精品解析：广东省梅州市梅江区梅州城西职业技术学校2022-2023学年高一下学期7月期末数学试题

梅州城西职业技术学校2022-2023学年度第二学期数学期末试题 中职一年级 （共22题，共100分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的答案. 1. 若集合，，则 等于 （ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. “红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是(　　) A. 红豆生南国 B. 春来发几枝 C. 愿君多采撷 D. 此物最相思 4. 在函数 ，，， 中，幂函数的个数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点是函数图象上两点，将的图象向右平移两个单位长度后得到函数的图象，点为图象上点，若轴且为等边三角形，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 7 设 ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 9. 在等差数列中，，那么（ ） A. B. C. D. 10. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 11. 若则一定有( ) A. B. C. D. 12. 某同学参加期末模拟考试，考后对自己语文和数学成绩进行了如下估计：语文成绩（）高于分，数学成绩（）不低于分，用不等式组可以表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 已知一组数据：，，，， 的平均数为，则该组数据的方差为____． 14. 已知 ，，，则最小值为____ 15. 袋中有个黄色的棒球，个白色的棒球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为____． 16. 一猎人带着一把猎枪到山里去打猎，猎枪每次可以装发子弹，当他遇见一只野兔时，开第一枪命中野兔的概率为，若第一枪没有命中，猎人开第二枪，命中野兔的概率为，若第二枪也没有命中，猎人开第三枪，命中野兔的概率为，若发子弹都没打中，野兔就逃跑了，则已知野兔被击中的条件下，是猎人开第二枪命中的概率为____． 三、解答题：本大题共6小题，每小题8分共48分. 17 已知集合 ，． （1）求 ； （2）若集合 ，写出集合 的所有子集． 18. 设等差数列满足，．求； （1）数列的通项公式； （2）的前项和及使得最大值的序号值． 19. 有一批同一型号的数码词典原销售价为每台 元，在甲、乙两家商场均有销售．甲商场促销方法：买一台单价 元，买两台单价 元，依次类推，每多买一台，则所买各台单价均再减少 元，但每台最低价不能低于 元；乙商场一律按原价的 销售．某学校需购买一批文曲星，去哪家商场购买花费较少？ 20. 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示， 是一块边长为 的正方形地皮，扇形 是运动场的一部分，其半径是，矩形就是拟建的健身室，其中，分别在 和 上，在弧上，设矩形 的面积为，． （1）将表示为的函数； （2）求健身室面积的最大值，并指出此时的点在的何处？ 21. 智能手机的出现改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间．某市教育机构从 名手机使用者中随机抽取 名，得到每天使用手机的时间（单位：分钟）的频率分布直方图如图所示，其分组是． （1）根据频率分布直方图，估计这名手机使用者每天使用手机的时间的中位数是多少分钟．（精确到整数） （2）估计这名手机使用者平均每天使用手机多少分钟．（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表） （3）在抽取的名手机使用者中，从每天使用手机的时间在和 的手机使用者中按比例分别抽取人和人组成研究小组，再从研究小组中选出名组长，求这名组长分别选自和的概率． 22. 如图，已知四棱锥中，底面是边长为的菱形，，底面，，点是的中点. （1）求证：平面ABE； （2）求到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 梅州城西职业技术学校2022-2023学年度第二学期数学期末试题 中职一年级 （共22题，共100分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的答案. 1. 若集合，，则 等于 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的运算，即可求解. 【详解】由题意知集合，， 所以. 故选：A 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系分析求解. 【详解】因为，，所以，A正确，B错误， 只有一个元素，是有限集，是无限集，故，，CD错误， 故选：A 3. “红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是(　　) A. 