1.3 向量的数乘（教学课件）数学湘教版必修第二册

湘教版选择性必修第二册 1.3 向量的数乘 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 第1章平面向量及其应用 湘教版 必修第二册 学习目标 目标 1 重点 2 实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件 难点 3 理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件 掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算 新课导入 我们可用一把尺子去度量所有线段的长度，也就是把每条线段的长度写成这把尺子的非负实数倍。 如果把某个向量看作一把尺子，能用这把向量尺子去度量平面上的所有向量吗？如果不能，它可以度量平面内哪些向量呢？ 一、向量的实数倍 新课讲授 新课讲授 一、向量的实数倍 新课讲授 新课讲授 一、向量的实数倍 新课讲授 新课讲授 二、共线向量 新课讲授 新课讲授 二、共线向量 新课讲授 新课讲授 二、共线向量 新课讲授 新课讲授 二、共线向量 新课讲授 新课讲授 二、共线向量 新课讲授 新课讲授 二、共线向量 新课讲授 新课讲授 二、共线向量 新课讲授 新课讲授 三、共线向量的运算 新课讲授 新课讲授 三、共线向量的运算 新课讲授 新课讲授 三、共线向量的运算 新课讲授 新课讲授 三、共线向量的运算 新课讲授 新课讲授 四、数乘运算律 新课讲授 新课讲授 四、数乘运算律 新课讲授 新课讲授 四、数乘运算律 新课讲授 典例分析 四、数乘运算律 新课讲授 新课讲授 四、数乘运算律 新课讲授 典例分析 四、数乘运算律 新课讲授 典例分析 学后总结 定义 实数λ与向量a的积是一个_____，记作_____ 长度 |λa|＝_____ 方向 当λ＞0时，λa的方向与a的方向_____ 当λ＜0时，λa的方向与a的方向_____ 当λ＝0时，λa＝_____ 总结 向量的加、减、数乘运算统称为向量的___________ 知识点一　向量的数乘 向量 λa |λ||a| 相同 相反 0 线性运算 学后总结 运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝_______； (2)(λ＋μ)a＝_______； (3)λ(a＋b)＝_______ 特别情况 (－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)； λ(a－b)＝λa－λb 推广形式 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝___________ 知识点二　向量数乘的运算律 (λμ)a λa＋μa λa＋λb λμ1a±λμ2b 学后总结 知识点三　向量共线定理 ______________________________________________________________． [注意]　(1)若a，b不共线，且存在实数λ，μ，使μa＝λb(或μa＋λb＝0)，则必有μ＝λ＝0. (2)两向量共线的一般形式：若存在不全为0的一对实数λ，μ，使μa＋λb＝0，则a与b共线． 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa 学以致用 练习1.已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的是(　　) ①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n. A．①④ B．①② C．①③ D．③④ 解析：①②显然正确；③中当m＝0时，对于任意两向量a，b，ma＝mb都成立，但不一定有a＝b，故③错误；④中当a＝0时，不成立．故选B. 27 学以致用 学以致用 29 学以致用 30 学以致用 【感悟提升】　用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 31 学以致用 解析：对于A，b＝－a，则a，b共线；对于B，b＝－2a，则a，b共线；对于C，a＝4b，则a，b共线；对于D，当e1，e2不共线时，a≠λb，所以a，b不共线．故选ABC. 32 学以致用 4．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则实数k＝________． －4 33 学以致用 34 课堂小结 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 感谢聆听 已知 ，在OA的延长线上作 ， 如图1.3-1，则 。 于是，很自然地将 定义为 的 倍，记作 。 我们还可在图1.3-1中作 的相反向量 ，则 ， 同样可将 定义为 的 倍，记作 。 