（趣味奥数）第二十讲 鸡兔同笼-四年级下册奥数精讲精练（通用版）

第二十讲 鸡兔同笼 集市上的数学难题 在一个古老而宁静的村庄，每逢月初都会举办热闹非凡的集市。村民们从四面八方赶来，带着自家的农产品和牲畜，期望能在集市上换来生活所需。 这一天，五年级的小虎和爷爷也来到了集市。他们路过一个卖鸡和兔子的摊位时，听到摊主和一位顾客正为一道难题发愁。原来，顾客想买一些鸡和兔子回家饲养，但他想考考摊主，便问道：“我知道你这笼子里鸡和兔子一共有35个头，94只脚，你能立刻告诉我鸡和兔子各有多少只吗？”摊主挠了挠头，急得满脸通红，一时语塞。 小虎在一旁听到这个问题，脑海中瞬间浮现出数学课上学到的“鸡兔同笼”解法。他灵机一动，开始思考起来：“如果我假设笼子里全是鸡，每只鸡有2只脚，那么35个头对应的鸡脚总数就是35×2=70只脚。但实际有94只脚，多出来的脚就是兔子比鸡多的脚。每只兔子比每只鸡多4-2=2只脚，总共多了94-70=24只脚，所以兔子的数量就是24÷2=12只。鸡的数量自然就是35-12=23只。” 小虎自信满满地大声说出答案：“鸡有23只，兔子有12只！”摊主和顾客都惊讶地看着他，眼中满是赞赏。顾客笑着对摊主说：“这孩子真聪明，就按他说的，给我来10只鸡和5只兔子吧。”摊主一边忙着捉鸡抓兔，一边对小虎竖起大拇指：“小家伙，你这数学学得可真好，以后肯定有大出息！” 小虎不好意思地笑了笑，爷爷也在一旁欣慰地看着他。经过这件事，小虎深刻体会到数学知识在生活中无处不在，只要善于运用，就能解决许多难题。在回家的路上，小虎兴奋地跟爷爷分享着自己解题的思路，爷爷听后，鼓励他要继续努力学习数学，探索更多有趣的知识。 一、基本概念 鸡兔同笼问题是中国古代著名趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？此类问题就是已知鸡兔的总头数和总脚数，求鸡和兔各有多少只的问题。 二、常用解法 假设法 假设全是鸡：假设笼子里全是鸡，那么脚的总数为鸡的头数乘以2。用实际脚数减去假设全是鸡时的脚数，得到的差就是把兔子当成鸡少算的脚数。因为每把一只兔子当成鸡就少算4-2=2只脚，所以用少算的脚数除以2，就可以得到兔子的数量，再用总头数减去兔子的数量，就得到鸡的数量。例如，上述问题中，假设全是鸡，脚数为35×2=70只，比实际少94-70=24只，兔子数量为24÷(4-2)=12只，鸡的数量为35-12=23只。 假设全是兔：假设笼子里全是兔，那么脚的总数为兔的头数乘以4。用假设全是兔时的脚数减去实际脚数，得到的差就是把鸡当成兔子多算的脚数。因为每把一只鸡当成兔子就多算4-2=2只脚，所以用多算的脚数除以2，就可以得到鸡的数量，再用总头数减去鸡的数量，就得到兔子的数量。 抬腿法 让鸡和兔都抬起一半的脚，此时脚的总数就变为原来的一半。因为鸡原本有2只脚，抬起一半后还剩1只脚；兔原本有4只脚，抬起一半后还剩2只脚。用此时脚的总数减去总头数，得到的差就是兔子的数量，再用总头数减去兔子的数量，就得到鸡的数量。比如，对于前面的例子，脚数变为94÷2=47只，兔子数量为47-35=12只，鸡的数量为35-12=23只。 三、变形题型 租船问题：已知大船和小船的载客量以及总共的人数和船的总数，求大船和小船各租了多少。例如，有38人去划船，共租了8条船，大船每条坐6人，小船每条坐4人，求大船和小船各租了几条。可以把大船看成“兔”，小船看成“鸡”，按照鸡兔同笼问题的解法来求解。 植树问题：已知两种不同规格的树坑数量以及树的总数和树坑总数，求两种树坑各有多少。比如，在一条道路上挖了100个树坑，准备种两种树，A种树每个坑种3棵树，B种树每个坑种2棵树，一共种了260棵树，求A、B两种树坑各有多少个。可以将A种树坑看成“兔”，B种树坑看成“鸡”，运用鸡兔同笼的方法解决。 得分问题：在考试或竞赛中，已知答对一题得的分数、答错一题扣的分数以及最后的总得分和题目总数，求答对和答错的题目数量。例如，一次数学竞赛共20道题，答对一题得5分，答错一题扣3分，小明得了60分，求他答对和答错了几道题。把答对的题看成“兔”，答错的题看成“鸡”，利用鸡兔同笼原理进行计算。 解决鸡兔同笼问题及变形题型，关键在于理解各种解法的原理，根据题目特点灵活选择合适的方法。 1：从前有座山，山里有个庙，庙里有许多小和尚，两个小和尚用一根扁担一个桶抬水，一个小和尚用一根扁担两个桶挑水，共用了38根扁担和58个桶，那么有多少个小和尚抬水？多少个挑水？ 【思路分析】 方法一: 假设法 假设全是抬水，38根扁担应担38个桶，而实际上是58个桶，为什么少了58-38=20（个）桶呢？