精品解析：2024-2025学年北京市海淀区中国人民大学附属中学人教版七年级上册分班考数学试卷

北京市海淀区中国人民大学附属中学2024－2025学年七年级上学期分班考数学试卷 一、填空题。 1. 165＋312－284＝（ ）。 2. 1999＋498－2008＝（ ） 3. 10.16×15－21.5×4.6＝（ ）。 4. 12.5×45－36×101＋86.5×45＝（ ）。 5. （56÷60＋0.5）×＝（ ）。 6. ＝（ ）。 7. （7×1－3×1）＋（7×3－3×2）＋（7×5－3×3）＋…＋（7×49－3×25）＝（ ） 8. 131×17＋51×123＝（ ）。 9. a△b表示a、b差（大减小）的一半。例如：12△24＝（24－12）÷2＝6，那么： （1）1△（△）＝（ ）。 （2）20△（7△x）＝1，x的所有可能性（ ）。 10. 2.737373…用四舍五入法保留两位小数是（ ）。 11. 陈老师花了600元买了48个本子和72支笔。已知每个本子8元，那么每支笔（ ）元。 12. 一个长方形，周长24厘米，宽4厘米。如果长增加2厘米，那么面积是（ ）平方厘米。 13. 解比例 x∶3.5＝4∶ 14. 圆锥体积是圆柱的体积的2倍，它们的底面积相等，圆锥和圆柱的高的比是（ ）。 15. 一本书，小明看了9天，每天看12页。如果他想15天看完，平均每天看16页，那么现在他该每天看（ ）页。 16. 小红每天睡眠9小时，比小刚多。小刚每天睡眠（ ）小时。 17. 一项工程，甲队15天干完，乙队30天干完。两队合干4天后，由甲队单独干，还要（ ）天干完。 18. 一个三角形，一个内角的度数是另两个内角度数和的，另两个内角的度数相差18°。这个三角形最小的内角是（ ）°。 19. 一个圆柱体表面积是336平方厘米．把它从中间切开，得到两个一样的圆柱体．它们的表面积和是432平方厘米，那么原来圆柱体的高是（ ）厘米．（π取3） 20. 一个四位数，百位是2，十位是7，能同时被2和3整除。这个四位数最大是（ ），最小是（ ）。 21. 规定※n表示不大于n的所有偶数的积，□n表示不能整除n的最小的数。例如：※6＝6×4×2＝48，□10＝3，那么□（※x）＝13，x最小是（ ）。 22. 一堆货物，第一天运走了总数的，第二天运走了总数的25%，剩下的按3∶4分配给甲车和乙车。已知甲车运了900吨，那么这堆货物共有（ ）吨。 23. 快车和慢车分别从甲、乙两地相向而行，4小时相遇。相遇后，快车继续行驶了3小时到达乙地，慢车继续行了240千米到达甲地。慢车的速度是（ ）千米/小时。 24. 解方程组。 25. 在下图的方格中填入合适的数，使每行都为完全平方数，则最后结果为（ ）． 26. 在下图所示的写有数字1的加法算式中，不同的汉字代表不同的数字，只有“仁”与“人”代表的数字相同，那么“仁华学校”代表的四位数字最小可能是（ ）。 27. 请你从1～100中选中12个数填入下图的圆圈里，使得每个数均为与它相邻的两个数的最大公因数或最小公倍数。 28. 找出5个互不相同的大于1的自然数，使得其中两个数的积等于其余三个数的积，两个数的和（不一定是刚才的两个数）等于其余三个数的和，请写出满足条件的式子。 29. 、、、、这5个分数中有两个可以写成一个分数与其倒数之差的形式如：，那么这两个分数为（ ）。 30. 小红、小明二人在讨论年龄，小红说：“我比你小，当你像我这么大时，我的年龄是个质数，”小明说：“当你长到我这么大时，我的年龄也是个质数。”小红说：“我发现现在咱俩的年龄和是个质数的平方。”那么小明今年（ ）岁。（小明今年年龄小于31岁，年龄均为整数岁。） 31. 用A、B、C、D、E、F六种颜料去染下图的两个调色盘，要求每个调色盘里的六种颜色不能相同，且相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复，那么共有（ ）种不同的染色方案（旋转算不同方法）。 32. 在一个棱长为8的正方体上切去一个三棱柱（如图）那么表面积减少（ ）． 33. 一次10分钟的知识竞赛，小明每分钟能做15道题，但做3道错一道，而且他做2分钟要休息1分钟，那么小明这次竞赛做对了（ ）道题。 34. 妈妈买来一箱桔子，若每天比计划多吃一个，则比计划少吃2天；若每天比计划少吃一个，则计划的时间过去后，还剩12个，那么这一箱桔子共__________个。 35. 