第05讲 解三角形拓展与应用（春季讲义）-2024-2025学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第05讲 解三角形拓展与应用 【人教A版2019】 模块一 解三角形综合问题 1．解三角形中的重要模型——中线模型 (1)中线长定理：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则. (2)向量法：. 2．解三角形中的重要模型——倍角模型 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1：； 推论2：. 3．解三角形中的重要模型——角平分线模型 角平分线张角定理：如图，为平分线，则. 4．三角形中的最值（范围）问题的解题策略： (1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运 用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． (2)“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边 角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值． 【题型1 三角形中的边、角计算】 【例1.1】（2024·江苏徐州·一模）在△ABC中，已知，，，D为垂足，，则（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（24-25高一下·山西朔州·阶段练习）在中，，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高一下·吉林·期末）在中，，，，的角平分线交BC于D，则（    ） A． B．2 C． D． 【变式1.2】（23-24高一下·浙江杭州·期中）在中，，AD是的角平分线，，，E是AC的中点，则DE的长度为（    ） A． B． C． D． 【题型2 证明三角形中的恒等式或不等式】 【例2.1】（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 【例2.2】（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）在锐角△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，设向量，，且. (1)求证： (2)求的取值范围. 【变式2.1】（23-24高一下·浙江宁波·期末）在中，内角，都是锐角. (1)若，，求周长的取值范围； (2)若，求证：. 【变式2.2】（23-24高三上·江苏·开学考试）如图，在△ABC内任取一点P，直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB相交于点D、E、F．    (1)试证明： (2)若P为重心，，求的面积． 【题型3 】 【例3.1】（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例3.2】（24-25高一下·安徽·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶在其著作《数书九章》中给出了三角形的面积公式：已知的三边分别为a，b，c，则的面积.在中，，，则面积的最大值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式3.1】（23-24高一下·广东广州·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，. (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值. 【变式3.2】（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，．    (1)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求； (2)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 【题型4 求三角形边长或周长的最值或范围】 【例4.1】（23-24高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高一下·重庆·阶段练习）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高一下·广西南宁·期末）在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)点是上的一点，，且，求周长的最小值. 【变式4.2】（23-24高一下·上海宝山·期末）锐角中角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 【题型5 三角形的模型问题】 【例5.1】（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（24-25高二上·湖北鄂州·阶段练习）在中，，E是边中点，线段AE长为 ，，是边上一点，是的角平分线，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【变式5.1】（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别是，，，且，. (1)若，求边上的角平分线长； (2)求边上的中线的取值范围. 【变式5.2】（23-24高一下·江西·期末）记的内角的对边分别为的面积. (1)若，求； (2)已知为上一点，从下列两个条件中任选一个作为已知，求线段长度的最大值. ①为的平分线；②为边上的中线. 