由上可知， ， 的长度都是 的 倍， 与 的方向相同， 与 的方向相反。 一般地，实数 与向量 的乘积是一个向量，记作 ，称为 的 倍，它的长度 。 当 且 时， 的方向 当 或 时， 或 。 求向量的实数倍的运算称为向量的数乘。 向量数乘的几何意义就是把向量 沿着 的方向或 的反方向放大或缩小。 我们把向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算。向量线性运算的结果仍是一个向量。 例1：如图1.3-2，在 中， ， 分别是OA，OB的中点。 设 ， ，试用 ， 表示 ， ，并比较 与 的长度和方向。 解： 故 且 。 例1的结论就是三角形中位线定理。 已知 ，在直线OA外任取一点O'，从点O'出发作 ， ，如图1.3-3。 观察图1.3-1和图1.3-3，可以发现，向量 与 可分别用同一条直线上的有向线段表示，也可分别用相互平行的有向线段表示。 一般地，如果非零向量 ， 方向相同或相反，则可以将它们用同一条直线上的有向线段或相互平行的有向线段表示。 因此，当非零向量 ， 方向相同或相反时，我们称 ， 共线，也称 ， 平行，并且用符号“ ”来表示它们共线（或平行），记作 。 规定：零向量与任一向量平行。也就是说，与任何一个向量方向相同，因此我们规定：零向量与任何向量平行。 由向量平行和向量数乘的定义可以推知： 两个向量平行 其中一个向量是另一个向量的实数倍。 即 存在实数 ，使得 或 。 根据上述结论，可以将平面几何中的共线或平行关系用向量的数乘运算来描述：对于线段AB与CD，如果存在实数 ，使得 ，则AB与CD共线或平行。 例2：设 ， ， 三点不共线，将下列几何语言用向量语言来描述： 四边形ABCD是梯形，其中AB, DC是梯形的两底； （2） 是BC的中点 （3）N在线段AM上，且 ； (4) 在MA的延长线上 解：如图1.3-4（1）存在正实数 ，使 。 (2) 或 或 等。 (3) 或 或 等。 (4) ，其中 ；或 ，其中 ；等等。 两个向量是否共线，也可从它们的夹角来判断。 如图1.3-5，设 ， 是两个非零向量，任选一点 ，作 ， ， 则射线OA，OB所夹的最小非负角 称为向量 ， 的夹角，记作 ， 取值范围规定为 。 在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并有 。 当 时， ， 方向相同；当 时， ， 方向相反。 这两种情形下 ， 所在直线重合，即 ， 共线。 当 时， ， 所在直线相交于点 ，即 ， 不共线， 特别地，当 时， 与 垂直，记作 。 可以规定零向量 与 的夹角为 ，零向量与任一向量平行， 也可以规定 与 的夹角为 ，零向量与任一向量垂直。 我们把长度为1的向量称为单位向量。 它的长度等于单位长度。 对于任一非零向量 ， 都可得到与它方向相同的唯一单位向量 。 例5：如图1.3-6，在一条笔直的马路上，张明从家(点 )出发，往东走 到公交车站(点 )乘车，往西行驶 到达另一公交车站(点 )，下车后往东走 到达学校。不乘公交车，张明从家走到学校应往什么方向走？走多远？ 解：以正东为正方向， 为单位长度，则张明每次移动的效果可分别用实数100， ，200表示。由于 ，① 因此，不乘公交车，张明从家走到学校应往西走，并走 。 在例5中，若记向东走、长度为 的向量为单位向量 ，则三个位移向量 ， ， 分别为 ， ， ，且三次行走的总效果 。 于是，三个位移向量 ， ， 相加的结果等于 ， 也就是说 。② 对比①②，可以发现，正负数的加法可看作是计算这些正负数代表的向量的和。 一般地，在一条直线上取单位向量 ，则直线上任意向量 都可写成 ，其中实数 的绝对值 代表向量 的模， 的正负代表 的方向与 相同或相反。反过来，任意给定一个实数 ，我们总能作一个向量 ，使它的长度等于这个实数 的绝对值，方向与实数 的符号一致。 于是，实数与共线向量之间可以建立起一一对应关系。也就是说，我们可用数值来表示向量，这将为平面向量的数量化奠定基础。 下面我们用向量的观点来重新认识初中学过的数轴。取单位向量 ，则点 表示1，如图1.3-7。 因此，在数轴上，任意一点 对应的实数 由 决定，所表示的实际上是原点 到点 的位移向量 。而代表数轴上任意两点 ， 之间的位移向量 中的实数 就等于分别代表 ， 的实数 ， 之差。 进一步，我们可以推出由实数 ， 代表的共线向量的加、减、数乘运算法则为： ， 。 一般地，设 ， 是任意向量， ， 是任意实数，则如下运算律成立： (1)对实数加法的分配律： 。 (2)对实数乘法的结合律： 。 (3)对向量加法的分配律： 。 运算律(1)(2)中的向量都是同一个向量 的实数倍，因此运算律(1)(2)均可直接由实数运算 ， 得出。 对于运算律(3)，当向量 ， 共线时，即可写成 ， ，其中 为单位向量，则可由实数运算 得到。 当 ， 不共线时，作 ， ， ， ，如图1.3-8。 