学校组织老师进行智力竞赛，共20道题，答对一题得5分，不答不给分，答错扣2分，已知所有老师的总得分为600多分，且男老师总分为女老师总分的2倍多1分，答对总题数为答错总数的3倍少1题。又知每人恰好有1道或2道题未答。求男老师的总分为多少？ 36. 甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，他们计划在距A地处相遇，但中途甲休息了15秒钟，结果乙比计划多走36米才相遇，那么甲速为（ ）米/秒。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市海淀区中国人民大学附属中学2024－2025学年七年级上学期分班考数学试卷 一、填空题。 1. 165＋312－284＝（ ）。 【答案】193 【解析】 【分析】先计算加法，再计算减法，即可解答。 【详解】165＋312－284 ＝477－284 ＝193 165＋312－284＝193 2. 1999＋498－2008＝（ ）。 【答案】489 【解析】 【分析】先计算加法，再计算减法，据此解答。 【详解】1999＋498－2008 ＝2497－2008 ＝489 1999＋498－2008＝489。 3. 10.16×15－21.5×4.6＝（ ）。 【答案】53.5 【解析】 【分析】先计算乘法，再计算减法，据此计算解答。 【详解】10.16×15－21.5×4.6 ＝152.4－98.9 ＝53.5 10.16×15－21.5×4.6＝53.5 4. 12.5×45－36×101＋86.5×45＝（ ）。 【答案】819 【解析】 【分析】先交换“－36×101”和“＋86.5×45”的位置，算式变成12.5×45＋86.5×45－36×101，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c先把12.5×45＋86.5×45变成（12.5＋86.5）×45，简算后算式变成99×45－36×101，再分别把99拆成（100－1），101拆成（100＋1），根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把算式变成100×45－45－36×100－36，交换“－45”和“－36×100”的位置，再根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把100×45－36×100变成100×（45－36），其它照抄，然后按顺序计算即可得解。 【详解】12.5×45－36×101＋86.5×45 ＝12.5×45＋86.5×45－36×101 ＝（12.5＋86.5）×45－36×101 ＝99×45－36×101 ＝（100－1）×45－36×（100＋1） ＝100×45－1×45－（36×100＋36×1） ＝100×45－45－36×100－36 ＝100×45－36×100－45－36 ＝100×（45－36）－45－36 ＝100×9－45－36 ＝900－45－36 ＝819 【点睛】整数乘法的运算定律对小数乘法同样适用，灵活运用乘法分配律是解题的关键。 5. （56÷60＋0.5）×＝（ ）。 【答案】 【解析】 【分析】根据混合运算的方法，先计算左边括号里的除法和右边括号里的除法，再计算左边括号里的加法和右边括号里的减法，最后再计算乘法。据此解答。 【详解】 【点睛】考查四则混合运算，注意有括号的要先算括号里面的，不同级运算，要先算乘除法，再算加减法。 6. ＝（ ）。 【答案】####4.75 【解析】 【分析】按照分数四则混合运算的顺序，应先同时计算两个小括号里面的除法和乘法，再同时计算两个小括号里面的加法，最后算括号外面的除法。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 7. （7×1－3×1）＋（7×3－3×2）＋（7×5－3×3）＋…＋（7×49－3×25）＝（ ）。 