2025年浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第19讲 直角三角形和勾股定理

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第四单元　三角形 《第19讲 直角三角形和勾股定理》 【知识梳理】 1.直角三角形 (1)定义:有一个角是　直角　的三角形叫做直角三角形.  (2)直角三角形的性质: ①直角三角形的两个锐角　互余　.  ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的　一半　.  ③在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的　一半　.  (3)直角三角形的判定: 有两个角　互余　的三角形是直角三角形.  2.勾股定理及其逆定理 (1)勾股定理:如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，那么　a2＋b2＝c2　.  (2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长分别为a，b，c(a≤b＜c)，并且满足　a2＋b2＝c2　，那么这个三角形是直角三角形.  (3)勾股数:能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数. 【考题探究】 类型一　直角三角形的性质的运用 【例1】如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE的中点.若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为(　D　) 例1图 A.2 B.3 C.2 D.4 【解析】 ∵D为斜边AC的中点，F为CE的中点，DF＝2， ∴AE＝2DF＝4. 又∵AE＝AD，∴AD＝4. 在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点， ∴BD＝AC＝AD＝4. 变式1－1 如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BD＝.若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为(　C　) 变式1－1图 A. B. C.1 D. 【解析】 ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 又∵∠B＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AD＝BD＝. ∵∠C＝60°，∠ADC＝90°，∴∠CAD＝30°， ∴DC＝＝1，∴AC＝2DC＝2. 又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF＝AC＝1. 变式1－2 [2023·凉山州]如图，边长为2的等边三角形ABC的两个顶点A，B分别在两条射线OM，ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是　1＋　.  变式1－2图 变式1－2答图 【解析】 如答图，取AB中点D，连结OD，DC. ∵△ABC为等边三角形，D为AB中点， ∴BD＝1，BC＝2，∴CD＝. ∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点， ∴OD＝AB＝1，∴OD＋CD＝1＋. 易知OC≤OD＋DC， ∴当点O，D，C共线时，OC有最大值，最大值是OD＋CD， 即OC的最大值为1＋. 类型二　勾股定理及其应用 【例2】[2024·吉林]图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB＝AB'，AB⊥B'C于点C，BC＝0.5尺，B'C＝2尺.设AC的长度为x尺，可列方程为　x2＋22＝(x＋0.5)2　.  图1　　 　图2 例2图 变式2 《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”其意思是:有一根与地面垂直且高一丈的竹子(1丈＝10尺)，现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺.问折断处与地面的距离为几尺?计算可知折断处与地面的距离为(　B　) A.5.45尺 B.4.55尺 C.5.8尺 D.4.2尺 类型三　勾股定理的面积关系 【例3】[2025·预测]如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为　100　.  例3图 变式3 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把两个较小的正方形按图2的方式放置在最大的正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(　C　) 变式3图 A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积 C.两个较小的正方形重叠部分的面积 D.最大的正方形与直角三角形的面积和 【解析】 设直角三角形的斜边长为c，较长的直角边为b，较短的直角边为a， 则由勾股定理，得c2＝a2＋b2， ∴阴影部分的面积＝c2－b2－a(c－b)＝a2－ac＋ab＝a(a＋b－c). ∵两个较小的正方形重叠部分的宽＝a＋b－c，长＝a， ∴两个较小的正方形重叠部分的面积＝a(a＋b－c)＝阴影部分的面积.故选C. 类型四　平面展开最短路径问题 【例4】(1)如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC.一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处.