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【题型6 解双三角形问题】 【例6.1】（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形中，，记与的面积分别为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【例6.2】（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，在平面四边形中，，，，，，则（    ） A．1 B．3 C．2 D．4 【变式6.1】（24-25高三上·安徽·期中）如图，在平面四边形中，与的交点为E，平分，，． (1)证明：； (2)若，求． 【变式6.2】（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，D为所在平面内一点且点B，D位于直线的两侧，在中，．    (1)求的大小； (2)若，，，，求的长． 【题型7 解三角形与三角函数综合】 【例7.1】（24-25高二下·浙江·开学考试）已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围. 【例7.2】（23-24高一下·湖南常德·期中）已知向量. (1)求的取值范围； (2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 【变式7.1】（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）设函数，其中向量，. (1)求的最小值； (2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值. 【变式7.2】（2024·北京·三模）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 模块二 测量问题 1．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【题型8 距离、高度、角度测量问题】 【例8.1】（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【例8.2】（23-24高一下·天津西青·期末）天津广播电视塔是津门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年：它曾是亚洲第一高塔，现为集广播电视、观光旅游、娱乐餐饮于一体的4A级景区．某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量天塔AB的高度．在天塔湖岸边上，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点、．测得，在、两观测点处测得天塔顶部的仰角分别为，则天塔的高约为（    ） A．414m B． C． D．207m 【变式8.1】（23-24高一下·吉林·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，并在点C处测得塔顶A的仰角.    (1)求B与D两点间的距离； (2)求塔高. 【变式8.2】（24-25高一下·重庆万州·阶段练习）要航测某座山的海拔高度，如图，飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内，已知飞机的飞行高度为海拔10000米，速度为900km/h，航测员先测得对山顶的俯角为，经过飞过M点后又测得对山顶的俯角为，（可能要用到的数据：） (1)求BM的长度；（结果带根号） (2)求山顶的海拔高度．（精确到m） 一、单选题 1．（24-25高一下·福建三明·阶段练习）在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 3．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高一下·重庆·期末）某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 5．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏镇江·期末）在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·安徽六安·期末）的内角的对边分别为，且，，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 二、多选题 9．（23-24高一下·重庆·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D．中边中线长为 10．（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，为测量海岛的高度以及其最高处瞭望塔的塔高，测量船沿航线航行，且与在同一铅直平面内，测量船在处测得，，然后沿航线向海岛的方向航行千米到达处，测得，（，测量船的高度忽略不计），则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·重庆·期末）若的内角，，对边分别是，，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为 C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为 三、填空题 12．（24-25高一·江苏·假期作业）在中，已知且，则面积的最大值是 ． 13．（23-24高一下·天津河东·期中）某课外活动小组，为测量山高，如图，他们在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达处，又测得山顶的仰角为，则此山的高度约为 . 14．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，若，则的取值范围是 . 四、解答题 15．（23-24高一下·山东·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，求面积的最大值． 