【答案】3400 【解析】 【分析】先去掉原算式的括号，再交换位置，把原式变成7×1＋7×3＋7×5＋…＋7×49－3×1－3×2－3×3－…－3×25，然后根据加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）以及减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）把算式变成（7×1＋7×3＋7×5＋…＋7×49）－（3×1＋3×2＋3×3＋…＋3×25），再根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c，把算式变成7×（1＋3＋5＋…＋49）－3×（1＋2＋3＋…＋25），第一个括号里面是从1到49连续奇数之和，第二个括号里面是从1到25连续自然数之和，根据“（首项＋末项）×项数÷2”求出括号里面数的和，再按顺序计算即可得解。 【详解】（7×1－3×1）＋（7×3－3×2）＋（7×5－3×3）＋…＋（7×49－3×25） ＝7×1－3×1＋7×3－3×2＋7×5－3×3＋…＋7×49－3×25 ＝7×1＋7×3＋7×5＋…＋7×49－3×1－3×2－3×3－…－3×25 ＝（7×1＋7×3＋7×5＋…＋7×49）－（3×1＋3×2＋3×3＋…＋3×25） ＝7×（1＋3＋5＋…＋49）－3×（1＋2＋3＋…＋25） ＝7×（1＋49）×25÷2－3×（1＋25）×25÷2 ＝7×50×25÷2－3×26×25÷2 ＝4375－975 ＝3400 【点睛】先去掉括号，交换位置，再灵活运用乘法分配律进行简算是解题的关键。 8. 131×17＋51×123＝（ ）。 【答案】8500 【解析】 【分析】先把51化为17×3，原式化为：131×17＋17×3×123，再根据乘法分配律的逆运算，原式化为：（131＋3×123）×17，再进行计算。 【详解】131×17＋51×123 ＝131×17＋17×3×123 ＝（131＋3×123）×17 ＝（131＋369）×17 ＝500×17 ＝8500 131×17＋51×123＝8500 9. a△b表示a、b的差（大减小）的一半。例如：12△24＝（24－12）÷2＝6，那么： （1）1△（△）＝（ ）。 （2）20△（7△x）＝1，x的所有可能性（ ）。 【答案】（1） （2）﹣29，﹣37，23，51 【解析】 【分析】（1）根据a△b表示a、b的差（大减小）的一半，先把△变为算式：（－）÷2＝，再进一步计算即可； （2）根据a△b表示a、b的差（大减小）的一半，分情况讨论： ①当7＞x时，把7△x变为：（7－x）÷2；当20＞（7－x）÷2时列出算式计算；当20＜（7－x）÷2时列式计算； ②当x＞7时，把7△x变为：（x－7）÷2；当20＞（x－7）÷2时列出算式计算；当20小于（x－7）÷2时列式计算。 通过以上计算，找出x的所有可能性。 【小问1详解】 △ ＝（－）÷2 ＝（－）× ＝× ＝ 1△ ＝（1－）÷2 ＝× ＝ 【小问2详解】 当7＞x时，7△x＝（7－x）÷2， 这时有2种情况，当20＞（7－x）÷2，可得： [20－（7－x）÷2]÷2＝1 20－（7－x）÷2＝2 （7－x）÷2＝18 7－x＝36 x ＝﹣29符合要求； 当20＜（7－x）÷2，可得： [（7－x）÷2－20]÷2＝1 （7－x）÷2－20＝2 （7－x）÷2＝ 22 7－x＝44 x＝﹣37符合要求； 当x＞7时，7△x＝（x－7）÷2 当：20＞（x－7）÷2，可得： [20－（x－7）÷2]÷2＝1 20－（x－7）÷2＝2 20－（x－7）＝ 4 x－7＝16 x＝23符合要求； 20＜（x－ 7）÷2，可得： [（x－7）÷2－20]÷2＝1 （x－7）÷2－20＝2 （x－7）÷2＝ 22 x－7＝44 x＝51符合要求。 所以，20△（7△x）＝1，x的所有可能性是x＝﹣29，x ＝﹣37，x＝23，x ＝51。 【点睛】解答本题需准确理解a△b表示的意义以及a、b的大小，解答时注意分情况讨论，仔细解答。 10. 2.737373…用四舍五入法保留两位小数是（ ）。 【答案】2.74 【解析】 【分析】根据“四舍五入”求近似数方法，找到要求保留的数位，看下一位；如果下一位的数字大于或等于5，要往前进一；如果下一位的数字小于5，要舍去。据此解答。 【详解】 2.737373…用四舍五入法保留两位小数是2.74。 【点睛】查考采用“四舍五入法”求循环小数的近似数。 11. 陈老师花了600元买了48个本子和72支笔。已知每个本子8元，那么每支笔（ ）元。 【答案】3 【解析】 【分析】根据，用每个本子的价格乘本子的数量得到本子的总价，再用600减本子的总价可得笔的总价，再根据，代入数据计算笔的单价即可。 【详解】 （元） 陈老师花了600元买了48个本子和72支笔。已知每个本子8元，那么每支笔3元。 【点睛】考查，，的实际运用。 12. 一个长方形，周长24厘米，宽4厘米。如果长增加2厘米，那么面积是（ ）平方厘米。 【答案】40 【解析】 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，用长方形的周长÷2－宽，求出长方形的长，如果长增加2厘米，则现在长方形的长为原来长方形的长加上2厘米，宽不变，根据长方形的面积＝长×宽解答即可。 【详解】24÷2－4 ＝12－4 ＝8（厘米） 8＋2＝10（厘米） 10×4＝40（平方厘米） 所以面积是40平方厘米。 13. 解比例。 x∶3.5＝4∶ 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积。把等式转化为，先计算等式右边的乘法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以，计算即可得解。 【详解】x∶3.5＝4∶ 解： 14. 圆锥的体积是圆柱的体积的2倍，它们的底面积相等，圆锥和圆柱的高的比是（ ）。 【答案】6∶1 【解析】 【分析】假设圆柱的体积是2立方厘米，则圆锥的体积是，假设它们的底面积都是1平方厘米，根据分别根据，的逆运算，可分别求出圆锥和圆柱的高，再列比并化简即可。 【详解】假设圆柱的体积是2立方厘米，圆柱和圆锥的底面积都是1平方厘米。 圆锥的高： （厘米） 圆柱的高：（厘米） 圆锥和圆柱的高的比是6∶1。 【点睛】查圆锥和圆柱体积的运用，能过已知条件，假设相应的变量，通过计算再列比及化简。 15. 一本书，小明看了9天，每天看12页。如果他想15天看完，平均每天看16页，那么现在他该每天看（ ）页。 【答案】22 【解析】 【分析】根据平均每天看的页数×看完的天数＝总页数，用16×15列式求出这本书的总页数，再减去小明9天看的页数（12×9＝108页），求出看了9天后剩下的页数，再用剩下的页数除以还要看的天数：15－9＝6（天）即可解答。 【详解】（16×15－12×9）÷（15－9） ＝（240－108）÷（15－9） ＝132÷6 ＝22（页） 所以现在他该每天看22页。 16. 小红每天睡眠9小时，比小刚多。小刚每天睡眠（ ）小时。 【答案】8.1 【解析】 【分析】小刚的睡眠时间为单位“1”，则小红的睡眠时间所对应的分率是（1＋），求单位“1”，用除法进行计算。 【详解】9÷（1＋） ＝9÷ ＝9× ＝8.1（小时） 则小刚每天睡眠8.1小时。 【点睛】本题考查了分数复合应用题，找出对应的分率，求单位“1”，用除法进行计算。 17. 一项工程，甲队15天干完，乙队30天干完。两队合干4天后，由甲队单独干，还要（ ）天干完。 【答案】9 【解析】 【分析】把这项工程总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别求出甲队和乙队的工作效率；再根据工作总量＝工作效率×工作时间，用甲队、乙队的工作效率和×4，求出两队4天的工作量；再用1－4天的工作量，求出剩下的工作量，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，再用剩下的工作量÷甲队的工作效率，即可解答。 【详解】[1－（＋）×4]÷ ＝[1－（＋）×4]÷ ＝[1－×4]÷ ＝[1－]÷ ＝÷ ＝×15 ＝9（天） 一项工程，甲队15天干完，乙队30天干完。两队合干4天后，由甲队单独干，还要9天干完。 【点睛】熟练掌握工作效率、工作时间、工作总量三者的关系，是解答本题的关键。 18. 一个三角形，一个内角的度数是另两个内角度数和的，另两个内角的度数相差18°。这个三角形最小的内角是（ ）°。 【答案】45 【解析】 【分析】把另两个内角度数和看作单位“1”，则三个角相加的分率为1＋，已知三角形的内角和是180°，用180°除以（1＋）即可求出另两个内角度数和的具体数量，进而可以求出一个内角的度数，再根据另两个内角的度数相差18°，利用和差公式可求得另两个内角的度数，最后比较三个内角的度数得解。 【详解】180°÷（1＋） ＝180°÷ ＝108° 180°－108°＝72° （108°＋18°）÷2 ＝126°÷2 ＝63° 108°－63°＝45° 所以这个三角形最小的内角是45°。 