精品解析：河南省商丘市2024-2025学年高二上学期期末数学试题

2024~2025学年度高二上学期期末联考试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章~第五章第2节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线的标准方程，确定，根据直线方程，即可求解. 【详解】因为，所以抛物线方程为，， 因为抛物线准线方程为，所以抛物线准线方程为. 故选：D 2. 已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到在时的导数值，即可得到答案. 【详解】由函数，可得，则，即该质点的瞬时速度为. 故选：A. 3. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般方程以及点在圆外，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为点在圆外，则，解得. 故选：B. 4. 在等比数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列项的性质计算求解即可. 【详解】因为等比数列中，若，则. 故选：C. 5. 已知点，在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. 20 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，当到直线的距离最大时，的面积最大，再结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设圆心到直线的距离为，到直线的距离为， 又圆心坐标为，所以，又半径为， 则当最大时，， 此时的面积也最大，最大值为. 故选：D. 6. 如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合，则集合中元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体的特征，将向量数量积转化为投影向量，即可判断结果. 【详解】因为平面，平面，平面均与直线垂直， 所以终点在这三个平面上的相应向量在向量上的投影向量分别相同， 且互不相等，故共有个不同的值． 故选：A 7. 已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由条件推得，，则得，推出数列为递增数列，推出即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，由可得：，则，， 故数列为递增数列，又，， 故使得成立的正整数n的最大值为21. 故选：B. 8. 椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆”的方程为，则该“斜椭圆”的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值，短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值，然后根据已知方程结合基本不等式可求出的最大值和最小值，从而可求出长半轴长和短半轴长，进而可求出离心率. 【详解】设“斜椭圆”的中心为坐标原点， 由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值， 短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值， 由基本不等式，可得， 所以，解得， 当且仅当时成立， 当且仅当时，成立， 所以椭圆的长半轴长为，短半轴长为， 所以椭圆离心率为. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，：，点在上，点在上，则（ ） A. 的最小值为 B. 原点到的距离的最大值为 C. 的充要条件为 D. 的充要条件为或 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用直线过定点的求法判断B，利用直线一般方程下垂直与平行的条件判断CD，利用直线可能相交直接排除A，从而得解. 【详解】对于B，：可化为， 令，得，则过定点， 当垂直于定点与原点的连线时，原点到的距离最大， 最大距离为，故B正确； 对于C，的充要条件为，即，故C正确； 对于D，的充要条件为且，即或，故D正确. 对于A，因为直线：，：不一定平行， 当与相交时，两条直线上的点之间的最小距离为0，故A错误； 故选：BCD. 10. 已知数列的前项和为，下列各条件能推出数列一定为等比数列的是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】ACD 【解析】 【分析】A由等比数列定义可判断选项正误；B通过举反例可判断选项正误；C、D由前n项和与数列通项关系可判断选项正误. 【详解】对于A，由等比数列的定义，知是等比数列； 对于满足，但不是等比数列； 对于C，可得，则是1为首项和公比的的等比数列； 对于D，由且，， 可得 ，因，则是以为首项，公比为的等比数列. 故选：ACD 11. 在正方体中，，，则（ ） A. 若，则点的轨迹为线段 B. 若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段 C. 若，则三棱锥的体积为定值 D. 若，则与平面所成角的余弦值的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，可判断AB选项；利用空间向量法可判断CD选项. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、 、， 因为， 对于A选项，当时，则点的轨迹为线段，A错； 对于B选项，若，即点， 此时，点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段，B对； 对于C选项，若，即点，其中， ，，设平面的法向量为， 则，取，可得， ，则点到平面的距离为， 因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，C对； 对于D选项，若，则，其中， 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 当时，取最小值，此时取最大值，且，则， 因此，当时，则与平面所成角的余弦值的最大值为，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法： （1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】对函数求导，结合导数的定义求目标式的值. 【详解】由题设，根据导数的概念知. 故答案为：6 13. 已知，若，则的值为______. 【答案】5 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示计算可得，即可得答案. 【详解】由可知，因此， 即可得， 所以. 故答案为：5 14. 已知为双曲线的左、右焦点，过点且垂直于一条渐近线的直线交的右支于点，若，则的离心率______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用条件计算、、，根据正弦定理表示，由双曲线定义表示，利用余弦定理得到的关系，即可计算离心率. 【详解】 由得，， 又∵， ∴. 由双曲线渐近线方程为得，，即， 又∵， ∴. 在中，由正弦定理得，， ∴，解得， 由双曲线定义可得，，故， 在中，由余弦定理得，， ∴，故双曲线离心率. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线综合问题，具体思路如下： （1）利用由求，利用且垂直于一条渐近线求直线的斜率，得到. （2）在中，由正弦定理表示，由双曲线定义表示，利用余弦定理表示得到的关系，即可计算离心率. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求的值； （2）求函数的图象在点处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导即可代入求解， （2）根据导数求解斜率，即可由点斜式求解. 【小问1详解】 由，得， 又，所以，解得. 【小问2详解】 由，得，所以，即切点为， 又切线的斜率为， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即. 16. （1）求两焦点分别为，且过点的椭圆的标准方程； （2）求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）设椭圆方程为，依题意得到关于、、的方程组，解得即可； （2）设双曲线方程为，将点的坐标代入方程求出即可. 【详解】（1）设椭圆方程为， 依题意，解得，所以椭圆方程为； （2）依题意设双曲线方程为，则，解得， 所以双曲线方程为. 17. 已知抛物线的焦点为F，点（其中）在抛物线C上，． （1）求和的值； （2）为坐标原点，过点的直线与抛物线交于另一点，，求直线的方程． 【答案】（1）p的值为2，t的值为4． （2）． 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义结合点在抛物线上即可求解； （2）法一：设B点的坐标为，通过，列出等式求解即可； 法二：设直线方程为，联立抛物线方程，由，结合韦达定理求解； 【小问1详解】 由抛物线的定义及，知，解得． 将点的坐标代入抛物线C的方程，得， 又，所以，故p的值为2，t的值为4． 【小问2详解】 法一：设B点的坐标为， 因为，A点的坐标为（4，4），所以， 解得或（舍去）． 所以B点的坐标为（4，－4），所以直线的方程为． 法二：由题知的斜率不为零，设直线的方程为，整理得． 设点A，B的坐标分别为， 联立方程，得， 所以． 因为，所以，解得或． 当时，直线的方程为，经过原点O不合题意； 当时，直线的方程为，满足题意， 故直线的方程为． 18. 如图1，在平行四边形ABCD中，，将沿BD折起到位置，使得平面平面，如图2. （1）证明：平面BCD； （2）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 在中，因为， 由余弦定理，得， 所以，所以， 所以． 如下图1所示：在中，作于点， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 又平面BCD，所以平面BCD. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直证明线面垂直，再用线面垂直证明线线垂直，从而证明线面垂直即可； （2）利用空间直角坐标系，结合空间向量的运算，即可求面面角的余弦值，从而问题求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：如下图2所示： 存在点，当是的中点时，二面角的大小为. 证明如下：由（1）知平面BDC，所以且， 所以，又因为是的中点，所以，同理可得：， 取BD的中点为O，DC的中点为，连接MO，EM，OE， 因为，所以是二面角的平面角， 又因为，所以．此时． 方法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如下图3所示的空间直角坐标系，则. 假设点存在，设， 则， 设平面MBD的一个法向量为， 则，取，可得， 又平面CBD的一个法向量为， 假设在线段上存在点，使得二面角的大小为， 则，解得， 所以点存在，且点是线段的中点，即. 19. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列. （1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列满足，，. ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：. 【答案】（1）是，理由见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据二阶等差数列的概念计算，从而判断； （2）①根据二阶等差数列的概念结合累加法求解通项公式；②根据裂项相消法求的前项和为，再根据数列的单调性证明结论. 【小问1详解】 因为，所以， 令，则， 所以，即为等差数列， 所以为二阶等差数列. 【小问2详解】 ①因为为二阶等差数列，且，，，所以，，所以的公差为， 所以，即， 所以， ， ， …… ， 将以上个式子左、右分别相加，得， 所以， 又，满足上式， 所以. ②证明：由（1）得， 所以. 因为，所以为递增数列， 所以； 又， 所以 . 因为，所以， 又因为数列为递减数列，所以为递增数列，即 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度高二上学期期末联考试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章~第五章第2节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 3. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知点，在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. 20 D. 15 6. 如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合，则集合中元素个数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 8. 椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆”的方程为，则该“斜椭圆”的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，：，点在上，点在上，则（ ） A. 的最小值为 B. 原点到的距离的最大值为 C. 的充要条件为 D. 的充要条件为或 10. 已知数列的前项和为，下列各条件能推出数列一定为等比数列的是（ ） A. B. C. D. 且 11. 在正方体中，，，则（ ） A. 若，则点的轨迹为线段 B. 若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段 C. 若，则三棱锥的体积为定值 D. 若，则与平面所成角的余弦值的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 13. 已知，若，则的值为______. 14. 已知为双曲线的左、右焦点，过点且垂直于一条渐近线的直线交的右支于点，若，则的离心率______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求的值； （2）求函数的图象在点处的切线方程. 16. （1）求两焦点分别为，且过点的椭圆的标准方程； （2）求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 17. 已知抛物线的焦点为F，点（其中）在抛物线C上，． （1）求和的值； （2）为坐标原点，过点的直线与抛物线交于另一点，，求直线的方程． 18. 如图1，在平行四边形ABCD中，，将沿BD折起到位置，使得平面平面，如图2. （1）证明：平面BCD； （2）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列. （1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列满足，，. ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $