=(3，1)，设向量a对应的复数为z，则z的共轭复数=　　　　，||=　　　　.  1 2 3 4 3-i 4.写出一个同时满足下列条件的复数z=　　　　　　　　　　.  ①|z|=2；②复数z在复平面内对应的点在第二象限. 1 2 3 4 1 2 3 4 设z=x+yi(x，y∈R)， 依题意|z|=2，则x2+y2=4， 且x<0，y>0， 故可取x=-，y=1， 所以z=-+i. 课时对点练 六 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B ABD A AC 0 ±1　2或0 题号 11 12 13 14 　15 答案 A C BD 对一对 或 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)设向量对应的复数为 z1=x1+y1i(x1，y1∈R)， 则点B的坐标为(x1，y1)， 由题意可知，点A的坐标为(2，1). 根据对称性可知，x1=2，y1=-1， 故z1=2-i. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (2)设点C对应的复数为 z2=x2+y2i(x2，y2∈R)， 则点C的坐标为(x2，y2)， 由对称性可知，x2=-2，y2=-1， 故z2=-2-i. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. |w|===|z|，而1≤|z|≤，故 ≤|w|≤2.所以w的对应点的集合是以原点为圆心，半径为和2的圆所夹圆环内的点(包括圆环的边界)，其面积为S=π［22-()2］=2π. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)由题意得 |z|==≥2，显然当x=0时，复数z的模最小，最小值为2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 答案 (2)由(1)知当x=0时，复数z的模最小，则Z(-2，2). 因为点Z在一次函数y=-mx+n的图象上，所以2m+n=2， 所以m+=1.又mn>0， 所以+==++≥+. 当且仅当=，即n2=2m2时等号成立. 又2m+n=2且mn>0， 所以取等号时m=2-，n=2-2，+的最小值为+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 1.在复平面内，复数z=1+i的共轭复数对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 √ 16 复数z=1+i的共轭复数为=1-i， 故其共轭复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 答案 2.在复平面内，表示复数z=a-1+(a+2)i的点在第二象限，则实数a满足 A.-1<a<2 B.-2<a<1 C.a>1 D.a<-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 由已知，得解得-2<a<1. 答案 3.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为-1+2i，若点A关于直线y=-x的对称点为B，则向量对应的复数为 A.-2-i B.-2+i C.1+2i D.-1+2i √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知点A的坐标为(-1，2)， ∵A(-1，2)关于直线y=-x的对称点为B(-2，1)， ∴向量对应的复数为-2+i. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.(多选)已知复数z=3-4i(其中i是虚数单位)，则下列命题中正确的为 A.|z|=5 B.z的虚部是-4 C.z-3+4i是纯虚数 D.z在复平面上对应点在第四象限 √ 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 复数z=3-4i， 则|z|==5，故A正确； z=3-4i的虚部是-4，故B正确； z-3+4i=3-4i-3+4i=0，是实数，故C错误； z在复平面上对应点的坐标为(3，-4)，在第四象限，故D正确. 答案 5.已知复数z=a+i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|=2，则复数z等于 A.-1+i B.1+i C.-1+i或1+i D.-2+i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由|z|=2知， =2， 解得a=±1， 又因为z在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a<0， 故a=-1，所以z=-1+i. 答案 6.(多选)在复平面内，，对应的复数分别为z1=+i，z2=cos θ+isin θ， 且⊥，则z2可能是 A.-+i B.+i C.-i D.--i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为z1=+i，z2=cos θ+isin θ， 且⊥， 即·(cos θ，sin θ)=0， 所以cos θ+sin θ=0， 即cos θ=-sin θ， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又sin2θ+cos2θ=1， 则 所以z2=-+i或z2=-i. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.若x-2+yi与3x-i互为共轭复数，则实数x，y之和为　　　.  由题意知 解得则x+y=0. 0 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)在复平面上对应的点在虚轴上，则a=　　　，|z|=　　　　.  ±1 16 2或0 由题意知a2-1=0，解得a=±1， 则当a=1时，z=2i，|z|=2； 当a=-1时，z=0，|z|=0. 答案 63 9.在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2+i. (1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设向量对应的复数为z1=x1+y1i(x1，y1∈R)， 则点B的坐标为(x1，y1)， 由题意可知，点A的坐标为(2，1). 根据对称性可知，x1=2，y1=-1， 故z1=2-i. 答案 (2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点C对应的复数为 z2=x2+y2i(x2，y2∈R)， 则点C的坐标为(x2，y2)， 由对称性可知，x2=-2，y2=-1， 故z2=-2-i. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.设z=x+yi(x，y∈R)，若1≤|z|≤，判断复数w=x+y+(x-y)i的对应点的集合表示什么图形，并求其面积. 16 |w|===|z|，而1≤|z|≤ ≤|w|≤2. 所以w的对应点的集合是以原点为圆心，半径为和2的圆所夹圆环内的点(包括圆环的边界)，其面积为S=π［22-()2］=2π. 答案 11.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0，则复数z对应的点Z的集合是什么图形 A.一个圆 B.线段 C.两点 D.两个圆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 综合运用 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵|z|2-2|z|-3=0， ∴(|z|-3)(|z|+1)=0， ∴|z|=3(|z|=-1舍去)， ∴复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的一个圆. 答案 12.在▱ABCD中，点A，B，C分别对应复数4+i，3+4i，3-5i，则点D对应的复数是 A.2-3i B.4+8i C.4-8i D.1+4i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得A(4，1)，B(3，4)，C(3，-5)， 设▱ABCD的对角线的交点为M(xM，yM)，点D的坐标为(x，y)， 由中点坐标公式得 解得 所以点D的坐标为(4，-8)，则点D对应的复数为4-8i. 答案 13.(多选)已知z1，z2是复数，则以下结论正确的是 A.若z1+z2=0，则z1=0且z2=0 B.若|z1|+|z2|=0，则z1=0且z2=0 C.若|z1|=|z2|，则向量和重合 D.若|z1-z2|=0，则= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A中，z1+z2=0只能说明z1=-z2； B中，|z1|+|z2|=0，说明|z1|=|z2|=0，即z1=z2=0； C中，|z1|=|z2|，说明||=||，但方向不一定相同； D中，|z1-z2|=0，则z1=z2，故=.故正确的为B，D选项. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.设复数z1=m+i，z2=4-i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，O为坐标原点，若⊥，则实数m的值为　　　.  16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 复数z1=m+i，z2=4-i在复平面内对应的点分别为Z1(m，1)，Z2(4，-1)， 则=(m，1)，=(4，-1). 由⊥·=4m-1=0， 解得m=. 答案 15.已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1=sin2θ+i，z2=-cos2θ+icos 2θ，其中θ∈(0，π).设对应的复数是z.若复数z对应的点P在y=x的图象上，则θ=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 16 或 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为点A，B对应的复数分别是 z1=sin2θ+i，z2=-cos2θ+icos 2θ， 所以点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(-cos2θ，cos 2θ)， 所以=(-1，-2sin2θ)， 所以对应的复数是z=-1+(-2sin2θ)i. 所以点P的坐标是(-1，-2sin2θ)， 代入y=x，得-2sin2θ=-，即sin2θ=， 所以sin θ=±.又因为θ∈(0，π)，所以sin θ=，所以θ=. 答案 16.已知x为实数，复数z=x-2+(x+2)i. (1)当x为何值时，复数z的模最小？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得 |z|==≥2，显然当x=0时，复数z的模最小，最小值为2. 答案 (2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y=-mx+n的图象上，其中mn>0，求+的最小值及取得最小值时m，n的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知当x=0时，复数z的模最小， 则Z(-2，2). 因为点Z在一次函数y=-mx+n的图象上，所以2m+n=2，所以m+=1. 又mn>0， 所以+==++≥+. 当且仅当=，即n2=2m2时等号成立. 又2m+n=2且mn>0， 所以取等号时m=2-，n=2-2，++. 答案 $$