【点睛】找准单位“1”，利用三角形的内角和与对应的分率先求出另两个内角度数和的具体数量是解题的关键，和差公式：（和＋差）÷2＝较大数，（和－差）÷2＝较小数。 19. 一个圆柱体表面积是336平方厘米．把它从中间切开，得到两个一样的圆柱体．它们的表面积和是432平方厘米，那么原来圆柱体的高是（ ）厘米．（π取3） 【答案】10 【解析】 【详解】原圆柱的一个底面积为（432-336）÷2=48（平方厘米），48÷3=16，原圆柱体的底面半径是4．原圆柱体的高是（336-48×2）÷（2×3×4）=10（厘米）． 20. 一个四位数，百位是2，十位是7，能同时被2和3整除。这个四位数最大是（ ），最小是（ ）。 【答案】 ①. 9276 ②. 1272 【解析】 【分析】求最大那么最高位上的数是9，能被2整除个位上是0、2、4、6、8，能被3整除各个数位上的数相加的和是3的倍数。9＋7＋2＝18，那么个位数是6。因此这个数最大是9276；求最小同理最高位是1，1＋7＋2＝10，10＋2＝12，个位数是2。 【详解】9＋7＋2 ＝16＋2 ＝18 那么个位数是6。 所以这个四位数最大是9276。 1＋7＋2 ＝8＋2 ＝10 10＋2＝12，个位数是2。 所以这个四位数最小是1272。 21. 规定※n表示不大于n的所有偶数的积，□n表示不能整除n的最小的数。例如：※6＝6×4×2＝48，□10＝3，那么□（※x）＝13，x最小是（ ）。 【答案】22 【解析】 【分析】首先要理解题目中※n和口n这两个新运算的定义。根据已知条件口（※x）＝13，我们要找出※x能被哪些数整除，再根据※x是不大于x的所有偶数的积这一特性，求出※x的最小值，从而得出x的最小值。 【详解】因为□（※x）＝13，所以不能整除的最小的数是13，所以※x能被1、2、3、4、……12整除；因为※x表示不大于x的所有偶数的积，所以※x能被这些偶数整除：12、11×2、2、10、8、18、14、6，则※x最小＝2×4×6×……×22，所以x最小是22。 【点睛】理解※n、□n表示的意义以及偶数、数的整除的特征是解题的关键。 22. 一堆货物，第一天运走了总数的，第二天运走了总数的25%，剩下的按3∶4分配给甲车和乙车。已知甲车运了900吨，那么这堆货物共有（ ）吨。 【答案】6000 【解析】 【分析】根据按比例分配的方法，甲车运的吨数÷对应份数×剩下的总份数＝剩下的吨数，将总吨数看作单位“1”，1－第一天运走的对应分率－第二天运走的对应百分率＝剩下的对应分率或百分率，剩下的吨数÷对应分率或百分率＝总吨数，据此列式解答。 【详解】900÷3×（3＋4） ＝300×7 ＝2100（吨） 2100÷（1－－25%） ＝2100÷（1－0.4－0.25） ＝2100÷（0.6－0.25） ＝2100÷0.35 ＝6000（吨） 所以这堆货物共有6000吨。 23. 快车和慢车分别从甲、乙两地相向而行，4小时相遇。相遇后，快车继续行驶了3小时到达乙地，慢车继续行了240千米到达甲地。慢车的速度是（ ）千米/小时。 【答案】45 【解析】 【分析】根据题意可知，相遇时，快车和慢车行驶的时间相同。相遇时，慢车距离甲地还有240千米；也就是快车行驶240米，用了4小时；根据速度＝路程÷时间；用240÷4，求出快车的速度；再根据路程＝速度×时间，用快车速度×3，求出快车继续行驶3小时的路程，也就是慢车行驶4小时的路程，再用快车行驶3小时行驶的路程÷4，即可求出慢车行驶的速度，据此解答。 【详解】240÷4＝60（千米/小时） 60×3÷4 ＝180÷4 ＝45（千米/小时） 快车和慢车分别从甲、乙两地相向而行，4小时相遇。相遇后，快车继续行驶了3小时到达乙地，慢车继续行了240千米到达甲地。慢车的速度是45千米/小时。 【点睛】明确快车与慢车相遇时所用的时间相同，是解答本题的关键。 24. 解方程组。 【答案】 【解析】 【分析】②式减①式得：2x＋5y＝20，即可得③式：2000x＋5000y＝20000 ②式加①式可得④式：2000x−1999y＝6002 ③式减④式得：6999y＝13998，即：y＝2 再把y的解代入①式，再按解一般方程的方法解答即可。 