专题03平行四边形5大类型压轴题-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（浙教版）

专题03平行四边形压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、三角形中位线综合题 2 类型二、平行四边形面积问题 4 类型三、平行四边形最值问题 6 类型四、平行四边形的性质与判定综合 7 类型五、平行四边形动点问题 10 压轴能力测评 13 1、 平行四边形的性质 1．平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示. 2．平行四边形的性质 （1）边：两组对边分别平行且相等． （2）角：对角相等，邻角互补． （3）对角线：互相平分． （4）对称性：中心对称但不是轴对称． 3．注意： 利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法： （1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半． （2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以常会结合三角形全等来解题． （3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长． 4．平行四边形中的几个解题模型 （1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE． （2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB； 两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD； 根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半． （3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可.即是平行四边形面积的一半； （4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD，有垂直，求边长也会用到勾股． 二、平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 三、 三角形的中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 类型一、三角形中位线综合题 例1．如图，在中，点在边上，，点是的中点，点是的中点，若，则的长为　　 A．1 B． C． D． 变式1-1．如图，在三角形中，，，点是的中点，是的角平分线，，则　　 A．14 B．13 C．12 D．11 变式1-2．已知，中，，，平分，，垂足为，为中点，连结，，则的值为　　 A． B． C． D． 例2．如图，已知四边形中，，，，点，分别是边，的中点，连接，则的长是　　 A．3 B． C． D． 变式2-1．如图，在中，对角线，交于点，，，，分别是，，的中点，交于点． （1）求证：线段与线段互相平分； （2）若，求的长度； （3）求的值． 类型二、平行四边形面积问题 例3．如图，点是内的任意一点，连接、、、，得到、、、，设它们的面积分别是、、、，给出如下结论： ①； ②如果，则； ③若，则； ④如果点在对角线上，则； ⑤若，则点一定在对角线上． 其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 变式3-1．如图，是内的任意一点，连接、、、，得到、、、，设它们的面积分别是、、、，给出如下结论：①，②若，则，③若，则的面积为10；④．其中正确的　　 A．①③ B．②③ C．①② D．②④ 例4．如图，平行四边形的四个顶点分别在平行四边形的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若要求平行四边形的面积，只需知道下列哪个四边形的面积　　 A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 变式4-1．如图，中，点，，，分别为，，，上异于端点的四点，满足，，，分别为，上异于端点的两点，连接，点为线段上一个动点，从点出发，运动到点后停止，连接，，，，，当图中存在△与四边形时，随着点的移动，两者的面积之和变化趋势为　　 A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．一直不变 D．以上都不对 例5． 如图，平行四边形的对角线，交于点，平分，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，连接； ①若，求平行四边形的面积； ②设，试求与满足的关系． 变式5-1． 如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、． （1）判断 与的数量关系，并说明理由； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若，设 的面积为，的面积为，求的值．（用含的代数式来表示） 变式5-2．如图，平行四边形的对角线，交于点，平分，交于点，且．设，连接；若，，则平行四边形的面积为 　　；设，则与满足的关系式为 　　． 类型三、平行四边形最值问题 例6．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为　　 A．3 B． C．6 D． 变式6-1．