等差数列的前n项和的性质课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

等差数列的前n项和的性质 第 一 数列 章 ---邹文婷 2025年2月16日10时20分 1 课堂探究 性质1 若数列{an}是公差为d的等差数列，前n项和为Sn，则数列 也是 等差数列，且公差为__． ”片段和“性质 大本P20 (2)(2024·江苏镇江高二期中)已知Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＝－ 2 024 对点练1. 课堂探究 如果{an}是等差数列,则, , ,…也成等差数列. k2d k2d ”片段和“性质 性质2 练习巩固 练习1:已知等差数学{an}的前n项和为Sn ，若S4=6 ，S8=18，则S12= 。 解：因为数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，是一个公差为n2d的等差数列 所以数列S4，S8－S4，S12－S8是一个等差数列 练习巩固 练习2 33 39 大本P20 对点练1.(1)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的 值为 A．9 B．12 C．16 D．17 由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝b5＝9.故选A. √ 课堂探究 问题2：设 分别是等差数列 的前n项和，那么 有怎样的关系？ 性质3 设 分别是等差数列 的前n项和： （大本P19---2.比值） 练习巩固 1.两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且 求得值. 解：∵＝＝ ∴= 大本P20 返回 对点练1. 课堂探究 11 例 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，Sn＝m，Sm＝n(n≠m)，则Sm＋n＝________. －(m＋n) 性质4 在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n(n≠m)，则Sm＋n＝－(m＋n) (一题多解)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110. 解：法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 因为S10＝100，S100＝10， 大本例1 (一题多解)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110. 大本例1 法二：直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可得S110＝－110. (一题多解)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110. 大本例1 法三：设等差数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn. (一题多解)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110. 大本例1 法四：因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列， 设公差为d， (一题多解)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110. 大本例1 所以S110＝－110. 课堂探究 问题3：若公差为d的等差数列 有2n项，那么 为多少？ 呢？ nd (n项) (n项) 课堂探究 中间两项和 性质5 等差数列奇偶项和的性质 中间项 随堂演练P22 4．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为___． 返回 由等差数列前n项和的性质，得S偶－S奇＝ ×d(d为该数列的公差)，即30－15＝5d，解得d＝3. 3 新知探究 新知探究 总结：等差数列的判定方法 ①定义法： ③通项法： ②等差中项法： ④前n项和公式法： 新知探究 等差数列的前n项和与二次函数的关系 等差数列{an}的前n项和公式 Sn= ① d = 0：Sn = a1n，一条过原点的直线上均匀分布的点； O n Sn (n，Sn) ② d < 0：一条开口向下的过原点的抛物线上均匀分布的点； O n Sn (n，Sn) ③ d > 0：一条开口向上的过原点的抛物线上均匀分布的点. O n Sn (n，Sn) 新知探究 等差数列的前 n 项和公式与二次函数的区别与联系 d d = 0 d < 0 d > 0 数列图象 Sn 最值 联系 O n Sn (n，Sn) O n Sn (n，Sn) O n Sn (n，Sn) 无 最大值 最小值 当d≠0时，Sn可以看成二次函数 （x∈N+）当x＝n时的函数值. 新知探究 等差数列前 n 项和的最值 （1）在等差数列 中， 当a1＞0，d＜0时， Sn 有大值，使 Sn 取到最值的 n 可由不等式组确定； 当a1＜0，d＞0时，Sn 有小值，使 Sn 取到最值的 n 可由不等式组确定． （2）因为　　　　　　　　　　 ，若d≠0，则从二次函数的角度看： 当 d＞0 时，Sn 有最小值； 当 d＜0 时，Sn 有最大值； 且 n 取最接近对称轴的自然数时，Sn 取到最值． 在求等差数列前n项和的最值中，Sn取得最大或最小值时的n唯一吗？是否也一定在顶点处取到呢？ 提示：由于n取正整数，所以Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一(例如对点练2在n＝5或n＝6时取最小值)，同时也不一定在顶点处取到最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取到最值． 微提醒 大本P20 (一题多解)在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值． 解：法一：因为S8＝S18，a1＝25， 例2 解得d＝－2. 所以当n＝13时，Sn有最大值为169. 大本P20 (一题多解)在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值． 例2 法二：设Sn＝An2＋Bn.因为S8＝S18，a1＝25， 所以当n＝13时，Sn取得最大值． 所以Sn＝－n2＋26n，所以S13＝169， 即Sn的最大值为169. 大本P20 (一题多解)在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值． 例2 法三：同法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. 因为a1＝25>0， 又因为n∈N＋， 大本P20 (一题多解)在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值． 例2 法四：因为S8＝S18，所以a9＋a10＋…＋a18＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1>0，所以d<0.所以a13>0，a14<0. 所以当n＝13时，Sn有最大值． 由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0，解得d＝－2， 所以S13＝13×25＋ ×(－2)＝169， 所以Sn的最大值为169. THANKS 2025年2月16日10时20分 邹文婷 2025年2月16日星期日10时20分44秒 $$