【详解】（1001x−997y）－（999x－1002y）＝3011－2991 1001x−997y－999x＋1002y＝20 2x＋5y＝20 （2x＋5y）×1000＝20×1000 2000x＋5000y＝20000 （1001x−997y）＋（999x－1002y）＝3011＋2991 1001x−997y＋999x－1002y＝6002 2000x－1999y＝6002 （2000x＋5000y）－（2000x−1999y）＝20000－6002 解：2000x＋5000y－2000x＋1999y＝13998 6999y＝13998 6999y÷6999＝13998÷6999 y＝2 999x－1002×2＝2991 解：999x－2004＝2991 999x－2004＋2004＝2991＋2004 999x＝4995 999x÷999＝4995÷999 x＝5 【点睛】先采用抵消的方法消去一个未知数，转化为一般的一元方程，先求出其中的一个未知数的解，代入数据再求另一个。 25. 在下图的方格中填入合适的数，使每行都为完全平方数，则最后结果为（ ）． 【答案】784 【解析】 【详解】本题首先考虑完全平方数的两位数有：16、25、36、49、64、81；而这些两位数的积既是三位数又是完全平方数．三位数的完全平方数有121、144、169、196、280、324、361、400、441、484、529、576、625、676、729、784、900.通过观察可知： 16×49=784 26. 在下图所示的写有数字1的加法算式中，不同的汉字代表不同的数字，只有“仁”与“人”代表的数字相同，那么“仁华学校”代表的四位数字最小可能是（ ）。 【答案】1234 【解析】 【分析】因两个加数是都是四位数，和是五位数，所以和最高位“人”是1，“仁”也是1，”仁“是1，所以“更”只能是9，“大”是0，因“学”加1等于中，“学”不能是9，不能向前一位进一，“华”和“进”只能是2，8，或4，7，或5，6，“仁华学校”代表的四位数字最小，“华”只能是2，因“校”加“步”的和的末尾是1，“校”和“步”只能是3，8或4，7或5，6，“仁华学校”代表的四位数字最小，所以“校”是4，剩下的数字中最小的是3，所以“学”是3．据此解答。 【详解】根据分析可知，在下图所示的写有数字1的加法算式中，不同的汉字代表不同的数字，只有“仁”与“人”代表的数字相同，那么“仁华学校”代表的四位数字最小可能是1234。 【点睛】明确四位数是最小的四位数是解答本题的关键。 27. 请你从1～100中选中12个数填入下图的圆圈里，使得每个数均为与它相邻的两个数的最大公因数或最小公倍数。 【答案】见详解 【解析】 【分析】我们要从1到100中选出12个数填入圆圈，根据最大公因数和最小公倍数的概念来进行选择。 【详解】先选择2，因为2是一个较小且常见的质数； 因为相邻数的关系，选择2×13＝26，13是一个质数，且2和26的最大公因数是2； 接着选择13×3＝39，3是一个质数，13和39的最大公因数是13； 然后选择3×11＝33，11是质数，3和33的最大公因数是3； 选择11×5＝55，5是质数，11和55的最大公因数是11； 选择5×7＝35，7是质数，5和35的最大公因数是5； 最后选择7×2＝14，2和14的最大公因数是2。 所以最终选择的12个数为：2、26、13、39、3、33、11、55、5、35、7、14。 28. 找出5个互不相同的大于1的自然数，使得其中两个数的积等于其余三个数的积，两个数的和（不一定是刚才的两个数）等于其余三个数的和，请写出满足条件的式子。 【答案】见详解 【解析】 【分析】首先考虑数较小并且因数比较多的数，比如36，60等，然后快速地逐步把组合数放大，进行尝试计算。 【详解】因为36＝2×3×6＝4×9，而2＋4＋6＝3＋9，所以5个数是：2、3、4、6、9； 因为，60＝3×4×5＝6×10，而3＋5＋6＝4＋10，所以5个数是：3、4、5、6、10； 120＝2×3×20＝5×24  ，2＋5＋20＝3＋24，所以5个数是：2、3、5、20、24。 【点睛】本题主要考查了学生对计算的速度和对数字的敏感度。 29. 、、、、这5个分数中有两个可以写成一个分数与其倒数之差的形式如：，那么这两个分数为（ ）。 【答案】、 【解析】 【分析】根据题意可知，假设这种形式表示为：，然后根据异分母分数加减法的计算方法以及平方差公式，可得，据此将每个分数的分母拆分成合适的两个数相乘，再算这两个数的和与差，和乘差的结果是否符合分数的分子。 