2.1 从位移、速度、力到向量（2知识点+4题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

2.1 从位移、速度、力到向量 课程标准 学习目标 （1）通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景； （2）理解向量、相等向量、共线向量、零向量、夹角的概念及向量表示． （1）理解向量的有关概念及向量的几何表示； （2）掌握共线向量、相等向量的概念； （3）正确区分向量平行与直线平行． 知识点01 向量的概念与表示 1、向量的背景：在物理学中，我们学习过“位移”“速度”和“力”等物理量．位移、速度和力这些物理量都是既有大小又有方向的量，它们和长度、面积、质量等只有大小的量不同． 2、向量的概念及其表示方法 向量 （1）向量：既有大小又有方向的量统称为向量． （2）数量：只有大小没有方向的量称为数量． 有向线段 具有方向和长度的线段称为有向线段，以为起点，为终点的有向线段，记作，线段的长度称为有向线段的长度，记作． 向量的表示 （1）几何表示：向量可以用有向线段表示，其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． （2）字母表示：向量也可以用黑斜体小写字母如a，b，c，…或，，，…(书写)来表示．向量a的大小，记作，又称作向量的模． 【注意】（1）书写向量时要带箭头．（2）有向线段是向量的直观表示，并不是说向量就是有向线段．（3）向量不能比较大小，向量的模可以比较大小． 3、两个特殊向量 名称 概念 注意 零向量 长度为0的向量称为零向量，记作或，任何方向都可以作为零向量的方向，即的方向是任意的． （1）若用有向线段表示零向量，则其终点与起点重合； （2）要注意0和的区别与联系：0是一个实数，是一个向量，且有 单位向量 模等于1个单位长度的向量称为单位向量 单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同 【即学即练1】（24-25高二上·黑龙江佳木斯·月考）下列量中是向量的为（    ） A．体积 B．距离 C．拉力 D．质量 【答案】C 【解析】A，B，D只有大小，C既有大小又有方向故选:C 【即学即练2】（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）下列说法正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C．模为1的向量都是相等向量 D．向量的模可以比较大小 【答案】D 【解析】向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错； 由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错； 长度相等、方向相同的向量称为相等向量， 模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错； 向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确.故选：D. 知识点02 向量的基本关系 1、相等向量、共线向量、相反向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量，称为相等向量．向量a与b相等，记作a＝b 共线(平行)向量 若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作a∥b，规定零向量与任一向量共线，即对于任意的向量a，都有0∥a． 相反向量 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量． 相反向量是共线向量，若其中一个向量为a，则它的相反向量记作－a.零向量的相反向量仍是零向量． 2、向量的夹角 （1）夹角：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角(如图所示)． 当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向． （2）垂直：当a与b的夹角是90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b．规定零向量可与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有0⊥a． 【即学即练3】（23-24高一下·广东阳江·月考）下列说法正确的是 .（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则与共线； ④若，则一定不与共线. 【答案】③ 【解析】对于①，若，则可知共线，不一定有，也可能，因此①错误； 对于②，若，但的方向不一定相同，因此②错误； 对于③，若，则与共线，显然③正确； 对于④，若，则可能，此时与共线，所以④错误. 故答案为：③ 【即学即练4】（24-25高二上·甘肃临夏·月考）判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线， 故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题； 对②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题； 对③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题； 对④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题.故选：B. 难点：向量在几何中的应用 利用向量可以证明线段相等、判断图形的形状（如平行四边形、等腰三角形等）、证明多点共线等．证明直线与直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点． 【示例1】（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 【答案】A 【解析】由题意，四边形中， 因为，可得且，所以四边形为平行四边形， 又因为，可得， 所以四边形为菱形.故选：A. 【示例2】（23-24高一下·甘肃威武·期中）(多选)下列命题的判断正确的是（    ） A．若向量与向量共线，则A，B，C，D四点在一条直线上 B．若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量与向量共线 C．若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量与向量不共线 D．若向量与向量共线，则A，B，C三点在一条直线上 【答案】BD 【解析】对于A，平行四边形中，，满足向量与共线， 而四点不共线，A错误； 对于B，四点在一条直线上，则向量与方向相同或相反， 即向量与共线，B正确； 对于C，平行四边形中，满足四点不共线，有， 即向量与共线，C错误； 对于D，向量与共线，而向量与有公共点， 因此三点在一条直线上，D正确.故选：BD 【题型1：向量的相关概念辨析】 例1．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·月考）给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间.其中不是向量的有（    ） A．①⑥ B．⑦⑧⑨ C．①⑧⑨ D．①⑥⑦⑧⑨ 【答案】D 【解析】速度、位移、力、加速度既有大小，又有方向，故它们为向量，余下皆不为向量，故选：D. 变式1-1．（23-24高一下·四川南充·月考）下列命题正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．平行向量不一定是共线向量 D．