（趣味奥数）第十四讲 三角形（1）-四年级下册奥数精讲精练（通用版）

第十四讲 三角形（1） 精灵王国的三角形冒险 在精灵王国里，平静的日子被一则古老预言打破。预言说，当王国中心的魔法水晶闪烁出异样光芒，就意味着一场巨大危机即将降临，唯有找到隐藏在神秘山谷中的三颗魔法宝石，才能化解危机。而宝石的线索，藏在三角形的秘密之中。 勇敢的精灵艾丽、聪明的精灵汤姆和善良的精灵莉莉，自告奋勇踏上冒险之旅。他们来到神秘山谷入口，一扇巨大石门挡住去路，石门上刻着一个等边三角形。旁边提示：只有说出此三角形的奥秘，门才会开启。 艾丽仔细观察后说：“我知道，等边三角形三条边长度相等，三个角也相等，而且每个角都是60°。因为三角形内角和是180°，180°平均分成3份，每份就是60°。”刚说完，石门缓缓打开。 进入山谷，他们在一条湍急河流前停下。河上有三座形状不同的石桥，分别是直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。河边提示：只有通过最稳定的桥才能安全过河。汤姆思考片刻，说道：“三角形具有稳定性，而直角三角形、锐角三角形和钝角三角形中，直角三角形有一个角是直角，结构相对更稳定，我们走直角三角形的桥。”三人顺利过河。 继续前行，他们来到一个洞穴。洞穴里有三个盒子，分别标着等腰三角形、等边三角形和不等边三角形。盒子上提示：魔法宝石在等腰三角形的盒子里。莉莉回忆起等腰三角形的特点：“等腰三角形至少有两条边相等。”她仔细查看，很快找到了等腰三角形的盒子，打开后发现里面有一张地图，指引他们前往最后一个地点。 在山谷深处，他们看到一面巨大石壁，石壁上刻着各种三角形。要找到最后一颗宝石，需从众多三角形中找出最大的钝角三角形。艾丽、汤姆和莉莉一起观察，根据钝角三角形的定义（有一个角大于90°），通过比较角的大小，成功找到了最大的钝角三角形，拿到了最后一颗魔法宝石。 带着三颗魔法宝石回到王国，精灵们将宝石嵌入魔法水晶，水晶瞬间绽放出耀眼光芒，化解了危机。通过这次冒险，艾丽、汤姆和莉莉不仅拯救了王国，还深刻理解了三角形的知识，他们的英勇事迹在精灵王国里代代相传。 一、三角形的分类 按角分类 锐角三角形：三个角都是锐角（即每个角都小于90°）的三角形。例如，在一个三角形中，三个角分别为60°、70°、50°，这就是锐角三角形。 直角三角形：有一个角是直角（等于90°）的三角形。直角三角形中，直角所对的边称为斜边，另外两条边是直角边。比如常见的三角板，其中一个三角板的三个角分别是90°、60°、30°，这就是直角三角形。 钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°小于180°）的三角形。若一个三角形的角分别为120°、30°、30°，它就是钝角三角形。 按边分类 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。例如三边长度分别为3cm、4cm、5cm的三角形。 等腰三角形：有两条边相等的三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角相等。比如腰长为5cm，底边长为6cm的三角形。 等边三角形：三条边都相等的三角形，也叫正三角形。等边三角形的三个角都相等，且都为60°。例如边长都为4cm的三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。 二、三角形的内角和 内角和定理：三角形的内角和是180°。这是一个非常重要的性质，在解决很多三角形相关问题时都会用到。 应用 已知三角形中两个角的度数，求第三个角的度数。比如一个三角形中，已知一个角是50°，另一个角是70°，那么第三个角就是180°-50°-70°=60°。 在一些复杂的图形中，通过分割成三角形来计算角度。例如，一个多边形可以分割成若干个三角形，利用三角形内角和来求多边形的内角和。 三、三角形的三边关系 三边关系内容：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。例如，有三条线段，长度分别为3cm、4cm、5cm，因为3+4>5，4+5>3，3+5>4，且5-3<4，5-4<3，4-3<5，所以这三条线段能围成一个三角形。 应用 判断给定的三条线段能否围成三角形。比如三条线段长度分别为2cm、7cm、4cm，因为2+4<7，不满足三边关系，所以不能围成三角形。 已知三角形的两条边，求第三条边的取值范围。若一个三角形的两条边分别为5cm和8cm，那么第三条边的长度大于8-5=3cm，小于8+5=13cm。 1：如图，在三角形ABC中，BC边上的高是( )；在三角形AEC中，EC边上的高是( )；在三角形ABD中，AD边上的高是( )。 