因为当我们把一个挑水的当作抬水的就会少算2－1＝1（个）桶，所以有20÷1=20（人）在挑水，抬水的扁担数是38－20＝18（根），抬水的人数是18×2＝36人． 方法二:结合分析工具矩形图，来看鸡兔同笼问题 左图假设全是抬水：  （58-38×1）÷（2-1）=20（根） ……20（人）挑水                     （38 -20）×2=36（人）         ……36（人）抬水 右图假设全是挑水：  （38×2-58）÷（2-1）=18（根） ……18×2=36（人）抬水                      38-18=20（根）…… 20（人）挑水 1. 1）．鸡和猫一共有8只，它们的腿一共有22条。鸡和猫各有多少只？（按照下面的步骤画图找答案） （1）画8个圆，表示一共有8只动物。 （2）假设都是鸡，给每只动物画2条腿，画出的腿比22条少（　　）条。 （3）一只猫比一只鸡多2条腿，给其中的（　　）只动物添上2条腿，画出的腿正好22条。 （4）猫有（　　）只，鸡有（　　）只。 2）．书店把科技书和故事书按一定数量打包寄给红星小学。包好之后发现，4包中的科技书和3包中的故事书共380本，而每包中科技书比故事书少10本。每包有科技书和故事书多少本？ 3）．某水库用两台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。小水泵20小时的抽水量等于大水泵8小时的抽水量，小水泵每小时抽水多少立方米？ 少只？ 【思路分析】 题目中涉及到鸡、鸭、狗三种动物，考虑按照相同的特征——2条腿将鸡和鸭打包变成一个对象，用假设法计算出相差的腿的条数，即可得出狗的只数。 【标准答案】 假设全是两条腿的动物，则腿有：17×2＝34（条） 44－34＝10（条） 狗有4条腿，所有狗有：10÷（4－2） ＝10÷2 ＝5（只） 答：狗有5只。 点睛：解决鸡兔同笼问题时，如果碰到涉及多个对象的，可以按照相同的特征将若干对象打包变成一个对象，从而减少对象的数量变成我们常规的两个对象的鸡兔同笼问题。 2． 1）．贝贝有5元和10元的人民币共16张，刚好是110元。问5元和10元各有多少张？（用你喜欢的方法解决问题） 2）．益智小学举行团队数学竞赛，每做对一道题得6分，做错一道题倒扣3分，共有50道题，李明所在的团队得了174分，这个团队做错了几道题？（所有题都做） 3）．用列表法解决问题。 笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有12个头；从下面数，有30只脚，鸡和兔各有几只？ 3：鸡比兔多3只，鸡腿比兔腿少8条，鸡和兔各有多少只？ 【思路分析】 假设鸡减少3只，则鸡兔只数相同，因为鸡腿少了3×2=6条，而原来鸡腿比兔腿少8条，所以此时鸡腿比兔腿少6+8=14条，将一鸡一兔捆绑在一起，则每一份中鸡腿比兔腿少4-2=2条，14÷2=7份，即兔有7只，鸡有7+3=10只． 【标准答案】 解：假设鸡减少3只，则鸡兔只数相同 兔：（3×2+8）÷（4-2）=7（只） 鸡：7+3=10（只） 3． 1）．动物园饲养的食肉动物分大型动物和小型动物两类，规定老虎、狮子一类的大动物每次喂肉每头三斤，狐狸、山猫一类小动物每三头喂一斤．该动物园共有这两类动物100头，每次需喂肉100斤，问大、小动物各多少？ 2）．学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元．其中铅笔的数量是圆珠笔的4倍．已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元．那么铅笔有、圆珠笔有、钢笔各有多少支？ 3）．赵会计去银行取2000元补助费，他只想要2元、5元、10元的人民币，并想使2元、5元的人民币张数相等，且总张数为213张，那么2元、5元、10元的人民币各有多少张？ 4：“六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等．花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个球？ 【思路分析】 花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．即花球原价10元钱20个，白球原价10元钱30个．那么，同样买花球和白球各30个，花球要比白球多花（元），共需要（元）．