（趣味奥数）第十五讲 三角形（2）-四年级下册奥数精讲精练（通用版）

第十五讲 三角形（2） 数学星球的三角形危机 在浩瀚宇宙中，有一个神奇的数学星球。这里的一切都和数学知识紧密相连，居民们也都热爱数学。然而，平静的生活突然被打破，一股神秘的黑暗力量笼罩了数学星球，星球上的数学能量开始紊乱，三角形建筑摇摇欲坠，三角形的魔法道具也失去了功效。 为了拯救数学星球，勇敢的小探险家明明、智慧担当聪聪和细心的悠悠决定挺身而出。他们得知，只有解开三角形的一系列谜题，才能找到驱散黑暗力量的方法。 他们的第一站是三角形山谷。山谷入口处，有一个巨大的直角三角形石门，旁边刻着一道难题：已知这个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，求它的面积。明明迅速回忆起三角形面积公式：三角形面积=底×高÷2。他大声说道：“这个直角三角形的两条直角边可以分别看作底和高，所以面积是3×4÷2=6平方厘米。”刚说完，石门缓缓打开。 进入山谷，他们看到三条三角形的小路，分别是等边三角形、等腰三角形和不等边三角形形状。路边的指示牌提示：只有沿着周长最短的路走，才能最快到达目的地。聪聪仔细观察后分析：“假设等边三角形边长为4厘米，它的周长就是4×3=12厘米；等腰三角形两条腰长5厘米，底边长6厘米，周长是5+5+6=16厘米；不等边三角形三条边分别是3厘米、5厘米、6厘米，周长是3+5+6=14厘米。所以走等边三角形的小路。”三人沿着小路快速前行。 终于，他们来到了黑暗力量的核心区域。这里有一个巨大的三角形魔法阵，上面闪烁着各种三角形图案。要启动魔法阵，必须从众多三角形中找出面积最大的锐角三角形。悠悠认真地计算每个三角形的面积，其他两人则帮忙测量边长。经过一番努力，他们成功找到了符合要求的锐角三角形，启动了魔法阵。 瞬间，一道耀眼的光芒照亮了整个数学星球，黑暗力量被驱散，星球恢复了往日的生机与活力。通过这次冒险，明明、聪聪和悠悠对三角形的知识有了更深刻的理解，他们也成为了数学星球的英雄，受到了居民们的热烈赞扬。 一、三角形的分类 按角分类 锐角三角形：三个角都是锐角（即每个角都小于90°）的三角形。例如，在一个三角形中，三个角分别为60°、70°、50°，这就是锐角三角形。 直角三角形：有一个角是直角（等于90°）的三角形。直角三角形中，直角所对的边称为斜边，另外两条边是直角边。比如常见的三角板，其中一个三角板的三个角分别是90°、60°、30°，这就是直角三角形。 钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°小于180°）的三角形。若一个三角形的角分别为120°、30°、30°，它就是钝角三角形。 按边分类 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。例如三边长度分别为3cm、4cm、5cm的三角形。 等腰三角形：有两条边相等的三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角相等。比如腰长为5cm，底边长为6cm的三角形。 等边三角形：三条边都相等的三角形，也叫正三角形。等边三角形的三个角都相等，且都为60°。例如边长都为4cm的三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。 二、三角形的内角和 内角和定理：三角形的内角和是180°。这是一个非常重要的性质，在解决很多三角形相关问题时都会用到。 应用 已知三角形中两个角的度数，求第三个角的度数。比如一个三角形中，已知一个角是50°，另一个角是70°，那么第三个角就是180°-50°-70°=60°。 在一些复杂的图形中，通过分割成三角形来计算角度。例如，一个多边形可以分割成若干个三角形，利用三角形内角和来求多边形的内角和。 三、三角形的三边关系 三边关系内容：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。例如，有三条线段，长度分别为3cm、4cm、5cm，因为3+4>5，4+5>3，3+5>4，且5-3<4，5-4<3，4-3<5，所以这三条线段能围成一个三角形。 应用 判断给定的三条线段能否围成三角形。比如三条线段长度分别为2cm、7cm、4cm，因为2+4<7，不满足三边关系，所以不能围成三角形。 已知三角形的两条边，求第三条边的取值范围。若一个三角形的两条边分别为5cm和8cm，那么第三条边的长度大于8-5=3cm，小于8+5=13cm。 