由于 ， ， 所以 ， 则 ， 且 ， 因此 ，即 。 特别地，当 时，运算律(3)就是三角形中位线定理。 例4：已知 ， ， ，求证： ， ， 三点共线。 证明：因为 ， ， 所以 。 因此， ， ， 三点共线。 例5：如图1.3-9， 中，AB边的中点为 ，重心为 。 在 外任取一点 ，作向量 ， ， ， ， 。 (1)试用 ， 表示 。 (2)试用 ， ， 表示 。 解：(1) EMBED Equation.DSMT4 。 (2) EMBED Equation.DSMT4 。 由例5的计算结果可知，表示线段AB中点 位置的向量 等于表示线段两个端点 ， 位置的向量 ， 的平均值 ，表示 的重心 的位置的向量 等于表示三角形三个顶点 ， ， 位置的向量 ， ， 的平均值 。 例5的(2)还可以这样计算： 由 。 所以 解：解法一：设eq \o(BC,\s\up14(→))＝x，则eq \o(BK,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)x， eq \o(AB,\s\up14(→))＝eq \o(AK,\s\up14(→))＋eq \o(KB,\s\up14(→))＝e1－eq \f(1,2)x， eq \o(DL,\s\up14(→))＝eq \f(1,2) eq \o(DC,\s\up14(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)e1－eq \f(1,4)x. 又eq \o(AD,\s\up14(→))＝eq \o(BC,\s\up14(→))＝x，由eq \o(AD,\s\up14(→))＋eq \o(DL,\s\up14(→))＝eq \o(AL,\s\up14(→))，得x＋eq \f(1,2)e1－eq \f(1,4)x＝e2. 解方程得x＝eq \f(4,3)e2－eq \f(2,3)e1，即eq \o(BC,\s\up14(→))＝eq \f(4,3)e2－eq \f(2,3)e1. 由eq \o(CD,\s\up14(→))＝－eq \o(AB,\s\up14(→))，eq \o(AB,\s\up14(→))＝e1－eq \f(1,2)x，得eq \o(CD,\s\up14(→))＝－eq \f(4,3)e1＋eq \f(2,3)e2. 练习2．如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且eq \o(AK,\s\up14(→))＝e1，eq \o(AL,\s\up14(→))＝e2，试用e1，e2表示eq \o(BC,\s\up14(→))，eq \o(CD,\s\up14(→)). 解法二：设eq \o(BC,\s\up14(→))＝x，eq \o(CD,\s\up14(→))＝y，则eq \o(BK,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)x，eq \o(DL,\s\up14(→))＝－eq \f(1,2)y. 由eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BK,\s\up14(→))＝eq \o(AK,\s\up14(→))，eq \o(AD,\s\up14(→))＋eq \o(DL,\s\up14(→))＝eq \o(AL,\s\up14(→))， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－y＋\f(1,2)x＝e1，　①,x－\f(1,2)y＝e2.　②)) －2×②＋①，得eq \f(1,2)x－2x＝e1－2e2，x＝eq \f(4,3)e2－eq \f(2,3)e1. 同理得y＝－eq \f(4,3)e1＋eq \f(2,3)e2， 即eq \o(BC,\s\up14(→))＝eq \f(4,3)e2－eq \f(2,3)e1，eq \o(CD,\s\up14(→))＝－eq \f(4,3)e1＋eq \f(2,3)e2. 解法三：如图所示，延长BC与AL的延长线交于点E，则△DLA≌△CLE. 从而eq \o(AE,\s\up14(→))＝2eq \o(AL,\s\up14(→))，eq \o(CE,\s\up14(→))＝eq \o(AD,\s\up14(→))，eq \o(KE,\s\up14(→))＝eq \f(3,2) eq \o(BC,\s\up14(→))， 由eq \o(KE,\s\up14(→))＝eq \o(AE,\s\up14(→))－eq \o(AK,\s\up14(→))，得eq \f(3,2) eq \o(BC,\s\up14(→))＝2e2－e1， 即eq \o(BC,\s\up14(→))＝eq \f(2,3)(2e2－e1)＝eq \f(4,3)e2－eq \f(2,3)e1. 