精品解析：广东省梅州市梅县区第一职业学校2022-2023学年高一下学期7月期末数学试题

梅州梅县区第一职业学校 2022-2023学年度第二学期数学期末试题中职一年级 （共22题，共100分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的答案. 1. 已知全集，集合或，或，则集合（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集、交集的概念及运算可求解. 【详解】因为全集，集合或， 所以； 又因为或， 所以. 故选：C 2. 已知集合 ，则集合 是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合并集、补集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为集合 ， 所以， 又， 所以. 故选：B. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分的定义和不等式的基本性质分析. 【详解】当时，，故“” “”. 当时，不等式两边同时乘以，得到，即“” “”. “”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用具体函数与对数函数的定义域求法即可得解. 【详解】对于， 有，解得，则， 所以的定义域为. 故选：C. 5. 已知偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数及函数图象经过的点，将不等式化为，再根据函数的单调性，解含绝对值的不等式可求解. 【详解】因为函数的图象经过点 ，所以 所以不等式可化为， 又因为函数为偶函数，所以. 由于当 时，不等式 恒成立， 则函数 在单调递减， 所以，可化为或，解得或， 即使得 成立的取值范围为 . 故选：D 6. 下列函数中，值域为 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依次求得基本初等函数的值域即可得解. 【详解】A：，所以函数的值域是，故错误； B：，所以函数的值域是，故错误； C：，因为，所以，所以函数的值域是，故错误； D：，因为，所以，所以函数的值域是，故正确. 故选：D. 7. 在 中，若，则 是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰非直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角和正弦公式化简得，再由的最大值为1，得，即可判断三角形的形状. 【详解】已知， 即，得，因为的最大值为1， 所以，且在中，， 所以，则是直角三角形， 故选：C. 8. 如图，在矩形 中， 是对角线 和 的交点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的几何计算即可解得. 【详解】由题，为矩形，则， . 故选：D 9. 记 为数列 的前 项和，若 ，则（ ） A. 有最大项， 有最大项 B. 有最大项， 有最小项 C. 有最小项， 有最大项 D. 有最小项， 有最小项 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的最值和数列的正负即可解得. 【详解】由题，数列， 二次函数开口向下，对称轴为，有最大值， 则对应，当时，取得最大， 由可知，当时，， 当时，；当时，， 则当或时，取得最大值. 故选：A 10. 若多项式 分解因式的结果中有因式 ，则此多项式分解因式的结果中另一个因式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设另一个因式为，利用两式相乘与相等即可求. 【详解】设另一个因式为， 则有， 即， 则，解得：，； 则此多项式分解因式的结果中另一个因式为； 故选：D. 11. 不等式 的解集为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将分式不等式化为一元二次不等式求解即可解得. 【详解】由题，不等式， 则，解得， 即不等式解集为. 故选：B 12. 若 且 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可解得. 【详解】由题，且， 故可知， 选项AD：且，则，A错误，D正确. 选项BC：，若，则，BC错误. 故选：D 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 已知球的半径为，有两个平行平面截球所得截面面积分别等于与，则这两个平行平面的距离为____. 【答案】或 【解析】 【分析】分别求出球心到两截面的距离，再考虑两平面在球心同侧或异侧即可求解. 【详解】不妨设截面面积等于，截面面积等于， 可得截面所在圆面的半径为，截面所在圆面的半径为， 对截面，如下图所示，球心与截面所在圆面圆心连线垂直截面， 在直角三角形中，，可求得. 即球心到截面的距离为. 同理可求，球心到截面的距离为. 当截面在球心同侧时，两个平行平面的距离为 此时截面距离为. 同理，当截面在球心异侧时，截面的距离为. 故答案为：或. 14. 一组数据按从小到大的顺序排列为 ，，，，，，其中 ，已知该组数据的中位数是众数的 倍，则该组数据的标准差为____. 【答案】（对应高教版）（对应人教版） 【解析】 【分析】根据中位数、众数的概念，结合方差和标准差公式计算即可解得. 【详解】由题，该组数据的中位数为，众数为， 则可得，解得， 则平均数为， 解法一（对应高教版）： 则标准差为. 故答案为：. 解法二（对应人教版）： 则标准差为. 故答案为：3. 15. 