模为的向量与任意向量共线 【答案】D 【解析】对于A：单位向量的模都为，但是方向无法确定，故不一定相等，故A错误； 对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误； 对于C：平行向量即是共线向量，故C错误； 对于D：模为的向量为零向量，零向量与任意向量共线，故D正确.故选：D 变式1-2．（23-24高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于选项A：因为为向量，均为数量，故A错误； 对于选项B：根据相等向量与平行向量的关系，知，即有，故B正确； 对于选项C：例如，满足且，但，故C错误； 对于选项D：由零向量可知：对任意，均有，即不一定成立，故D错误；故选：B 变式1-3．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）下列结论正确的是：（    ） A．若与都是单位向量，则． B．若与是平行向量，则． C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合 D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 【答案】C 【解析】对于A、B，只有当与的方向相同且模长相等时才有，故A、B均错误； 对于C，若向量，又因为A是公共点，所以M与N重合，故正确； 对于D，因为轴与轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故D错误；故选：C. 【方法技巧与总结】 对于向量的相关概念问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的表示形式，并不等同于向量，还有如单位向量，单位向量只是从模的角度定义的，与方向无关．零向量的模为零，方向则是任意的． 【题型2：平面向量的几何表示】 例2．（23-24高一下·四川成都·月考）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【答案】D 【解析】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D． 变式2-1．画图表示小船的下列位移（用的比例尺）： (1)由A地向东北方向航行15km到达B地； (2)由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地； (3)由C地向正南方向航行20km到达D地． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析 【解析】（1）根据的比例尺，即图上，作图如下， （2）根据的比例尺，即图上，作图如下， （3）根据的比例尺，即图上，作图如下， 变式2-2．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出下列向量： (1)正北方向且模为2的向量； (2)模为、方向为北偏西的向量， (3)（2）中向量的负向量. 【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)作图见解析 【解析】（1）作出向量如下图所示： （2）作出向量如上图所示： （3）作出向量的负向量如上图所示. 变式2-3．在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【答案】(1)图象见解析；(2)图象见解析；(3)图象见解析， 【解析】（1）因为，点A在点O的正西方向，故向量如图所示． （2）因为，点B在点O的北偏西方向，故向量如图所示． （3）向量如图所示，． 【方法技巧与总结】 1、对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 2、作向量的方法：用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定有向线段的终点． 【题型3：相等向量与共线向量判断】 例3．（23-24高一下·广东东莞·开学考试）设点是正方形的中心，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．与共线 【答案】B 【解析】如图， 因为，方向相同，长度相等，故，故A正确； 因为，方向不同，故，故B错误； 因为，，三点共线，所以，故C正确； 因为，所以与共线，故D正确.故选：B 变式3-1．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，在每两点所确定的向量中． (1)与的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与共线的向量有哪些？ 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析 【解析】（1）与的长度相等、方向相反的向量有，，，． （2）与共线的向量有，，，，，，，，． 变式3-2．如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）分别为的中点，，且， 与向量共线的向量是. （2）因为是正三角形，所以， 因为E、F、G依次是正的边AB、BC、AC的中点， 所以， 所以在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中， 与向量模相等的向量为； （3）在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，与向量相等的向量为. 变式3-3．如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 【答案】(1)，；(2)，；(3)，，，，，， 【解析】（1）由题意，． （2）由题意，与的相反向量为：，． （3）由题意，与模相等的向量为：，，，，，，． 【方法技巧与总结】 相等向量与共线向量的探求方法 1、寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． 2、寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉已知向量的相反向量． 【题型4：向量的夹角的应用】 例4．（23-24高一下·江苏苏州·月考）已知正，则向量与的夹角为 .（用弧度表示） 【答案】 【解析】如图：延长到， 则为与的夹角，所以，与的夹角为. 变式4-1．（23-24高一下·陕西西安·期中）在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为等腰直角三角形，，所以， 故向量与的夹角为．故选：D 变式4-2．在等边三角形中，与的夹角为 ；点为的中点，则与的夹角为 ． 【答案】/；/ 【解析】在等边三角形中，所以与的夹角为， 因为点为的中点，所以，所以与的夹角为. 变式4-3．如图，在中，，，，D是的中点. (1)求与的夹角； (2)求与的夹角. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意知，， 所以，所以与的夹角为. （2）由题意知，， 所以，所以与的夹角为. 【方法技巧与总结】 求向量的夹角两个注意点 1、方向性：求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角． 2、向量夹角的范围为[0，π]． 1．（23-24高一下·黑龙江绥化·月考）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 【答案】B 【解析】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确； 速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误； 零向量方向任意，D错误.故选：B 2．（22-23高一下·吉林四平·月考）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线 C．单位向量是模为的向量 D．