红豆生南国 B. 春来发几枝 C. 愿君多采撷 D. 此物最相思 【答案】A 【解析】 【分析】利用命题的定义即可判断出答案． 【详解】由命题的定义可知：“红豆生南国”这一句可以判断红豆生在什么地方，因此可以作为一个命题． 故选A． 【点睛】正确理解命题的定义是解题的关键． 4. 在函数 ，，， 中，幂函数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，即可求解. 【详解】一般地，（a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数. 函数，形如，所以函数是幂函数； 函数、以及均不是的形式. 综上：在函数 ，，， 中，幂函数的个数为1个. 故选：B. 5. 如图，点是函数图象上两点，将的图象向右平移两个单位长度后得到函数的图象，点为图象上点，若轴且为等边三角形，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用是边长为2的等边三角形，且轴，因此可得点坐标为），代入可解得. 【详解】设，由等边三角形边长为2，且轴，所以 又点C在图象上，所以，即，. 故选B. 【点睛】本题考查指数函数的图象与性质.解题关键是由等边三角形得出两点间坐标的关系.从而求解. 6. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期公式即可求解. 【详解】由题意得，. 故选：B. 7. 设 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式及同角三角函数的平方关系求解即可. 【详解】， 所以. 故选：C. 8. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】由条件求出，利用等比数列的前项和公式求得答案． 【详解】由得，即，解得， 则． 故选：D． 9. 在等差数列中，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求值即可. 【详解】等差数列中，， 则，所以， 故选：A. 10. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合分式不等式的解法，即可求解. 【详解】因为， 所以或， 解得或. 即不等式的解集为. 故选：C. 11. 若则一定有( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据赋值法和不等式的性质即可解得. 【详解】选项A中，若，则，错误. 选项B中，若，则，错误. 选项C中，若，则，错误. 选项D中，已知，所以，得到，故，正确. 故选：D. 12. 某同学参加期末模拟考试，考后对自己的语文和数学成绩进行了如下估计：语文成绩（）高于分，数学成绩（）不低于分，用不等式组可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出不等式组即可得解. 【详解】语文成绩（）高于分，数学成绩（）不低于分， 用不等式则表示为， 故选：. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 已知一组数据：，，，， 的平均数为，则该组数据的方差为____． 【答案】高教版：；人教版： 【解析】 【分析】根据这组数据的平均数是，写出平均数的表示式，求出其中的值，再利用方差的公式，写出方差的表示式，即可求解. 【详解】解法一（对应高教版）： 因为，，，， 的平均数为， 所以解得. 故这组数据的方差是. 故答案为：. 解法二（对应人教版）： 因为，，，， 的平均数为， 所以，解得. 故这组数据的方差是. 故答案为：. 14. 已知 ，，，则的最小值为____ 【答案】##1.25 【解析】 【分析】根据换元法和基本不等式的解法求解即可. 【详解】因为，，， 令，，所以， 则 ， 当且仅当，即，此时时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：． 15. 袋中有个黄色的棒球，个白色的棒球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型及分步乘法计数原理即可得解. 【详解】根据题意可知第一次抽到白球，第二次抽到黄球概率为， 故答案为：. 16. 一猎人带着一把猎枪到山里去打猎，猎枪每次可以装发子弹，当他遇见一只野兔时，开第一枪命中野兔的概率为，若第一枪没有命中，猎人开第二枪，命中野兔的概率为，若第二枪也没有命中，猎人开第三枪，命中野兔的概率为，若发子弹都没打中，野兔就逃跑了，则已知野兔被击中的条件下，是猎人开第二枪命中的概率为____． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算出野兔被击中的概率，再利用条件概率公式计算猎人开第二枪击中的条件概率即可. 【详解】设为第一枪击中兔子的概率，设为第二枪击中兔子的概率， 设为第三枪击中兔子的概率，设为枪击中兔子的概率， 则，，， ， 则猎人开第二枪命中的概率为. 故答案为：. 