如图所示，已知平行四边形的顶点的坐标为，顶点，分别在轴和直线上，则对角线的最小值是 　　． 变式6-2．如图，在中，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、．若，，，则 ①点到直线的距离是　　． ②周长的最小值是　　． 类型四、平行四边形性质与判定综合 例7．如图，的对角线，交于点，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中成立的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式7-1．如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中成立的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式7-2．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点．有下列4个结论：①；②；③；④，其中说法正确的是 　 　． 例8．如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点，为中点，连接，，若，则的长是　　 A．2 B．3 C． D． 变式8-1．如图，在平行四边形中，点是上一点，，，点是的中点，平分，，则的面积是　　 A． B． C． D． 变式8-2． 如图，在平行四边形中，，，点、分别在边和上，，，． （1）若，，则　　； （2）若点、在分别是边和的中点，则　　． 例9． 已知平行四边形，为边上的中点． （1）如图1，若，求证：平分； （2）若为边上一点，连结，； ①如图2，若，，求； ②如图3，若，请你写出线段，，之间的数量关系，并证明． 变式9-1． 如图，在中，过点作交直线于点，且，平分交于点，交于点，过点作交直线于点． （1）求证：； （2）若，，求线段的长； （3）下列三个问题，依次为易、中、难，对应的满分值为1分、2分、3分，根据你的认知水平，选择其中一个问题求解． ①当点与点重合时，求证：； ②当点在延长线上，且时，求证：； ③当点在线段上时，求证：． 变式9-2． 如图1，在中，点为中点，，的延长线交于点． （1）求证：． （2）若时，记与之间的距离为，与之间的距离为，求的值． （3）如图2，连结，，在（2）的条件下，求证：． 类型五、平行四边动点问题 例10．如图，平行四边形中，，，，点从点沿边向点移动，点从点沿边向点移动，、同时出发，速度都是，当一点先达到终点，另一点也停止运动． （1）、移动几秒时，为等腰三角形； （2）设，请写出与点、的移动时间之间的函数关系式，并写出的取值范围； （3）能否使？若不能请说明理由，若能，也说明理由． 变式10-1．如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为． （1）求点的坐标和平行四边形的对称中心的点的坐标； （2）动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度向终点匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动．设点运动的时间为秒，求当为何值时，的面积是平行四边形的一半？ （3）当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 变式10-2．如图，平行四边形中，，，．点以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时点以的速度从顶点出发沿折线向点运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．设运动时间为． （1）求平行四边形的面积； （2）求当时，的面积； （3）当的面积是平行四边形面积的时，求的值． 例11． 如图1，在平面直角坐标系平行四边形中，点坐标为，点在轴上，，．动点从点出发，沿射线以每秒2个单位的速度运动，同时，动点从点出发沿边向点以每秒1个单位的速度运动．当点到达点时，点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）的长为 　　，的长为 　　； （2）当为何值时，线段恰好被平分？ （3）如图2，若在轴上有一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 　　（直接写出答案）． 变式11-1． 如图1，在中，，，．以为边，在外作等边，是的中点，连结并延长，交于点． （1）求边的长； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）将图1中的四边形折叠，折痕为，在上，在上： ①如图2，若使点与点重合，求的长； ②若使点与的一边中点重合，直接写出的长是 　 　． 变式11-2． 如图，已知在四边形中，，，连结、，与交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作于，为的中点，连接，若，，，求的值； （3）在（2）的条件下，在上移动，当为等腰三角形时，求的长． 1．如图，中，，，，，，则的值为　　 A．6 B． C．7 D．8 2．如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中成立的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，为平行四边形内一点，过点分别作、的平行线交平行四边形于、、、四点，若，，则为　　 A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 4．