16．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）如图，在中，点在边上，． (1)若，，，求； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围． 17．（23-24高一下·山西太原·期中）如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶3分钟后，到达处，此时测得仰角，且． (1)求此山的高OP的值； (2)求该车从A到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值． 18．（23-24高一下·广东惠州·期中）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________. (1)求角B； (2)若，求周长的最小值. 19．（23-24高一下·四川成都·期中）已知，，函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，求的值； (3)在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 解三角形拓展与应用 【人教A版2019】 模块一 解三角形综合问题 1．解三角形中的重要模型——中线模型 (1)中线长定理：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则. (2)向量法：. 2．解三角形中的重要模型——倍角模型 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1：； 推论2：. 3．解三角形中的重要模型——角平分线模型 角平分线张角定理：如图，为平分线，则. 4．三角形中的最值（范围）问题的解题策略： (1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运 用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． (2)“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边 角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值． 【题型1 三角形中的边、角计算】 【例1.1】（2024·江苏徐州·一模）在△ABC中，已知，，，D为垂足，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，利用和正弦定理化简得到，得到，求得，进而得到，在直角中，结合，即可求解. 【解答过程】设，可得，， 由正弦定理得，即， 因为，所以， 又因为 ， 所以，整理得， 因为，所以，所以， 即，解得，则， 即， 因为为锐角，， 所以， 在直角中，，所以. 故选：B. 【例1.2】（24-25高一下·山西朔州·阶段练习）在中，，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 利用诱导公式得、，结合三角形内角范围确定，进而可得大小. 【解答过程】由题设，则，，故， 又，故，，故， 所以中，. 故选：C. 【变式1.1】（23-24高一下·吉林·期末）在中，，，，的角平分线交BC于D，则（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】根据余弦定理求得的长，再利用，即可求得答案. 【解答过程】在中,由余弦定理得,    则，即， 解得，（负值舍）， 而AD平分，即， 又，故， 则， 故选：B. 【变式1.2】（23-24高一下·浙江杭州·期中）在中，，AD是的角平分线，，，E是AC的中点，则DE的长度为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先利用面积相等求出，再结合余弦定理可得答案或建立直角坐标系，分别求出D，E坐标，再利用两点间距离公式，即可求值. 【解答过程】方法一：因为，，，所以的面积为； 因为AD是的角平分线， 所以， 解得. 在中，，， 所以 ， 即.    故选：A. 方法二：因为，所以， 如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴建立直角坐标系， 则，，， 由是的角平分线可知，直线的方程为：， 因为，，则， 所以直线的方程为：， 联立方程组，可得， 所以， 因为E是AC的中点，所以， 所以，由两点间距离公式得，， 则DE的长度为.    故选：A. 【题型2 证明三角形中的恒等式或不等式】 【例2.1】（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 【解题思路】（1）由正弦定理知，，，结合条件可得结论； （2）由余弦定理可求得，进而利用（1）的结论可求. 【解答过程】（1）由正弦定理知，在中，， 在中，， 由，， 所以， 所以； （2）在中，由余弦定理可得， 所以，由（1）可得，所以， 因为是边上的中线，所以， 所以. 【例2.2】（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）在锐角△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，设向量，，且. (1)求证： (2)求的取值范围. 【解题思路】（1）根据余弦定理，正弦定理，解三角方程即可证明； （2）根据正弦定理将边转化为角，构建关于角的函数，再利用换元法及对勾函数的性质，即可求解. 【解答过程】（1）因为，，且， 所以， 又由余弦定理，，得， 所以，即， 由正弦定理可得，， 在△ABC中，，代入上式， 得，， 即，又因为是锐角， 所以，即. （2）由和正弦定理可得， ， 因为△ABC是锐角三角形， 所以，所以， 所以，，令， 则， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以的取值范围是. 【变式2.1】（23-24高一下·浙江宁波·期末）在中，内角，都是锐角. (1)若，，求周长的取值范围； (2)若，求证：. 【解题思路】（1）根据正弦定理可得，然后可得 ，然后结合的范围求出的范围可得答案； （2）由条件可得为锐角，然后由可得，即可证明. 【解答过程】（1）因为，，所以， 所以， 因为 所以 ， 因为内角，都是锐角，， 所以，即，所以， 所以，所以周长的取值范围为， （2）若，则，所以为锐角， 所以，所以， 因为内角，都是锐角，所以， 所以， 所以. 【变式2.2】（23-24高三上·江苏·开学考试）如图，在△ABC内任取一点P，直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB相交于点D、E、F．    (1)试证明： (2)若P为重心，，求的面积． 【解题思路】（1）利用正弦定理及角的互补关系即可证结论； （2）由题意为中线，可得，再由、、，求，进而求对应正弦值，结合及三角形面积公式求面积. 【解答过程】（1）中，则， 中，则， 又则， 所以，得证. （2）由是重心，则为中线，又， 所以， 而，则， 所以，可得，且，所以， 同理，，可得，， 所以，， 则. 【题型3 】 【例3.1】（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换转化为三角函数求范围即可. 【解答过程】 且， , 根据正弦定理得，, 即， 整理得， ， ， ，解得，， ， ，, 的面积 为锐角三角形， ，， ，， ， . 故选：C. 【例3.2】（24-25高一下·安徽·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶在其著作《数书九章》中给出了三角形的面积公式：已知的三边分别为a，b，c，则的面积.在中，，，则面积的最大值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【解题思路】将，代入面积公式可得，再利用二次函数单调性即可得时，面积的最大值为. 【解答过程】由可得， 将，代入面积公式可得 由二次函数单调性可知，当时，取最大值； 经检验符合题意，所以面积的最大值为. 故选：A. 【变式3.1】（23-24高一下·广东广州·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，. (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值. 【解题思路】（1）利用正弦定理、诱导公式以及两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【解答过程】（1）解：因为， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 因为、，则，所以，，故. （2）解：由余弦定理可得 ，即， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为. 【变式3.2】（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，．    (1)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求； (2)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 【解题思路】（1）设（），则由与面积关系得，再在中由正弦定理得，进而建立等量关系即可求解. （2）在中由正弦定理得，再在中得，接着由面积公式结合三角恒等变换公式进行转换即可研究求解最值. 【解答过程】（1）设（），则， 因为鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍， 所以，即， 中，由三角形外角定理可得， 在中，由，得， 从而，即， 由，得， 所以，即. （2）∵，，， ∴，∴，∴，∴， 设（），则，， 又由（1）， 且在中，由，得， 所以 ， 又，所以当且仅当时，即时， 的面积取最小值为. 【题型4 求三角形边长或周长的最值或范围】 【例4.1】（23-24高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】方法一：设的外接圆半径为R，根据正弦定理及已知可将题干等式化为，再结合两角和的正弦公式进行化简，结合可得，最后根据正弦定理以及三角恒等变换用B表示出的周长，根据三角函数的性质求解即可． 方法二：根据三角形三边关系排除即可． 【解答过程】方法一：设的外接圆半径为R， 则， 因为， 所以， 可得， 即， 可得， 因为，， 所以， 结合，可得， 又，所以， 可得， 则的周长为 ， 因为，所以， 则， 可得 故的周长的取值范围为 方法二：由，可知周长，排除ABD， 故选：C. 【例4.2】（23-24高一下·重庆·阶段练习）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据正弦定理和条件化简得到，把转化为角求解可得答案. 【解答过程】因为，所以， 整理可得，即有. 又，所以，解得，所以， 于是 . 因为三角形是锐角三角形，所以，所以， 所以的取值范围是. 故选：B. 【变式4.1】（23-24高一下·广西南宁·期末）在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)点是上的一点，，且，求周长的最小值. 【解题思路】（1）由二倍角公式及正弦定理化简计算可得角B; （2）应用正弦定理，再结合周长化简得出周长结合函数的单调性求出最小值即可. 【解答过程】（1）由二倍角公式得， 故由正弦定理得，而， 故， 则； （2）设，设，则， 在中，，即 在中，，即 周长. 令，则 . 即周长最小值为. 