三、解答题：本大题共6小题，每小题8分共48分. 17. 已知集合 ，． （1）求 ； （2）若集合 ，写出集合 的所有子集． 【答案】（1） （2），，，． 【解析】 【分析】（1）根据集合的并集运算易得答案； （2）先求集合的交集，再写出集合的所有子集易得答案. 【小问1详解】 因为，， 则 ． 【小问2详解】 ，则 ， 集合 的子集为：，，，． 18. 设等差数列满足，．求； （1）数列的通项公式； （2）的前项和及使得最大值的序号值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式即可求解. （2）根据等差数列前前项和公式结合二次函数的性质即可求解.即可求解. 【小问1详解】 由题意得，等差数列，. 所以，解得，即. 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得，，则. 因为，所以当时，使得最大值. 则前项和，使得最大值的序号. 19. 有一批同一型号的数码词典原销售价为每台 元，在甲、乙两家商场均有销售．甲商场促销方法：买一台单价 元，买两台单价 元，依次类推，每多买一台，则所买各台单价均再减少 元，但每台最低价不能低于 元；乙商场一律按原价的 销售．某学校需购买一批文曲星，去哪家商场购买花费较少？ 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】根据题意，列出函数关系式，即可求解. 【详解】设该学校需购买 台文曲星，在甲、乙两家商场购买的费用分别为 ，， 由题意：，， ，； 很明显，当时，去甲商场购买花费最少， 当时， 由 ，可得， 当 时，去乙商场花费较少； 由 ，可得， 当时，去甲、乙两商场的花费一样多； 由 ，可得， 当 时，去甲商场花费较少． 综上，当 时，去乙商场花费较少；当时，去甲、乙两商场的花费一样多； 当 时，去甲商场花费较少． 20. 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示， 是一块边长为 的正方形地皮，扇形 是运动场的一部分，其半径是，矩形就是拟建的健身室，其中，分别在 和 上，在弧上，设矩形 的面积为，． （1）将表示为的函数； （2）求健身室面积的最大值，并指出此时的点在的何处？ 【答案】（1），． （2）当在的端点或处时，健身室面积最大，最大面积为平方米． 【解析】 【分析】（1）根据三角函数表示图形中的边，再由矩形面积公式列出等式即可解得. （2）根据第（1）问得到的函数设出未知量将其转化为一元二次方程求出最值即可解得. 【小问1详解】 延长 交 于 如下图所示： 因为 ，所以 ，， 所以 ，， 所以 ，． 整理得， 【小问2详解】 设 ，则 ， 所以 当 时，，此时， 即或，又，又或， 所以当在的端点或处时，健身室面积最大，最大面积为平方米． 21. 智能手机的出现改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间．某市教育机构从 名手机使用者中随机抽取 名，得到每天使用手机的时间（单位：分钟）的频率分布直方图如图所示，其分组是． （1）根据频率分布直方图，估计这名手机使用者每天使用手机的时间的中位数是多少分钟．（精确到整数） （2）估计这名手机使用者平均每天使用手机多少分钟．（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表） （3）在抽取的名手机使用者中，从每天使用手机的时间在和 的手机使用者中按比例分别抽取人和人组成研究小组，再从研究小组中选出名组长，求这名组长分别选自和的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合中位数的定义和频率分布直方图，即可求解； （2）根据题意，结合平均数的概念和频率分布直方图，即可求解； （3）根据题意，结合古典概率的计算，即可求解. 【小问1详解】 设中位数为 ，则 ， 解得 ． 所以这 名手机使用者每天使用手机的时间的中位数是57． 【小问2详解】 由题意，这 名手机使用者平均每天使用手机的时间为 （分钟）． 【小问3详解】 由题意， 设每天使用手机的时间在内抽取的两人分别为，， 在 内抽取的三人分别为 ，，， 则从五人中选出两人共有以下 种情况： ，，，，，，，，，， 两名组长分别选自和的情况共有以下种：，，，，，， 两名组长分别选自和的概率． 22. 如图，已知四棱锥中，底面是边长为的菱形，，底面，，点是的中点. （1）求证：平面ABE； （2）求到平面距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理，即可求解. （2）根据平面ABE，可将到平面的距离转换为点C到平面的距离，再利用体积公式，即可求解. 【小问1详解】 因为菱形中，， 又因为平面ABE，平面ABE， 所以平面ABE. 【小问2详解】 由（1）知平面ABE， 故到平面距离转换为点C到平面的距离d， 连接、、，与交于点F，连接， 因为底面是边长为的菱形，易得点F是与的中点， 所以且， 则底面，又， 则，，故， 又，， 故，， 又， 故，， 又因为，即， 解得， 即到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$