【思路分析】 三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段，BC边对应的顶点是A，AD是从A点向BC画的垂线，所以BC边上的高是AD；EC对应的顶点是A，AD是从A点向EC画的垂线，所以EC边上的高是AD；在三角形ABD中，AD边对应的顶点是B，BD是从B点向AD画的垂线，AD边上的高是BD，据此解题。 【标准答案】 如图，在三角形ABC中，BC边上的高是AD；在三角形AEC中，EC边上的高是AD；在三角形ABD中，AD边上的高是BD。 1. 1）．如图，三角形ABC中，如果以AB为底边，那么对应的高是线段( )。 2）．如图所示，在三角形ABC中，AB边所对应的高是线段( ) 。 3）．回答： 在上面的三角形中，以AB为底边的高是 ，我还能找到以 边为底边的高是 ． 2：淘淘用四根小棒围成了下面的图形，这是一个( )形，从这四根小棒中拿走长度为( )厘米的小棒后，剩下的三根小棒不能围成一个三角形。 【思路分析】 只有一组对边平行的四边形是梯形；三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）。由题意得，可以假设拿着的小棒长4厘米、5厘米、6厘米或9厘米，然后来判断剩下的三根小棒能否围成三角形即可。 【标准答案】 如果拿走4厘米长的小棒： 5＋6＝11（厘米），11厘米＞9厘米，剩下的三根小棒可以围成一个三角形。 如果拿走5厘米长的小棒： 4＋6＝10（厘米），10厘米＞9厘米，剩下的三根小棒可以围成一个三角形。 如果拿走6厘米长的小棒： 4＋5＝9（厘米），9厘米＝9厘米，剩下的三根小棒无法围成一个三角形。 如果拿走9厘米长的小棒： 4＋5＝9（厘米），9厘米＞6厘米，剩下的三根小棒可以围成一个三角形。 故这是一个梯形，从这四根小棒中拿走长度为6厘米的小棒后，剩下的三根小棒不能围成一个三角形。 2． 1）．有两种围篱笆的方法，如下图所示。用第( )种方法围篱笆更牢固，这是应用了( )。 2）．用三根长度分别是3.7cm、8.5cm和10.9cm的小棒，( )围成三角形。（填“能”与“不能”） 3）．笑笑用3根小棒围三角形，其中2根的长度如图。第3根小棒最短是( )cm。（取整厘米数） 3：请你从长度分别为3厘米、5厘米、10厘米、4厘米的四根小棒中选出三根，围成一个三角形。 （1）你准备怎么选？为什么？ （2）请把它画出来。 （3）这是一个（      ）三角形。 【思路分析】 （1）三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 从四根小棒中选出三根小棒围成一个三角形，那么这三根小棒要符合三角形的三边关系，有3种情况： ①选3厘米、5厘米、10厘米的三根小棒，因为3＋5＜10，不符合三角形的三边关系，所以这三根小棒不能围成三角形； ②选3厘米、5厘米、4厘米的三根小棒，因为3＋4＞5，5－3＜4，符合三角形的三边关系，所以这三根小棒可以围成三角形； ③选3厘米、10厘米、4厘米的三根小棒，因为3＋4＜10，不符合三角形的三边关系，所以这三根小棒不能围成三角形； ④选5厘米、10厘米、4厘米的三根小棒，因为5＋4＜10，不符合三角形的三边关系，所以这三根小棒不能围成三角形。 （2）根据所选的三根小棒的长度，画出这个三角形即可。 （3）根据三角形按角分类判断这个三角形的类型。 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形； 角三角形：有一个角是直角的三角形； 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。 【标准答案】 （1）我准备选3厘米、5厘米、4厘米三根小棒围成一个三角形。 因为3＋4＞5，5－3＜4，符合三角形的三边关系，所以这三根小棒可以围成一个三角形。 （2）如图： （3）这是一个直角三角形。 3． 1）．小明想用一根长14厘米的塑料棒围成一个等腰三角形，请你帮他设计一下，一共有几种不同的围法？并列举出来。（长度为整厘米数） 2）．有长度分别为3厘米、4厘米、5厘米、8厘米的小棒各一根，哪三根小棒可以围成一个三角形？ 3）．三根木棍中，如果任意两根木棍长度的和大于另一根木棍的长度，则这三根木棍可以围成一个三角形。现有长度分别为10厘米、6厘米、4厘米、5厘米的四根木棍，每次在其中任取3根，可以围成多少个不同的三角形？ 图形的产生 图形是伴随着人类产生而产生的，源于人类认识和改造世界的需要，由人类劳动生活的记事符号开始当人类祖先在他们居住的洞穴和岩壁上作画时，图形就成为了联络信息、沟通、表达情感和意识的媒介。