如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为　　） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，，，，则的长度为 　　． 6．如图，的对角线，相交于点，平分，交于点，连接，且，若，且　　．（用含的代数式来表示） 7．如图，在菱形中，，，将向右平移得到△（点在线段上），连接，，．在平移过程中， （1）若四边形是矩形，则　　； （2）的最小值为 　　． 8．如图，点、是两直角边、上的一点，连接，已知点、、分别是、、的中点． （1）求度数； （2）连，取中点，连接，若，，求的长． 9．如图，平行四边形中，，，点以的速度从点出发沿一一向点运动，同时点以的速度从点出发沿一一向点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为． （1）求平行四边形的面积； （2）求当时，求的面积； （3）当的面积为平行四边形的面积的时，求的值． 10．如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，设的面积为，的面积为，求的值．（用含的代数式来表示） 11．如图，已知中，平分交于，于，交于，且．过点作的垂线，分别交、于点、． （1）若为中点，且，求的长； （2）求证：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03平行四边形压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、三角形中位线综合题 2 类型二、平行四边形面积问题 6 类型三、平行四边形最值问题 12 类型四、平行四边形的性质与判定综合 14 类型五、平行四边形动点问题 22 压轴能力测评 30 1、 平行四边形的性质 1．平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示. 2．平行四边形的性质 （1）边：两组对边分别平行且相等． （2）角：对角相等，邻角互补． （3）对角线：互相平分． （4）对称性：中心对称但不是轴对称． 3．注意： 利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法： （1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半． （2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以常会结合三角形全等来解题． （3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长． 4．平行四边形中的几个解题模型 （1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE． （2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB； 两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD； 根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半． （3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可.即是平行四边形面积的一半； （4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD，有垂直，求边长也会用到勾股． 二、平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 三、 三角形的中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 类型一、三角形中位线综合题 例1．如图，在中，点在边上，，点是的中点，点是的中点，若，则的长为　　 A．1 B． C． D． 【答案】：B； 【解析】：解：，，， 过作交于，连接， 点是的中点，，， 是的中位线，，，， 点是的中点，，，， ，， ，， ， 选：． 变式1-1．如图，在三角形中，，，点是的中点，是的角平分线，，则　　 A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】：B； 【解析】：解：过点作，交于点，如图所示： 是的角平分线， 设，则 ，， 点是的中点，，是△的中位线，， ，， 是△的一个外角，， ，，， ，． 选：． 变式1-2．已知，中，，，平分，，垂足为，为中点，连结，，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】：D； 【解析】：解：如图，延长与相交于点，过点作于， ，， 平分，， ，，， 为中点，是的中位线， ，， 由勾股定理得：， ， ，， 由勾股定理得：，， 由勾股定理得：， ，即，． 选：． 例2．如图，已知四边形中，，，，点，分别是边，的中点，连接，则的长是　　 A．3 B． C． D． 【答案】：C； 【解析】：解：如图，取的中点，连接、， 、分别是边、的中点，且， 且， ，， ． 选：． 变式2-1．如图，在中，对角线，交于点，，，，分别是，，的中点，交于点． （1）求证：线段与线段互相平分； （2）若，求的长度； （3）求的值． 