11.2 一元一次不等式 课件-2024-2025学年人教版（2024）数学七年级下册

第十一章 不等式与不等式组 11.2 一元一次不等式 第1课时 不等式的性质1： 如果a＞b，那么a±c＞b±c. 不等式的性质2： 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc， 不等式的性质3： 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc， 不等式两边加(或减)同一个数(或式子) ，不等号的方向不变. 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 复习回顾 观察下面的不等式： 它们有哪些共同特征？ 含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数次数是１的不等式，叫作一元一次不等式． 只含有一个未知数，并且未知数次数是１. 一元一次不等式： 探究新知 从上节我们知道，不等式 x-7＞26 的解集是 x＞33. 这个解集是通过“不等式的两边加7，不等号的方向不变”而得到的，事实上，这相当于x-7＞26得x＞26+7. 这就是说，解不等式时也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向. 探究新知 1.下列各式是一元一次不等式的是( ) A.x+y>2 B.x2-3x>-5 C.a+1≤0 D. <3x C 2.下列式子中，一元一次不等式是______.(填序号) ① x2+1>2x； ② +2>0； ③ x>y； ④≤1. ④ 小试牛刀 例1 解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)3(x-1)＜x-2 ；（2）+2≥ 解：(1)去括号，得 3x-3＜x-2 . 移项，得 3x-x＜-2+3 . 合并同类项，得 2x＜1 . 系数化为1，得 x＜ 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示 . 0 典例精析 (2)去分母，得 3(x-5)+24≥2(5x+1). 去括号，得 3x-15+24≥10x+2 . 移项，得 3x-10x≤2+15-24 . 合并同类项，得 -7x≥-7 . 系数化为1，得 x≤1 . 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 0 1 （2）+2≥ 典例精析 解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=m的形式； 而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x＜m（x≤m）或x＞m（x≥m）的形式. 探究新知 思考：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤和依据有什么类似之处？ 解一元一次不等式的一般步骤 （1）去分母———不等式性质2或3 注意：①勿漏乘不含分母的项；②分子是两项或两项以上的代数式时要加括号；③若两边同时乘以一个负数，须注意不等号的方向要改变. （2）去括号——去括号法则和分配律 注意：①勿漏乘括号内每一项；②括号前面是“－”号，括号内各项要变号. 探究新知 （3）移项——移项法则（不等式性质1） 注意：移项要变号. （4）合并同类项——合并同类项法则. （5）把系数化成1——不等式基本性质2或性质3. 注意：两边同时除以未知数的系数时，要分清不等号的方向是否改变. 探究新知 1.不等式>x的解集为( ) A.x<1 B.x<-1 C.x>1 D.x>-1 2.不等式3(1-x) >2-4x的解集在数轴上表示正确的是( ) 3.在不等式>的变形过程中，开始出现错误的步骤是( ) ①去分母，得5(2+x) >3(2x-1). ②去括号，得10+5x>6x-3. ③移项、合并同类项，得-x>-13. ④系数化为，得x>13. A.① B.② C.③ D.④ A D 当堂检测 A 4.解不等式 并把它的解集在数轴上表示出来. 解：去分母，得 2(x-2)-5(x+4)>-30. 去括号，得 2x-4-5x-20>-30. 移项，得 2x-5x>-30+4+20. 合并同类项，得 -3x>-6. 系数化为1，得 x<2. 将不等式的解集表示在数轴上如图所示. 0 2 当堂检测 求不等式 ≤ +1 的非负整数解． 解：去分母得：5（2x+1）≤3（3x-2）+15， 去括号得：10x+5≤9x-6+15， 移项得：10x-9x≤-5-6+15， 合并同类项得x≤4， ∴不等式的非负整数解为0、1、2、3、4． 巩固提升 1.