这一点贯穿于图形从产生到今天的每一个时期和阶段。 图形的历史进程大致分为三个阶段。 远古时期人类的象形记事性原始图画为第一个阶段。原始人的图画式符号是图形的原始形式，也是文字的雏形。 第二个阶段为由一部分图画式符号演变而形成文字。图画式符号与记事性图画的区别在于其形象的抽象性更强，更为减化。当记事性图画在实用中不断减化后就形成了图画文字。 第三个阶段为文字产生后带来的图形的发展。文字这一视觉传达形式使人类的沟通和交往更加密切，而能综合复杂信息内容且又极易被领会的图形形式更为人类所重视和利用。 1：如图，在三角形ABC中，BC边上的高是( )；在三角形AEC中，EC边上的高是( )；在三角形ABD中，AD边上的高是( )。 【思路分析】 三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段，BC边对应的顶点是A，AD是从A点向BC画的垂线，所以BC边上的高是AD；EC对应的顶点是A，AD是从A点向EC画的垂线，所以EC边上的高是AD；在三角形ABD中，AD边对应的顶点是B，BD是从B点向AD画的垂线，AD边上的高是BD，据此解题。 【标准答案】 如图，在三角形ABC中，BC边上的高是AD；在三角形AEC中，EC边上的高是AD；在三角形ABD中，AD边上的高是BD。 1. 1）．如图，三角形ABC中，如果以AB为底边，那么对应的高是线段( )。 答案：CD 分析：三角形ABC是一个钝角三角形，底边AB上的高应从顶点C向底边AB作垂线段，图中线段CD就是AB边上的高。 详解：如图，三角形ABC中，如果以AB为底边，那么对应的高是线段CD。 2）．如图所示，在三角形ABC中，AB边所对应的高是线段( ) 。 答案：CD 分析：三角形底边相对的顶点作底边的垂线段即为底边上的高，据此即可解答。 详解：在三角形ABC中，AB边所对应的高是线段CD。 点睛：本题主要考查学生对三角形高的定义的掌握和灵活运用。 3）．回答： 在上面的三角形中，以AB为底边的高是 ，我还能找到以 边为底边的高是 ． 答案： CE CA BD 2：淘淘用四根小棒围成了下面的图形，这是一个( )形，从这四根小棒中拿走长度为( )厘米的小棒后，剩下的三根小棒不能围成一个三角形。 【思路分析】 只有一组对边平行的四边形是梯形；三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）。由题意得，可以假设拿着的小棒长4厘米、5厘米、6厘米或9厘米，然后来判断剩下的三根小棒能否围成三角形即可。 【标准答案】 如果拿走4厘米长的小棒： 5＋6＝11（厘米），11厘米＞9厘米，剩下的三根小棒可以围成一个三角形。 如果拿走5厘米长的小棒： 4＋6＝10（厘米），10厘米＞9厘米，剩下的三根小棒可以围成一个三角形。 如果拿走6厘米长的小棒： 4＋5＝9（厘米），9厘米＝9厘米，剩下的三根小棒无法围成一个三角形。 如果拿走9厘米长的小棒： 4＋5＝9（厘米），9厘米＞6厘米，剩下的三根小棒可以围成一个三角形。 故这是一个梯形，从这四根小棒中拿走长度为6厘米的小棒后，剩下的三根小棒不能围成一个三角形。 2． 1）．有两种围篱笆的方法，如下图所示。用第( )种方法围篱笆更牢固，这是应用了( )。 答案： 一 三角形具有稳定性 分析：三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。生活中有很多利用三角形稳定性的例子，比如三角形房架、矩形门框的斜拉条、起重机的三角形吊臂和高压输电线的铁塔等。而四边形具有不稳定性，也就是容易变形的特点。 详解：根据分析，用第一种方法围篱笆更牢固，这是应用了三角形具有稳定性。 2）．用三根长度分别是3.7cm、8.5cm和10.9cm的小棒，( )围成三角形。（填“能”与“不能”） 答案：能 分析：根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，据此解答即可。 详解：3.7＋8.5＝12.2（cm） 12.2＞10.9 10.9－8.5＝2.4（cm） 2.4＜3.7 所以用三根长度分别是3.7cm、8.5cm和10.9cm的小棒，能围成三角形。 3）．笑笑用3根小棒围三角形，其中2根的长度如图。第3根小棒最短是( )cm。（取整厘米数） 答案：3 分析：三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此可知，第3根小棒的长度应大于（7－5）cm，小于（5＋7）cm。 详解：7－5＝2（cm） 5＋7＝12（cm） 第3根小棒的长度应大于2cm，小于12cm。