方向相反的两个非零向量必不相等 【答案】ACD 【解析】对于A，零向量的方向是任意的，零向量与任一向量平行，故A项正确； 对于B，根据共线向量的定义，可知方向相反的两个非零向量一定共线，故B项错误； 对于C，根据单位向量的定义，可知C项正确； 对于D，方向相同且模相等的两个向量相等， 因此方向相反的两个非零向量一定不相等，D项正确．故选：ACD． 3．（23-24高一下·河南郑州·期中）（多选）下列结论不正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．直角坐标平面上的轴，轴都是向量 C．若与是平行向量，则 D．海拔、温度、角度都不是向量 【答案】ABC 【解析】对于A，若与都是单位向量，则它们的模都是1， 但方向不一定相同，即与不一定相等，故A符合题意； 对于B，直角坐标平面上的轴，轴都有方向， 但是没有长度，即直角坐标平面上的轴，轴不是向量，故B符合题意； 对于C，若与是平行向量，则它们的方向可能相反，长度也不一定相等， 即与不一定相等，故C符合题意； 对于D，海拔、温度、角度只有大小没有方向，故它们都不是向量，故D不符合题意.故选：ABC. 4．（23-24高一下·甘肃武威·期中）（选）给出下列命题，正确的命题是（    ） A．向量的长度与向量的长度相等； B．若向量与向量平行，则与的方向一定是相同或相反； C．两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同； D．若向量与同向，且，则 【答案】AC 【解析】A选项：向量与向量互为相反向量，相反向量的方向相反大小相等， 所以，所以A正确； B选项：若向量为零向量，则也满足向量与向量平行， 但其方向并不是相同或相反，所以B错误； C选项：相等向量的方向相同大小相等， 所以两个有共同起点并且相等的向量，其终点一定相同，所以C正确； D选项：向量的模是标量可以比较大小，向量不可以比较大小，所以D错误.故选：AC 5．（23-24高一下·天津·月考）（多选）下列叙述中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABD 【解析】对于A、B：因为，则且与任意向量平行，所以，故A、B正确； 对于C：若，由，，得不出，故C错误； 对于D：因为，，所以，故D正确.故选：ABD. 6．（23-24高一下·山东泰安·月考）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误； 对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误； 对于C：若，则方向相同，C 正确； 对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误.故选：C. 7．（24-25高二上·云南昭通·期中）（多选）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【答案】BCD 【解析】对于选项A：向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以的模恰为模的倍，故B正确； 对于选项C：根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有,,,,,,,,，共9个向量，故C正确； 对于选项D：与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确；故选：BCD. 8．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）设，则与其平行的单位向量有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】解：显然ABCD四个选项都与向量平行， 为单位向量，且与向量平行，故A正确； 模长也为1，且与向量平行，故B正确； CD选项与向量平行，但模长不一定为1，故CD不正确.故选：AB 9．在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 【答案】(1)，，；(2)证明见解析. 【解析】（1）与向量平行的向量有，，． （2）在平行四边形ABCD中，，， 因为E，F分别是CD，AB的中点， 所以且， 所以四边形BFDE是平行四边形，故 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 从位移、速度、力到向量 课程标准 学习目标 （1）通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景； （2）理解向量、相等向量、共线向量、零向量、夹角的概念及向量表示． （1）理解向量的有关概念及向量的几何表示； （2）掌握共线向量、相等向量的概念； （3）正确区分向量平行与直线平行． 知识点01 向量的概念与表示 1、向量的背景：在物理学中，我们学习过“位移”“速度”和“力”等物理量．位移、速度和力这些物理量都是既有大小又有方向的量，它们和长度、面积、质量等只有大小的量不同． 2、向量的概念及其表示方法 向量 （1）向量：既有大小又有方向的量统称为向量． （2）数量：只有大小没有方向的量称为数量． 有向线段 具有方向和长度的线段称为有向线段，以为起点，为终点的有向线段，记作，线段的长度称为有向线段的长度，记作． 向量的表示 （1）几何表示：向量可以用有向线段表示，其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． （2）字母表示：向量也可以用黑斜体小写字母如a，b，c，…或，，，…(书写)来表示．向量a的大小，记作，又称作向量的模． 【注意】（1）书写向量时要带箭头．（2）有向线段是向量的直观表示，并不是说向量就是有向线段．（3）向量不能比较大小，向量的模可以比较大小． 3、两个特殊向量 名称 概念 注意 零向量 长度为0的向量称为零向量，记作或，任何方向都可以作为零向量的方向，即的方向是任意的． （1）若用有向线段表示零向量，则其终点与起点重合； （2）要注意0和的区别与联系：0是一个实数，是一个向量，且有 单位向量 模等于1个单位长度的向量称为单位向量 单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同 【即学即练1】（24-25高二上·黑龙江佳木斯·月考）下列量中是向量的为（    ） A．体积 B．距离 C．拉力 D．质量 【即学即练2】（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）下列说法正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C．模为1的向量都是相等向量 D．向量的模可以比较大小 知识点02 向量的基本关系 1、相等向量、共线向量、相反向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量，称为相等向量．向量a与b相等，记作a＝b 共线(平行)向量 若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作a∥b，规定零向量与任一向量共线，即对于任意的向量a，都有0∥a． 相反向量 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量． 相反向量是共线向量，若其中一个向量为a，则它的相反向量记作－a.零向量的相反向量仍是零向量． 2、向量的夹角 （1）夹角：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角(如图所示)． 当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向． （2）垂直：当a与b的夹角是90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b．规定零向量可与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有0⊥a． 