【变式4.2】（23-24高一下·上海宝山·期末）锐角中角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 【解题思路】（1）借助正弦定理将角化为边后，借助余弦定理计算即可得； （2）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与辅助角公式可将化为正弦型函数形式，再利用锐角三角形性质可得角的范围，即可得解. 【解答过程】（1）由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，又，则； （2）由，则、， 则 ， 由为锐角三角形，可得，解得， 则，则， 故. 【题型5 三角形的模型问题】 【例5.1】（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用向量加法运算及数量积模的运算，推导出，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式，将表示为角的三角函数表达式，结合正弦函数的性质算出的取值范围． 【解答过程】因为是边上的中线，所以， 则， 由正弦定理得， 可得，， 所以， 而， ， 所以 ， 因为为锐角三角形，，则，即， 所以，所以， 所以当时，取得最大值，的最小值大于， 所以的最大值为，最小值大于，即的取值范围为． 故选：B． 【例5.2】（24-25高二上·湖北鄂州·阶段练习）在中，，E是边中点，线段AE长为 ，，是边上一点，是的角平分线，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【解题思路】由E是边中点，得，两边平方化简可求出，再由化简可求出. 【解答过程】因为E是边中点，所以， 所以， 所以， 所以，即，得， 因为是的角平分线，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得. 故选：A. 【变式5.1】（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别是，，，且，. (1)若，求边上的角平分线长； (2)求边上的中线的取值范围. 【解题思路】（1）先根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求，再依据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量的加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可. 【解答过程】（1）因为，根据正弦定理有， 所以， 即， ， ， 即，又， 所以，因为，所以， 由及余弦定理得， 即， 又因为，所以， 所以， 所以，即， 所以 （2）因为是的中点，所以， 则， 因为，，由余弦定理有：， 即，所以 由正弦定理得： ， 即， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，即边上的中线的取值范围为. 【变式5.2】（23-24高一下·江西·期末）记的内角的对边分别为的面积. (1)若，求； (2)已知为上一点，从下列两个条件中任选一个作为已知，求线段长度的最大值. ①为的平分线；②为边上的中线. 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解题思路】（1）根据题意，由余弦定理和三角形的面积公式即可得到，再由正弦定理即可得到结果； （2）若选①，由余弦定理结合基本不等式即可得到结果；若选②，由，再结合余弦定理与基本不等式即可得到结果. 【解答过程】（1）因为， 由余弦定理可得，所以， 由三角形的面积公式可得，所以， 所以，又，所以. 因为，所以为锐角，， 所以 ， 由正弦定理得，即， 所以. （2）选择条件①： 在中由余弦定理得，即， 即，故， 当且仅当时等号成立， 又因为，所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 选择条件②： 由点为的中点得， 平方得， 在中由余弦定理得， 即，所以. 当且仅当时等号成立， 故有 ， 从而，故的最大值为. 【题型6 解双三角形问题】 【例6.1】（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形中，，记与的面积分别为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【解题思路】根据余弦定理得、，两式相减可得，由三角形的面积公式得，即可求解. 【解答过程】在中，由余弦定理得， 即，得①， 在中，由余弦定理得， 即，得②， 又， 所以③， 由②①，得，由， 得，代入③得. 故选：B. 【例6.2】（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，在平面四边形中，，，，，，则（    ） A．1 B．3 C．2 D．4 【解题思路】设，由正弦定理得，，两式相除即可求出. 【解答过程】设，在中，由正弦定理可得①， 由可得，则， ， 在中，由正弦定理可得②， ①②两式相除，得，即， 整理得，化简得，故. 故选:C. 【变式6.1】（24-25高三上·安徽·期中）如图，在平面四边形中，与的交点为E，平分，，． (1)证明：； (2)若，求． 【解题思路】（1）由可得，结合余弦定理证明即可. （2）由、及，可证得四边形是等腰梯形，进而可得，进而可求得，在中，由正弦定理可得，再结合、可得即可. 【解答过程】（1）如图， 由题意知，则， 由余弦定理得， 即，整理得， 因为，所以． （2）因为，所以， 因为，所以，所以． 又因为，，所以四边形是等腰梯形，所以． 设，则，解得． ． 在中，由正弦定理可得， 又因为，所以． 【变式6.2】（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，D为所在平面内一点且点B，D位于直线的两侧，在中，．    (1)求的大小； (2)若，，，，求的长． 【解题思路】（1）由已知条件得，在中，由余弦定理得即可； （2）设，，在和中都由正弦定理得，，即，最后化简即可. 【解答过程】（1）因为在中，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为在中，，所以． （2）在中，设，， 则由正弦定理得，即，① 又在中，，， 则由正弦定理得，即，② 则由①②两式得，，即， 展开并整理得，即，所以， 因为在中，，所以， 把代入①式得，． 【题型7 解三角形与三角函数综合】 【例7.1】（24-25高二下·浙江·开学考试）已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围. 【解题思路】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，然后利用整体代入法求得的单调递减区间. （2）利用余弦定理求得，结合三角函数值域的求法求得的取值范围. 【解答过程】（1） 令，则 所以，单调减区间是. （2）由得： ，即， 由于，所以. 在中，， ， 于是，则，， ，所以. 【例7.2】（23-24高一下·湖南常德·期中）已知向量. (1)求的取值范围； (2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 【解题思路】（1）根据题意，求得，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，求得，再由，利用正弦定理求得，得到，得到，进而求得的取值范围. 【解答过程】（1）（1）因为， 可得 ， 因为，所以. （2）解：由题意得 ，可得， 因为，由正弦定理得， 所以，所以， 又因为，则，且，所以， 因为，所以，所以，则， 则， 所以函数的值域是. 【变式7.1】（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）设函数，其中向量，. (1)求的最小值； (2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值. 【解题思路】（1）利用向量数量积的坐标表示及倍角余弦公式、辅助角公式可得 ，再由正弦函数性质求最小值. （2）由题设可得，应用三角形面积公式有，由余弦定理可得，最后由正弦定理，即可求目标式的值. 【解答过程】（1）由题设， ， 所以，当时的最小值为. （2）由，得：，则，又， 所以，故，则. 由，可得：. 在△中，由余弦定理得：， 所以. 由，则. 【变式7.2】（2024·北京·三模）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【解题思路】利用三角恒等变换整理可得，结合最小正周期分析求解； 以为整体，结合正弦函数最值可得.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解. 【解答过程】（1）由题意可知：， 因为函数的最小正周期为，且，所以. （2）由（1）可知：， 因为，则， 可知当，即时，取到最大值3，即. 若条件①：因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得，且，则， 可得，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若条件②；因为， 由正弦定理可得：， 则， 因为，则， 可得， 即，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若选③：因为，则， 整理得，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为. 模块二 测量问题 1．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【题型8 距离、高度、角度测量问题】 【例8.1】（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，在直角和直角中，分别求得和，再在中，利用余弦定理，即可求解. 【解答过程】由题意，可得， 且， 在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：C. 【例8.2】（23-24高一下·天津西青·期末）天津广播电视塔是津门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年：它曾是亚洲第一高塔，现为集广播电视、观光旅游、娱乐餐饮于一体的4A级景区．某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量天塔AB的高度．在天塔湖岸边上，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点、．测得，在、两观测点处测得天塔顶部的仰角分别为，则天塔的高约为（    ） A．414m B． C． D．207m 【解题思路】设，在和 中，求出，在中借助余弦定理求出的值，即的值. 【解答过程】设， 在中，有题意知，则， 在中，有题意知，则， 在中， ，， 由余弦定理可得：， 即，解得，即. 故选：A. 【变式8.1】（23-24高一下·吉林·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，并在点C处测得塔顶A的仰角.    (1)求B与D两点间的距离； (2)求塔高. 【解题思路】（1）根据正弦定理即可得到答案； （2）首先根据正弦定理求出，再根据三角函数定义即可得到答案. 【解答过程】（1）在中，. 由正弦定理得， ， （2）. 在中，由正弦定理得 ， ， 在中，. 【变式8.2】（24-25高一下·重庆万州·阶段练习）要航测某座山的海拔高度，如图，飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内，已知飞机的飞行高度为海拔10000米，速度为900km/h，航测员先测得对山顶的俯角为，经过飞过M点后又测得对山顶的俯角为，（可能要用到的数据：） (1)求BM的长度；（结果带根号） (2)求山顶的海拔高度．（精确到m） 【解题思路】（1）根据题意，求得，由正弦定理，即可求解. （2）过点作，求得长，进而求得山顶的海拔高度，得到答案. 