6.4.1平面几何中的向量方法 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6．4.1　平面几何中的向量方法   [学习目标]　 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题．　 2.体会向量在解决数学问题中的作用． 向量a(a≠0)与b______⇔存在唯一λ∈R，使b＝λ a. 平行 例1 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步骤” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．证明两条线段平行，可以利用两个向量平行的充要条件． 思维提升 1．在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量方法证明： (1)DE∥BC； 跟踪训练 (2)D，M，B三点共线． 例2 用向量方法分析问题有两个角度思考：一是用平面向量基底的角度分析，二是建立平面直角坐标系，用坐标的角度分析． 思维提升 2.如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF.求证：DP⊥EF. 跟踪训练 　用向量方法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的二倍． [分析]　以平行四边形的相邻两边为基底，表示两条对角线对应的向量进行思考． 例3 思维提升 跟踪训练 B 4．在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 例4 用向量法求角度的策略 1．将要求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，然后求出该夹角，再转化为实际问题中的角即可． 2．要注意，两向量的夹角和要求角的关系． 思维提升 跟踪训练 〈课堂达标〉 C BD 1∶1 设G为BC的中点，由题意知O为△ABC的重心，则 AO∶OG＝2∶1，所以S△AOB∶S△ABG＝AO∶AG＝2∶3，同理S△AGC∶S△AOC＝3∶2.而S△ABG＝S△ACG，故S△AOB∶S△AOC＝1∶1. 4．正方形OABC的边长为1，D，E分别为AB，BC的中点， 则cos ∠DOE＝__________． 谢谢观看 　在梯形ABCD中，AB∥DC，点P，Q分别是AC与BD的中点，试用向量方法证明PQ∥AB. [分析]　先用向量表示向量，再通过向量的运算，得出向量用向量的表达式，从而确定PQ∥AB. [证明]　设＝λ(λ＞0且λ≠1). ∵＝－＝＋－ ＝＋－＝＋(－)－(＋)＝－－＝－·λ＝，∴∥. ∵PQ与AB不共线，∴PQ∥AB. 证明：如图，以E为坐标原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 令||＝1，则||＝1，||＝2.∵CE⊥AB，AD＝DC，∴四边形AECD为正方形， ∴各点的坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0). (1)∵＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)， ∴＝，∴∥. ∵B，C，D三点不共线，∴DE∥BC. (2)连接MB，MD.∵M为CE的中点，∴M， ∴＝(－1，1)－＝，＝ (1，0)－＝， ∴＝－，∴∥. ∵MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线． 　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. [分析]　法一：以，为基底，表示 ，，计算·＝0，得出⊥即可． 法二：正方形的邻边相互垂直，建立平面直角坐标系，转化为坐标运算进行思考． [证明]　法一：设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋， ＝＋＝b＋， 所以·＝·＝－－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)， 则＝(2，1)，＝(1，－2). 因为·＝(2，1)·(1，－2) ＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 证明：法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0＜a＜1)， 则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a， ∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋· ＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45° ＋a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0， ∴⊥，即DP⊥EF. 法二：如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系． 设正方形ABCD的边长为1， AP＝λ(0＜λ＜)， 则D(0，1)，P， E，F， ∴＝，＝， ∴·＝λ－λ2＋λ2－λ＝0， ∴⊥，即DP⊥EF. [证明]　如图，在平行四边形ABCD中设＝a，＝b， 则＝a＋b，＝a－b，||＝|a|，||＝|b|， ∴||2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. 同理||2＝|a|2－2a·b＋|b|2. ∴||2＋||2＝2(|a|2＋|b|2)＝2(|AB|2＋|AD|2). 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的二倍． 解决向量模问题的策略 1．利用|a|2＝a2将向量的模的运算转化为向量数量积运算． 2．若a＝(x，y)，则|a|＝ ，进行坐标运算． 3．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边上的中线AD的长是(　　) A．2　　　　　　　 B． C．3 D． ∵BC的中点为D，＝， ∴||＝. 解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b， 而||＝|a－b|＝＝＝＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝. 又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2 ＝1＋4＋2a·b＝6， ∴||＝，即AC＝. 　在四边形ABCD中，＝2m－2n，＝－m＋3n，＝2n，其中m，n为不共线的向量． (1)判断四边形ABCD的形状，并给出证明； [分析]　(1)根据向量线性运算判断，的关系即可； (1)[证明]　因为＝－m＋3n，＝2n， 所以＝－＝2n－(－m＋3n)＝m－n， 又因为＝2m－2n，所以＝2， 又因为A，B，C，D四点不共线，所以AB∥DC且AB≠DC，所以四边形ABCD为梯形． (2)若|m|＝2，|n|＝1，m与n的夹角为60°，F为BC中点，求∠FAB. [分析]　 (2)利用向量数量积先求||，||和·，然后由向量夹角公式可得． (2)[解]　因为＝2m－2n， 所以||＝ ＝ ＝2， 因为F为BC中点，所以＝(＋)＝m， 所以||＝|m|＝2，所以·＝m·(2m－2n)＝2m2－2m·n＝8－2＝6， 所以cos ∠FAB＝＝＝， 因为∠FAB∈，所以∠FAB＝. 5．已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为BC的中点，F为BD与AE的交点，＝λ＋μ. (1)求λ和μ的值； 解：(1)根据题意，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为BC的中点， 则＝＋＋＝＋＝＋2＝＋2(－)＝－＋2. 又由＝λ＋μ可得λ＝－，μ＝2. (2)若AB＝2，BC＝6，∠ABC＝45°，求与所成角的余弦值． 解：(2)∠AFD是与所成的角，设向量与所成的角为θ， 因为＝＋＝＋， 所以||2＝||2＋||2＋·＝9＋8－12＝5. 因为＝＋＝＋，所以||2＝||2＋||2＋·＝2＋36＋12＝50. 则||＝，||＝＝5. 因为·＝·＝· ＝－||2＋||2＋·＝－18＋4＋9＝－5， 所以cos θ＝＝＝－， 所以与所成角的余弦值为－. 1．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC是(　　) A．正三角形　　　　　 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．形状无法确定 (＋)·(－)＝2－2＝0， 即||＝||，即CA＝CB，则△ABC是等腰三角形． 2．(多选)在△ABC中，D为BC中点，且＝2，则(　　) A．＝＋ B．＝＋ C．⊥(＋) D．∥(＋) 因为＝2，则A，E，D三点共线，且||＝2||， 又因为AD为中线，所以点E为△ABC的重心，连接CE并延长交AB于F，则F为AB的中点，所以＝＝×(＋)＝＋，所以∥(＋). 3．已知O是三角形ABC内一点，若＋＝－，则S△AOB∶S△AOC＝__________． 以O为原点，以OA，OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示． 由题意知，＝，＝， 故cos ∠DOE＝＝＝. $$