【答案】：（1）见解析；（2）6；（3）1:4； 【解析】：（1）证明：连接，， 四边形是平行四边形，，， ，，分别是，，的中点，即为的中位线， ，，，，， 四边形是平行四边形，，， 线段与线段互相平分； （2）解：由（1）知，，， 四边形是平行四边形，， 又，， 为的中点，，又为的中点，， ，； （3）由（1）（2）可知，， 四边形是平行四边形，，， 为的中点，， 设，，则，， 则，，，． 类型二、平行四边形面积问题 例3．如图，点是内的任意一点，连接、、、，得到、、、，设它们的面积分别是、、、，给出如下结论： ①； ②如果，则； ③若，则； ④如果点在对角线上，则； ⑤若，则点一定在对角线上． 其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】：C； 【解析】：解：四边形是平行四边形， ，． 设点到，，，的距离分别是，，，，点到，的距离分别为，， 则，，，． ，， ， ，故①正确； 根据只能判断，不能判断，即不能判断，故②错误； 根据，能得出，不能得出，即不能判断，故③错误； 点在对角线上， ，， ，故④正确； 由和，得，， ， ， 点一定在对角线在上，故⑤正确， 综上所述，正确的结论是①④⑤． 选：． 变式3-1．如图，是内的任意一点，连接、、、，得到、、、，设它们的面积分别是、、、，给出如下结论：①，②若，则，③若，则的面积为10；④．其中正确的　　 A．①③ B．②③ C．①② D．②④ 【答案】：A； 【解析】：解：四边形是平行四边形， ，， 设点到、、、的距离分别为、、、，、分别为平行四边形的边和边的高， 则， ，， 又， ，故①正确； 根据只能判断，不能判断，即不能得出，故②错误； 根据，，能得出的面积为，故③正确； 由题意只能得到无法得到，故④错误； 选：． 例4．如图，平行四边形的四个顶点分别在平行四边形的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若要求平行四边形的面积，只需知道下列哪个四边形的面积　　 A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 【答案】：B； 【解析】：解：连接，， 四边形是平行四边形，的面积的面积， 四边形是平行四边形，， ，，的面积的面积， ，四边形是平行四边形， 的面积的面积，的面积的面积， 若要求平行四边形的面积，只需知道四边形的面积， 选：． 变式4-1．如图，中，点，，，分别为，，，上异于端点的四点，满足，，，分别为，上异于端点的两点，连接，点为线段上一个动点，从点出发，运动到点后停止，连接，，，，，当图中存在△与四边形时，随着点的移动，两者的面积之和变化趋势为　　 A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．一直不变 D．以上都不对 【答案】：C； 【解析】：解：如图，连接，， 设点到的距离为，到的距离为，到的距离，到的距离为， 四边形为平行四边形，，， ，， ， ， 为定值，，是平行四边形的高，均为定值， ，，均为定值， △的边长是定值，也为定值， △与四边形的面积之和为：平行四边形的面积，平行四边形的面积为定值， △与四边形的面积之和保持不变， 选：． 例5． 如图，平行四边形的对角线，交于点，平分，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，连接； ①若，求平行四边形的面积； ②设，试求与满足的关系． 【答案】：（1）见解析；（2）① ；②； 【解析】：（1）证明：四边形是平行四边形，，， 平分， 是等边三角形，； （2）解：①，，，， ，是等边三角形， ，，， 当时，， 平行四边的面积； ②四边形是平行四边形，，， 是等边三角形，， 的边上的高等于的边上的高的一半，底等于的倍， 设边上的高为，的长为， ，， ， ，， ． 变式5-1． 如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、． （1）判断 与的数量关系，并说明理由； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若，设 的面积为，的面积为，求的值．（用含的代数式来表示） 【答案】：（1）；（2）是等腰三角形，证明见解析；（3）的值为； 【解析】：解：（1），理由如下： 四边形是平行四边形，，， ，是的中点，，，， ，，即； （2）是等腰三角形，理由如下： 如图，延长、交于点， ，， 在和中， ，， ，，， ，是等腰三角形； （3）设，，，， ，，， ，， ， 的值为． 变式5-2．如图，平行四边形的对角线，交于点，平分，交于点，且．设，连接；若，，则平行四边形的面积为 　　；设，则与满足的关系式为 　　． 【答案】：；； 【解析】：解：四边形为平行四边，， ，，， 平分，， ，为等边三角形，， 若，，则， ，， ，， ， 设，则，在中，，，， 解得：或（舍去），，， ；，，， ，，， 四边形为平行四边形，， ，，， ， ，， ． 答案：；． 类型三、平行四边形最值问题 例6．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为　　 A．3 B． C．6 D． 【答案】：D; 【解析】：解：设与交于点，作于．如图所示： 在中，，，， 四边形是平行四边形，， ，，， 当与重合时，的值最小，则的值最小， 的最小值． 选：． 变式6-1．如图所示，已知平行四边形的顶点的坐标为，顶点，分别在轴和直线上，则对角线的最小值是 　　． 【答案】：； 【解析】：解：设点坐标为， 顶点、分别在轴和直线上， 点，点的纵坐标分别为0，， 四边形是平行四边形，与互相平分， ，， 点在直线上运动， 当点在轴上时，的长度有最小值， 对角线的最小值为：， 答案：． 变式6-2．