精品解析：广东省汕头市金平区金园实验中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

金园实验中学2024-2025学年度第一学期期中考试卷九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键． 根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为； 故选：B． 3. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：． 4. 若把方程的左边配成完全平方的形式，则下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解； ， 故选：B． 5. 三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ） A. 15 B. 13 C. 11或8 D. 11和13 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边，最后计算周长即可得到答案. 【详解】解：∵ ， ∴ 因式分解得 ， 解得 ， ∵ 三角形两边长分别为3和6， ∴ 当第三边长为时，，不满足三角形三边关系，此种情况舍去， 当第三边长为时，满足三角形三边关系，此时三角形周长为 . 6. 如图，是的弦，半径于点且则的长为（　　）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接OA，由垂径定理得AD=，在Rt△ADO中，由勾股定理求出OA，再根据CD=OC－OD求出CD即可． 【详解】连接OA， ∵OC⊥AB，AB=6则AD=3 且OA2=OD2+AD2， ∴OA2=16+9=25， ∴OA =OC=5cm． ∴DC =OC－OD=1 cm 故选D． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，关键是连半径构造直角三角形． 7. 关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）>0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）<0方程没有实数根． 8. 已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点的对称点，再利用二次函数的增减性可判断值的大小． 【详解】解：∵二次函数的解析式为：， ∴该二次函数的对称轴为：直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵点都在对称轴左侧，对称轴左侧随的增大而增大 ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，掌握二次函数图象的增减性是解题的关键． 9. 如图，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及旋转性质，通过线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接，，则，得到，即可证明三角形全等，又因为，所以，，即可作答． 【详解】解：连接，，过点B，分别作轴于点M，轴于点N， ∵线段绕点O顺时针旋转得到线段， ∴则，， ∵ ∴， ∴ ∵轴于点M，轴于点N， ∴ 又∵， ∴，， ∴点的坐标是， 故选：A 10. 如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案． 【详解】解：当与重合时，设，由题可得： ∴，， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向上的抛物线的一部分， 当在下方时，设，由题可得： ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向下的抛物线的一部分， 综上所述：A正确， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 12. 若方程是关于的一元二次方程，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：． 13. 若抛物线与x轴只有一个交点，则k的值为______． 【答案】＃＃0.25 【解析】 【分析】令y=0得到关于x的一元二次方程，由抛物线与x轴只有一个交点，得到方程根的判别式等于0，计算求解即可． 【详解】解：令，得到． ∵二次函数的图象与x轴只有一个交点， ∴，解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题的关键在于明确交点个数与判别式的关系． 14. 如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得，若点在上，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识．由旋转的性质和勾股定理得出的长度，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得， ， 根据勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 15. 如图，等腰直角三角形中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，则的度数为________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】该题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 由旋转得：，则，根据得，即可求解； 【详解】解：∵，设旋转角为， 根据旋转可得， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 17. 已知二次函数图象的顶点是，且与轴交于点，求该二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出的值即可得到抛物线解析式． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点是， 设此二次函数解析式为， 把代入得， 解得：， 所以抛物线解析式为． 18. 已知，平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）若平行四边形四边形是菱形，求菱形的边长． 【答案】（1） 证明：由题意得， ∵， ∴无论取何值，方程总有两个实数根； （2）当时，平行四边形是菱形，菱形的边长为 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解法，根的判别式，以及菱形的性质等知识，得出的值是解题关键． （1）利用根的判别式求出的符号进而得出答案； （2）利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ，即， ， ∴原方程变形为， ， ∴菱形的边长为． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B、C、D的坐标分别为． （1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； （2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； 【答案】（1） （2）40 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）根据四边形的面积等于2倍的，进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，则：． 20. 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】（1）这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 （2）5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人 【解析】 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得： ， 解得：（负值已舍掉）； 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； 【小问2详解】 设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得： ， 解得：； ∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键． 21. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系． （1）求点P的坐标和a的值． （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 【答案】（1），， （2）选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近 【解析】 【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值； （2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近． 【小问1详解】 解：在一次函数， 令时，， ∴， 将代入中，可得：， 解得：； 【小问2详解】 ∵，， ∴， 选择扣球，则令，即：，解得：， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， 选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去）， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， ∵， ∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到． 【问题探究】 如图①连接，，延长交线段于点． （1）试探究和的数量关系，并加以说明； （2）是否成立，若成立，给予证明，若不成立，说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图②，若，，点是的中点，点是上的动点，在绕点顺时针旋转过程中，点的对应点是点，则线段长度的取值范围是_______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】该题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是理解题意，正确做出图形． （1）根据旋转可得，，根据等腰三角形的性质得出，再根据余角的性质即可求解． （2）如图，作 于 交 的延长线于 ．证明，得出，再证明，即可得出． （3）在 中，勾股定理得出，根据 为 中点，得出，由旋转可知： ，得出，根据点 是 上的动点，点 是上的动点，得出当 在处时， 最小，值为 6，当 在处时， 最大，值为10，再分为当 C、M、 不共线时，，当C、M、共线时，画出图形，得出最小和最大，即可求解． 【详解】解：（1）， 理由如下： 根据旋转可得，， ， ， ，， ． （2）， 理由如下： 如图，作 于 交 的延长线于 ． ，， ， ∴， ，， ， ． （3）在 中，， ∵ 为 中点， ， 由旋转可知： ， ， ∵点 是 上的动点，点 是上的动点， 当 在处时， 最小，值为 6，当 在处时， 最大，值为10， 当 C、M、 不共线时，， 当C、M、共线时，如图，最小， 此时 ， 如图，最大， 此时 ， 综上，． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线对称轴上一点，点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标； （3）过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）或或或 （3）或 【解析】 【分析】（1）由抛物线与轴交于两点，设，再把代入利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况讨论：如图，当为矩形边时，当为矩形对角线时，如图，再结合图形求解即可． （3）作的垂直平分线，垂足为，交于点，作于点，作点关于点的对称点符合条件，根据题意分别画图求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为：； 【小问2详解】 解：根据题意可得抛物线的对称轴为直线， 设，则， 当为矩形边时，可得或， 当时，则，即， 解得：， 则； 当时，则，即， 解得：， 则； 如图，当为矩形对角线时， ，四边形是矩形， ， 则，即， 解得：或， 则或； 综上：或或或． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为，则，解得：， 故直线的解析式为， 设， 作的垂直平分线，垂足为，交于点，如图所示． 根据题意可得， 当时，，，故符合条件． 此时，， 解得：， ∴点的坐标为． 作于点，作点关于点的对称点．如图所示． 此时，则，故点符合条件． 根据题意， ∴， ∵， ∴， 过点作于H， 则， ∴， ∵点关于点N对称， 即点为线段的中点， ∴点的坐标为． ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，利用数形结合和分类讨论的方法解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金园实验中学2024-2025学年度第一学期期中考试卷九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 若把方程的左边配成完全平方的形式，则下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ） A. 15 B. 13 C. 11或8 D. 11和13 6. 如图，是的弦，半径于点且则的长为（　　）． A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根是______． 12. 若方程是关于的一元二次方程，则的值是________． 13. 若抛物线与x轴只有一个交点，则k的值为______． 14. 如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得，若点在上，连接，则的长为________． 15. 如图，等腰直角三角形中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，则的度数为________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程： 17. 已知二次函数图象的顶点是，且与轴交于点，求该二次函数的解析式． 18. 已知，平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）若平行四边形四边形是菱形，求菱形的边长． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B、C、D的坐标分别为． （1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； （2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； 20. 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 21. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系． （1）求点P的坐标和a的值． （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到． 【问题探究】 如图①连接，，延长交线段于点． （1）试探究和的数量关系，并加以说明； （2）是否成立，若成立，给予证明，若不成立，说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图②，若，，点是的中点，点是上的动点，在绕点顺时针旋转过程中，点的对应点是点，则线段长度的取值范围是_______． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线对称轴上一点，点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标； （3）过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $