第三单元第5讲 圆柱体积计算公式的推导（讲义）-2024-2025学年六年级数学下册人教版

第5讲： 第三单元 圆柱体积计算公式的推导 50 ◈圆柱体积公式的推导 知识点① ◉◉1.填一填。 1.如图，把一个圆柱沿底面直径切成若干等份，再拼成一个近似的长方体。 2.如果圆柱的底面半径用r表示，高用h表示，则圆柱的体积V=( )。 3.一个圆柱的底面积是40cm²,高是5cm,这个圆柱的体积是( )cm³。 底面积 πr²h 高 底面积 高 200 ◈举一反三1 （1）在推导圆柱体积公式时，我们把圆柱切拼成近似长方体，这个长方体的底面积等于圆柱的（ ），长方体的高等于圆柱的（ ）。根据长方体体积 = 底面积 × 高，可得出圆柱体积 =（ ）。 （2）把一个底面半径为2厘米，高为5厘米的圆柱切拼成近似长方体后，长方体的长约是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，高是（ ）厘米。（π取3.14） （3）推导圆柱体积公式运用了（ ）的数学思想，将圆柱转化为（ ）来计算体积。 ◉◉1.填空题 底面积 高 底面积×高 6.28 2 5 转化 长方体 （1）把圆柱切拼成近似长方体后，（ ）。 A. 体积不变，表面积不变 B. 体积变了，表面积不变 C. 体积不变，表面积变了 ◉◉2.选择题 C （2）一个圆柱切拼成近似长方体后，长方体的底面积是12平方厘米，高是5厘米，原来圆柱的体积是（ ）立方厘米。 A. 60 B. 30 C. 24 ◉◉2.选择题 A （3）在推导圆柱体积公式时，将圆柱沿底面直径切开，拼成近似长方体，这个长方体的底面积是由（ ）组成的。 A. 圆柱的底面圆 B. 圆柱底面圆的一半 C. 两个半圆拼成的近似长方形 ◉◉2.选择题 C （1）圆柱切拼成近似长方体后，体积和表面积都增加了。（ ） （2）只要知道圆柱切拼后长方体的任意一条边的长度，就能求出圆柱的体积。（ ） （3）推导圆柱体积公式时，圆柱底面扇形分得越细，拼成的近似长方体就越接近长方体。（ ） ◉◉3.判断题 × × √ ◈运用圆柱的体积公式计算体积 知识点② ◉◉1.根据给出的公式计算下面各圆柱的体积。 图一：3.14×(10÷2)²×15=1177.5(cm³) 图二：3.14×3²×12=339.12(cm³) ◉◉2.某景区有一个圆柱形的石凳，体积是62.8立 方分米，底面半径是2分米，高是多少分米? 62.8÷(3.14×2²)=5(分米) 答：高是5分米。 ◈举一反三2 （1）一个圆柱体的底面半径是3厘米，高是5厘米，它的体积是 _______ 立方厘米。（π取3.14） （2）若一个圆柱体的体积是282.6立方分米，底面直径是6分米，则它的高是 _____分米。 （3）一个圆柱体的侧面积是125.6平方米，底面半径是4米，它的体积约为 _______ 立方米。（π取3.14，结果保留整数） ◉◉1.填空题 141.3 5 100 （1）一个圆柱体的底面半径扩大2倍，高度不变，它的体积会（ ）。 A. 扩大2倍 B. 扩大4倍 C. 扩大6倍 D. 不变 ◉◉2.选择题 B （2）一个圆柱体的体积是94.2立方厘米，底面周长是18.84厘米，则它的高是（ ）厘米。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 ◉◉2.选择题 D （3）下列（ ）圆柱体的体积最大？（所有圆柱体的高均为5厘米） A. 底面半径为2厘米 B. 底面直径为4厘米 C. 底面周长为12.56厘米 D. 底面面积为15平方厘米 ◉◉2.选择题 B （1）一个圆柱体的底面半径和高都扩大到原来的2倍，它的体积就扩大到原来的4倍。（ ） （2）如果两个圆柱体的体积相等，那么它们的底面面积也一定相等。（ ） （3）一个圆柱体的体积是125.6立方厘米，如果它的底面半径扩大到原来的3倍，而高度缩小到原来的31​，那么新的体积还是125.6立方厘米。（ ） ◉◉3.判断题 × × √ ◈已知底面周长和高求体积 知识点③ ◉◉ 龙海社区在小区的健身广场新建了一个圆柱形水池，水池的底面周长为18.84m,深1m,水池里装了的水，水池里的水有多少立米? 18.84÷3.14÷2=3(m) 3.14×3²×1×=23.55(m³) 答：水池里的水有23.55m³。 ◈举一反三3 （1）一个圆柱的底面周长是12.56厘米，高是5厘米，它的体积是______立方厘米。 （2）若一个圆柱的底面周长是31.4厘米，高是底面直径的2倍，则它的体积是______立方厘米。 （3）一个圆柱的底面周长是25.12分米，高是6分米，它的体积是______立方分米。 ◉◉1.填空题 62.8 301.44 1570 （1）一个圆柱形水桶的底面周长是18.84分米，高是8分米。这个水桶能装多少升水？（1立方分米的水等于1升水） ◉◉2.解决实际问题 底面半径r=分米 体积V=3.14×12×8=25.12立方分米 答：水桶能装25.12升水。 （2）一个圆柱形油桶，底面周长是31.4厘米，高是60厘米。如果每立方厘米油重0.8克，这个油桶最多能装多少千克油？ ◉◉2.解决实际问题 底面半径r=厘米 体积V=3.14×52×60=4710立方厘米 油的总重量：4710×0.8=3768克=3.768千克 答：油桶最多能装3.768千克油。 （3）一个圆柱体，它的底面周长是28.26米，高是5米。如果把它削成一个最大的圆锥体，圆锥体的体积是多少立方米？（取π=3.14） ◉◉2.解决实际问题 底面半径r=米 V圆柱=3.14×4.52×5=317.925立方米 V圆锥=×317.925=105.975立方米 答：圆锥体的体积是105.975立方米。 ◈根据转化中增加的表面积求体积 知识点④ ◉◉ 把高10cm的圆柱按下图那样切开，拼成一个近似的长方体，表面积增加了60cm²。圆柱的体积是多少立方厘米? 60÷2÷10=3(cm) 3.14×3²×10=282.6(cm³) 答：圆柱的体积是282.6cm³。 ◈举一反三4 （1）一个正方体木块，每边长是4厘米。如果沿水平方向将它切成两个相同的小长方体，表面积将增加______平方厘米。由此，若知道增加的表面积是32平方厘米，则切分后得到的每个小长方体的体积是______立方厘米。 ◉◉1.填空题 32 16 （2）一个圆柱体木料，底面积是10平方厘米，高是6厘米。若把它截成两个小圆柱体，表面积将增加______平方厘米。若增加的表面积是40平方厘米，则原圆柱体的体积是______立方厘米。 ◉◉1.填空题 20 60 （3）一个长方体，长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米。若沿水平方向切一刀，使它的表面积增加40平方厘米，则切面与长方体的______面平行，此时长方体的体积被分为______立方厘米和______立方厘米的两部分。 ◉◉1.填空题 长×宽 75 35 （1）一个正方体纸盒，棱长总和是48厘米。如果沿水平方向将它切成三个相同的小正方体，表面积将增加多少平方厘米？每个小正方体的体积是多少？ ◉◉2.解决实际问题 棱长=48÷12=4厘米 4×4×4=64平方厘米 4×4×4÷3=立方厘米 答：表面积将增加64平方厘米，每个小正方体的体积是立方厘米。 （2）一个长方体木块，长10厘米，宽8厘米，高6厘米。若把它截成两个相同的小长方体，表面积最多增加多少平方厘米？此时每个小长方体的体积是多少？ ◉◉2.解决实际问题 10×8×2=160平方厘米 (10×8×6)÷2=240立方厘米 答:表面积最多增加160平方厘米,此时每个小长方体的体积是240立方厘米。 如下图，这个圆柱的体积是多少立方分米? ◉◉◈能力提升 ） 答：圆柱的体积是9.42立方分米。 ◉◉ 圆柱的体积公式：V=πr2h ◉◉ ◉◉ $$ 小升初六年级数学下册常考易考知识点讲义 第三单元第5讲：圆柱体积计算公式的推导 ◈新知解析 知识点① ◈圆柱体积公式的推导 1.如图，把一个圆柱沿底面直径切成若干等份，再拼成一个近似的长方体。 2.如果圆柱的底面半径用r表示，高用h表示，则圆柱的体积V=( )。 3.一个圆柱的底面积是40cm²,高是5cm,这个圆柱的体积是( )cm³。 ◈【答案】： ◉◉ 1.底面积 高 底面积 高 【点拨】本题考查圆柱体积公式的推导，观察题图，将圆柱转化成一个近似的长方体，因为长方体的体积=底面积×高，所以圆柱的体积=底面积×高。 2. πr²h 【点拨】圆柱的体积=底面积×高，底面积是S=πr²,所以V=πr²h。 (3)200 【点拨】根据圆柱的体积=底面积×高，把数据代人计算即可。 ◈举一反三1 1.填空题 （1）在推导圆柱体积公式时，我们把圆柱切拼成近似长方体，这个长方体的底面积等于圆柱的（ ），长方体的高等于圆柱的（ ）。根据长方体体积 = 底面积 × 高，可得出圆柱体积 =（ ）。 （2）把一个底面半径为2厘米，高为5厘米的圆柱切拼成近似长方体后，长方体的长约是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，高是（ ）厘米。（π取3.14） （3）推导圆柱体积公式运用了（ ）的数学思想，将圆柱转化为（ ）来计算体积。 2.选择题 （1）把圆柱切拼成近似长方体后，（ ）。 A. 体积不变，表面积不变 B. 体积变了，表面积不变 C. 体积不变，表面积变了 （2）一个圆柱切拼成近似长方体后，长方体的底面积是12平方厘米，高是5厘米，原来圆柱的体积是（ ）立方厘米。 A. 60 B. 30 C. 24 （3）在推导圆柱体积公式时，将圆柱沿底面直径切开，拼成近似长方体，这个长方体的底面积是由（ ）组成的。 A. 圆柱的底面圆 B. 圆柱底面圆的一半 C. 两个半圆拼成的近似长方形 3.判断题 （1）圆柱切拼成近似长方体后，体积和表面积都增加了。（ ） （2）只要知道圆柱切拼后长方体的任意一条边的长度，就能求出圆柱的体积。（ ） （3）推导圆柱体积公式时，圆柱底面扇形分得越细，拼成的近似长方体就越接近长方体。（ ） 知识点② ◈运用圆柱的体积公式计算体积 1.根据给出的公式计算下面各圆柱的体积。 2.某景区有一个圆柱形的石凳，体积是62.8立 方分米，底面半径是2分米，高是多少分米? ◈【答案】： ◉◉ 图一：3.14×(10÷2)²×15=1177.5(cm³) ◉◉ 图二：3.14×3²×12=339.12(cm³) 【点拨】根据圆柱的体积公式，代入图中的数据计算即可。 ◉◉ 2. 62.8÷(3.14×2²)=5(分米) 答：高是5分米。 【点拨】先求出圆柱形石凳的底面积，再根据圆柱 的体积公式V=Sh,用体积除以底面积即可求出高。 ◈举一反三2 1.填空题 （1）一个圆柱体的底面半径是3厘米，高是5厘米，它的体积是 _______ 立方厘米。（π取3.14） （2）若一个圆柱体的体积是282.6立方分米，底面直径是6分米，则它的高是 _______ 分米。 （3）一个圆柱体的侧面积是125.6平方米，底面半径是4米，它的体积约为 _______ 立方米。（π取3.14，结果保留整数） 2.选择题 （1）一个圆柱体的底面半径扩大2倍，高度不变，它的体积会（ ）。 A. 扩大2倍 B. 扩大4倍 C. 扩大6倍 D. 不变 （2）一个圆柱体的体积是94.2立方厘米，底面周长是18.84厘米，则它的高是（ ）厘米。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 （3）下列（ ）圆柱体的体积最大？（所有圆柱体的高均为5厘米） A. 底面半径为2厘米 B. 底面直径为4厘米 C. 底面周长为12.56厘米 D. 底面面积为15平方厘米 3.判断题 （1）一个圆柱体的底面半径和高都扩大到原来的2倍，它的体积就扩大到原来的4倍。（ ） （2）如果两个圆柱体的体积相等，那么它们的底面面积也一定相等。（ ） （3）一个圆柱体的体积是125.6立方厘米，如果它的底面半径扩大到原来的3倍，而高度缩小到原来的31​，那么新的体积还是125.6立方厘米。（ ） 知识点③ ◈已知底面周长和高求体积 ◉◉ 龙海社区在小区的健身广场新建了一个圆柱形水池，水池的底面周长为18.84m,深1m,水池里装了的水，水池里的水有多少立方米? ◈【答案】： ◉◉ 18.84÷3.14÷2=3(m) 3.14×3²×1×=23.55(m³) 答：水池里的水有23.55m³。 【点拨】根据圆柱底面周长可求得底面半径。根据圆柱的体积公式V=πr²h,求出体积。圆柱体积的也就是水池里水的体积。 ◈举一反三3 1.填空题 （1）一个圆柱的底面周长是12.56厘米，高是5厘米，它的体积是______立方厘米。 （2）若一个圆柱的底面周长是31.4厘米，高是底面直径的2倍，则它的体积是______立方厘米。 （3）一个圆柱的底面周长是25.12分米，高是6分米，它的体积是______立方分米。 2.解决问题 （1）一个圆柱形水桶的底面周长是18.84分米，高是8分米。这个水桶能装多少升水？（1立方分米的水等于1升水） （2）一个圆柱形油桶，底面周长是31.4厘米，高是60厘米。如果每立方厘米油重0.8克，这个油桶最多能装多少千克油？ （3）一个圆柱体，它的底面周长是28.26米，高是5米。如果把它削成一个最大的圆锥体，圆锥体的体积是多少立方米？（取π=3.14） 知识点④ ◈根据转化中增加的表面积求体积 ◉◉ 把高10cm的圆柱按下图那样切开，拼成一个近似的长方体，表面积增加了60cm²。圆柱的体积是多少立方厘米? ◈【答案】： ◉◉ 60÷2÷10=3(cm) 3.14×3²×10=282.6(cm³) 答：圆柱的体积是282.6cm³。 【点拨】观察题图，增加的表面积是两个长方形的面积之和，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径，由此可求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式求出体积即可。 ◈举一反三4 1.填空题 （1）一个正方体木块，每边长是4厘米。如果沿水平方向将它切成两个相同的小长方体，表面积将增加______平方厘米。由此，若知道增加的表面积是32平方厘米，则切分后得到的每个小长方体的体积是______立方厘米。 （2）一个圆柱体木料，底面积是10平方厘米，高是6厘米。若把它截成两个小圆柱体，表面积将增加______平方厘米。若增加的表面积是40平方厘米，则原圆柱体的体积是______立方厘米。 （3）一个长方体，长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米。若沿水平方向切一刀，使它的表面积增加40平方厘米，则切面与长方体的______面平行，此时长方体的体积被分为______立方厘米和______立方厘米的两部分。 2.解决问题 （1）一个正方体纸盒，棱长总和是48厘米。如果沿水平方向将它切成三个相同的小正方体，表面积将增加多少平方厘米？每个小正方体的体积是多少？ （2）一个长方体木块，长10厘米，宽8厘米，高6厘米。若把它截成两个相同的小长方体，表面积最多增加多少平方厘米？此时每个小长方体的体积是多少？ ◈能力提升 ◉◉ 如下图，这个圆柱的体积是多少立方分米? ◈归纳总结 圆柱的体积公式：V=πr2h 参考答案 ◈举一反三1 1.填空题 （1）底面积；高；底面积×高 （2）6.28；2；5 （3）转化；长方体 2.选择题 （1）C （2）A （3）C 3.判断题 （1）× （2）× （1）√ ◈举一反三2 1.填空题 （1）141.3 （2）5 （3）100 2.选择题 （1）B （2）D （3）B 3.判断题 （1）× （2）× （3）√ ◈举一反三3 1.填空题 （1）62.8 （2）1570 （3）301.44 2.解决问题 （1）底面半径r=分米 体积V=πr2h=3.14×12×8=25.12立方分米 答：水桶能装25.12升水。 （2）底面半径r=厘米 体积V=πr2h=3.14×52×60=4710立方厘米 油的总重量W=4710×0.8=3768克=3.768千克 答：油桶最多能装3.768千克油。 （3）底面半径r==4.5米 圆柱体的体积V圆柱=πr2h=3.14×4.52×5=317.925立方米 圆锥体的体积V=×V圆柱=×317.925=105.975立方米 答：圆锥体的体积是105.975立方米。 ◈举一反三4 1.填空题 （1）32；16 （2）20；60 （3）长×宽；75；35（答案不唯一，因为可以沿长或宽方向切，但增加的面积和计算方式相同） 2.解决问题 （1）棱长=48÷12=4厘米 增加的表面积=4×4×4=64平方厘米（因为增加了4个新的面） 每个小正方体的体积=4×4×4÷3=64÷3=立方厘米（但通常我们保留分数形式或说总体积后除以3） （2）为了使表面积增加最多，应沿长×宽的面切。 增加的表面积=10×8×2=160平方厘米 每个小长方体的体积=(10×8×6)÷2=240立方厘米 ◈能力提升 ◉◉（dm³） 答：这个圆柱的体积是9.42dm³。 【点拨】观察图形可知，圆柱的底面半径是2÷2=1(dm),高是3dm,利用圆柱的体积公式V=πr²h计算即可。 学科网（北京）股份有限公司 $$