1：桌子上有一些三角形纸板，聪聪数了数共有25个锐角、3个钝角、2个直角，这些三角形纸板中有锐角三角形( )个。 【思路分析】 有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。根据题意，有3个钝角说明有3个钝角三角形，3个钝角三角形有3×2＝6个锐角；有2个直角说明有2个直角三角形，2个直角三角形有2×2＝4个锐角，所以还有25－6－4＝15个锐角，每个锐角三角形有3个锐角，那么锐角三角形的个数为15÷3＝5个，据此解答即可。 【标准答案】 3×2＝6（个） 2×2＝4（个） 25－6－4 ＝19－4 ＝15（个） 15÷3＝5（个） 桌子上有一些三角形纸板，聪聪数了数共有25个锐角、3个钝角、2个直角，这些三角形纸板中有锐角三角形5个。 1. 1）．在一个直角三角形中，一个锐角度数是另一个锐角度数的2倍，较小的锐角的度数是( )°。 2）．一个等腰三角形的一个底角的度数是顶角的2倍，它的底角是( )度。按角分类，它是( )三角形。 3）．一个三角形中最小的角是47°，那么这个三角形一定是( )三角形。 2： 如图，已知三角形ABC是直角三角形，∠A＝60°，且∠1＝∠2，求∠3的度数。 【思路分析】 三角形的内角和是180°，在直角三角形中，两个锐角的和是90°，在直角三角形ABC中，∠A＋∠ACB＝90°，已知∠A的度数，可以求出∠ACB的度数；根据条件“∠1＝∠2”可以求出∠2的度数，∠2的度数是∠ACB的一半；在直角三角形DBC中，∠3＋∠2＝90°，则∠3＝90°－∠2，据此列式解答。 【标准答案】 ∠ACB＝90°－∠A＝90°－60°＝30°； 因为∠1＝∠2，所以∠2＝30°÷2＝15°； ∠3＝90°－∠2 ＝90°－15° ＝75° 答：∠3的度数是75°。 2． 1）．如图∠1＋∠2＝∠3＝57°，∠4＝14°，∠5＝145°，求∠2的度数。 2）．如图，已知∠1＝72°，∠2＝32°，∠3＝45°，求∠5。 3）．已知∠1＝105°，求∠2的度数。 3：计算下面多边形的内角和。 【思路分析】 根据多边形的内角和公式，多边形的内角和＝180°×（n－2），把数据代入公式解答。 【标准答案】 180°×（6－2） ＝180°×4 ＝720° 所以，这个多边形的内角和是720°。 3． 1）．将一个正六边形和一个正五边形放置在同一条线上，请问∠ABH和∠CBP分别是多少度？ 2）．求出下图中∠1的度数。 3）．等腰三角形的一个底角是40°，它的顶角是多少度？它又是什么三角形？如果顶角是40°呢？ 4：一个等腰三角形的顶角是70°，它的一个底角是多少度？一个等腰三角形的底角是35°，它的顶角是多少度？ 【思路分析】 等腰三角形特征：两底角相等，依据三角形内角和是180°，用180°减顶角度数后，再除以2求一个底角；用180°减2个底角的和求出顶角。 【标准答案】 （180°－70°）÷2＝110°÷2＝55° 答：它的一个底角是55度。 180°－2×35°＝180－70°＝110° 答：它的顶角是110度。 4. 1）．爸爸给小红买了一个等腰三角形的风筝。它的一个底角是70°，它的顶角是多少度？ 2）．一个等腰三角形的一个底角是，它的顶角是多少度？ 3）．一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是多少度？原来这块纸片的形状是什么三角形，也是什么三角形？ 埃舍尔的镶嵌图形 埃舍尔，全名毛里茨·科内流斯·埃舍尔，一名对现代艺术影响深远，却被史学家遗忘的、世界艺术史上“绝无仅有”的艺术家。和其他依靠感性进行创作的艺术家不同，埃舍尔的作品是经过复杂的理性思维的产物。他从事物的精确、规则、秩序等特性中发现了美，创造了美。 关于平面规则分割(平面镶嵌图形)，埃舍尔写到：在数学领域，平面规则分割已经从理论上获得了充分的研究……数学家打开了一扇通向无限可能性的大门，但是他们自身并没有进入其中看看。他们特殊的禀赋使他们对如何打开这扇门的方式更感兴趣，而对隐藏在其后的花园不感兴趣。埃舍尔正是从一个艺术家的角度，利用数学家的发现，发掘了美，创造了美。他的平面规则分割作品令许多数学家吃惊，他在已知的17种抽象平面分割群组形式上创造了许多具象镶嵌图案。这种把抽象的几何形状赋予具象的形象其实是一种复杂的图形思维过程。要完成具象镶嵌图案的创作，对各个图形的思考必须要非常严谨，每个镶嵌图形既要考虑它的镶嵌可能性，又要赋予具体的形象，而且这种镶嵌是四面无限延伸的，这就必须要具备很强的图形(图像)联想能力。 1：桌子上有一些三角形纸板，聪聪数了数共有25个锐角、3个钝角、2个直角，这些三角形纸板中有锐角三角形( )个。 【思路分析】 有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。根据题意，有3个钝角说明有3个钝角三角形，3个钝角三角形有3×2＝6个锐角；有2个直角说明有2个直角三角形，2个直角三角形有2×2＝4个锐角，所以还有25－6－4＝15个锐角，每个锐角三角形有3个锐角，那么锐角三角形的个数为15÷3＝5个，据此解答即可。 【标准答案】 3×2＝6（个） 2×2＝4（个） 25－6－4 ＝19－4 ＝15（个） 15÷3＝5（个） 桌子上有一些三角形纸板，聪聪数了数共有25个锐角、3个钝角、2个直角，这些三角形纸板中有锐角三角形5个。 1. 1）．在一个直角三角形中，一个锐角度数是另一个锐角度数的2倍，较小的锐角的度数是( )°。 答案：30 2）．一个等腰三角形的一个底角的度数是顶角的2倍，它的底角是( )度。按角分类，它是( )三角形。 答案： 72 锐角 分析：三个内角和一共是180°，假设顶角占1份，根据题意一个底角占2份，又因为是等腰三角形，两底角相等，所以另一个底角也占2份，总共将内角和分成1＋2＋2＝5份，将180°÷5＝36°，进而得到底角的度数，确定三角形的类型。 详解：180°÷（1＋2＋2） ＝180°÷5 ＝36° 底角：2×36°＝72° 三角形三个角都是锐角，所以按角度分是锐角三角形。 故答案为：72；锐角 点睛：本题考查对等腰三角形的认识，关键将顶角看成一份，先求出顶角再求底角。 3）．一个三角形中最小的角是47°，那么这个三角形一定是( )三角形。 答案：锐角 分析：因为在一个三角形中，至少有2个锐角，再据“一个三角形中最小的角是47°”可知，另一个锐角的度数一定不小于47°，则这两个锐角的和一定大于90°，又因三角形的内角和是180°，从而可以得出第三个内角必定小于90°，于是就可以判定这个三角形的类别。 详解：该三角形中剩下两个角的和：180°－47°＝133°，若假设其中一个角是直角，则另一个锐角是133°－90°＝43°＜47°，不符合题意，所以不是直角三角形；三角形中剩下的两个角肯定都大于或等于47°，假设该角为47°，则另一个角为133°－47°＝86°，故该三角形一定是锐角三角形。 点睛：本题考查三角形内角和及三角形的分类。 2： 如图，已知三角形ABC是直角三角形，∠A＝60°，且∠1＝∠2，求∠3的度数。 【思路分析】 三角形的内角和是180°，在直角三角形中，两个锐角的和是90°，在直角三角形ABC中，∠A＋∠ACB＝90°，已知∠A的度数，可以求出∠ACB的度数；根据条件“∠1＝∠2”可以求出∠2的度数，∠2的度数是∠ACB的一半；在直角三角形DBC中，∠3＋∠2＝90°，则∠3＝90°－∠2，据此列式解答。 【标准答案】 ∠ACB＝90°－∠A＝90°－60°＝30°； 因为∠1＝∠2，所以∠2＝30°÷2＝15°； ∠3＝90°－∠2 ＝90°－15° ＝75° 答：∠3的度数是75°。 2． 1）．如图∠1＋∠2＝∠3＝57°，∠4＝14°，∠5＝145°，求∠2的度数。 答案：36° 分析：三角形内角和是180°，因此可用180°减去∠4、∠5的度数计算出∠1的度数，然后用57°减去∠1的度数即可。 详解：∠1＝180°－∠4－∠5 ＝180°－14°－145° ＝166°－145° ＝21° ∠2＝57°－∠1 ＝57°－21° ＝36° 2）．如图，已知∠1＝72°，∠2＝32°，∠3＝45°，求∠5。 答案：31° 详解：∠4＝180°－（180°－∠2－∠3） ＝180°－（180°－32°－45°） ＝180°－103° ＝77°     ∠5＝180°－∠1－∠4 ＝180°－72°－77° ＝108°－77° ＝31° 3）．已知∠1＝105°，求∠2的度数。 答案：∠2＝105° 分析：根据平角＝180°，已知∠1的度数，利用减法即可求出与梯形中锐角的度数，再根据四边形内角和为360°，用360°减去两个直角和一个锐角的度数即可求出∠2的度数。 详解：180°－105°＝75° 360°－90°－90°－75° ＝270°－90°－75° ＝180°－75° ＝105° 所以∠2＝105°。 3：计算下面多边形的内角和。 【思路分析】 根据多边形的内角和公式，多边形的内角和＝180°×（n－2），把数据代入公式解答。 