5.1.1变化率问题（1）课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

人教A版选择性必修第二册 第五章 导数 5.1 导数的概念及其意义（第1课时） 汇报人：小袁老师 5.1.1变化率问题 1.实例分析与概念理解：结合具体实例展开分析，体验从平均速度到瞬时速度、割线斜率过渡到切线斜率的过程，深入了解导数概念在实际中的背景，明确导数作为瞬时变化率数学表达的意义，体会导数的内涵与思想。 01 2.能力培养：通过动手计算，锻炼观察、分析、比较和归纳的能力，培养观察、归纳、类化、猜想、验证的数学思想，感受从特殊到一般的逻辑思维过程。 02 3.思想方法体会：在问题探究中，体会极限、逼近、类比的思想，领悟以已知探求未知、从特殊到一般的数学方法，感受极限思想的内涵 。 03 学习目标 2 微积分简介P58 描述现实世界中的运动、变化现象 函数 引入 动态现象 刻画 深入研究 微积分 ①求物体在任意时刻的速度与加速度 ②求曲线 的切线 ③求函数的最大值 与最小值 ④求长度、面积、体积和重心等 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本工具. 因而在解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题中有着广泛应用. 知识结构(课本P102图) 5.1.1变化率P59-P64 5.1.2 导数的概念及几何意义 P64-P69 5.2导数的运算 P72-P83 5.3导数在研究函数中的应用 P84-P97 平均速度 瞬时速度 割线斜率 切线斜率 导数的几何意义 导数的概念 基本初等函数的导数公式 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数的单调性 函数的极值与最大（小）值 新课引入P59 问题一：跳水运动员的速度 探究：在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度(单位：m)与起跳后的时间(单位：s)存在函数关系如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 新课引入P59 运动员起跳后秒到这段时间的平均速度: 新课引入P60 定义讲解P60 瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instantaneous velocity） 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. (1)计算位移的改变量s(t2)-s(t1). (2)计算时间的改变量t2-t1. (3)得平均速度. 求平均速度的步骤 （抄P60最上边） 探究：瞬时速度与平均速度有什么关系? 你能利用这种关系求运动员在时的瞬时速度吗? 新课讲解P60 勾画 新课讲解P60 为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格. Δt < 0 Δt > 0 -0.01 0.01 -0.001 0.001 -0.0001 0.0001 -0.00001 0.00001 -0.000001 0.000001 -6.951 -6.9951 -6.99951 -6.999951 -6.9999951 -7.049 -7.0049 -7.00049 -7.000049 -7.0000049 通过观察可得，当∆t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－7. 新课讲解P61 新课讲解——平均速度与瞬时速度P61 在数学中，我们把叫做“当无限趋近于0时，的极限”， 记为. 逼近(极限)思想 从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度.因此，运动员在时的瞬时速度. 思考：你能否利用上述关系求运动员在t=1s时的瞬时速度？ 定义讲解P60 抄P60定义处 瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 当时间间隔|∆t|无限趋近于0时，平均速度 在某一时刻t=t0的极限就是运动员在t=t0时的瞬时速度，即: 瞬时速度的本质是平均速度的极限. 求瞬时速度的步骤 (1)求位移改变量Δh=h(t0+Δt)-h(t0). (2)求平均速度. (3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v=. 抄P59空白处 学以致用P61练习 2. 火箭发射后，其高度（单位：m)为. 求： (1)在这段时间里，火箭爬高的平均速度； (2)发射后第时，火箭爬高的瞬时速度.　 解：(1)在1≤t≤2这段时间里， (2) 学以致用P61练习 1.求问题1中跳水运动员在t=1.5s时的瞬时速度. 学以致用 例： 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数 s(t)＝t2＋t＋1表示：(2)试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s? (1)取Δt作差求平均速度； (2)对平均速度取极限。 解:设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 则2t0＋1＝9，∴t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 1.本节课收获了哪些知识？ 平均速度 瞬时速度 瞬时速度的本质是平均速度的极限. (1) 平均速度： (2) 瞬时速度： 2.求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤： 课堂小结 谢谢观看 人教A版选择性必修第二册 小袁老师 我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的 平均速度近似地描述他的运动状态． 在这段时间里，； 在这段时间里， ； 因此，平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 思考：计算运动员在这段时间里的平均速度，你发现了什么？ 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 运动员在这段时间里的平均速度为0．显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态． 设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时 刻的瞬时速度. ＝(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1. 又＝＝(2t0＋1)＋Δt. $$