【即学即练3】（23-24高一下·广东阳江·月考）下列说法正确的是 .（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则与共线； ④若，则一定不与共线. 【即学即练4】（24-25高二上·甘肃临夏·月考）判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（    ） A． B． C． D． 难点：向量在几何中的应用 利用向量可以证明线段相等、判断图形的形状（如平行四边形、等腰三角形等）、证明多点共线等．证明直线与直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点． 【示例1】（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 【示例2】（23-24高一下·甘肃威武·期中）(多选)下列命题的判断正确的是（    ） A．若向量与向量共线，则A，B，C，D四点在一条直线上 B．若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量与向量共线 C．若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量与向量不共线 D．若向量与向量共线，则A，B，C三点在一条直线上 【题型1：向量的相关概念辨析】 例1．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·月考）给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间.其中不是向量的有（    ） A．①⑥ B．⑦⑧⑨ C．①⑧⑨ D．①⑥⑦⑧⑨ 变式1-1．（23-24高一下·四川南充·月考）下列命题正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．平行向量不一定是共线向量 D．模为的向量与任意向量共线 变式1-2．（23-24高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 变式1-3．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）下列结论正确的是：（    ） A．若与都是单位向量，则． B．若与是平行向量，则． C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合 D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 【方法技巧与总结】 对于向量的相关概念问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的表示形式，并不等同于向量，还有如单位向量，单位向量只是从模的角度定义的，与方向无关．零向量的模为零，方向则是任意的． 【题型2：平面向量的几何表示】 例2．（23-24高一下·四川成都·月考）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 变式2-1．画图表示小船的下列位移（用的比例尺）： (1)由A地向东北方向航行15km到达B地； (2)由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地； (3)由C地向正南方向航行20km到达D地． 变式2-2．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出下列向量： (1)正北方向且模为2的向量； (2)模为、方向为北偏西的向量， (3)（2）中向量的负向量. 变式2-3．在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【方法技巧与总结】 1、对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 2、作向量的方法：用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定有向线段的终点． 【题型3：相等向量与共线向量判断】 例3．（23-24高一下·广东东莞·开学考试）设点是正方形的中心，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．与共线 变式3-1．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，在每两点所确定的向量中． (1)与的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与共线的向量有哪些？ 变式3-2．如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 变式3-3．如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 【方法技巧与总结】 相等向量与共线向量的探求方法 1、寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． 2、寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉已知向量的相反向量． 【题型4：向量的夹角的应用】 例4．（23-24高一下·江苏苏州·月考）已知正，则向量与的夹角为 .（用弧度表示） 变式4-1．（23-24高一下·陕西西安·期中）在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．在等边三角形中，与的夹角为 ；点为的中点，则与的夹角为 ． 变式4-3．如图，在中，，，，D是的中点. (1)求与的夹角； (2)求与的夹角. 【方法技巧与总结】 求向量的夹角两个注意点 1、方向性：求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角． 2、向量夹角的范围为[0，π]． 1．（23-24高一下·黑龙江绥化·月考）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 2．（22-23高一下·吉林四平·月考）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线 C．单位向量是模为的向量 D．方向相反的两个非零向量必不相等 3．（23-24高一下·河南郑州·期中）（多选）下列结论不正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．直角坐标平面上的轴，轴都是向量 C．若与是平行向量，则 D．海拔、温度、角度都不是向量 4．（23-24高一下·甘肃武威·期中）（选）给出下列命题，正确的命题是（    ） A．向量的长度与向量的长度相等； B．若向量与向量平行，则与的方向一定是相同或相反； C．两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同； D．若向量与同向，且，则 5．（23-24高一下·天津·月考）（多选）下列叙述中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 6．（23-24高一下·山东泰安·月考）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（24-25高二上·云南昭通·期中）（多选）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 8．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）设，则与其平行的单位向量有（    ） A． B． C． D． 9．在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$