若等差数列的公差，且，，成等比数列，则____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式及等比中项公式得到，从而得解. 【详解】由等差数列可知，， 由等比中项公式可知，即，化简得， 因为，则， 则； 故答案为：. 16. 的内角的对边分别为.若，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用余弦定理求得c的值，然后利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得:， 所以，即， 解得:（舍去）， 所以，， 故答案为：. 三、解答题：本大题共6小题，每小题8分共48分. 17. 记无穷数列 的前 项中最大值为 ，最小值为 ，令 . （1）若 ，写出 ，，， 的值； （2）设 ，若 ，求 的值及 时数列 的前 项和 ； （3）求证：“数列 是等差数列”的充要条件是“数列 是等差数列”. 【答案】（1） （2）4； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题中信息将代入通项公式，再由等量关系依次写出所求值即可解得. （2）根据已知分情况讨论求解验证，再由定义证明单调性，结合等比数列和等差数列求和公式即可解得. （3）根据充要条件的判定，结合等差数列的判定分情况讨论即可解得. 【小问1详解】 因为 ，则得 ，，，， 所以 ，，，. 【小问2详解】 ，，. 当 时，，，解得 ，无解； 当 时，，，解得 ，无解； 当 时，，，解得 ，符合题意； 当 时，，，解得 无解. 此时 ，，，，， 当 时，， 所以当 时， 单调递增，， ，，. 于是当 时， ， 所以当 时，数列 的前 项和 . 【小问3详解】 必要性：已知数列 是等差数列，设其公差为 . 当 时，数列 是递增数列； 当 时，数列 是常数列； 当 时，数列 是递减数列； 都有 ，则得 ， 即 ， 由等差数列的定义知，数列 是等差数列. 充分性：已知数列 是等差数列，设其公差为 ， 则 . 由题意知，，. 当 时， 对任意 都成立， 即 ，则得 ， 所以数列 是递增数列， 于是 ，，， 所以 ， 由等差数列的定义知，数列 是公差为 的等差数列. 当 时， 对任意 都成立， 即 ，则得 ， 所以数列 是递减数列， 于是 ，，， 所以 ， 由等差数列的定义知，数列 是公差为 的等差数列. 当 时，， 因为 与 中至少有一个为 ，所以它们都为 ， 即 ，且 ，进而得数列 是常数列，是公差为 的等差数列. 所以数列 是等差数列. 综上，“数列 是等差数列”的充要条件是“数列 是等差数列”. 18. 设集合，. （1）用列举法写出集合. （2）求和. 【答案】（1）. （2），. 【解析】 【分析】（1）因为A内集合是自然数且小于4，根据这两个条件即可写出集合A的所有元素. （2）根据交集并集的运算方法即可得出结果. 【小问1详解】 因为集合，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 19. 函数（为大于零的实常数，且）. （1）求的定义域. （2）讨论函数的奇偶性并证明. （3）求函数的值域. 【答案】（1） （2）偶函数，证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用对数型函数的定义域求解即可； （2）根据奇偶性的定义求解即可； （3）根据对数型函数的单调性，结合复合函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以，解得， 所以的定义域为. 【小问2详解】 因为， 且定义域关于原点对称，所以为偶函数. 【小问3详解】 因为， 令，则， 当时，在其定义域上单调递增， 所以，则的值域为； 当时，在其定义域上单调递减， 所以，则的值域为； 综上，当时，值域为； 当时，的值域为. 20. 已知函数 ． （1）求 的值； （2）求 的最小正周期和单调递增区间； （3）将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，若函数 在 上有且仅有两个零点，求 的取值范围． 【答案】（1）． （2），单调递增区间为 ． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据二倍角正弦，余弦公式和辅助角公式化简求函数值易得答案； （2）根据正弦型函数的性质易得答案； （3）根据正弦函数与的交点情况解不等式易得答案. 【小问1详解】 因为函数 ， 所以 ，故 ． 【小问2详解】 由函数的解析式为 可得，它的最小正周期为 ． 令 ，解得得 ， 所以函数的单调递增区间为 ． 【小问3详解】 将函数 的图象向右平移 个单位， 得到函数 的图象， 若函数 在 上有且仅有两个零点， 则在 上有且仅有两个实数，满足，即 ． 在 上，， 所以 ，求得 ． 21. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为，，.现采用分层抽样的方法从中抽取名同学去某敬老院参加献爱心活动. （1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （2）设抽出的名同学分别用，，，，，，表示，现从中随机抽取名同学承担敬老院的卫生工作. （ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ⅱ）设为事件“抽取的名同学来自同一年级”，求事件发生的概率. 【答案】（1）3，2，2 （2）（i）答案见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样原理计算即可解得； （2）（ⅰ）由列举法列出所有可能结果即可解得；（ⅱ）根据基本事件总数和概率公式即可解得. 