第一章空间向量与立体几何单元练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

高中数学《空间向量与立体几何》练习题（含答案解析） 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系内，平面经过三点，向量是平面的一个法向量，则（    ） A． B． C．5 D．7 3．已知点，若向量，则点B的坐标是（    ）． A． B． C． D． 4．如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是（    ） A．6 B．12 C． D． 5．平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（    ） A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直 6．已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 7．O、A、B、C为空间四点，且向量、、不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（    ） A．、、共线 B．、共线 C．、共线 D．O、A、B、C四点共面 8．在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 9．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（    ） A． B． C．1 D． 10．在正方体中，，分别为，的中点，则（    ） A．平面 B．异面直线与所成的角为30° C．平面平面 D．平面平面 二、填空题 11．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________. 12．若直线的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数的值是______. 13．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中平面，，，则四面体PABC的外接球的表面积为______． 14．设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________． 三、解答题 15．如图，在三棱柱中，点D是AB的中点． (1)求证：∥平面． (2)若平面ABC，，求证：平面． 16．如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点． 求证：（1）EH∥平面BCD； （2）BD∥平面EFGH. 17．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，与交于点O，E为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 18．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 参考答案与解析 1．A 【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可. 【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为. 故选：A. 2．D 【解析】求出，，利用与数量积为0，求解即可. 【详解】， 可得，， 故选：D 3．B 【分析】利用空间向量的坐标运算求得的坐标. 【详解】设为空间坐标原点， . 故选：B 4．B 【分析】由直观图和原图的之间的关系，和直观图画法规则，还原是一个直角三角形，其中直角边，直接求解其面积即可． 【详解】解：由直观图画法规则，可得是一个直角三角形，其中直角边， ∴． 故选：B． 5．C 【分析】由题设知，根据空间向量共线定理，即可判断平面与平面的位置关系. 【详解】平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,， ， 平面与平面的关系是平行或重合． 故选：C． 6．D 【分析】由题意可得该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为9，从而可求出其侧面积 【详解】由题意得，该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为9， 所以该圆柱的侧面积为. 故选：D 7．D 【解析】根据向量、、不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论. 【详解】因为O、A、B、C为空间四点，且向量、、不能构成空间的一个基底， 所以、、共面， 所以O、A、B、C四点共面， 故选：D 8．B 【分析】连接，，得到，把异面直线与所成角转化为直线与所成角，取的中点，在直角中，即可求解. 【详解】在正方体中，连接，，可得， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角， 即为异面直线与所成角， 不妨设，则，， 取的中点，因为，所以， 在直角中，可得. 故选：B. 9．C 【分析】根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离. 【详解】 设球的半径为，则，解得：. 设外接圆半径为，边长为， 是面积为的等边三角形， ，解得：，， 球心到平面的距离. 故选：C. 【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面. 10．D 【分析】A项反证法可得； B项由平移法计算异面直线所成角； C项由面面平行的判断和性质可得结果； D项建立空间直角坐标系可得结果. 【详解】对于选项A，假设面 ，则，这与已知与不垂直相矛盾，所以假设不成立. 故选项A错误； 对于选项B，连接，， 因为，所以为异面直线与所成的角或补角， 又因为△为等边三角形，所以，故选项B错误； 对于选项C， 因为，，由面面平行的判定定理可得平面平面，而平面与平面相交，所以平面与平面也相交，故选项C错误； 对于选项D，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设正方体的棱长为1，则，，，，可得，，，设平面的法向量为， 则 ，可取，则，，即， 设平面的法向量为，则， 可取，则，，可得平面的一个法向量为， 由，所以，即平面平面，故选项D正确. 故选：D. 11．135° 【分析】首先根据题意将图画出，然后根据α＝45°，AB∥CD，可得，进而得出结论. 【详解】解：如图，由题意知α＝45°，AB∥CD， ， 即. 故答案为：135°. 【点睛】本题考查了平行线的性质，结合图会使问题变得简单，属于基础题. 12．-1 【分析】利用法向量的定义和向量共线的定理即可. 【详解】直线的方向向量，平面的法向量，直线平面， 必有 ，即向量 与向量 共线， ，∴，解得； 故答案为：-1. 13． 【分析】确定外接球球心求得球半径后可得表面积． 【详解】由于平面，因此与底面上的直线都垂直， 从而与不可能垂直，否则是锐角三角形，由于，因此有， 而与是平面内两相交直线，则平面，平面，所以， 所以的中点到四个点的距离相等，即为四面体PABC的外接球球心． ，， 所以所求表面积为． 故答案为：． 14． 【分析】以方向为轴，垂直于方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由的表达式即可求得最小值. 【详解】以方向为轴建立空间直角坐标系，则，， 设 则， 当时的最小值是， 取 则 又因为是任意值，所以的最小值是. 取 则 又因为是任意值，所以的最小值是. 故答案为：. 15．(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】(1)连接，交于点，连接，用中位线证明即可； (2)证明CD⊥AB，CD⊥即可. 【详解】（1）连接，交于点，连接 ∵是三棱柱，∴四边形为平行四边形，∴是的中点. ∵点是的中点，∴是的中位线，∴， 又平面，平面，∴∥平面. （2）∵平面，平面，∴， ∵，，∴， ∵，平面， ∴平面. 16．（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）推导出EH∥BD，由此能证明EH∥平面BCD； （2）由BD∥EH，由此能证明BD∥平面EFGH. 【详解】（1）∵EH为△ABD的中位线， ∴EH∥BD. ∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD， ∴EH∥平面BCD； （2）∵FG为△CBD的中位线， ∴FG∥BD， ∴FG∥EH， ∴E、F、G、H四点共面， ∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题. 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，∴O为的中点， ∵E为的中点，∴， 又∵平面平面，∴平面； （2）证明：∵四边形为正方形，∴， ∵平面，且平面，所以， 又∵平面，且，∴平面， 又∵平面，∴平面平面. 18．(1)证明见解析；(2). 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可； (2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可. 【详解】（1）因为，O是中点，所以， 因为平面，平面平面， 且平面平面，所以平面． 因为平面，所以. （2）[方法一]：通性通法—坐标法 如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则，设, 所以， 设为平面的法向量， 则由可求得平面的一个法向量为． 又平面的一个法向量为， 所以，解得． 又点C到平面的距离为，所以， 所以三棱锥的体积为． [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角 如图所示，作，垂足为点G． 作，垂足为点F，连结，则． 因为平面，所以平面， 为二面角的平面角． 因为，所以． 由已知得，故． 又，所以． 因为， ． [方法三]：三面角公式 考虑三面角，记为，为，， 记二面角为．据题意，得． 对使用三面角的余弦公式，可得， 化简可得．① 使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．② 将①②两式平方后相加，可得， 由此得，从而可得． 如图可知，即有， 根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得， 结合的正切值， 可得从而可得三棱锥的体积为． 【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理； 方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解. 方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速. 答案第1页，共2页 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$