【详解】假设这种形式表示为： 95＝5×19 19－5＝14 19＋5＝24 14×24≠72 不符合； 35＝5×7 7－5＝2 7＋5＝12 2×12＝24 所以符合； 143＝11×13 13－11＝2 13＋11＝24 2×24＝48 所以符合； 85＝5×17 17－5＝12 5＋17＝22 12×22≠32 所以不符合； 55＝5×11 11－5＝6 11＋5＝16 6×16≠16 所以不符合； 这两个分数是、。 【点睛】解答本题的关键是根据所求的形式去推算出符合分数的计算公式，然后再判断每个分数是是否符合题意。 30. 小红、小明二人在讨论年龄，小红说：“我比你小，当你像我这么大时，我的年龄是个质数，”小明说：“当你长到我这么大时，我的年龄也是个质数。”小红说：“我发现现在咱俩的年龄和是个质数的平方。”那么小明今年（ ）岁。（小明今年年龄小于31岁，年龄均为整数岁。） 【答案】16 【解析】 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。需要通过逐步推理来确定两人的年龄。 【详解】假设小红和小明的年龄差为 x岁，设小红今年的年龄为岁，那么小明今年的年龄为 （y＋x）岁。 当小明像小红这么大时，小红的年龄是个质数，此时小红的年龄为（y－x）岁，因为这个年龄是质数。 当小红长到小明这么大时，小明的年龄也是个质数，此时小明的年龄为（y＋2x）岁，因为这个年龄是质数。 现在两人年龄和是个质数的平方，即 y＋y＋x＝质数的平方。 通过尝试不同的年龄组合，发现当小红今年9 岁，小明今年 16 岁时，满足条件。 所以小明今年16岁。 【点睛】本题考查了年龄问题，关键是理解运用年龄差不变，考查了质数的意义以及完全平方数的运用。 31. 用A、B、C、D、E、F六种颜料去染下图的两个调色盘，要求每个调色盘里的六种颜色不能相同，且相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复，那么共有（ ）种不同的染色方案（旋转算不同方法）。 【答案】488160 【解析】 【分析】先考虑第一个圆盘，既然每个调色盘里的六种颜色不能相同，那么每个区域分别有6、5、4、3、2、1种涂色方法，相乘得到总的涂色方法；再考虑第二个圆盘，相当于是第一个圆盘的涂色方法减去重复的情况，然后两个圆盘的图色方法相乘，得到不同的染色方案。 【详解】先选中一个调色盘；6×5×4×3×2×1＝720（种） 此盘共有720种涂色方法； 再看另一个调色盘； 相邻四种颜色重复的分为4个重复、5个重复和6个重复三种情况，但由于5个重复就必然6个重复，因此只要分4种和6种即可。 4种颜色重复有6种情况，6种颜色重复只有1种，每种情况经旋转可变出6种 720－1×6－6×6 ＝720－6－36 ＝678（种） 678×720＝488160（种） 那么共有488160种不同的染色方案。 【点睛】本题考查的是复杂的计数问题，综合应用了乘法原理来求解问题。 32. 在一个棱长为8的正方体上切去一个三棱柱（如图）那么表面积减少（ ）． 【答案】28 【解析】 【详解】从正方体上切去三棱柱后，正方体的表面积减少3×8＋4×8＋3×4×2=68，但又增加了一个面的面积，是5×8=40.总体上减少68-40=28. 33. 一次10分钟的知识竞赛，小明每分钟能做15道题，但做3道错一道，而且他做2分钟要休息1分钟，那么小明这次竞赛做对了（ ）道题。 【答案】70 【解析】 【分析】由“他做2分钟要休息1分钟”，那么10÷（2＋1）＝3…1，也就是3分钟一个循环，最后余下的1分钟是做题时间，休息了3分钟，他做题的时间总共是10－3＝7（分钟），7分钟内共做题15×7＝105（道）．又知做3道错一道，也就是做对了总题量的＝，他做对了105×道题，据此解答。 【详解】15×（10－3）× ＝15×7× ＝105× ＝70（道） 一次10分钟的知识竞赛，小明每分钟能做15道题，但做3道错一道，而且他做2分钟要休息1分钟，那么小明这次竞赛做对了70道题。 【点睛】求出做正确题占总题的的分率是解答题的关键。 34. 妈妈买来一箱桔子，若每天比计划多吃一个，则比计划少吃2天；若每天比计划少吃一个，则计划时间过去后，还剩12个，那么这一箱桔子共__________个。 【答案】60 【解析】 【分析】一天少吃1个，剩下12个，说明计划12÷1＝12（天）；一天多吃1个，比计划少2天，也就是12﹣2＝10（天），共多吃10×1＝10（个）。