期末提分练案-专题 圆中常见的计算题型 课件 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

期末提分练案 专题 圆中常见的计算题型 北师大版 九年级下册 1 1 50 cm A B 温馨提示：点击 进入讲评 2 3 4 5 6 70°或76°或20° A 7 8 9 10 11 C 12 习题链接 1. 如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A，B，作半径OC⊥弦AB交外圆于点C，交内圆于点D.测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则这个车轮的外圆半径长是________. 50 cm 3 返回 4 2. 在⊙O中，直径AB＝6，BC是⊙O的弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ. (1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ的长度； 5 6 (2)如图②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值. 7 8 返回 【点方法】圆中与弦有关的计算或证明问题，往往需要连接半径，以构造直角三角形，从而应用勾股定理或三角函数进行计算． 9 返回 3. [2024重庆南岸区月考]如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，E为BC延长线上一点. 若∠BOD＝100°，则∠ECD的度数是(　　) A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° A 10 4. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，作CD平分∠ACB交⊙O于点D，连接AD，BD，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为(　　) A. 100° B. 105° C. 110° D. 120° 11 返回 【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. 又∵∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－30°＝60°. ∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝45°. ∵∠BAD＝∠BCD＝45°， ∴∠CAD＝∠BAC＋∠BAD＝60°＋45°＝105°. 【答案】B 12 返回 5. [2024东营一模]如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝4，则⊙O的直径为________. 13 6. 已知△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC，∠BAC＝52°，D是⊙O上除A，B，C之外的任意一点，直线CD与直线AB相交于点E，则当△ADC为等腰三角形时，∠AEC的度数为______________. 70°或76°或20° 14 15 16 返回 17 返回 A 18 返回 8. [2024威海月考]同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距(内接圆的圆心到正多边形的边的距离)之比为___________. 19 9. [2024盐城模拟]如图，以点O为圆心，AB长为直径作⊙O，在⊙O上取一点C，连接AC，BC，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E. 20 (1)求证：CD是⊙O的切线； 【证明】如图，连接OC. ∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°， 即∠BCO＋∠OCA＝90°. ∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC. 又∵∠DCB＝∠CAD，∴∠OCA＝∠DCB. ∴∠DCB＋∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，OC⊥DC. 又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线． 21 (2)若CD＝4，DB＝2，求AE的长. 【解】∵∠DCO＝90°，∴OC2＋CD2＝OD2. 又∵OC＝OB，CD＝4，DB＝2， ∴OB2＋42＝(OB＋2)2. ∴OB＝3. ∴AB＝6. ∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，∴AE是⊙O的切线． 又∵CD是⊙O的切线，∴AE＝CE. ∵AD2＋AE2＝DE2，∴(6＋2)2＋AE2＝(4＋AE)2， ∴AE＝6. 返回 22 23 24 返回 【答案】C 25 11. [2024南京玄武区一模]如图，分别以正六边形ABCDEF的顶点A，C，E为圆心、边长为半径作弧，若该正六边形的边长是2，则“三叶草”(阴影部分)的面积是________. 26 返回 27 12. [2024周口二模]如图，从一张圆心角为45°的扇形纸板AOB中剪出一个边长为1的正方形CDEF，求图中阴影部分的面积. 28 返回 29 4 4π－6 【点拨】如图，连接OA. ∵半径OC⊥弦AB，AB＝60 cm， ∴AD＝AB＝30 cm. 设外圆半径为r，则OD＝r－10， 在Rt△ADO中，根据勾股定理得r2＝(r－10)2＋302，解得 r＝50 cm. ∴这个车轮的外圆半径长为50 cm. 【解】连接OQ，如图①. ∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB. 在Rt△OBP中，tan B＝，∠B＝30°，OB＝3， ∴OP＝OB·tan 30°＝. 在Rt△OPQ中，∵OP＝，OQ＝3， ∴PQ＝＝. 【解】连接OQ，如图②. 在Rt△OPQ中，PQ＝＝， 则当OP的长最小时，PQ的长有最大值， 当OP⊥BC时，OP的长最小，此时易得 OP＝OB＝， ∴PQ长的最大值为＝. 4 【点拨】∵AB＝AC，∠BAC＝52°， ∴∠ABC＝∠ACB＝＝64°. 若△ADC为等腰三角形，则需分以下情况讨论： ①如图①，当AD＝CD时，∠DAC＝∠DCA. ∵∠D＝∠B＝64°， ∴∠DAC＝∠DCA＝＝58°. ∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝64°－58°＝6°. ∴∠AEC＝∠B＋∠BCD＝64°＋6°＝70°. ②如图②，当CD＝CA时， ∠CDA＝∠CAD. ∵∠D＝∠B＝64°，∴∠CAD＝64°. ∴∠BAD＝∠CAD－∠BAC＝64°－52°＝12°. ∴∠AEC＝∠D＋∠BAD＝64°＋12°＝76°. ③如图③，当AD＝CD时，∠DAC＝∠DCA. ∵∠B＝64°，∴∠ADC＝180°－∠B＝116°. ∴∠DAC＝∠DCA＝＝32°.∴∠DAE＝ 180°－∠BAC－∠DAC＝180°－52°－32°＝96°. ∴∠AEC＝∠ADC－∠DAE＝116°－96°＝20°. 综上，当△ADC为等腰三角形时，∠AEC的度数为70°或76°或20°. 7. [2024广元期末]如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AC，CE，AE，若AC＝2，则正六边形ABCDEF的面积是(　　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 1∶∶ 10. [2024广安]如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，∠C＝70°，以AB为直径作半圆O，与AC，BC分别相交于点D，E，则的长度为(　　) A. B. C. D. 【点拨】如图，连接OD，OE. ∵AB＝AC，∠C＝70°，∴∠ABC＝∠C＝70°. 又∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠ABC＝70°. ∴∠OEB＝∠C＝70°.∴OE∥AC. 在△ABC中， ∠A＝180°－∠ABC－∠C＝180°－70°－70°＝40°. ∵OA＝OD，OE∥AC，∴∠A＝∠ADO＝40°＝∠DOE. 又∵OD＝OB＝AB＝5， ∴的长度为＝. 4π－6 【点拨】如图，连接OD，OC，过点O作OH⊥CD于点H. ∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠COD＝60°. 又∵OD＝OC，∴△DOC是等边三角形． ∴OD＝OC＝CD＝2. ∴CH＝CD＝1.∴OH＝＝. ∴易得“三叶草”的面积＝6×(S扇形OCD－S△OCD) ＝6×(－×2×)＝4π－6. 【解】如图，连接OF.∵四边形CDEF是边长为1的正方形， ∴∠BDC＝∠CDO＝∠FEO＝90°，EF＝CD＝ED＝1. 又∵∠AOB＝45°，∴OD＝CD＝1. 由勾股定理得OF＝＝， ∴S阴影＝S扇形AOB－S△OCD－S正方形CDEF ＝－×1×1－1×1＝π－. $$