基础性作业：课本132页练习第1题，135页练习第2题. 2.发展性作业： 关于x 的一元一次不等式3x-m≥2的解集是x≥3，则m的值是_____. 如果关于x的不等式5x-a>3(x+a)的解集与x-a>7-x的解集相同，求a的值. 分层作业 第十一章 不等式与不等式组 11.2 一元一次不等式 第2课时 一元一次方程解实际问题的步骤： 实际问题 找相等关系 设未知数 列出方程 检验解的合理性 解方程 问题引入 那么如何利用一元一次不等式来解决实际问题呢？ 新知探究 七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分.如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级? 解设：初赛答对了x道题. 根据“初赛成绩超过90分”晋级决赛，列得不等式 10x-5(20-x)>90. 去括号，得 10x-100+5x>90. 移项，合并同类项，得 15x>190. 系数化为1，得 x>12 由x应为正整数，可得x至少为13. 答:初赛至少要答对13道题才能成功晋级. 一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对-道题得4分,答错或不答一道题扣1分.在这次竞赛中，小明被评:为优秀(85分或85分以上)，小明至少答对了几道题? 解:设小明答对了x道题，则他答错和不答的共有(25-x)道题.依题意得 4x-1× (25-x)≥85 解得x≥22 答:小明至少答对了22道题. 小试牛刀 新知探究 某市去年万元地区生产总值能耗为0.320t标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少? 解:设这个市今年万元地区生产总值能耗为xt标准煤.根据题意，列得不等式 x100%≥5%. 去分母，得 0.320-x≥0.320×5%. 移项，合并同类项，得 -x≥-0.304. 系数化为1，得 x≤0.304. 这个市今年万元地区生产总值能耗至多为0.304t标准煤. 去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到60%，如果明年(365)天这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少？ 解：设明年比去年空气质量良好的天数增加了x.依题意得 去分母，得 x+219＞255.5 移项，合并同类项，得 x＞36.5 由x应为正整数，得 x≥37 答：明年要比去年空气质量良好的天数至少增加37，才能使这一年质量良好的天数超过全年天数的70%. 小试牛刀 (1)审：认真审题，分清已知量、未知量； (2)找：要抓住题中的关键字找出题中的不等关系； (3)设：设出适当的未知数； (4)列：根据题中的不等关系列出不等式； (5)解：解出所列不等式的解集； (6)答：检验是否符合题意，写出答案. 列不等式解决实际问题的基本步骤： 课堂小结 1.某面馆购进A,B两种山西老陈醋,A种老陈醋每瓶12元,B种老陈醋每瓶 10元,该面馆购进A种老陈醋7瓶和B种老陈醋若干瓶,预算为205元,那么该面馆最多可以购进B种老陈醋 ? 解：设该面馆可以购进B种老陈醋x瓶, 依题意,得12×7+10x≤205, 解得x≤12.1, 因为x为整数, 所以x最大取12. 故该面馆最多可以购进B种老陈醋12瓶. 课堂检测 2.某次篮球联赛初赛阶段,每队有10场比赛,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分,积分超过15分才能获得参加决赛的资格. (1)已知甲队在初赛阶段的积分为18分,求甲队初赛阶段胜、负各多少场； 解：(1)设甲队初赛阶段胜 x 场，则负(10-x)场． 根据题意，得 2x＋(10－x)＝18， 解得 x＝8, 10-x＝2. 答：甲队初赛阶段胜8场,负2场． 课堂检测 (2)如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？ (2)设乙队在初赛阶段胜 a 场． 根据题意，得 2a＋(10－a)>15， 解得 a>5. 因为a为非负整数， 所以a至少为6. 答：乙队在初赛阶段至少要胜6场． 课堂检测 1.基础性作业：课本134页练习第1、2题. 2.发展性作业：课本137页第5、8题. 分层作业 第十一章 不等式与不等式组 11.2 一元一次不等式 第3课时 （1）审题，找不等关系； （2）设未知数； （3）列不等式； （4）解不等式； （5）根据实际情况，写出全部答案 解一元一次不等式应用题的步骤是什么？ 复习引入 甲、乙两超市以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超过50元的部分按九五折收费．