每天吃10÷2＝5个，则一共有5×12＝60（个）。 【详解】[（12÷1﹣2）×1÷2]×12 ＝[10×1÷2]×12 ＝5×12 ＝60（个） 那么这一箱桔子共60个。 【点睛】本题需要根据题意求出计划的天数以及计划每天吃的数量求出桔子的总量。 35. 学校组织老师进行智力竞赛，共20道题，答对一题得5分，不答不给分，答错扣2分，已知所有老师的总得分为600多分，且男老师总分为女老师总分的2倍多1分，答对总题数为答错总数的3倍少1题。又知每人恰好有1道或2道题未答。求男老师的总分为多少？ 【答案】439分 【解析】 【分析】根据题意可设答错的总题数为x题，女老师总分为y分。那么男老师总分为（2y＋1）分，所有老师的总分为（3y＋1）分。又因为总得分为600多分，那么601＜3y＋1＜699，据此求出y的取值范围。答错x题，那么答对的有（3x－1）题。由于答对一题得5分，答错一题扣2分，所以总得分为5（3x－1）－2x＝13x－5。又因为总得分为600多分，又得出了另外一个不等式601＜13x－5＜699，据此求出x的取值范围。由于总分是固定的，即3y＋1＝13x－5，那么x＝3（y＋2）÷13，x又是整数，那么（y＋2）是13的倍数。再根据y的取值范围，确定y的值，从而求出x。根据“每人恰好有1道或2道题未答”，将x和y的值确定下来，再将y的值代入（2y＋1）中，求出男老师的总分。 【详解】解：设答错x题，女老师总分y分。（x、y均为整数） 601＜2y＋1＋y＜699 601＜3y＋1＜699 即200＜y＜ 5（3x－1）－2x ＝15x－5－2x ＝13x－5 601＜13x－5＜699 即＜x＜ 由于3y＋1＝13x－5，那么x＝3（y＋2）÷13，那么（y＋2）是13的倍数。又因为200＜y＜，那么（y＋2）可能是208、221、234，y可能是206、219、232，对应的x分别是48、51和54。 当x＝48时，答对题数为： 48×3－1 ＝144－1 ＝143（道） 一共做了143＋48＝191（道） 如果10人参赛，题目一共有10×20＝200（道） 没做的有200－191＝9（道） 此时不满足每人有1道或2道题未答。 当x＝54时，答对题数为： 54×3－1 ＝162－1 ＝161（道） 一共做了161＋54＝215（道） 如果11人参赛，题目一共有11×20＝220（道） 没做的有220－215＝5（道） 此时不满足每人有1道或2道题未答。 当x＝51时，答对题数为： 51×3－1 ＝153－1 ＝152（道） 一共做了152＋51＝203（道） 如果11人参赛，题目一共有11×20＝220（道） 没做的有220－203＝17（道） 此时满足每人有1道或2道题未答。 所以，x＝51，y＝219 219×2＋1 ＝438＋1 ＝439（分） 答：男老师的总分为439分。 【点睛】本题考查了不等式，掌握不等式的解法，能够通过已知条件建立数学模型是解题的关键。 36. 甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，他们计划在距A地处相遇，但中途甲休息了15秒钟，结果乙比计划多走36米才相遇，那么甲速为（ ）米/秒。 【答案】6 【解析】 【分析】二人计划在距A地处相遇，把全程看作单位“1”，则时间相关时甲走全程的，乙走全程的，时间相同时，路程的比与速度的比相同，可列比并化简，得到甲乙的速度比是等于3∶2，乙比计划多走36米，应该是甲走的，所以甲走36米时乙走了36÷3×2＝24（米），所以甲休息15秒，乙也休息15秒，走相同的时间，两人应该相差24＋36＝60（米），所以可以得到乙的速度是60÷15＝4（米/秒），所以甲速度是4÷2×3＝6（米/秒）据此解答。 【详解】甲乙的速度比 36÷3×2 ＝12×2 ＝24（米） 乙的速度（24＋36）÷15 ＝60÷15 ＝4（米/秒） 甲的速度4÷2×3 ＝2×3 ＝6（米/秒） 甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，他们计划在距A地处相遇，但中途甲休息了15秒钟，结果乙比计划多走36米才相遇，那么甲速为6米/秒。 【点睛】时间相同时，路程比与速度比相等，再根据比的应用求出甲乙的速度。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$