如图，在中，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、．若，，，则 ①点到直线的距离是　5　． ②周长的最小值是　　． 【答案】：①5；②； 【解析】：解：①如图：过点作的垂线，交延长线于点， ，，， ，， 答案：5； ②如图1：作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，； 则长为周长的最小值；由①在中，，， ，， 由对称性可知，，是等腰三角形， 又，， ；答案：； 类型四、平行四边形性质与判定综合 例7．如图，的对角线，交于点，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中成立的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】：C; 【解析】：解：四边形为平行四边形，， ，，，， ，， 平分，， 为等边三角形，，， ，，，，故①正确； ，，，， ，故②错误； ，故③正确； ，，是的中点， ，，， ，，故④正确． 选：． 变式7-1．如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中成立的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】：D; 【解析】：解：①:四边形是平行四边形， ，， 平分，， ，， ，是等边三角形， ，， ，，， ， ，， 故①正确； ②:，， ， ，，故②正确； ③:，，，故③错误； ④:，，，， ，， ，，故④正确； ⑤:是等边三角形，， ，，， ，故⑤正确． 选：． 变式7-2．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点．有下列4个结论：①；②；③；④，其中说法正确的是 　①②③④　． 【答案】：①②③④; 【解析】：解：①:连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ，，，，，， ，， 点为中点，，故①正确； ②:、、分别是、、的中点， ，， ，，， ，故②正确； ③:，， 四边形是平行四边形，， 即，故③正确； ④:，， ，， ，故④正确； 答案：①②③④． 例8．如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点，为中点，连接，，若，则的长是　　 A．2 B．3 C． D． 【答案】：C; 【解析】：解：如图，延长交的延长线于，连接，设， 四边形是平行四边形，，， ，，，，， ，，， ，，，， ，， 整理得：，解得或（舍去）， ，， 选：． 变式8-1．如图，在平行四边形中，点是上一点，，，点是的中点，平分，，则的面积是　　 A． B． C． D． 【答案】：D; 【解析】：解：如图，延长和交于点， 在平行四边形中，，，，， 点是的中点，， 在和中， ，，， 平分，，，，， ，，， ， ，， 的面积． 故：． 变式8-2． 如图，在平行四边形中，，，点、分别在边和上，，，． （1）若，，则　　； （2）若点、在分别是边和的中点，则　　． 【答案】：（1）;（2）; 【解析】：解：（1）连接，如图， 平行四边形，，即， ，，，， 答案： （2）延长与延长线交于点，过点作交的延长线于点，如图， 平行四边形，，，， 为的中点，， 在和， ，，，， ， ，，，，， ，，， 为中点，，， ， 答案：． 例9． 已知平行四边形，为边上的中点． （1）如图1，若，求证：平分； （2）若为边上一点，连结，； ①如图2，若，，求； ②如图3，若，请你写出线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】：（1）见解析；（2）5；（3） 【解析】：（1）证明：为的中点，， ，，， 四边形为平行四边形，， ，， 平分； （2）①解：延长，交延长线于点，如图， 四边形为平行四边形，， ，， 为的中点，， 在和中， ，，，， ，，，， ，； ②，证明如下： 延长，交延长线于点，如图， 由①可知，， ，，， ，，即， 为等腰三角形，， ， 即． 变式9-1． 如图，在中，过点作交直线于点，且，平分交于点，交于点，过点作交直线于点． （1）求证：； （2）若，，求线段的长； （3）下列三个问题，依次为易、中、难，对应的满分值为1分、2分、3分，根据你的认知水平，选择其中一个问题求解． ①当点与点重合时，求证：； ②当点在延长线上，且时，求证：； ③当点在线段上时，求证：． 【答案】：（1）见解析；（2）；（3）见解析； 【解析】： （1）证明：四边形是平行四边形，，，， 平分，， ，，； （2）解：，， 又，， ，，， ，，，， ； （3）证明：①如图1，由（2）可知：，，， ， ，， 又，，， ，； ②设，则， ，，， ，，， ，，； ③如图2，，，， 由①可知：，， ． 变式9-2． 如图1，在中，点为中点，，的延长线交于点． （1）求证：． （2）若时，记与之间的距离为，与之间的距离为，求的值． （3）如图2，连结，，在（2）的条件下，求证：． 【答案】：（1）见解析；（2）2；（3）见证明； 【解析】：（1）证明：四边形是平行四边形，，， ，， 为的中点，，， ，； （2）解：由（1）知，， ，，， ，， ， ； （3）证明：过点作于点，，交的延长线于点， ，， ，，， ，， 在中，， 在中，， ， 由（2）知，， ． 类型五、平行四边动点问题 例10．如图，平行四边形中，，，，点从点沿边向点移动，点从点沿边向点移动，、同时出发，速度都是，当一点先达到终点，另一点也停止运动． （1）、移动几秒时，为等腰三角形； （2）设，请写出与点、的移动时间之间的函数关系式，并写出的取值范围； （3）能否使？