7.3.2 命题、定理、证明 课件 2024--2025学年人教版七年级数学下册

第七章 相交线与平行线 7.3 平行线的性质 7.3.2 命题、定理、证明 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1．知道什么是命题，会把一个命题改写成“如果……那么……”的形式，从而能正确分清它的题设和结论. 2．知道什么是真命题和假命题；能区分一些简单命题的真假.（重点、难点） 学习目标 新课导入 歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天，他与一位批评家“狭路相逢”，这位文艺批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，边走边大声说道：“我从来不给傻子让路！” 面对如此尴尬的局面，歌德笑容可掬，谦恭的闪在一旁，有礼貌地回答道：“呵呵，我可恰恰相反！”结果故作聪明的批评家，反倒自讨没趣，你知道歌德用的是什么语言技巧吗？你知道其中的数学道理吗？这涉及到我们今天要学习的内容中的一个概念. 新课讲解 知识点1 命题 请同学读出下列语句 （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内 角互补； （3）对顶角相等； （4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式． 新课讲解 像这样判断一件事情的语句，叫做命题（proposition）. 2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题. 如：画线段AB=CD. 1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题. 如：相等的角是对顶角. 注意： 新课讲解 判断下列语句是不是命题？ （1）两点之间，线段最短； （ ） （2）请画出两条互相平行的直线； （ ） （3）过直线外一点作已知直线的垂线； （ ） （4）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余。 （ ） √ × × √ 像这样判断一件事情的语句，叫做命题（proposition）. 新课讲解 （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. （2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. （3）如果两个角的和是 90º，那么这两个角互余. （4）等式两边都加同一个数， 结果仍是等式. （5）两点之间，线段最短. 下列各组命题是由几部分组成的？ 新课讲解 命题由题设和结论两部分组成. 许多数学命题常可以写成“如果……，那么……”的形式．“如果”后面连接的部分是题设，“那么”后面连接的部分是结论． 已知事项 由已知事项推出的事项 新课讲解 下列语句是命题吗？如果是，请将它们改写 成“如果……，那么……”的形式. （1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； （2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式； 如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补. 如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式. 新课讲解 （3）互为相反数的两个数相加得 0 ； （4）同旁内角互补； （5）对顶角相等． 如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得 0. 如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补. 如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等. 新课讲解 添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套. 注意： 新课讲解 真命题：正确的命题. 假命题：题错误的命题. 要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的题设，而不具有命题的结论，这种例子称为反例. 新课讲解 例 典例分析 判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？ （1）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条； （2）如果两个角互补，那么它们是邻补角； （3）如果 | a | = | b |，那么 a = b ； （4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （5）两点确定一条直线． 真命题 假命题 假命题 真命题 真命题 新课讲解 你能否举例说明“相等的角是对顶角”是假命题？ 如图，OC 是 ∠AOB 的平分线，∠1 = ∠2 ，但它们不是对顶角 . 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了. 新课讲解 知识点2 定理与证明 上面例题中的（1）（4）（5）它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理（theorem）． 定理也可以作为继续推理的依据． 你能写出几个学过的定理吗？ 新课讲解 从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明. 例如，我们知道四月有30天；所以每一个月都有31天的说法是错误的. 基本事实 结论 这个方法就是演绎推理，这个过程就是证明 新课讲解 推理的过程叫证明 经过证明的真命题叫定理 证实其他命题的正确性 推 理 基本事实或公理 一些条件 + 每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明. 新课讲解 命题 1 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条． 命题 2 相等的角是对顶角． 请判断下列两个命题的真假，并思考如何判断命题的真假． 例 典例分析 新课讲解 题设：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条； 结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条． 命题 1：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条． （1）这个命题的题设和结论分别是什么呢？ 新课讲解 （2）命题 1 是真命题还是假命题？ 真命题 命题 1：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条． （3）你能画出图形，写出已知、求证并证明它是真命题吗？ 已知：b∥c， a⊥b ． 求证：a⊥c． b c a 新课讲解 证明：∵ a⊥b（已知）， ∴∠1 = 90º （垂直的定义）. 又∵ b∥c（已知）， ∴∠1 = ∠2（两直线平行，同位角相等）. ∴∠2 = ∠1 = 90º（等量代换）. ∴ a⊥c（垂直的定义）. 1 b 2 c a 如图，已知：直线 b∥c，a⊥b. 求证：a⊥c. 新课讲解 证明中的每一步推理都要有根据，这些根据可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、定理等. 新课讲解 题设：两个角相等. 结论：这两个角互为对顶角. （1）这个命题的题设和结论分别是什么呢？ 命题 2 相等的角是对顶角． （2）判断这个命题的真假. 假命题 课堂小结 命题、定理、证明 定义 结构 形式 分类 真命题 定理 假命题举反例 题设：已知事项 结论：由已知事项推出的事项 ：判断一件事情的语句叫做命题 ：如果……那么…… 证明 当堂小练 1.下列语句是命题的个数为（ ） ①画∠AOB 的平分线； ②直角都相等； ③同旁内角互补吗？ ④若 | a | = 3，则 a = 3. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 当堂小练 2. “同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行”是_________，其中题设是_______ __________________________________，结论是_______________________. 真命题 这两条直线互相平行 同一平 面内，有两条直线垂直于同一条直线 当堂小练 把下列命题改写成“如果p，那么q”的形式. （1）有一个角是直角的三角形是直角三角形； （2）两直线相交，只有一个交点； （3）等边三角形三条边相等. 解：（1）如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形； （2）如果两直线相交，那么只有一个交点； （3）如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形三条边相等； 拓展与延伸 如图，给出下列论断：（1）AB∥DC，（2）AD∥BC，（3）∠A+∠B = 180°，（4）∠B + ∠C = 180°，以其中一个作为题设，另一个作为结论，写出一个真命题. 想一想，若连接 BD，你能试着写出一个真命题并写出其推理过程吗？ 拓展与延伸 解：题设：AB∥DC， 结论：∠ABC+∠C=180°. 真命题：若 AB∥DC，则∠ABC+∠C=180°. 如图，连接 BD. 真命题：若∠ABD=∠CDB，则 AB∥DC. 证明：∵∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）. 布置作业 1.作业本：P24 练习2 、习题7.3 2 2.书上其他练习题 $$