同理可得eq \o(CD,\s\up14(→))＝eq \f(2,3)(－2e1＋e2)＝－eq \f(4,3)e1＋eq \f(2,3)e2. 3．(多选)下列四个选项中，向量a，b一定共线的是(　　) A．a＝2e，b＝－2e B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2 C．a＝4e1－eq \f(2,5)e2，b＝e1－eq \f(1,10)e2 D．a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2 解析：∵ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2，∴(k－8λ)e1＝(λk－2)e2，又e1，e2不共线，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－8λ＝0，,λk－2＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,k＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,k＝－4.))∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，∴λ＝－eq \f(1,2)，k＝－4. 5．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，eq \o(AE,\s\up14(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up14(→))，eq \o(AB,\s\up14(→))＝a，eq \o(AC,\s\up14(→))＝b. (1)用a，b表示eq \o(AD,\s\up14(→))，eq \o(AE,\s\up14(→))，eq \o(AF,\s\up14(→))，eq \o(BE,\s\up14(→))，eq \o(BF,\s\up14(→))； (2)求证：B，E，F三点共线． 解：(1)在△ABC中，因为D，F分别是BC，AC的中点， 所以eq \o(AD,\s\up14(→))＝eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BD,\s\up14(→))＝eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up14(→))＝eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(AC,\s\up14(→))－eq \o(AB,\s\up14(→)))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b， eq \o(AE,\s\up14(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up14(→))＝eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b，eq \o(AF,\s\up14(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)b， eq \o(BE,\s\up14(→))＝eq \o(AE,\s\up14(→))－eq \o(AB,\s\up14(→))＝eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b－a＝eq \f(1,3)b－eq \f(2,3)a， eq \o(BF,\s\up14(→))＝eq \o(AF,\s\up14(→))－eq \o(AB,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)b－a. (2)证明：由(1)知eq \o(BE,\s\up14(→))＝eq \f(1,3)b－eq \f(2,3)a＝eq \f(1,3)(b－2a)，eq \o(BF,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)(b－2a)， 所以eq \o(BE,\s\up14(→))＝eq \f(2,3) eq \o(BF,\s\up14(→))，所以eq \o(BE,\s\up14(→))∥eq \o(BF,\s\up14(→))， 又eq \o(BE,\s\up14(→))，eq \o(BF,\s\up14(→))有公共点B，所以B，E，F三点共线． 1．知识清单： (1)向量的数乘及运算律． (2)向量共线定理． (3)三点共线的常用结论． 2．方法归纳：数形结合法、分类讨论法． 3．常见误区：忽视零向量这一个特殊向量． $$