若不能请说明理由，若能，也说明理由． 【答案】：（1）4 ；（2）；（3）不能 ； 【解析】：解：（1）设、移动秒时，为等腰三角形， 则，， ，，解得； （2）如图，过点作，垂足为， 在平行四边形中，，，，， ，，； 从点沿边向点移动，点从点沿边向点移动， ，函数关系式为：； （3）不能．理由如下：假设能， ，，，， ，整理得， ， 此方程无解．故不能． 变式10-1．如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为． （1）求点的坐标和平行四边形的对称中心的点的坐标； （2）动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度向终点匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动．设点运动的时间为秒，求当为何值时，的面积是平行四边形的一半？ （3）当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】：（1），；（2）或；（3），，，． ，或，或； 【解析】：解：（1）四边形是平行四边形，， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，，平行四边形的对称中心的点的坐标为，． （2）根据题意得：， 化简得：，解得：， 即当点运动4秒时，的面积是平行四边形的一半． 秒时，的面积是平行四边形的一半． 综上所述，或时，的面积是平行四边形的一半． （3）①时，由（2）知，此时点与点重合，画出图形如下所示， 根据平行四边形的性质，可知点的坐标为，，，． 时，同法可得：，或，或． 变式10-2．如图，平行四边形中，，，．点以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时点以的速度从顶点出发沿折线向点运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．设运动时间为． （1）求平行四边形的面积； （2）求当时，的面积； （3）当的面积是平行四边形面积的时，求的值． 【答案】：（1）4；（2）；（3）或3； 【解析】：解：（1）平行四边形中，， ， 如图，过点作于点， 平行四边形的面积为： （2）当时， ， 如图，过点作 四边形为平行四边形， 的面积为： 当时，的面积为． （3）由（1）知平行四边形的面积为． 当的面积是平行四边形面积的时，的面积为： 当点在线段上运动秒时，点在上运动秒，，，高为 （舍或 当点运动到线段上时，且运动时间为秒时，点也运动到线段上， 如图，过点作垂直于点，垂直于延长线于点 四边形为平行四边形，， ， 化简得： （舍）或 当时，点位于点处，点位于线段上，符合题意．综上，的值为或3． 例11． 如图1，在平面直角坐标系平行四边形中，点坐标为，点在轴上，，．动点从点出发，沿射线以每秒2个单位的速度运动，同时，动点从点出发沿边向点以每秒1个单位的速度运动．当点到达点时，点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）的长为 　4　，的长为 　　； （2）当为何值时，线段恰好被平分？ （3）如图2，若在轴上有一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 　　（直接写出答案）． 【答案】：（1）4，8；（2）4；（3）或，； 【解析】：解：（1）过作于，如图1， ，，，， ，，， ，， ， 答案：4，8； （2）运动时间为，由题意，得，， 如图，过作交于，设与交于，如图2， 线段被平分，，平行四边形， ，又，四边形是平行四边形，， ，， 在和中， ，，， ，，， 当为4秒时，线段恰好被平分； （3）在中，，，， ，，，， 过作于，则，如图1， ，， ，，， 在轴上，， 当为平行四边形对角线时， 平行四边形中，，， ，，， ，，； 当为平行四边形对角线时， 平行四边形中，，， ，， ，， ； 综上，点的坐标为或，． 变式11-1． 如图1，在中，，，．以为边，在外作等边，是的中点，连结并延长，交于点． （1）求边的长； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）将图1中的四边形折叠，折痕为，在上，在上： ①如图2，若使点与点重合，求的长； ②若使点与的一边中点重合，直接写出的长是 　4或或1　． 【答案】：（1）；（2）见证明；（3）① 1；②4或或1； 【解析】：（1）解：在中，，，， ，； （2）证明：中，为的中点，，， ，，，， 又为等边三角形，，， ，， 四边形是平行四边形； （3）解：①设，由折叠可得：， 在中，，，， ， 在中，，， 解得：，； ②当点与重合时，； 当点与的中点重合时，连接（如图中）． 则有，； 当点与的中点重合时，连接，过点作于点． 则，， ，． 综上所述，满足条件的的长为4或或1． 变式11-2． 如图，已知在四边形中，，，连结、，与交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作于，为的中点，连接，若，，，求的值； （3）在（2）的条件下，在上移动，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】：（1）见解析；（2）；（3）的长为8或或．； 【解析】：（1）证明：，， 又，，， 四边形是平行四边形，； （2）解：四边形是平行四边形，， ，， ，，是等腰直角三角形，，， ，点是的中点，， ，； （3）解：如图，连接， 若时，则， 若时，，， ，， 若时， ，， ， 综上所述，的长为8或或． 