精品解析：内蒙古自治区赤峰市2024-2025学年高三上学期第三次统一检测数学试题

2025届高三第三次统一检测 数学 本试卷共8页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上，用2铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 集合，则集合中的四个实数中最大的一个是（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A B. C. D. 3. 若，则（ ） A. 2或 B. 或 C. D. 2 4. 如图，四点在边长为1的正方形网格的格点处．若．则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知点，若的余弦距离为，则锐角（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与圆柱底面成角平面截圆柱得到如图所示的几何体．截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线过点，过且与．(为坐标原点)垂直的直线与抛物线交于另一点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，下列命题中正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，则（ ） A. 直线与直线的夹角为 B. 直线与平面平行 C. 点到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 11. 函数．下列说法中正确的有（ ） A. 当时，函数的对称中心是 B. ，使在上单调递减 C. 当时，若恰有两个零点，则实数的值唯一，且 D. 当时，恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与曲线相切，则实数的值为_____． 13. 某同学的电脑有6位数字密码，他决定将“斐波那契数列”的前6项中的6个数字设置为电脑的密码．已知“斐波那契数列”的前6项依次为“1、1、2、3、5、8”，则密码的第2位和第4位是偶数的概率为_____． 14. 设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，的面积为，且为锐角，，则双曲线的离心率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在时间(单位：)时相对于平衡位置的高度(单位：)由关系式确定，其中．小球从最高点出发，经过后，第一次到达最低点，经过的路程为． （1）求函数的解析式； （2）在锐角中，角的对边分别为，若，求的取值范围． 16. 如图，在正四棱台中，是的中点，分别为上下底面的中心、 （1）求证：直线平面 （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 新能源汽车越来越引起广大消费者关注，目前新能源汽车的电池有石墨烯电池、三元锂电池、铅酸电池等，其中铅酸电泡有技术成熟.成本较低、高倍率放电的特点，而石墨烯电池可以减少热量对电池的损害，提高电池的使用寿命，石墨烯电池应用到新能源汽车上.对整个汽车行业将是根本性的改变.某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名驾驶者，年龄在60周岁以下的为年轻驾驶者，年龄在60周岁及以上的为中老年驾驶者，其中被调查的年轻驾驶者中偏好铅酸电池车的占，得到以下的列联表： 偏好石墨烯电池车 偏好铅酸电池车 合计 中老年驾驶者 200 100 年轻的驾驶者 合计 S00 （1）根据以上数据，完成列联表．依据小概率的独立性检验，能否认为驾驶者对这两种电池的电动车的偏好与年龄有关： （2）用频率估计概率，在所有参加调查的驾驶者中按年轻驾驶者和中老年驾驶者进行分层抽样，随机抽取5名驾驶者，再从这5名驾驶者中随机抽取2人进行座谈，记2名参加座谈的驾驶者中来自偏好石墨烯电池电动车的中老年驾驶者的人数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0．100 0．050 0．025 0．010 0．005 0．001 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为. （1）以为圆心圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率； （2）已知，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求点的坐标； （3）已知，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于两点（均不同于），是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由. 19. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列. （1）求数列的通项公式； （2）求的最小值； （3）若数列满足，对于，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三第三次统一检测 数学 本试卷共8页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上，用2铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 集合，则集合中的四个实数中最大的一个是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，逐个比较即可； 【详解】因为， 所以，，， 所以最大， 故选：D 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对复数化简，然后求其轭复数即可. 【详解】若，则， 则. 故选：B. 3. 若，则（ ） A. 2或 B. 或 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由同角三角函数商的关系，弦化切即可求解； 【详解】， 即， 解得：或，又，， 所以， 故选：C 4. 如图，四点在边长为1的正方形网格的格点处．若．则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图. 则,,,, 所以,,, 由可得， 即，解得，，所以. 故选：A. 5. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知点，若的余弦距离为，则锐角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得到，结合，从而得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，故， ， 又， 故，所以锐角. 故选：B 6. 如图，与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体．