现在两种球的售价都是2元钱5个，花球和白球各买30个需要（元），说明花球和白球各买30个能省下（元）．现在共省了4元，说明花球和白球各有（个），共买了（个）。 4. 1）．六年二班全体同学，植树节那天共栽树180棵．平均每个男生栽5棵、每个女生栽3棵；又知女生比男生多4人，该班男生和女生各多少人？ 2）．学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元,钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支 ？ 鸡兔同笼问题 鸡兔同笼,这个问题,是我国古代著名趣题之一.大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题.书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头；从下面数,有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔?题目中给出了鸡兔共有35只,如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来,看作是一只脚,两只后脚也用绳子捆起来,看作是一只脚,那么,兔子就成了2只脚,即把兔子都先当作两只脚的鸡.鸡兔总的脚数是35×2=70（只）,比题中所说的94只要少94-70=24（只）.现在,松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数就会增加2只,即70+2=72（只）,再松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数又增加2,2,2……,一直继续下去,直至增加24,因此兔子数：24÷2=12（只）,从而鸡有35-12=23（只）.我们来总结一下这道题的解题思路：先假设它们全是鸡,于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚,把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较,看看差多少,每差2只脚就说明有1只兔,将所差的脚数除以2,就可以算出共有多少只兔.概括起来,解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地,也可以假设全是兔子。 1：从前有座山，山里有个庙，庙里有许多小和尚，两个小和尚用一根扁担一个桶抬水，一个小和尚用一根扁担两个桶挑水，共用了38根扁担和58个桶，那么有多少个小和尚抬水？多少个挑水？ 【思路分析】 方法一: 假设法 假设全是抬水，38根扁担应担38个桶，而实际上是58个桶，为什么少了58-38=20（个）桶呢？因为当我们把一个挑水的当作抬水的就会少算2－1＝1（个）桶，所以有20÷1=20（人）在挑水，抬水的扁担数是38－20＝18（根），抬水的人数是18×2＝36人． 方法二:结合分析工具矩形图，来看鸡兔同笼问题 左图假设全是抬水：  （58-38×1）÷（2-1）=20（根） ……20（人）挑水                     （38 -20）×2=36（人）         ……36（人）抬水 右图假设全是挑水：  （38×2-58）÷（2-1）=18（根） ……18×2=36（人）抬水                      38-18=20（根）…… 20（人）挑水 1. 1）．鸡和猫一共有8只，它们的腿一共有22条。鸡和猫各有多少只？（按照下面的步骤画图找答案） （1）画8个圆，表示一共有8只动物。 （2）假设都是鸡，给每只动物画2条腿，画出的腿比22条少（　　）条。 （3）一只猫比一只鸡多2条腿，给其中的（　　）只动物添上2条腿，画出的腿正好22条。 （4）猫有（　　）只，鸡有（　　）只。 答案：（1） （2）6； （3）3； （4）3；5 详解：（1） （2） 画出的腿比22条少6条。 （3） 给其中的3只动物添上2条腿，画出的腿正好22条。 （4）由上面的图可以看出：猫有3只，鸡有5只。 答：猫有3只，鸡有5只。 点睛：此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此题用假设法进行解答。 2）．书店把科技书和故事书按一定数量打包寄给红星小学。包好之后发现，4包中的科技书和3包中的故事书共380本，而每包中科技书比故事书少10本。