精品解析：四川省广安联考2020 年普通高校职教师资班和高职班对口招生模拟考试数学试题

四川省2020年普通高校职教师资班和高职班对口招生模拟考试 广安联考-数学 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页.满分150分，考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试题卷和答题卡分别收回. 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2．第Ⅰ卷共1个大题，15个小题，每小题4分，共60分. 一、选择题（本大题共15个小题，每小题4分，共60分.每小题给出A，B，C，D四个选项，其中只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义即可得解. 【详解】集合，集合， 则， 故选：. 2. 函数的定义域（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶次根式的被开方数为非负数，列不等式可求解. 【详解】要使函数有意义， 则需，即，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：D 3. 已知角终边上一点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据终边上点的坐标求出对应三角函数值即可解得. 【详解】由题，角终边上一点为， 则， ， 则. 故选：B 4. 已知向量，，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的模的坐标表示及向量模的公式即可求解. 【详解】，， ， 所以. 故选：A. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据含绝对值的不等式求解即可. 【详解】因为,解得,即. 原不等式的解集为. 故选：C . 6. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由辅助角公式化简，再由周期公式求周期即可. 【详解】函数 ， 其中，所以最小正周期是， 故选：D. 7. 过点且直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合两直线平行，可设出直线方程，将已知点代入，即可求解. 【详解】由题意，可设直线方程为， 将点代入得，解得, 故直线方程. 故选：C. 8. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程求焦点坐标即可. 【详解】抛物线的焦点在轴负半轴， 且，，则， 所以焦点坐标是， 故选：D. 9. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的图像形状和单调性以及过定点分析即可. 【详解】已知函数与关于轴对称， 因为在定义域上为增函数， 所以函数在定义域上为减函数，故AB错误， 且当时，，所以函数过定点，故C错误， 只有D符合题意， 故选：D. 10. 若，则m等于（ ） A. 4 B. 3 C. 8 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据换底公式计算即可解得. 【详解】由题， ， 解得. 故选：B 11. 命题“”是命题“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值和充要条件的定义可判断. 【详解】取，满足，即，故充分性不成立， 若，则，即，必要性成立. 所以“”是命题“”的必要不充分条件. 故选：B 12. 以为一个焦点，渐近线是双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合焦点坐标和渐近线方程，可求出a和b的值，继而求解. 【详解】因为是双曲线的一个焦点， 所以双曲线的焦点在x轴上，且， 又渐近线方程是，所以，即， 所以， 所以， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 13. 如果一平面与球截得的小圆的半径为，且球心到截面的距离为，那么球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据球的截面的性质求出球的半径，代入球的表面积公式即可得解. 【详解】一平面与球截得的小圆的半径为，且球心到截面的距离为， 所以球的半径为， 所以球的表面积为， 故选：. 14. 某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了年后，盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 6或7 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合等差数列的前n项和公式，及二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】由题意，每年运营费用构成一个等差数列，首项，公差， 所以该设备使用了年后，总运营费用为， 所以盈利总额为， 由二次函数的性质可知，图像开口向下，对称轴为， 故当时，函数取得最大值， 又，故当时，盈利总额达到最大值 故选：B. 15. 已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按的取值结合一次函数和二次函数的性质分类讨论即可. 【详解】函数在区间上是减函数， 当时，为在上的减函数，满足题意； 当时，为二次函数，对称轴为， 要满足在区间上是减函数，则，解得， 综上，a的取值范围是. 故选：B. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 注意事项： 1．非选择题必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，不得超出题框区域.答在试题卷、草稿纸上答题无效. 2．第Ⅱ卷共2个大题，11个小题，共90分. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 16. ，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用分段函数的解析式，直接代入即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：2. 17. 已知向量，，且，则实数的值为______． 【答案】－1 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解. 【详解】，， 又， 可得， 解得. 故答案为：. 18. 的展开式中，含的项的系数是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】对于，其展开式的通项为. 令 从而含的项的系数为. 故答案为：. 19. 已知，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，结合余弦的二倍角公式，及三角函数在各象限的符号，即可求解. 【详解】因，即，所以， 因为，所以，所以. 故答案为：. 20. 某校高三信息技术班共48人，在疫情严控期间班主任为了解学生在家的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据系统抽样的概念求出间隔求解. 【详解】系统抽样的抽取间隔为， 则， 则抽到的最小学号为6. 故答案为：6. 三、解答题（本大题共6个小题，共70分.21题、22题10分，23题、24题12分，25题、26题13分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 21. 设等差数列的前n项和为，若，，求数列的通项公式 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式和求和公式结合题干条件列方程求出首项和公差，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d． 因为，， 所以，解得， 因此． 22. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得－200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列； （2）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式，分别求出得分时的概率，然后可作出分布列； （2）计算分布列的数学期望，利用数学期望的概念解释即可. 【小问1详解】 可能取值有， ，， ，， 故分布列为 10 20 100 【小问2详解】 由（1）知，每盘游戏获得的分数为的数学期望是， 分， 这说明每盘游戏平均得分是负分， 因为每盘平均分为负数，则经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少. 23. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）若，的面积为，求b，c． 【答案】（1）. （2），． 【解析】 【分析】（）根据余弦定理求出，结合同角三角函数基本关系式即可得解. （）根据正弦定理得出，结合三角形面积公式即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 在中，由余弦定理得，， 因为，所以． 【小问2详解】 因为， 由正弦定理可知，即． 因为的面积为，所以， 即，解得或（舍）， 所以． 24. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，E，F分别为，的中点． （1）求证：； （2）求证：平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明线线垂直即可解得. （2）根据已知结合线面平行的证明即可解得. 【小问1详解】 因为，E为的中点，所以． 又因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，又因为平面，所以． 【小问2详解】 如图，取的中点G，连接，． 因为F，G分别为，的中点， 所以，， 因为四边形为矩形，且E为的中点， 所以，，所以，． 所以四边形为平行四边形，所以． 又因为平面，平面，所以平面． 25. 已知函数的定义域为，且对于任意，都有成立． （1）若时，，求不等式的解集； （2）若，且当时，，求在区间上的解析式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义和指数函数单调性解不等式，最后由绝对值不等式求解即可解得. （2）根据已知函数关系结合函数周期性求得解析式即可解得. 【小问1详解】 ∵函数的定义域为，且对于任意，都有成立. ∴是偶函数，当时，，则当时，， ∴，又∵，∴当时，， ∴在定义域上的解析式， 且指数函数在上单调递减， ∴转化为：，∴，解得， ∴不等式的解集为． 【小问2详解】 ∵，∴是周期为2的函数， 当时，， 又∵当时，， ∴当时，， 所以在上的解析式为：. 26. 已知圆O：，椭圆C：的短轴长等于圆O半径的倍，椭圆C的离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，且与圆O相切，证明：为直角三角形. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据圆的标准方程求出半径，结合椭圆离心率公式和椭圆之间的关系即可解得. （2）分情况讨论，根据向量垂直的坐标表示结合韦达定理列出等式证明垂直即可证得. 【小问1详解】 ∵圆O的半径为， ∴椭圆C的短轴长：，∴， ∵，，∴，， 椭圆C的方程为：． 【小问2详解】 证明：由题，直线与圆相切，圆心坐标为，半径为， 则当直线斜率不存在时，直线l方程为． ①当时，，． ∴， ②当时，，． ∴， 综上，， 当直线斜率存在时，设直线方程为，，， ∵直线l与圆O相切，∴圆心到直线的距离，即， 联立，解得， ∴， ∴ ∴． 综上所述：，所以为直角三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省2020年普通高校职教师资班和高职班对口招生模拟考试 广安联考-数学 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页.满分150分，考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试题卷和答题卡分别收回. 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2．第Ⅰ卷共1个大题，15个小题，每小题4分，共60分. 一、选择题（本大题共15个小题，每小题4分，共60分.每小题给出A，B，C，D四个选项，其中只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数定义域（ ） A. B. C. D. 3. 已知角终边上一点，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 50 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 7. 过点且直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 10. 若，则m等于（ ） A. 4 B. 3 C. 8 D. 2 11. 命题“”是命题“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 以为一个焦点，渐近线是双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 13. 如果一平面与球截得的小圆的半径为，且球心到截面的距离为，那么球的表面积为（ ） A. B. C. D. 14. 某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产收入均为21万元，设该设备使用了年后，盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 6或7 15. 已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 注意事项： 1．非选择题必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，不得超出题框区域.答在试题卷、草稿纸上答题无效. 2．第Ⅱ卷共2个大题，11个小题，共90分. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 16. ，则______. 17. 已知向量，，且，则实数的值为______． 18. 的展开式中，含的项的系数是_________. 19 已知，且，则______． 20. 某校高三信息技术班共48人，在疫情严控期间班主任为了解学生在家心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为______． 三、解答题（本大题共6个小题，共70分.21题、22题10分，23题、24题12分，25题、26题13分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 21. 设等差数列的前n项和为，若，，求数列的通项公式 22. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得－200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列； （2）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 23. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）若，的面积为，求b，c． 24. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，E，F分别为，的中点． （1）求证：； （2）求证：平面． 25. 已知函数的定义域为，且对于任意，都有成立． （1）若时，，求不等式的解集； （2）若，且当时，，求在区间上的解析式. 26. 已知圆O：，椭圆C：的短轴长等于圆O半径的倍，椭圆C的离心率为． （1）求椭圆C方程； （2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，且与圆O相切，证明：为直角三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$