顾客到哪家超市购物花费少? 分析：在甲超市购物超过100元后享受优惠，在乙超市购物超过50元后享受优惠.因此，我们需要分三种情况讨论： （1）累计购物不超过50元； （2）累计购物超过50元而不超过100元； （3）累计购物超过100元. 新知探究 如果购物款为x元，你能分别表示出在两家商场花费的钱数吗? 购物款 甲商场 乙商场 比较 一样 乙 ？ 解：（1）当累计购物不超过50元时，在甲、乙商场购物都不享受优惠，因此到两商场购物花费都一样. （2）当累计购物超过50元而不超过100元时，享受乙商场的购物优惠，不享受甲商场的购物优惠，因此到乙商场购物花费更少. 新知探究 （3）当累计购物超过100元时，设累计购物x（x＞100)元. ①若到甲超市购物花费少，则 50+0.95(x-50)＞100+0.9(x-100) ，解得x＞150 ． 这就是说，累计购物超过150元时，到甲超市购物花费更少. ②若到乙超市购物花费少，则 50+0.95(x-50)＜100+0.9(x-100) ，解得x＜150 ． 这就是说，累计购物超过100元而不超过150元时，到乙超市购物花费更少. ③若50+0.95(x-50)=100+0.9(x-100)，解得x=150 ． 这就是说，累计购物150元时，到甲、乙两超市购物花费一样. 新知探究 某校为想购买计算器的学生联系了两家公司，两家公司的报价均为50元/个，并且质量和服务承诺相同，且都表示对学生优惠:甲公司表示每个计算器9折出售;乙公司表示购买100个以上，超过100个的部分按8折收费.假如你是校方，你该怎样选择这两家公司? 解:设学校集体购买的计算器为x个，依题意得 (1)显然当x≤100时，选择甲公司合算. (2)当x>100时, ①如果选甲公司合算，则有 0.9×50x<100×50+ (x-100) ×0.8×50 解得 x<200 ∴当购买个数超过100而不超过200时，选甲公司合算. 新知探究 某校为想购买计算器的学生联系了两家公司，两家公司的报价均为50元/个，并且质量和服务承诺相同，且都表示对学生优惠:甲公司表示每个计算器9折出售;乙公司表示购买100个以上，超过100个的部分按8折收费.假如你是校方，你该怎样选择这两家公司? (2)当x>100时， ②如果选乙公司合算，则有 0.9×50x>100×50+ (x-100)×0. 8×50 解得 x>200 ∴当购买个数超过200时，选乙公司合算. 新知探究 某校为想购买计算器的学生联系了两家公司，两家公司的报价均为50元/个，并且质量和服务承诺相同，且都表示对学生优惠:甲公司表示每个计算器9折出售;乙公司表示购买100个以上，超过100个的部分按8折收费.假如你是校方，你该怎样选择这两家公司? (2)当x>100时， ③如果甲、乙两家公司费用相同，则有 0.9×50x=100×50+ (x-100) × 0.8×50 解得 x=200 ∴当购买个数为200时，选择甲、乙两公司都一样. 新知探究 课堂小结 1.某市自来水公司按如下标准收取水费，若每户每月用水不超过5m3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5m3， 则超出部分每立方米收费2元.小明家某月的水费不少于10元，那么他家这个月的用水量至少是多少? 解:设他家这个月的用水量是xm3.由10>1. 5×5可知x>5，因此可得 1.5×5+2(x-5)≥10 解得 x≥6.25 答:小明家这个月的用水量至少是6.25m3. 课堂检测 2.小明用的练习本可以到甲、乙两家商店购买，已知两商店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始按标价的70％出售；乙商店的优惠条件是，从第一本起按标价的80％出售。 （1）若设小明要购买x(x＞10)本练习本，则当小明到甲商店购买时，须付款 元，当到乙商店购买时，须付款 元； （2）买多少本练习本时，两家商店付款相同？ （3）请你给出小明购买建议。 课堂检测 解：（1）根据题意得，当小明到甲商店购买时， 须付款：70%（x﹣10）+10=0.7x+3， 当到乙商店购买时，须付款：80%x=0.8x． 故答案为：（0.7x+3），0.8x； （2）根据题意得：0.7x+3=0.8x，解得：x=30， 则买30本练习本时，两家商店付款相同； （3）由（2）可知，当购买30本练习本时，选择哪个商店均可； 当0.7x+3＞0.8x，即x＜30时，去乙商店买更划算； 当0.7x+3＜0.8x，即x＞30时，去甲商店买更划算． 课堂检测 分层作业 1.基础性作业：课本136页练习第1、2题. 2.发展性作业：课本137页第6题. 3.拓展性作业：课本137页第10题. $$