【解答过程】（1）解：因为飞机的速度为，经过飞过M点， 所以， 在中， 由， 则 ， 由正弦定理， 可得. （2）解：如图所示，过点作，垂足为， 因为， 所以， 因此山顶的海拔高度为. 一、单选题 1．（24-25高一下·福建三明·阶段练习）在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据锐角三角形定义求出的范围，利用正弦定理和三角恒等变换将所求化为关于的三角函数，然后由三角函数性质求解可得. 【解答过程】在锐角中，，因为，，， 所以，，解得， 所以，， 而， 所以 可得， 所以由正弦定理可知： ， 因为，所以， 所以，即. 故选：A. 2．（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【解题思路】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦及正弦函数性质推理判断即可. 【解答过程】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角. 故选：C. 3．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据题中条件，先得到，，在中，根据正弦定理可求得，进而在中，可求得. 【解答过程】因为，所以，又， 所以，所以，所以， 又，， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以， 在中，因为， 所以. 故选：B. 4．（23-24高一下·重庆·期末）某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 【解题思路】设，根据锐角三角函数可得，再在中利用余弦定理得到，再由三角恒等变换公式及三角函数的性质求出，即可得解． 【解答过程】设，， 则， 在中，， 在中， 所以当时，，， 所以最大值为． 故选：C． 5．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正弦定理，转化为三角函数，化简后换元，根据二次函数的单调性求范围即可. 【解答过程】在中，由可得， 由正弦定理得： 又为锐角三角形，所以，解得， 令，则， 因为在时单调递增， 所以，则. 故选：C. 6．（23-24高一下·江苏镇江·期末）在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】因为，则M为BC中点，两边平方化简得到；因为，则AN为角平分线，，化简得到．解出，代入面积公式即可. 【解答过程】如图，在中，设,      因为，则M为BC中点，两边平方得到， ， 即，化简 因为，则AN为角平分线，， 即，条件代入化简得， ，则，且， 联立解得，解得(负值舍去). 所以. 故选：D. 7．（23-24高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由正弦定理化简已知可得，再由是锐角，得到，然后根据正弦定理和三角形内角和将周长用表示，结合三角恒等变化和三角函数图象即可求得范围. 【解答过程】因为， 根据正弦定理得，， 因为为锐角，所以， 所以，即，而A为锐角， 所以， 因为根据正弦定理， 所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即， 所以， 即，， 所以. 故选：C. 8．（23-24高一下·安徽六安·期末）的内角的对边分别为，且，，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 【解题思路】利用三角恒等变换结合正弦定理边化角判断AB，利用余弦定理和基本不等式求出和的范围判断CD即可. 【解答过程】选项A，由可得， 又是的内角，， 所以，由正弦定理得， 因为中，所以，即， 所以，A说法错误； 选项B，设的外接圆半径为，因为， 所以由正弦定理得， 所以，解得，B说法错误； 选项C：由正弦定理可得，解得， 由余弦定理得，即，解得， 当且仅当时等号成立， 所以的面积，C说法错误； 选项D，由C知， 解得，当且仅当时等号成立， 由三角形的性质知， 所以，D说法正确； 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高一下·重庆·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D．中边中线长为 【解题思路】根据余弦定理即可求解A，根据正弦定理即可求解BC，根据向量的模长公式即可求解D. 【解答过程】因为， 由余弦定理得，，所以，A正确， 由正弦定理得， 所以，，所以B正确，C错误， 设中边中线为,则,故故D正确． 故选：ABD． 10．（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，为测量海岛的高度以及其最高处瞭望塔的塔高，测量船沿航线航行，且与在同一铅直平面内，测量船在处测得，，然后沿航线向海岛的方向航行千米到达处，测得，（，测量船的高度忽略不计），则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】在中由正弦定理得求出可判断BA；求出，由正弦定理求出可判断C；在中，由正弦定理求出可判断D． 【解答过程】在中，，， ，由正弦定理得，， 即，所以，，故B正确； 且，故A错误； 故， 在中，，， 由正弦定理得，， 所以，故C错误； 对于D，在中，，， ，代入， 所以，故D正确． 故选：BD． 11．（23-24高一下·重庆·期末）若的内角，，对边分别是，，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为 C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为 【解题思路】对于A，由正弦定理进行边角互化可得B，再利用正弦定理可得外接圆的半径；对于BC，利用余弦定理结合基本不等式可得的最值及的最值；对于D，根据向量的线性运算，可表示中线，进而可得其长度最值. 