则第3根小棒最短是3cm。（取整厘米数） 3：请你从长度分别为3厘米、5厘米、10厘米、4厘米的四根小棒中选出三根，围成一个三角形。 （1）你准备怎么选？为什么？ （2）请把它画出来。 （3）这是一个（      ）三角形。 【思路分析】 （1）三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 从四根小棒中选出三根小棒围成一个三角形，那么这三根小棒要符合三角形的三边关系，有3种情况： ①选3厘米、5厘米、10厘米的三根小棒，因为3＋5＜10，不符合三角形的三边关系，所以这三根小棒不能围成三角形； ②选3厘米、5厘米、4厘米的三根小棒，因为3＋4＞5，5－3＜4，符合三角形的三边关系，所以这三根小棒可以围成三角形； ③选3厘米、10厘米、4厘米的三根小棒，因为3＋4＜10，不符合三角形的三边关系，所以这三根小棒不能围成三角形； ④选5厘米、10厘米、4厘米的三根小棒，因为5＋4＜10，不符合三角形的三边关系，所以这三根小棒不能围成三角形。 （2）根据所选的三根小棒的长度，画出这个三角形即可。 （3）根据三角形按角分类判断这个三角形的类型。 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形； 角三角形：有一个角是直角的三角形； 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。 【标准答案】 （1）我准备选3厘米、5厘米、4厘米三根小棒围成一个三角形。 因为3＋4＞5，5－3＜4，符合三角形的三边关系，所以这三根小棒可以围成一个三角形。 （2）如图： （3）这是一个直角三角形。 3． 1）．小明想用一根长14厘米的塑料棒围成一个等腰三角形，请你帮他设计一下，一共有几种不同的围法？并列举出来。（长度为整厘米数） 答案：3种；围法见详解过程 分析：三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；根据等腰三角形的特征：两腰相等，把14厘米分成符合三角形三边关系的三个整数，据此解答。 详解：因为三条边的长度都是整厘米数，所以根据三角形的三边关系可知有3种不同的围法： ①围成一个等腰三角形：4厘米；4厘米；6厘米； ②围成一个等腰三角形：5厘米；5厘米；4厘米； ③围成一个等腰三角形：6厘米；6厘米；2厘米。 答：一共有3种不同的围法。 2）．有长度分别为3厘米、4厘米、5厘米、8厘米的小棒各一根，哪三根小棒可以围成一个三角形？ 答案：3厘米、4厘米、5厘米可以围成一个三角形，4厘米、5厘米和8厘米能围成一个三角形 分析：判断三角形能否构成，关键是看三条线段是否满足：任意两边之和是否大于第三边，但通常不需一一验证，其简便方法是将较短两边之和与较长边比较。 据此依次可知，3厘米、4厘米的和是7厘米，第三条边只能小于7厘米，所以3厘米、4厘米、5厘米可以围成一个三角形，3厘米、4厘米和8厘米不能围成一个三角形；3厘米、5厘米的和是8厘米，所以第三条边只能小于8厘米，所以3厘米、5厘米和8厘米不能围成一个三角形；4厘米、5厘米的和是9厘米，所以第3条边只能小于9厘米，也就是4厘米、5厘米和8厘米能围成一个三角形。 详解：3＋4＝7（厘米） 5＜7 8＞7 所以3厘米、4厘米、5厘米可以围成一个三角形，3厘米、4厘米和8厘米不能为成一个三角形； 3＋5＝8（厘米） 4＋5＝9（厘米） 8＜9 所以3厘米、5厘米和8厘米不能围成一个三角形，4厘米、5厘米和8厘米能围成一个三角形。 答：3厘米、4厘米、5厘米可以围成一个三角形，4厘米、5厘米和8厘米能围成一个三角形。 3）．三根木棍中，如果任意两根木棍长度的和大于另一根木棍的长度，则这三根木棍可以围成一个三角形。现有长度分别为10厘米、6厘米、4厘米、5厘米的四根木棍，每次在其中任取3根，可以围成多少个不同的三角形？ 答案：2个 分析：从这四根木棍中任选3根，可以有10厘米、6厘米、4厘米或者10厘米、6厘米、5厘米或者10厘米、4厘米、5厘米或者6厘米、4厘米、5厘米这4种选法，根据三角形的三边关系（三角形的任意两边之和大于第三边）进行分析，看哪几种选法可以围成三角形。 详解：4＋6＝10 则长10厘米、6厘米、4厘米的三根木棍不可以围成一个三角形； 5＋6＞10 则长10厘米、6厘米、5厘米的三根木棍可以围成一个三角形； 4＋5＜10 则长10厘米、4厘米、5厘米的三根木棍不可以围成一个三角形； 4＋5＞6 则长6厘米、4厘米、5厘米的三根木棍可以围成一个三角形； 答：可以围成2个不同的三角形。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$