1．如图，中，，，，，，则的值为　　 A．6 B． C．7 D．8 【答案】：C 【解析】：解：如图， 延长，交于， ，， 在和中， ，， ，， ，， ， 答案：． 2．如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中成立的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】：B; 【解析】：解：四边形为平行四边形，， ，，，， ，， 平分，， 为等边三角形， ，， ，， 又，，，，， ，，故①错误； ，，，，故③错误； ，故②正确； ，，是的中点，， ，， ，，故④正确． 选：． 3．如图，为平行四边形内一点，过点分别作、的平行线交平行四边形于、、、四点，若，，则为　　 A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】：B 【解析】：解：显然、、、均为平行四边形， ， ， 又①， ②， ①②得， 即．．选：． 4．如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为　　） A． B． C． D． 【答案】：D; 【解析】：解：连接、两点，过点作于点， ，，， 四边形是平行四边形，， △的边上的高与△的边上的高相等， ，， 同理：，， ，，， 故阴影部分的面积为． 选：D． 5．如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，，，，则的长度为 　　． 【答案】：； 【解析】：解：延长交的延长线于点，连接，过点作于点，如图所示： 则，在平行四边形中，，，， 是的中点，， 在和中， ，，，， ，， ，，，， 根据勾股定理，得，， 或（舍去），， ， 在中，根据勾股定理，得， 是的中点，， ，， 答案：． 6．如图，的对角线，相交于点，平分，交于点，连接，且，若，且　　．（用含的代数式来表示） 【答案】：； 【解析】：解：过点作于点，过点作的延长线于点，如图， 四边形为平行四边形，， ，，点为的中点，， 平分， ， 为等边三角形，， ，即， ，，点为的中点， 为的中位线，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．如图，在菱形中，，，将向右平移得到△（点在线段上），连接，，．在平移过程中， （1）若四边形是矩形，则　4　； （2）的最小值为 　　． 【答案】：（1）4；（2）12； 【解析】：解：（1）连接交于点，如图所示： 在菱形中，，， ，，， 在中，，则， 将向右平移得到△（点在线段上），， 若四边形是矩形，则，， 在中，，则， ，即 答案：4； （2）连接，延长到，使，如图所示： 将向右平移得到△（点在线段上），，， 是平行四边形，， 在菱形中，由菱形对称性得到，， ，则当、、三点共线时，有最小值为， ，，是等边三角形， ，， 由于是的一个外角，，， 在中，，，则， 的最小值为12， 答案：12． 8．如图，点、是两直角边、上的一点，连接，已知点、、分别是、、的中点． （1）求度数； （2）连，取中点，连接，若，，求的长． 【答案】：（1）900；（2）5； 【解析】： 解：（1）、、分别是、、的中点， ，． ，． ． （2）如图所示：连接、． 、分别是和的中点， ，． 同理：，． 四边形为平行四边形． 、、分别是、、的中点， ，， 由（1）可知：， 四边形为矩形．． ． 9．如图，平行四边形中，，，点以的速度从点出发沿一一向点运动，同时点以的速度从点出发沿一一向点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为． （1）求平行四边形的面积； （2）求当时，求的面积； （3）当的面积为平行四边形的面积的时，求的值． 【答案】：（1）；（2）；（3）的值为4或．； 【解析】：解：（1）平行四边形中， ，，，，， 如图，过点作于点，， 四边形为平行四边形，， 在中，，， ， 平行四边形的面积为：． 平行四边形的面积为； （2）当时，，， ，是等边三角形， 如图，过点作于点， ，的面积为：， 当时，的面积为； （3）由（1）知平行四边形的面积为． 当的面积是平行四边形面积的时，的面积为：， 当点在线段上运动秒时，点在上运动秒，， ， ，高为，， ，不符合题意舍去； 当点在线段上运动秒时，点在上运动秒，， ，，符合题意； 当点运动到线段上时，且运动时间为秒时，点也运动到线段上，， 如图，过点作垂直于点，垂直于延长线于点， 四边形为平行四边形，，，，， ，，， ， 化简得：，（舍）或， 当时，点位于线段上，点位于线段上，符合题意． 综上所述，的值为4或． 10．如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，设的面积为，的面积为，求的值．（用含的代数式来表示） 【答案】：（1）见解析；（2）见解析；（3）的值为； 【解析】：（1）证明：四边形是平行四边形，，， ，是的中点，， ，， ，． （2）证明：如图，延长、交于点， ，， 在和中， ，， ，，， ． （3）解：如图，设， ，，， ，，， ，， ， 的值为． 11．如图，已知中，平分交于，于，交于，且．过点作的垂线，分别交、于点、． （1）若为中点，且，求的长； （2）求证：． 【答案】：（1）；（2）见解析； 【解析】：解：（1）四边形是平行四边形，，，， 平分，，， ，， 为中点，， ，，， ， 即，， 在中，； （2）延长到点，使，连接 由（1）知，又，， ，， ，， 由（1）得，， 而，， ． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$