【标准答案】 180°×（6－2） ＝180°×4 ＝720° 所以，这个多边形的内角和是720°。 3． 1）．将一个正六边形和一个正五边形放置在同一条线上，请问∠ABH和∠CBP分别是多少度？ 答案：48°；124° 分析：根据多边形内角和公式可知，正六边形内角和是720°，每个角的度数是120°，正五边形内角和是540°，每个角是108°，据此解答即可。 详解：正六边形内角和：（6－2）×180°＝720°，每个角的度数是120°，所以∠BAH＝180°－120°＝60° 正五边形内角和：（5－2）×180°＝540°，每个角540°÷5＝108°，所以∠BHA＝180°－108°＝72° 结合题意： ∠ABH＝180°－∠BAH－∠BHA ＝180°－60°－72° ＝120°－72° ＝48° ∠CBP＝360°－120°－108°－48° ＝240°－108°－48° ＝132°－48° ＝124° 点睛：本题考查了多边形内角和知识，结合题意分析解答即可。 2）．求出下图中∠1的度数。 答案：158° 分析：观察图形，四边形有4个内角，其中有一个直角标志，说明这个角是90°，也就是题目中有3个角的度数都是已知的。利用多边形内角和公式求出这个四边形的内角和，然后用减法即可求出第四个角∠1的度数，据此解答。 详解：如下图，把四边形分成两个三角形，则四边形的内角和就是两个三角形内角和相加，所以四边形的内角和是： 180°×2＝360° 则∠1的度数是： 360°－（90°＋40°＋72°） ＝360°－202° ＝158° 3）．等腰三角形的一个底角是40°，它的顶角是多少度？它又是什么三角形？如果顶角是40°呢？ 答案：100°；钝角三角形；70°；锐角三角形 分析：等腰三角形特点：两底角相等，依据三角形内角和是180°，再减去2个底角40°的和，求出顶角是100°，100°＞90°，只有一个钝角的三角形是钝角三角形； 如果顶角是40°，用180°减40°再除以2算出顶角是70°，三个角都小于90°是锐角三角形。 详解：180°－2×40°＝180°－80°＝100° 答：顶角是100°，又是钝角三角形。 （180°－40°）÷2＝140°÷2＝70° 答：底角是70°，它又是锐角三角形。 4：一个等腰三角形的顶角是70°，它的一个底角是多少度？一个等腰三角形的底角是35°，它的顶角是多少度？ 【思路分析】 等腰三角形特征：两底角相等，依据三角形内角和是180°，用180°减顶角度数后，再除以2求一个底角；用180°减2个底角的和求出顶角。 【标准答案】 （180°－70°）÷2＝110°÷2＝55° 答：它的一个底角是55度。 180°－2×35°＝180－70°＝110° 答：它的顶角是110度。 4. 1）．爸爸给小红买了一个等腰三角形的风筝。它的一个底角是70°，它的顶角是多少度？ 答案：40° 分析：等腰三角形的特点是底角相等；已知爸爸给小红买了一个等腰三角形的风筝的一个底角是70°，三角形的内角和为180°，则用180°减去2个70°即可；据此解答。 详解：70°＋70°＝140° 180°－140°＝40° 答：它的顶角是40°。 2）．一个等腰三角形的一个底角是，它的顶角是多少度？ 答案：50° 分析：根据等腰三角形角的特性，等腰三角形两个底角相等。因为三角形内角和等于180°，所以可以用180°减去两个底角度数，即可求出顶角度数。 详解：180°－65°×2 ＝180°－130° ＝50° 答：它的顶角是50°。 3）．一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是多少度？原来这块纸片的形状是什么三角形，也是什么三角形？ 答案：67°；锐角三角形；等腰三角形 分析：根据三角形内角和为180度，用180度依次减去46度和67度，算出第三个角是67度，再根据三角形按角分：锐角三角形三个角都是锐角的三角形；直角三角形有一个角是直角；钝角三角形有一个角是钝角。判断属于锐角的三角形。根据三角形边的特征分类：有两边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形，据此判断是等腰三角形。 详解：180－46－67＝134－67＝67（度） 三个角67度，67度，46度都小于90度，则这个三角形是锐角三角形，且有两个角相等，也是等腰三角形。 答：这个角是67度，是锐角三角形，也是等腰三角形。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$