【解答过程】对于A：，由正弦定理得， 即，即， 因为，所以，所以，， 因为，则， 令外接圆的半径为, 根据正弦定理可得，即，故A正确； 对于C：由余弦定理知，， 因为，，所以，，当且仅当时等号成立， 因为，所以的最大值为，故C正确； 对于B：由C知，则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，故B错； 对于D：因为为边上的中线， 所以，， 得，因为，所以的最小值为，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一·江苏·假期作业）在中，已知且，则面积的最大值是 ． 【解题思路】设，可得的面积的表达式，再由余弦定理可得的表达式，进而可得三角形面积的最大值． 【解答过程】因为且， 设，则， 又因为， 所以． 当，即时取等号． 故答案为：． 13．（23-24高一下·天津河东·期中）某课外活动小组，为测量山高，如图，他们在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达处，又测得山顶的仰角为，则此山的高度约为 . 【解题思路】过点D作，交BC于E，计算出、，在中，由正弦定理计算出，在中即可计算出山高. 【解答过程】过点D作，交BC于E， 因为，所以，则. 又因为，所以 在中，由正弦定理，得， 在中，，故山高度约为. 故答案为：. 14．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，若，则的取值范围是 . 【解题思路】根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得，利用换元法，结合三角函数的性质以及二次函数的性质即可求解范围. 【解答过程】由正弦定理得： ， 又，即，可得， 又是锐角三角形， 可得，即，解得， 令，则， 则，开口向上，对称轴， 即在上单调递增， 所以，即 即的取值范围是 故答案为： 四、解答题 15．（23-24高一下·山东·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，求面积的最大值． 【解题思路】（1）利用正弦定理、诱导公式、二倍角公式化简计算即可； （2）利用余弦定理、三角形面积公式、基本不等式计算即可. 【解答过程】（1）因为， 所以， 易知，则，即， 则或，所以或（舍去）， 故； （2）由余弦定理知， 即，当且仅当时取得等号， 所以， 即面积的最大值为. 16．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）如图，在中，点在边上，． (1)若，，，求； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围． 【解题思路】（1）根据给定条件，在与中，利用余弦定理求解即得. （2）由给定条件，求出角的范围，再利用正弦定理边化角，借助差角的正弦及正切函数的性质求解即得. 【解答过程】（1）在中，由余弦定理得， 即，即， 而，解得，则， 在中，， 由余弦定理得. （2）在锐角中，，，且，则， 由正弦定理得， 显然，即有，因此，即， 所以的取值范围是. 17．（23-24高一下·山西太原·期中）如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶3分钟后，到达处，此时测得仰角，且． (1)求此山的高OP的值； (2)求该车从A到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值． 【解题思路】（1），在中和中，利用正切函数可表示出，然后在中利用余弦定理可求出； （2）设是线段AB上一动点，连结OC，PC，当时，OC最短，此时观测点的仰角正切值的最大，从而可求出其最大值. 【解答过程】（1）设，在中，因为，所以， 同理，在中，， 在中，由余弦定理得， 所以，得， 所以此山的高为． （2）由（1）得， 设是线段AB上一动点，连结OC，PC， 则在点处观测点的仰角为， 当时，OC最短， 由得， 所以， 所以该车从到行驶过程中观测点仰角正切值的最大值为． 18．（23-24高一下·广东惠州·期中）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________. (1)求角B； (2)若，求周长的最小值. 【解题思路】（1）分别选三个条件，结合三角恒等变换，以及边角互化，化简后即可求解； （2）由余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积公式求出面积 【解答过程】（1）选①， 由正弦定理可得，即得， 即有，由于，可得，即. 选②， 由正弦定理可得， 因为，，所以，即. 由于，可得. 选③， 由正弦定理和诱导公式可得，即为， 由余弦定理可得. 由于，可得. （2）由（1）知，由余弦定理可得， 即为，而，即. 若，则，可得（当且仅当时取得等号）， 则，所以周长的最小值为6. 19．（23-24高一下·四川成都·期中）已知，，函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，求的值； (3)在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 【解题思路】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的余弦公式，辅助角公式计算即可； （3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【解答过程】（1）， 令，则，， 函数的对称中心为． （2）由可知，， 化简有， 则 ． （3）由可得，即， 又，所以， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 所以，则， 所以周长的取值范围为． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$