每包有科技书和故事书多少本？ 答案：50本；60本 分析：利用假设法解决问题，假设都是科技书，根据每包中科技书比故事书少10本，将3包的故事书换成3包科技书，总本数会减少30本，所以7包科技书的总本数为350本，利用除法即可算出每包科技书的本数，加上10本即可得到每包故事书的本数。 详解：假设都是科技书 3×10＝30（本） （380－30）÷（3＋4） ＝350÷7 ＝50（本） 50＋10＝60（本） 答：每包科技书有50本，每包故事书有60本。 3）．某水库用两台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。小水泵20小时的抽水量等于大水泵8小时的抽水量，小水泵每小时抽水多少立方米？ 答案：12立方米 分析：根据小水泵20小时的抽水量等于大水泵8小时的抽水量，可以得出如果312立方米的水全部由小水泵抽需要26小时，除法得出每个小时小水泵抽水的立方米数。 详解：312÷（20＋6） ＝312÷26 ＝12（立方米） 答：小水泵每小时抽水12立方米。 2：有鸡、鸭、狗一共17只，总共有44条腿，期中鸭的数量是鸡的3倍。那么狗有多少只？ 【思路分析】 题目中涉及到鸡、鸭、狗三种动物，考虑按照相同的特征——2条腿将鸡和鸭打包变成一个对象，用假设法计算出相差的腿的条数，即可得出狗的只数。 【标准答案】 假设全是两条腿的动物，则腿有：17×2＝34（条） 44－34＝10（条） 狗有4条腿，所有狗有：10÷（4－2） ＝10÷2 ＝5（只） 答：狗有5只。 点睛：解决鸡兔同笼问题时，如果碰到涉及多个对象的，可以按照相同的特征将若干对象打包变成一个对象，从而减少对象的数量变成我们常规的两个对象的鸡兔同笼问题。 2． 1）．贝贝有5元和10元的人民币共16张，刚好是110元。问5元和10元各有多少张？（用你喜欢的方法解决问题） 答案：10元的有6张，5元的有10张 分析：此题可以用假设法来解答，假设都是5元的，那么一共有5×16＝80（元），因为一共是110元，少了110－80＝30（元），就是因为把10元的也看作5元的了，所以10元的有30÷（10－5）＝6（张）据此解答即可。 详解：假设全部都是5元的。 （110－5×16）÷（10－5） ＝30÷5 ＝6（张） 16－6＝10（张） 答：10元的有6张，5元的有10张。 点睛：此题考查了用假设法来解答问题的能力，本题也可以假设都是10元的，同样能得出结论。 2）．益智小学举行团队数学竞赛，每做对一道题得6分，做错一道题倒扣3分，共有50道题，李明所在的团队得了174分，这个团队做错了几道题？（所有题都做） 答案：14道 分析：假设所有题都做对了，那么就得50×6＝300（分），这样就多出300－174＝126（分）；因为做对一题比做错一题多6＋3＝9（分），也就是做错126÷9＝14（道）；据此即可解答。 详解：50×6＝300（分）   （300－174）÷（6＋3） ＝126÷9 ＝14（道） 答：这个团队做错了14道题。 点睛：本题属于鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用假设法进行解答。 3）．用列表法解决问题。 笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有12个头；从下面数，有30只脚，鸡和兔各有几只？ 答案：鸡9只；兔3只 分析：根据鸡和兔从上面数有12个头进行列表，假设鸡有1只，则兔子有11只，这时它们一共有46只脚，这时要比题目给的30只脚要多，根据鸡的只数增加1只，兔子的只数就减少1只，脚就减少2只，据此进行列表直到脚数和题目条件相同；据此解答。 详解：根据分析列表如下： 答：鸡有9只，兔有3只。 3：鸡比兔多3只，鸡腿比兔腿少8条，鸡和兔各有多少只？ 【思路分析】 假设鸡减少3只，则鸡兔只数相同，因为鸡腿少了3×2=6条，而原来鸡腿比兔腿少8条，所以此时鸡腿比兔腿少6+8=14条，将一鸡一兔捆绑在一起，则每一份中鸡腿比兔腿少4-2=2条，14÷2=7份，即兔有7只，鸡有7+3=10只． 【标准答案】 解：假设鸡减少3只，则鸡兔只数相同 兔：（3×2+8）÷（4-2）=7（只） 鸡：7+3=10（只） 3． 1）．动物园饲养的食肉动物分大型动物和小型动物两类，规定老虎、狮子一类的大动物每次喂肉每头三斤，狐狸、山猫一类小动物每三头喂一斤．该动物园共有这两类动物100头，每次需喂肉100斤，问大、小动物各多少？ 