现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是(　C　) 例4(1)图 (2)[2024·绍兴模拟]如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯(无盖)高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是(　B　) A.厘米 B.10厘米 C.8厘米 D.8厘米 例4(2)图 例4(2)答图 【解析】 如答图，将圆柱展开，最短距离为PA'的长. PA'＝ ＝ ＝10(cm)， ∴最短路程为PA'＝10 cm. 变式4 如图是一块长、宽、高分别是6 cm，4 cm和3 cm的长方体木块.若一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和点A相对的顶点B处吃食物，则它需要爬行的最短路程为 　cm.  变式4图 【解析】 分三种情况讨论: 变式4答图 ①如答图1，AB＝(cm). ②如答图2，AB＝(cm). ③如答图3，AB＝(cm). ∵， ∴它需要爬行的最短路程为 cm. 类型五　勾股定理的逆定理 【例5】[2023·安徽]清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论:如图，AD是锐角三角形ABC的高，则BD＝.当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝　1　.  例5图 变式5 [2023·泸州]《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式:a＝(m2－n2)，b＝mn，c＝(m2＋n2)，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数.下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是(　C　) A.3，4，5 B.5，12，13 C.6，8，10 D.7，24，25 【解析】 当m＝3，n＝1时，a＝4，b＝3，c＝5，A不合题意. 当m＝5，n＝1时，a＝12，b＝5，c＝13，B不合题意. 当m＝7，n＝1时，a＝24，b＝7，c＝25，D不合题意. ∵m，n是互质的奇数，∴mn是奇数，∴没有符合条件的m，n使a，b，c各为6，8，10，C符合题意. 类型六　赵爽弦图 【例6】[2024·眉山]如图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为(　D　) 例6图 A.24 B.36 C.40 D.44 【解析】 设直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c. ∵图1中大正方形的面积是24， ∴a2＋b2＝c2＝24. ∵小正方形的面积是4， ∴(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝4， ∴ab＝10， ∴图2中大的正方形的面积为c2＋4×ab＝24＋2×10＝44. 变式6－1 [2023·扬州]我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图，直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c，若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为　96　.  变式6－1图 【解析】 每个直角三角形的面积＝＝96. 变式6－2 勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若正方形EFGH的边长为4，则S1＋S2＋S3＝　48　.  变式6－2图 【解析】 设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b， 则S1＝(a＋b)2，S2＝a2＋b2，S3＝(a－b)2. 又∵a2＋b2＝EF2＝16， ∴S1＋S2＋S3＝(a＋b)2＋a2＋b2＋(a－b)2＝3(a2＋b2)＝48. 【例7】[2024·浙江]如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE，△BCF，△CDG，△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成，连结DE.若AE＝4，BE＝3，则DE＝(　C　) 例7图 A.5 B.2 C. D.4 【解析】 ∵Rt△DAH≌Rt△ABE， ∴DH＝AE＝4，AH＝BE＝3， ∴EH＝AE－AH＝4－3＝1. ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠DHE＝90°， ∴DE＝ ＝. 变式7－1 [2023·杭州]第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1 700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直角三角形(△DAE，△ABF，△BCG，△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连结BE.设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n，tan α＝tan2 β，则n＝(　C　) 变式7－1图 A.5 B.4 C.3 D.2 【解析】 设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b. ∵tan α＝，tan β＝，tan α＝tan2β， ∴， ∴(b－a)2＝ab， ∴a2＋b2＝3ab. ∵a2＋b2＝AD2＝S正方形ABCD，(b－a)2＝S正方形EFGH， ∴S正方形EFGH∶S正方形ABCD＝ab∶3ab＝1∶3， ∴n＝3. 变式7－2 [2023·黄冈]如图是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设图中AF＝a，DF＝b，连结AE，BE.若△ADE与△BEH的面积相等，则＝　3　.  变式7－2图 【解析】 ∵AF＝a，DF＝b， ∴ED＝AF＝a，EH＝EF＝DF－DE＝b－a. ∵△ADE与△BEH的面积相等， ∴DE·AF＝EH·BH， ∴a2＝(b－a)·b， ∴a2＝b2－ab， ∴1＝， ∴－1＝0， 解得(负值舍去)， ∴＝3. 变式7－3 [2024·武汉]如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE(k＞1)，则用含k的式子表示的值是 　.  变式7－3图 变式7－3答图 【解析】 如答图，过点A作AG∥BP交FE的延长线于点G， ∵AG∥BP，∴∠AGE＝∠BPE＝45°，△AGE∽△BPE， ∴. 设AG＝1，则BP＝k. ∵∠NMP＝45°，∴∠AMG＝45°，∴AM＝AG＝1. ∵AN＝BP＝k，∴MN＝k－1. ∵S1＝AD2＝AM2＋MD2＝k2＋1，S2＝MN2＝(k－1)2， ∴. 【例8】[浙教八上P77T2改编]如图，以△ABC的每一条边为边作三个正方形.已知这三个正方形构成的图形中，深色部分的面积与浅色部分的面积相等，则△ABC一定是　直角　三角形.  例8图 例8答图 【解析】 如答图所示标注边和面积. 深色部分的面积＝b2－S1＋a2－S2， 浅色部分的面积＝S3＋S4＝c2－(S1＋S2). ∵深色部分的面积与浅色部分的面积相等， ∴b2－S1＋a2－S2＝c2－(S1＋S2)，即b2＋a2＝c2， ∴△ABC一定是直角三角形. 变式8 [2023·金华]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点F在GH上，CG与EF相交于点P，CM与BE相交于点Q.若HF＝FG，则的值是(　B　) 变式8图 A. B. C. D. 【解析】 设HF＝x，则FG＝x，AH＝AC＝HG＝2x. ∵∠H＝90°，∴AB＝BE＝FA＝x. 又∵∠ACB＝90°，∴BC＝HF＝x. ∵AF∥BE，∴∠FAC＝∠BQC. 又易知∠HAF＋∠FAC＝90°，∠BQC＋∠CBQ＝90°， ∴∠HAF＝∠CBQ， ∴＝tan∠CBQ＝tan∠HAF＝，∴PE＝x， ∴S△BPE＝×x·x＝x2＝S正方形ABEF. ∵∠PBE＝∠QBC，∠BCQ＝∠E＝90°， ∴△BQC∽△BPE， ∴， ∴S四边形PCQE＝S△BPE＝S正方形ABEF， 即. 【课后作业】 1.[经题]已知a，b，c是△ABC的三条边长，则下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(　D　) A.∠A＋∠B＝∠C B.a2－b2＝c2 C.∠A－∠B＝∠C D.(a－b)(a2＋b2－c2)＝0 2.[2023·株洲]一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知∠ACB＝90°，D为边AB的中点，点A，B对应的刻度分别为1，7，则CD＝(　B　) 第2题图 A.3.5 cm B.3 cm C.4.5 cm D.6 cm 3.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题:“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积有多大?题中“里”是我国市制长度单位，1里＝500 m，则该沙田的面积为(　A　) A.7.5 km2 B.15 km2 C.75 km2 D.750 km2 【解析】 ∵52＋122＝132，∴该沙田的形状为直角三角形，∴这块沙田的面积为×(5×0.5)×(12×0.5)＝7.5(km2). 4.[2023·河北]如图，在Rt△ABC中，AB＝4，M是斜边BC的中点，连结AM，以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝(　B　) 第4题图 A.4 B.8 C.12 D.16 【解析】 ∵四边形AMEF是正方形，且S正方形AMEF＝16， ∴AM2＝16，∴AM＝4. 在Rt△ABC中，M是斜边BC的中点， ∴AM＝BC，∴BC＝8. 在Rt△ABC中，∵AB＝4，BC＝8， ∴AC＝＝4， ∴S△ABC＝AB·AC＝8. 5.[2023·重庆B卷]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长为　4　.  第5题图 【解析】 ∵AB＝AC，AD是边BC的中线， ∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°. ∵AB＝5，BC＝6，∴BD＝CD＝3. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD＝＝4. 6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点.若EF的长为10，则CD的长为　10　.  第6题图 【解析】 ∵E，F分别为边BC，CA的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF＝AB，∴AB＝2EF＝20. ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点， ∴CD＝AB＝10. 7.《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何?”题意是:有一个池塘，其水面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处(如图)，求水深和芦苇长各多少尺.该问题中的水深为　12　尺.  第7题图 【解析】 设芦苇长AC＝AC'＝x尺，则水深AB＝(x－1)尺. ∵水面宽10尺，∴C'B＝5尺. 在Rt△AC'B中，由勾股定理， 得x2＝52＋(x－1)2，解得x＝13， ∴x－1＝12，即水深为12尺. 8.[2024·新疆]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8.若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD＝30°，则AD的长为　6或12　.  第8题图 【解析】 在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝8， ∴BC＝×8＝4， ∴AC＝＝4. 当点D在点B左上方时，如答图1. 第8题答图1 ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°. 又∵∠BCD＝30°，∴∠BDC＝60°－30°＝30°， ∴BD＝BC＝4，∴AD＝8＋4＝12; 当点D在点B的右下方时，如答图2. 第8题答图2 ∵∠ABC＝60°，∠BCD＝30°，∴∠CDA＝90°. 在Rt△ACD中，cos A＝， ∴AD＝AC·cos A＝4×＝6. 综上所述，AD的长为6或12. 9.如图1，将长为2a＋3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”(如图2)，得到大、小两个正方形. (1)用含a的代数式表示图2中小正方形的边长. (2)当a＝3时，该小正方形的面积为多少? 图1　　 　图2 第9题图 解:(1)∵直角三角形较短的直角边长为2a÷2＝a，较长的直角边长为2a＋3， ∴图2中小正方形的边长为2a＋3－a＝a＋3. (2)当a＝3时，S小正方形＝(a＋3)2＝(3＋3)2＝36. 10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，AC＝6，BC＝8.求: (1)DE的长. (2)△ADB的面积. 　第10题图 解:(1)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DE＝CD. 又∵AD＝AD， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)， ∴AE＝AC＝6. 又∵在Rt△ABC中，AB＝＝10， ∴BE＝AB－AE＝4. 设DE＝CD＝x，则BD＝8－x. ∵在Rt△EDB中，DE2＋BE2＝BD2， ∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3， ∴DE＝3. (2)∵DB＝CB－CD＝5， ∴S△ADB＝AC·DB＝×6×5＝15. 11.[2024·安徽]如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则BD的长是(　B　) A. B. C.2－2 D.2 第11题图 第11题答图 【解析】 如答图，过点C作CH⊥AB于点H. ∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，CH⊥AB， ∴AB＝2，AH＝BH＝CH＝. ∵CD＝AB＝2，∴DH＝， ∴DB＝DH－BH＝.故选B. 12.[2023·济宁]如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD相交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于(　C　) A.180°－α B.180°－2α C.90°＋α D.90°＋2α 第12题图 第12题答图 【解析】 如答图，过点B作BG∥CD，连结EG. ∵BG∥CD，∴∠ABG＝∠CFB＝α. ∵BG2＝12＋42＝17，BE2＝12＋42＝17，EG2＝32＋52＝34， ∴BG2＋BE2＝EG2， ∴△BEG是直角三角形，∴∠GBE＝90°， ∴∠ABE＝∠GBE＋∠ABG＝90°＋α. 13.[2023·广安]如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为　10　cm(杯壁厚度不计).  第13题图 第13题答图 【解析】 如答图，将杯子侧面展开，作点B关于EF的对称点B'，连结B'A，则B'A即为最短路程. ∵AD＝9－4＋1＝6(cm)，B'D＝16÷2＝8(cm)， ∴B'A＝＝10 cm. 14.如图，E是正方形ABCD内的一点，连结AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE'的位置.若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE'C的度数为　135　°.  第14题图 第14题答图 【解析】 如答图，连结EE'. 由旋转的性质，得∠EBE'＝90°，BE'＝BE＝2，CE'＝AE＝1， ∴EE'＝2，∠BE'E＝45°. ∵EE'2＋CE'2＝8＋1＝9，CE2＝9， ∴EE'2＋CE'2＝CE2， ∴△EE'C是直角三角形，且∠EE'C＝90°， ∴∠BE'C＝∠BE'E＋∠EE'C＝135°. 15.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连结CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°. (1)求证:CE＝CM. (2)若AB＝4，求线段FC的长. 第15题图 解:(1)∵∠ACB＝90°，M为边AB的中点， ∴MA＝MC， ∴∠MCA＝∠A＝50°， ∴∠CME＝180°－∠A－∠MCA＝80°. 又∵∠CEM＝∠A＋∠ACE＝80°， ∴∠CME＝∠CEM，∴CE＝CM. (2)∵∠ACB＝90°，M为边AB的中点， ∴CM＝AB＝2. 由(1)，得CE＝CM，∴CE＝2. 又∵EF⊥AC， ∴FC＝CE·cos∠FCE＝. 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上.记该圆的面积为S1，△ABC的面积为S2，则的值为(　C　) A. B.3π C.5π D. 第16题图 第16题答图 【解析】 如答图，作弦EF，MN的垂直平分线，交点即为圆心O，易知圆心O为AB的中点.连结OF，OG，设MN的垂直平分线交AC于点P，则OP⊥AC，设BC＝a，AC＝b，AB＝c. 易知OP是△ABC的中位线， ∴OP＝，OA＝， ∴OF2＝OA2＋AF2＝c2， OG2＝OP2＋PG2＝. 又∵OF＝OG， ∴c2， 与a2＋b2＝c2联立，解得a＝b＝c， ∴S1＝πOF2＝πc2，S2＝ab＝c2， ∴＝5π. 学科网（北京）股份有限公司 $$