截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将该几何体旋转后与原几何体组合成一个圆柱体，作图取点，然后由条件求出圆柱体直径，即可求得该几何体体积. 【详解】将该几何体旋转后与原几何体组合成一个圆柱体，如图； 则，过作，则，则， ∴该几何体的体积：， 故选：C. 7. 已知抛物线过点，过且与．(为坐标原点)垂直的直线与抛物线交于另一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出抛物线方程及直线的方程，再联立两个方程求出弦长. 【详解】由抛物线过点，得，抛物线的方程为， 直线的斜率为，则直线的方程为，即， 由消去得，解得，， 所以. 故选：A 8. 已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数的性质可求出，对求导，根据极值的定义求出的极小值，要使在区间上有最小值，即的极小值在，解不等式即可. 【详解】因为为奇函数，所以其定义域关于原点对称， 易知，所以，即有，得到， 所以， 函数定义域为, 得到，所以， 故， 有，此时，函数为奇函数， 即，满足题意， 所以，定义域为， 当时，， 函数，在上单调递增， 函数在上单调递减，所以函数在上单调递增； 当时，， ， 由，得到 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以是函数的极小值点，当时，， 结合奇函数的性质，可得函数的大致图象如图， 又在区间上有最小值，所以，解得， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于先求出的解析式，对求导，根据极值的定义求出的极小值，要使在区间上有最小值，即的极小值在，解不等式即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式逐项分析求解. 【详解】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，由，得，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，由，，得，， 则， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，由，，得， ，当且仅当时取等号，D错误. 故选：AC 10. 已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，则（ ） A. 直线与直线的夹角为 B. 直线与平面平行 C. 点到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】连接，根据得为直线与直线的夹角可判断A；利用线面平行的判定定理可判断B；以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 求出平面的一个法向量，利用点到平面距离的向量求法可判断C；分别取的中点，平面的中心分别为点，可得长方体与三棱锥有相同的外接球，求出长方体的对角线长可判断D. 【详解】连接， 对于A，因为点分别是棱的中点，所以， 所以直线与直线的夹角即为直线与直线的夹角， 即为，又因为，所以， 所以直线与直线的夹角为，故A正确； 对于B，因为，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设是平面的一个法向量，则 ，令，则，， 所以点到平面的距离为 ，故C错误； 对于D，分别取的中点，平面的中心分别为点， 连接，则为长方体， 可得长方体与三棱锥有相同的外接球， 且， 所以三棱锥的外接球的半径为， 可得三棱锥外接球的表面积为，故D正确. 故选：ABD. 11. 函数．下列说法中正确的有（ ） A. 当时，函数的对称中心是 B. ，使在上单调递减 C. 当时，若恰有两个零点，则实数的值唯一，且 D. 当时，恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入的值后整理函数解析式，由得对称性通过平移知道的对称性，判断A选项；求函数的导函数，由二次函数的性质知道函数在上函数值的正负，即可判断B选项；由导函数求函数的极值点，恰有两个零点等价于函数的极值点为零点，判断C选项；整理不等式，构造两个新函数，在分别求导，求得导函数为0时的两根，通过讨论的范围，通过函数的单调性求和函数的最值，然后建立不等式组求得的取值范围，判断D选项. 【详解】， ∵关于点对称，∴函数的对称中心是，A选项正确； ∵是开口向上的二次函数，所以当时，，所以B选项错误； 当时，，， 令，则或，显然当时，，不合题意， ∴，由二次函数的性质可知函数存在两个极值点， 要想恰有两个零点，则或，∴，C选项正确； 当时，，，则， 令， 则， ∵恒成立， ∴或 ①当，即时，当时，，即函数均减函数， 恒成立，，解得，无解； ②当，即时，当时，，即函数均为增函数，当时，，即函数均为减函数， ∵恒成立 ∴， 令， ， 令， 则所以函数在上单调递增， ∵当时， ∴， 所以函数，即在上单调递增，由∵， ∴解得，∴； 综上所述：，D 正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛，在研究不等式在已知区间上恒成立问题时，一般可以利用导函数来求函数的单调区间，对于含参的函数，需要通过讨论参数的范围，然后得到函数的单调性，然后求出函数的最值来建立不等式即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与曲线相切，则实数的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由直线方程得到直线的定点坐标，求出函数的导函数，设切点坐标，由两点坐标表示出斜率建立方程，求得切点坐标，即可求得实数的值. 【详解】直线过定点， ，设直线与曲线的切点坐标为， 则， 则，∴. 故答案为： 13. 某同学的电脑有6位数字密码，他决定将“斐波那契数列”的前6项中的6个数字设置为电脑的密码．已知“斐波那契数列”的前6项依次为“1、1、2、3、5、8”，则密码的第2位和第4位是偶数的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】用排列公式先求出6位密码任意排列总共可能得排列情况，然后再计算出密码的第2位和第4位是偶数时总共可能得排列情况，由古典概型求出概率. 【详解】6位密码共有种不同的排列情况， 当密码的第2位和第4位为时共有种不同的排列情况， 所以密码的第2位和第4位是偶数的概率为. 故答案为：. 14. 设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，的面积为，且为锐角，，则双曲线的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线定义得到，通过双曲线对称性得到，然后求出，由三角形面积求得，再由余弦定理求得，从而得到双曲线的离心率. 【详解】，∴， 由双曲线的对称性可知，∴， ∴， ，∴， ∴， 由对称性可知，∴， ∴， ∴， ∴离心率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在时间(单位：)时相对于平衡位置的高度(单位：)由关系式确定，其中．