【小问1详解】 由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为， 由于采用分层抽样的方法从中抽取名同学， 因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 人，人，人. 【小问2详解】 （ⅰ）从抽出的名同学中随机抽取名同学的所有可能结果为 ，，，，，， ，，，，， ，，，， ，，，，，，共种. （ⅱ）由（1），不妨设抽出的名同学中，来自甲年级的是，，， 来自乙年级的是，，来自丙年级的是，， 则从抽出的名同学中随机抽取的名同学来自同一年级的所有可能结果为 ，，，，共种. 所以，事件发生的概率为. 22. 如图所示，在四棱锥 中，底面四边形 是菱形，， 是边长为 的等边三角形，，. （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的大小； （3）在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？如果存在，求 的值，如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直即可解得. （2）根据已知建立空间直角坐标系，再由法向量和向量坐标计算线面角大小即可解得. （3）根据向量的坐标和法向量进行计算即可解得. 【小问1详解】 因为底面 是菱形，， 所以分别为，中点. 又因为 ，， 所以 ，，， 且面，面， 所以 底面 . 【小问2详解】 由底面是菱形可得， 又由（1）可知，. 如图，以为原点建立空间直角坐标系，连接， 由是边长为的等边三角形，， 可得，. 所以，，，. 所以，. 由已知可得 ， 设平面的法向量为 ，则 令，则，所以. 因为， 所以直线与平面所成角的余弦值为， 所以直线与平面所成角的大小为. 【小问3详解】 设存在点，使得， 则 . 若使 平面，则需且平面， 解得，所以线段上存在一点，使平面， 此时 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 梅州梅县区第一职业学校 2022-2023学年度第二学期数学期末试题中职一年级 （共22题，共100分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的答案. 1 已知全集，集合或，或，则集合（ ） A. B. C. D. 或 2. 已知集合 ，则集合 是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，值域为 的是（ ） A. B. C. D. 7. 在 中，若，则 是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰非直角三角形 8. 如图，在矩形 中， 是对角线 和 的交点，则 （ ） A. B. C. D. 9. 记 为数列 的前 项和，若 ，则（ ） A. 有最大项， 有最大项 B. 有最大项， 有最小项 C 有最小项， 有最大项 D. 有最小项， 有最小项 10. 若多项式 分解因式的结果中有因式 ，则此多项式分解因式的结果中另一个因式为（ ） A. B. C. D. 11. 不等式 的解集为 （ ） A. B. C. D. 12. 若 且 ，则下列不等式一定成立是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 已知球的半径为，有两个平行平面截球所得截面面积分别等于与，则这两个平行平面的距离为____. 14. 一组数据按从小到大的顺序排列为 ，，，，，，其中 ，已知该组数据的中位数是众数的 倍，则该组数据的标准差为____. 15. 若等差数列的公差，且，，成等比数列，则____. 16. 的内角的对边分别为.若，则的面积为_________． 三、解答题：本大题共6小题，每小题8分共48分. 17. 记无穷数列 的前 项中最大值为 ，最小值为 ，令 . （1）若 ，写出 ，，， 的值； （2）设 ，若 ，求 的值及 时数列 的前 项和 ； （3）求证：“数列 是等差数列”的充要条件是“数列 是等差数列”. 18. 设集合，. （1）用列举法写出集合. （2）求和. 19. 函数（为大于零的实常数，且）. （1）求的定义域. （2）讨论函数的奇偶性并证明. （3）求函数的值域. 20. 已知函数 ． （1）求 的值； （2）求 的最小正周期和单调递增区间； （3）将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，若函数 在 上有且仅有两个零点，求 的取值范围． 21. 已知某校甲、乙、丙三个年级学生志愿者人数分别为，，.现采用分层抽样的方法从中抽取名同学去某敬老院参加献爱心活动. （1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （2）设抽出的名同学分别用，，，，，，表示，现从中随机抽取名同学承担敬老院的卫生工作. （ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ⅱ）设为事件“抽取的名同学来自同一年级”，求事件发生的概率. 22. 如图所示，在四棱锥 中，底面四边形 是菱形，， 是边长为 的等边三角形，，. （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的大小； （3）在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？如果存在，求 的值，如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$