答案：大动物：25只  小动物：75只 详解：100×3－100＝200（斤） 小动物：200÷（3-）＝75（只） 大动物：100-75＝25（只） 所以大动物有25只，小动物有75只． 2）．学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元．其中铅笔的数量是圆珠笔的4倍．已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元．那么铅笔有、圆珠笔有、钢笔各有多少支？ 答案：铅笔176支，圆珠笔44支，钢笔12支 详解：假设有1支圆珠笔，那么就有4支铅笔，所以就有2.7+0.6×4=5.1元； 假设全是钢笔，那么就有铅笔和圆珠笔（232×6.3-300）÷（6.3-5.1/5）=220支 所以铅笔有：220÷5×4=176支，圆珠笔44支，钢笔12支 3）．赵会计去银行取2000元补助费，他只想要2元、5元、10元的人民币，并想使2元、5元的人民币张数相等，且总张数为213张，那么2元、5元、10元的人民币各有多少张？ 答案：2元、5元各有10张，10元的有193张 分析：本题有3个未知数，由于2元、5元的张数相等，实际上有两个未知数，如果假设这个213张都是2元的，那么减少的2000－2×213=1574（元）钱里面既有5元变成2元减少的，也有10元变成2元减少的，同时又没有其他已知条件，这样是无法解答的，如果假设这213张人民币都是5元的，同上面的分析一样，这道题也无法解答． 如果假设这213张人民币都是10元的，那么多出的10×213－2000=130（元）钱里面既有2元变成10元而增加的，也有5元钱变成10元而增加的，由于2元的张数与5元的同样多，所以我们把1张2元和1张5元的合在一起看成1份，这1份有2+5=7（元），假设变成10元后，这1份是10×2=20（元），每份增加了20－7=13（元），一共增加130元，就可以求出有130÷13=10（张），也就是求出了2元、5元各有10张，用213－10×2=193（张），这就是10元的张数． 详解：解：2元、5元的张数：（10×213－2000）÷（10×2－2－5）=（2130－2000）÷（20－7）=130÷13=10（张） 10元的张数：213－10×2=193（张） 答：2元、5元各有10张，10元的有193张． 4：“六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等．花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个球？ 【思路分析】 花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．即花球原价10元钱20个，白球原价10元钱30个．那么，同样买花球和白球各30个，花球要比白球多花（元），共需要（元）．现在两种球的售价都是2元钱5个，花球和白球各买30个需要（元），说明花球和白球各买30个能省下（元）．现在共省了4元，说明花球和白球各有（个），共买了（个）。 4. 1）．六年二班全体同学，植树节那天共栽树180棵．平均每个男生栽5棵、每个女生栽3棵；又知女生比男生多4人，该班男生和女生各多少人？ 答案：180-3×4=168（棵）  168÷（5+3）=21（组） 21+4=25（人） 女生 男生：21人 2）．学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元,钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支 ？ 答案：铅笔176支，圆珠笔44支，钢笔12支 详解：从条件"铅笔数量是圆珠笔的4倍",这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成一组,这一组的笔,每支价格算作 (0.60×4+2.7)÷5=1.02(元). 现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用"鸡兔同笼"公式可算出,钢笔支数是(300-1.02×232)÷(6.3-1.02)=12(支). 铅笔和圆珠笔共 232-12=220(支). 其中圆珠笔 220÷(4+1)=44(支). 铅笔 220-44=176(支). 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$