2025年中考数学一轮复习课件 第十八节 全等三角形与相似三角形

第四节　全等三角形与相似三角形 1 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 2 知识点1 全等三角形的性质 全等三角形的　 　相等，　 　相等.全等三角形的对应线段 (高、中线、角平分线)、周长、面积分别对应　 　.  对应边　 对应角　 相等 知识梳理 3 知识点2 全等三角形的判定 1.三角形全等的判定方法 (1)一般三角形全等的判定方法：______，______，______，______.  (2)直角三角形全等的判定方法：除上述四种外，还有______.  SSS　 ASA　 SAS　 AAS　 HL 4 为了理解记忆三角形全等的判定方法，现归纳如下表： 已知条件 是否全等 图形(或反例) 形式结论 三边 是 SSS 两边 一角 两边及夹角 是 SAS 两边及所对非直角 否 无 两边及所对直角 是 HL 5 已知条件 是否全等 图形(或反例) 形式结论 两角 一边 两角及夹边 是 ASA 两角及对边 是 AAS 三角 否 无 6 2.证明三角形全等的一般思路 (1)已知两边 7 (2) 已知一边一角 (3)已知两角 8 命题点1 全等三角形的判定与性质 7地7考　 例1 (2023·重庆A卷)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°， AB=AC， D为BC上一点，连接AD.过点B作BE⊥AD于点E，过点C作 CF⊥AD 交AD的延长线于点F.若BE=4，CF=1，则EF的长度为________.  【解题启发】 EF的长能直接求吗？你能找到与EF有关的线段吗？ 3 考点突破 9 【方法指导】 　　判定全等三角形时，一定要注意利用图形中的隐含条件： (1)公共角;(2)对顶角;(3)公共边或相等的线段. 10 练1 (2024·济南)如图，已知△ABC≌△DEC，∠A=60°，∠B=40°， 则∠DCE的度数为(　　)　　　　　　　　 A.40° B.60° C.80° D.100° C 11 练2 (2024·成都)如图，△ABC≌△CDE.若∠D=35°，∠ACB=45°， 则∠DCE的度数为________.  100° 12 练3 (2024·临夏)如图，在△ABC中，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为 (4，1)，点C的坐标为(3，4)，点D在第一象限(不与点C重合)，且△ABD 与△ABC全等，点D的坐标是________.  (1，4) 13 练4 (2024·云南)如图，在△ABC和△AED中，AB=AE， ∠BAE=∠CAD，AC=AD.求证：△ABC≌△AED. 证明：∵∠BAE=∠CAD， ∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE，即∠BAC=∠EAD. 在△ABC和△AED中， ∴△ABC≌△AED(SAS). 14 练5 (2024·内江)如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD=BE，AC=DF，BC=EF. (1)求证：△ABC≌△DEF; (2)若∠A=55°，∠E=45°，求∠F的度数. 15 (1)证明：∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD， 即AB=DE. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SSS). (2)解：由(1)可知△ABC≌△DEF，∴∠A=∠FDE=55°. ∵∠E=45°， ∴∠F=180°-(∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°)=80°. 16 知识点3 比例线段及其性质 1.线段的比：若选用同一长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，则这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD=m∶n. 2.比例线段：四条线段a，b，c，d，如果a与b的比等于c与d的比，即=，那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例线段，简称比例线段. 17 3.比例线段的性质 (1)如果=，那么________.  (2)如果ad=bc(a，b，c，d都不等于0)，那么=____.  4.平行线分线段成比例 (1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. ad=bc　 18 知识点4 相似多边形 1.相似多边形：各角分别对应相等，边对应成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形，相似多边形对应边的比叫作相似比. 2.相似多边形的性质 (1)相似多边形的对应角相等，对应边之比等于相似比. (2)相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 19 知识点5 相似三角形 1.相似三角形：三角分别　 　、三边　 　的两个三角形 叫作相似三角形，相似三角形对应边的比叫作相似比.  2.相似三角形的判定定理 (1)两角分别　 　的两个三角形相似.  (2)两边　 且夹角　 　的两个三角形相似.  (3)三边　 　的两个三角形相似.  (4)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 对应相等　 对应成比例 相等　 对应成比例　 相等　 对应成比例 20 3.相似三角形的性质 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于 　 　.  (2)相似三角形的周长比等于　 　，面积比等于　 　.  相似比　 相似比　 相似比的平方 21 命题点2 平行线分线段成比例 7地0考　 例2 (2023·北京)如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.若AO=2，OF=1，FD=2，则 的值为________.  【解题启发】 你能写出几对成比例的线段？ 22 练8 已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若=，AD=10，则AO=______.  4 23 命题点3 相似三角形的判定与性质 7地2考　 例3 (改编题)如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC.已知BC=10，=. (1)DE的长为________;△ADE与△ABC的周长比为________;  (2)将△ADE旋转至图2所示的位置时，连接BD，CE.求证：△ABD∽△ACE. 【解题启发】 相似三角形的判定方法有几种？相似三角形的性质有哪些？ 24 【规范解答】 (1)解：6　3∶5 (2)证明：∵△ADE∽△ABC， ∴=，∠BAC=∠DAE， ∴=，∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE. 25 【解题通法】 (1)常见相似三角形的基本类型 26 (2)射影定理 图形 条件 ∠ABC=∠ADB=90° (射影定理只能在直角三角形中存在，且必须有斜边上的高) 结论 ①△ABC∽△ADB∽△BDC ②AB2=AC·AD，BD2=AD·CD， BC2=AC·CD(口诀：公共边的平方=共线边的乘积) ③AB·BC=BD·AC(面积法) 27 练9 (2023·湘潭)在Rt△ABC中，∠BAC=90°， AD是斜边BC上的高. (1)证明：△ABD∽△CBA; (2)若AB=6，BC=10，求BD的长. (1)证明：∵AD是斜边BC上的高，∴∠BDA=90°. ∵∠BAC=90°，∴∠BDA=∠BAC. 又∵∠B为公共角，∴△ABD∽△CBA. (2)解：由(1)知△ABD∽△CBA，∴=， 即=，∴BD=3.6. 28 练10 在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D. (1)如图1，若AB=3，AC=5，求AD的长. (2)如图2，过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F. 求证：∠ABC=∠EAF. 29 (1)解：∵∠ABC=2∠ACB，BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠ACB. 又∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB， ∴=，即=，∴AD=. (2)证明：∴AE⊥AC，AF⊥BD， ∴∠AFB=∠EAC=90°. 又∵∠ABF=∠C，∴△ABF∽△ECA， ∴∠BAF=∠CEA. ∵∠BAF=∠BAE+∠EAF，∠AEC=∠ABC+∠BAE， ∴∠ABC=∠EAF. 30 命题点4 相似三角形的实际应用 7地0考　 例4【数学文化】 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深 度的方法.如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆 的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得 AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD的长为________米.  3 31 【解题启发】 你能从实际情境中抽象出相似三角形的几何图形吗？ 练11 (2023·潍坊)【数学文化】 在《数书九章》(宋·秦九韶)中记载了一 个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到 地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB，CD，EF在同一平面内， 点A，C，E在一条水平直线上，已知AC=20米，CE=10米，CD=7米， EF=1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出 塔的高度.根据以上信息，塔的高度为________米.  18.2　 32 建议用时：10分钟 1.如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF， AC=DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是(　　)　 A.BC=DE B.AE=DB C.∠A=∠DEF D.∠ABC=∠D B 当堂达标 1 3 5 题序 2 4 6 33 2.(2023·重庆A卷)若两个相似三角形周长的比为1∶4，则这两个三角形 对应边的比是(　　) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16 B 1 3 5 题序 2 4 6 34 3.(2023·南充)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在 脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线 上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为 1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为 2 m，镜子与旗杆的水平距离 为10 m，则旗杆高度为(　　) A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12.5 m B 1 3 5 题序 2 4 6 35 4.(2024·滨州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上.添加一个 条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是_______________________. (写出一种情况即可)  ∠ADE=∠C(答案不唯一)　 1 3 5 题序 2 4 6 36 5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F. (1)求证：△BDE≌△CDF; (2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长. 1 3 5 题序 2 4 6 37 (1)证明：∵CF∥AB， ∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F. ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF(AAS). (2)解：∵△BDE≌△CDF， ∴BE=CF=2， ∴AB=AE+BE=1+2=3. ∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3. 1 3 5 题序 2 4 6 38 $$