小球从最高点出发，经过后，第一次到达最低点，经过的路程为． （1）求函数的解析式； （2）在锐角中，角的对边分别为，若，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）求出的最小正周期为，得到，结合时，小球位于最高点，得到方程，求出，又，得到解析式； （2）由得到，根据三角形为锐角三角形得到，，由正弦定理，化简得到，换元后，由对勾函数单调性求出取值范围，得到答案. 【小问1详解】 设的最小正周期为，由题意，， ， 又，， 当时，小球位于最高点，则， ， 又由题意，解得， ； 【小问2详解】 由题意，，故， 即， 为锐角三角形， 故或， 当时，解得， 当时，解得，舍去， 故，则， 又，， 解得， ， ， 又， 令，则， 根据对勾函数的性质，函数在上单调递增， 所以， 所以则的取值范围为． 16. 如图，在正四棱台中，是的中点，分别为上下底面的中心、 （1）求证：直线平面 （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质判定，结合正四棱台的结构特征推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 在正四棱台中，连接交于，连接交于，连接， 由平面，又平面，得， 又平面， 所以平面 【小问2详解】 在等腰梯形中，，则， 在等腰梯形中，，， 直线两两垂直，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 新能源汽车越来越引起广大消费者的关注，目前新能源汽车的电池有石墨烯电池、三元锂电池、铅酸电池等，其中铅酸电泡有技术成熟.成本较低、高倍率放电的特点，而石墨烯电池可以减少热量对电池的损害，提高电池的使用寿命，石墨烯电池应用到新能源汽车上.对整个汽车行业将是根本性的改变.某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名驾驶者，年龄在60周岁以下的为年轻驾驶者，年龄在60周岁及以上的为中老年驾驶者，其中被调查的年轻驾驶者中偏好铅酸电池车的占，得到以下的列联表： 偏好石墨烯电池车 偏好铅酸电池车 合计 中老年驾驶者 200 100 年轻的驾驶者 合计 S00 （1）根据以上数据，完成列联表．依据小概率的独立性检验，能否认为驾驶者对这两种电池的电动车的偏好与年龄有关： （2）用频率估计概率，在所有参加调查的驾驶者中按年轻驾驶者和中老年驾驶者进行分层抽样，随机抽取5名驾驶者，再从这5名驾驶者中随机抽取2人进行座谈，记2名参加座谈的驾驶者中来自偏好石墨烯电池电动车的中老年驾驶者的人数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0．100 0．050 0．025 0．010 0．005 0．001 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828 【答案】（1）列联表见解析，有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据已知数据完善列联表，再根据公式计算，与临界值比较可得； （2）可能的取值为0，1，2．求得各概率进而得分布列，然后由期望公式计算出期望． 【小问1详解】 被调查的年轻驾驶者人数为， 其中偏好铅酸电池车的年轻的驾驶者人数为． 偏好石墨烯电池车的年轻的驾驶者人数为， 所以列联表为： 偏好石墨烯电池车 偏好铅酸电池车 合计 中老年驾驶者 200 100 300 年轻的驾驶者 80 120 200 合计 280 220 500 零假设：驾驶者对使用这两种电池的新能源汽车的偏好与年龄无关， 根据列联表中的数据可以求得 由于， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为驾驶者对使用这两种电池的新能源汽车的偏好与驾驶者的年龄有关． 【小问2详解】 因为所有参加调查的驾驶者中，中老年驾驶者和年轻驾驶者的比为， 所以由分层抽样知，随机抽取的5名驾驶者中，中老年驾驶者有3人，年轻驾驶者有2人． 根据频率估计概率知，中老年驾驶者偏好石墨烯电池电动车的概率为，偏好铅酸电池电动车的概率为， 从选出的5名驾驶者中随机抽取2人进行座谈，则可能的取值为0，1，2． “3名被抽取的中老年驾驶者中，恰好抽到人参加座谈”记为事件， 则． “参加座谈的2名驾驶者中是偏好石墨烯电池电动车中老年驾驶者的人数恰好为人”记为事件， 则， ， ， ， ， ， 所以 ， ， ， 故的分布列如下： 0 1 2 ． 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为. （1）以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率； （2）已知，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求点的坐标； （3）已知，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于两点（均不同于），是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）存在，，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意知，即可知离心率； （2）分，和三种讨论即可； （3）设直线，联立椭圆方程得到韦达定理式，计算，将韦达定理式整体代入，再计算，得到方程即可. 小问1详解】 由题意得即，所以离心率. 【小问2详解】 由题意得椭圆 ①当时，由对称性得 ②当时，，故，设， 由得， 两式作差得， 代入椭圆方程，得（负舍），故 ③当时，根据椭圆对称性可知. 【小问3详解】 由题意得椭圆. 设直线， 由得. 设，则， ， ， 由，得. 【点睛】关键点睛：对于第三问，我们通常选择设线法，设直线，从而将其与椭圆方程联立得到两根之和与之积式，然后再计算出的值，再将韦达定理式整体代入，当然本题也可引入，设直线. 19. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列. （1）求数列的通项公式； （2）求的最小值； （3）若数列满足，对于，证明：. 【答案】（1）； （2）0； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，可得，再利用累加法计算即得. （2）利用导数说明函数的单调性，进而求出最小值. （3）由（2）令即可得到，从而得到，再利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 依题意，，则有， 当时， ， 又也满足，所以. 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，因此， 所以函数的最小值为0. 【小问3详解】 由（2）知，当时，，令，则， 则， 因此， 令， 于是， 两式相减得， 因此，所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是结合（2）的结论，令得到，从而得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $